35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные
пространства
§ 35. Скалярное произведение
в векторном пространстве
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук,
кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Пространство со скалярным произведением
Напомним, что если α ∈ C, то через α обозначается число, комплексно
сопряженное к α (см. § 5).
Определения
Пусть F — одно из полей R и C, а V — векторное пространство над F .
Пространство V называется пространством со скалярным произведением,
если задано отображение из V × V в F , которое любой упорядоченной
паре векторов x, y ∈ V ставит в соответствие число из F , называемое
скалярным произведением этих векторов и обозначаемое через xy или
(x, y), так, что выполнены следующие условия, называемые аксиомами
скалярного произведения:
1) для любых x, y ∈ V : xy = yx;
2) для любых x, y ∈ V и любого α ∈ F : (αx)y = α(xy);
3) для любых x, y, z ∈ V : (x + y)z = xz + yz (скалярное произведение
дистрибутивно относительно сложения векторов);
4) для любого x ∈ V : xx > 0, причем xx = 0 тогда и только тогда, когда
x = 0.
Пространство со скалярным произведением называется евклидовым, если
F = R, и унитарным, если F = C.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Комментарии к определению скалярного произведения
Как и «обычное» скалярное произведение в трехмерном
пространстве, рассматривавшееся в § 11, скалярное произведение в
векторном пространстве не является алгебраической операцией (в
смысле определения операции из § 4), поскольку его результатом
является число, а не вектор.
Если F = R, то аксиома 1) означает, что xy = yx. Иными словами,
скалярное произведение в евклидовом пространстве коммутативно.
Хотя для комплексного числа α соотношение α > 0, вообще говоря,
не имеет смысла (поскольку на множестве всех комплексных чисел
нет естественного отношения порядка), аксиома 4) имеет смысл не
только в евклидовом, но и в унитарном пространстве. В самом деле,
из аксиомы 1) вытекает, что xx = xx, и потому xx ∈ R для любого
x ∈ V даже в случае, когда F = C.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Примеры пространств со скалярным произведением (1)
Пример 1. Множество всех векторов обычного трехмерного пространства с
обычным скалярным произведением (см. § 11) является евклидовым
пространством, так как все аксиомы 1)–4) в этом случае выполнены. То
же самое можно сказать и о множестве всех векторов на плоскости с
обычным скалярным произведением.
Следующий пример, в сочетании с примером 1, показывает, что в одном и
том же векторном пространстве скалярное произведение можно вводить
разными способами.
Пример 2. На множестве всех векторов на плоскости введем следующую
операцию •: если векторы ~x и ~y этой плоскости имеют в некотором базисе
координаты (x1 , x2 ) и (y1 , y2 ) соответственно, то
~x • ~y = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 .
Несложно проверить, что все аксиомы евклидова пространства будут при
этом выполнены, и потому множество векторов на плоскости с указанной
операцией является евклидовым пространством.
Пример 3. Ясно, что нулевое векторное пространство над полем R
[соответственно C] станет евклидовым [унитарным], если мы определим
скалярное произведение правилом 0 · 0 = 0.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Примеры пространств со скалярным произведением (2)
Пример 4. Рассмотрим векторное пространство R[x] всех многочленов над
полем R. Для произвольных многочленов f , g ∈ R[x] положим
R1
(f , g ) = f (t)g (t)dt. Нетрудно убедиться, что эта операция удовлетворяет
0
аксиомам 1)–4). Это означает, что R[x] превращается в евклидово
пространство. Точно таким же образом можно ввести скалярное
произведение в пространстве всех многочленов степени 6 n над полем R.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Примеры пространств со скалярным произведением (3)
Следующий пример показывает, что операцию скалярного произведения
можно ввести в произвольном конечномерном векторном пространстве
над полем R или C.
Пример 5. Пусть V — произвольное ненулевое конечномерное векторное
пространство над полем R или C, а b1 , b2 , . . . , bn — его базис. Пусть
x, y ∈ V . Обозначим координаты векторов x и y в базисе b1 , b2 , . . . , bn
через (α1 , α2 . . . , αn ) и (β1 , β2 , . . . , βn ) соответственно. Положим
xy = α1 β1 + α2 β2 + · · · + αn βn .
(1)
Простая проверка показывает, что аксиомы 1)–4) в этом случае также
выполняются. Следовательно, пространство V с введенной операцией
является пространством со скалярным произведением. Если V —
пространство над R, то равенство (1) можно переписать в более простом
виде:
xy = α1 β1 + α2 β2 + · · · + αn βn .
