Системы общих представителей.

с6-с8
Системы общих представителей.
08.04.2012
Системы общих представителей и смежные вопросы
Определение 1. Пусть дана система подмножеств M = {M1 , . . . , Ms } множества [n]. Системой общих
представителей для множества M называется подмножество A ⊂ [n] такое, что ∀i Mi ∩ A ̸= ∅.
Минимальная с.о.п. - это с.о.п. наименьшего размера. Размер минимальной с.о.п. это τ (M). Максимум
τ (M) по всем системам подмножеств [n] из s множеств, где каждое из множеств состоит из k элементов,
обозначается τ (n, s, k).
1. Дана совокупность множеств
M = {{1, 6}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}}.
а) Найдите τ (M). б) Найдите с.о.п. для M с помощью жадного алгоритма.
2. В группе студентов Яндекса 20 человек. Из них 5 человек одинаково хорошо и лучше всех остальных
решают задачи поиска новостей в интернете, 5 – задачи борьбы со спамом и т.д. (всего 18 видов задач, так
что, очевидно, некоторые студенты в равной мере сильны в нескольких вопросах). Требуется составить из
этих студентов сильную команду разработчиков. При этом хочется, чтобы для каждой задачи в команде
нашелся специалист по ней и чтобы размер команды был как можно меньше (экономия зарплаты).
а) Докажите, что всегда есть команда из семи человек.
б) Докажите, что при некотором раскладе
заведомо нужно взять в команду шестерых.
3. Постройте пример совокупности множеств, у которой размер минимальной с.о.п. на k меньше размера
с.о.п., получаемой с помощью жадного алгоритма. а) k = 1. б) k = 2. в) k произвольное.
4. Пусть у нас есть совокупность A(n, s, k). Мы хотим узнать, сколько различных минимальных с.о.п.
имеет данная совокупность. обозначим эту величину за η(A).
k−1
, k), что η(A) = 1, τ (A) = 2. б) Чему равно η(A),
а) Приведите пример такой совокупности A(2n, 2Cn−1
когда A состоит из всех k-элементных подмножеств, т.е. когда s = Cnk . в) При каком максимальном s
найдется такая совокупность A(n, s, k), что η(A) = 2.
5. Рассмотрим в 15-мерном пространстве некоторое множество точек V , содержащееся в множестве Σ:
V ⊂ Σ = {x = (x1 , . . . , x15 ) : xi ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , 15; x1 + · · · + x15 = 5}.
Иными словами, V – это произвольный набор точек, координаты которых суть 0 или 1, причем единиц у
каждой точки
√ ровно 5. Допустим, |V | = 20. Соединим точки x, y ∈ V отрезком, если расстояние между
ними есть 10. Докажите, что все наши точки можно так раскрасить в 6 цветов, чтобы концы любого
отрезка были разноцветными.
Определение 2. Пусть l < k. Положим величину M (n, k, l) равной минимальному количеству таких k–
элементных подмножеств множества [n], что любое l–элементное подмножество [n] целиком содержится
хотя бы в одном из них.
6. Найдите а) M (n, k, 1). б) M (n, 3, 2).
Указание. Ответ зависит от делимости на 6. Тривиальная верхняя оценка - смотри след задачу (Cn2 /3).
Она достигается, когда n = 6k + 3. Конструкция следующая. Разобьем 6k на три группы по 2k – S1 , S2 , S3 ,
и единообразно занумеруем элементы в каждой группе от 1 до 2k + 1. В качестве треугольников возьмем
следующие тройки: 1. Тройки из элементов с одинаковым номером из разных групп. 2. Тройки, у которых
два элемента в одной группе (скажем, S1 ) а один элемент в группе со следующим номером (здесь S2 ), у
которого номер это полусумма по модулю 2k номеров двух предыдущих элементов.
l
7. а) Докажите, что M (n, k, l) > CCnl . б) Докажите, что M (n, k, l) > nk M (n − 1, k − 1, l − 1).
k
Пусть X — произвольное множество, R — совокупность его подмножеств.
Проекцией множества A ⊂ X на R называется набор подмножеств P (A) = {R ∩ A|R ∈ R}.
Размерность Вапника-Червоненкиса.
Определение 3. Размерностью Вапника-Червоненкиса пары (X, R) называется максимальное n такое,
что существует A: |A| = n, P (A) = 2A , либо ∞, если максимума не существует. Обозначение V C(X, R).
Теорема 1. Пусть H — множество всех полупространств в Rn . Тогда V C(Rn , H) = n + 1.
8. Существует ли (R2 , R) такое что, V C(X, R) = ∞, где а) R может быть любым; б) R — счётная
совокупность ограниченных множеств?
9. а) Найти размерность V C([9], R), где R = {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}, {1, 4, 7}, {2, 5, 8}, {3, 6, 9},
{1, 6, 9}. б) Можно ли добавить ещё одно множество так, чтобы V C увеличилась на 1?
с6-с8
Системы общих представителей.
Страница 2
Система различных представителей.
Определение 4. Системой различных представителей системы S (не обязательно различных) множеств
Si , i = 1, . . . , m,
Si ⊂ [n] называется последовательность xi , i = 1, . . . , m, различных элементов множества [n] таких, что
xi ∈ S i .
10. Докажите, что у системы S есть система различных представителей тогда и только тогда, когда
∀I ⊂ [m] |∪i∈I Si | > |I|.
11. Пусть дана совокупность подмножеств M = M1 , . . . , Ms множества [n]. Пусть мощность каждого
множества совокупности равняется m, а каждый элемент [n] входит ровно в l множеств. Если m > l, то у
совокупности есть с.р.п.
12. Какое минимальное количество ребер можно удалить из графа Kn,n , чтобы не осталось совершенных
паросочетаний?