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Простейшие свойства пространств со скалярным произведением
Укажем несколько простых следствий из аксиом скалярного произведения.
Аксиома 2) утверждает, что скалярный множитель можно выносить за
скобки от первого сомножителя. В действительности, его можно выносить
и от второго сомножителя, но при этом его надо сопрягать. Более точно,
x(αy) = α(xy)
(2)
для любых x, y ∈ V и α ∈ F . В самом деле, используя аксиомы 1) и 2) и
свойства комплексно сопряженных чисел (см. § 5), имеем
x(αy) = (αy)x = α(yx) = α · yx = α · xy = α(xy).
Если F = R, то формула (2) принимает более простой вид: x(αy) = α(xy).
Аналогичное замечание можно сделать об аксиоме 3): скалярное
произведение дистрибутивно относительно сложения не только по
первому, но и по второму аргументу. В самом деле, используя аксиомы 1)
и 3), имеем
x(y + z) = (y + z)x = yx + zx = yx + zx = xy + xz = xy + xz.
Далее, для любого вектора x ∈ V выполнены равенства
0 · x = x · 0 = 0,
поскольку 0 · x = (0 · x)x = 0 · (xx) = 0 и x · 0 = 0 · x = 0 = 0.
Б.М.Верников
(3)
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Ослабленный закон сокращения
Следующее утверждение как по формулировке, так и по доказательству,
вполне аналогично ослабленному закону сокращения для скалярного
произведения в обычном пространстве (см. § 11).
Ослабленный закон сокращения в пространстве со скалярным
произведением
Если V — пространство со скалярным произведением, а векторы a, b ∈ V
таковы, что для любого вектора x ∈ V выполняется равенство ax = bx, то
a = b. То же заключение верно, если для любого вектора x ∈ V
выполняется равенство xa = xb.
Доказательство. Докажем первое утверждение. Из условия вытекает, что
(a − b)x = 0 для любого x ∈ V . В частности, (a − b)(a − b) = 0. В силу
аксиомы 4) отсюда вытекает, что a − b = 0, т. е. a = b. Второе
утверждение доказывается аналогично.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Длина вектора
Определение
Скалярное произведение вектора x на себя называется скалярным
квадратом вектора x и обозначается через x2 .
Аксиома 4) позволяет дать следующее
Определение
Длиной вектора x называется число
√
xx, обозначаемое через |x|.
Это определение представляется естественным, так как в обычном
пространстве длина вектора также равна корню квадратному из его
скалярного квадрата (см. § 11). Как мы увидим ниже, на пространства со
скалярным произведением переносятся и многие другие свойства,
связанные с длинами векторов в обычном пространстве. В частности,
легко понять, что если α ∈ F , то
|αx| = |α| · |x|.
(4)
В самом деле, αα = |α|2 (см. § 5), и потому
p
p
p
p
√
|αx| = (αx)(αx) = αα(xx) = |α|2 (xx) = |α|2 · xx = |α| · |x|.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Орт вектора
Отсюда вытекает, что, как и в обычном пространстве (см. § 10),
справедливо
Замечание об орте вектора
Если x 6= 0, то длина вектора
x
|x|
равна 1.
Доказательство. Используя (4), имеем
1
x 1
1
=
·
x
|x| |x| = |x| · |x| = |x| · |x| = 1,
что и требовалось доказать.
Определение
Если x 6= 0, то вектор
x
|x|
называется ортом вектора x.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Неравенство Коши–Буняковского (1)
Теорема о модуле скалярного произведения
Пусть V — пространство со скалярным произведением над полем F и
x, y ∈ V .
1) Выполнено неравенство
|xy| 6 |x| · |y|.
(5)
2) Равенство |xy| = |x| · |y| имеет место тогда и только тогда, когда
векторы x и y линейно зависимы.
Неравенство (5) называется неравенством Коши–Буняковского.
Доказательство. 1) Из (3) вытекает, что если y = 0, то обе части
неравенства (5) равны нулю и потому неравенство выполняется. Поэтому
далее можно считать, что y 6= 0, и, в силу аксиомы 4), yy > 0. Рассмотрим
вектор x − αy, где α ∈ F . По аксиоме 4) (x − αy)(x − αy) > 0. Раскрывая
скобки и используя аксиому 1) и равенство (2), получаем неравенство
xx − αyx − αxy + ααyy > 0.
Б.М.Верников
(6)
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Неравенство Коши–Буняковского (2)
Подставим в (6) вместо α число
xy
.
yy
Получим
xy
xy
xy xy
xy · yx
· yx −
· xy +
·
· yy = xx −
=
yy
yy
yy yy
yy
|xy|2
xy · xy
= xx −
.
= xx −
yy
yy
0 6 xx −
2
Итак, |xy|
6 xx. Домножая обе части этого неравенства на положительное
yy
число yy, имеем |xy|2 6 xx · yy. Заменяя в последнем неравенстве xx на |x|2
и yy на |y|2 и извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства,
получаем (5).
2) Если векторы x и y линейно независимы, то x − αy 6= 0 для всякого α и
вместо неравенства (6) можно записать неравенство
xx − αyx − αxy + ααyy > 0.
После этого во всех последующих неравенствах можно заменить нестрогое
неравенство на строгое и вместо (5) получить неравенство |xy| < |x| · |y|.
Таким образом, если в (5) имеет место равенство, то x и y линейно
зависимы. Докажем обратное утверждение. Пусть x и y линейно
зависимы, т. е. αx + βy = 0 для некоторых чисел α, β ∈ F , по крайней
мере одно из которых не равно 0.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Неравенство Коши–Буняковского (3)
Без ограничения общности можно считать, что α 6= 0. Тогда x = γy, где
β
γ = −α
. Используя (4), имеем
|xy| = (γy)y = γ(yy) = |γ| · |yy| = |γ| · |y| · |y| = |γy| · |y| = |x| · |y|.
Теорема доказана.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Угол между векторами
Предположим, что пространство V евклидово. В этом случае, если
x, y 6= 0, то неравенство Коши–Буняковского равносильно тому, что
−1 6
xy
6 1.
|x| · |y|
Это делает корректным следующее определение.
Определение
Углом между ненулевыми векторами x и y евклидова пространства
называется наименьший угол ϕ такой, что
cos ϕ =
xy
.
|x| · |y|
Угол между нулевым вектором и любым другим вектором не определен.
cy).
Угол между векторами x и y обозначается через (x,
Отметим, что формула для вычисления косинуса угла между векторами в
евклидовом пространстве полностью аналогична соответствующей
формуле для векторов в обычном пространстве (см. § 11).
В унитарном пространстве понятие угла между векторами не
определено.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Неравенство Минковского (1)
Из теоремы о модуле скалярного произведения вытекает
Следствие о длине суммы векторов
1) Для произвольных векторов x и y из пространства со скалярным
произведением выполнено неравенство
|x + y| 6 |x| + |y|.
(7)
2) Если векторы x и y линейно независимы, то |x + y| < |x| + |y|.
Доказательство. 1) Число (x + y)(x + y) действительно и неотрицательно.
Следовательно, оно совпадает со своим модулем. Поскольку |α| = | α | для
любого α ∈ C (см. § 5), из аксиомы 1) вытекает, что |xy| = |yx|. Используя
эти факты, свойство 3) модуля комплексных чисел (см. § 5) и теорему о
модуле скалярного произведения, имеем
|x + y|2 = (x + y)(x + y) = |(x + y)(x + y)| = |xx + xy + yx + yy| 6
6 |xx| + |xy| + |yx| + |yy| = |x|2 + 2|xy| + |y|2 6
2
6 |x|2 + 2|x| · |y| + |y|2 = |x| + |y| .
2
Мы видим, что |x + y|2 6 |x| + |y| . Извлекая из обеих частей этого
неравенства квадратный корень, получаем неравенство (7).
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Неравенство Минковского (2)
2) Если векторы x и y линейно независимы, то, в силу теоремы о модуле
скалярного произведения, |xy| < |x| · |y|. Заменяя в проведенных выше
выкладках нестрогое неравенство на строгое, получаем, что в этом случае
|x + y| < |x| + |y|.
Неравенство (7) называется неравенством Минковского. Оно обобщает
известный факт из элементарной геометрии, называемый неравенством
треугольника: сумма длин двух сторон треугольника больше длины
третьей стороны. Поэтому неравенство (7) называют также неравенством
треугольника.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Расстояние между векторами
Определение
Расстоянием между векторами x и y в пространстве со скалярным
произведением называется длина вектора x − y. Оно обозначается через
ρ(x, y).
Отметим, что приведенное определение естественно. В самом деле,
предположим, что мы рассматриваем обычное пространство с обычным
скалярным произведением векторов. Представим себе, что все векторы
откладываются от начала координат, и отождествим вектор с точкой,
являющейся его концом. Тогда расстояние между двумя точками есть
длина вектора, соединяющего их концы, т. е. длина разности векторов,
соответствующих этим двум точкам (см. рис. 1).
As
~y
|AB| = | ~x − ~y |
~x
sB
s
O
Рис. 1. Расстояние между точками
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Свойства расстояния между векторами
Замечание о расстоянии между векторами
Если x, y и z — произвольные векторы из пространства со скалярным
произведением, то:
1) ρ(x, x) = 0;
2) ρ(x, y) = ρ(y, x);
3) выполнено неравенство
ρ(x, y) + ρ(y, z) > ρ(x, z).
(8)
Доказательство. Свойства 1) и 2) очевидны. Докажем свойство 3).
Используя неравенство Минковского, имеем
ρ(x, z) = |x − z| = (x − y) + (y − z) 6 |x − y| + |y − z| = ρ(x, y) + ρ(y, z).
Замечание доказано.
Неравенство (8) можно рассматривать как еще одно обобщение
упоминавшегося выше неравенства треугольника из элементарной
геометрии.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Матрица Грама и вычисление скалярного произведения (1)
Определение
Пусть V — пространство со скалярным произведением, а
A = {a1 , a2 , . . . , am } — система векторов из V . Матрицей Грама системы
векторов A называется квадратная матрица GA = (aij ) порядка m,
определяемая правилом: aij = ai aj для всех i, j = 1, 2, . . . , m.
Это понятие имеет многочисленные приложения. Два из них будут указаны
в оставшейся части данного параграфа, а некоторые другие — в § 37. Нам
понадобится одно новое обозначение: для произвольной
матрицы
B = (bij ) над полем C мы полагаем B = bij . Как показывает следующее
утверждение, знание матрицы Грама системы базисных векторов в
пространстве со скалярным произведением позволяет вычислить
скалярное произведение любых двух векторов из этого пространства.
Предложение о матрице Грама и скалярном произведении
Пусть V — пространство со скалярным произведением, C — базис в V , а
x, y ∈ V . Тогда
xy = [x]⊤
(9)
C · GC · [y]C .
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Матрица Грама и вычисление скалярного произведения (2)
Уточним, что в формуле (9) мы отождествляем число xy и квадратную
матрицу 1-го порядка [x]⊤
C · GC · [y]C , единственным элементом которой
является это число.
Доказательство. Положим C = {c1 , c2 , . . . , cn }. Обозначим координаты
векторов x и y в базисе C через (x1 , x2 , . . . , xn ) и (y1 , y2 , . . . , yn )
соответственно. Для того, чтобы вычислить произведение [x]⊤
C · GC · [y]C ,
найдем сначала произведение [x]⊤
C · GC , а затем умножим эту матрицу на
[y]C . Матрица [x]⊤
C · GC имеет размер 1 × n, т. е. является строкой длины n,
i-й элемент которой (для всякого i = 1, 2, . . . , n) равен
x1 c1 ci + x2 c2 ci + · · · + xn cn ci .
Произведение этой матрицы на матрицу [y]C — это квадратная матрица
1-го порядка, т. е., по сути дела, число.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Матрица Грама и вычисление скалярного произведения (3)
Вычислим это число, используя (2):
[x]⊤
C · GC · [y]C =
=
=
n
X
i =1
n
X
i =1
n
X
(x1 c1 ci + x2 c2 ci + · · · + xn cn ci )yi =
(x1 yi c1 ci + x2 yi c2 ci + · · · + xn yi cn ci ) =
(x1 c1 )(yi ci ) + (x2 c2 )(yi ci ) + · · · + (xn cn )(yi ci ) =
i =1
=
=
n
X
i =1
n
X
i =1
(x1 c1 + x2 c2 + · · · + xn cn )(yi ci ) =
x(yi ci ) = x ·
n
X
yi ci = xy.
i =1
Предложение доказано.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Матрица Грама и линейная независимость (1)
Следующее утверждение показывает, что матрицу Грама можно
использовать для выяснения вопроса о линейной зависимости или
независимости данной системы векторов.
Критерий линейной независимости на языке матрицы Грама
Пусть V — пространство со скалярным произведением. Система векторов
A = {a1 , a2 , . . . , am } из V линейно независима тогда и только тогда, когда
матрица Грама этой системы невырожденна.
Доказательство. Достаточность. Предположим, что система A линейно
зависима, т. е. t1 a1 + t2 a2 + · · · + tm am = 0 для некоторых скаляров
t1 , t2 , . . . , tm , не все из которых равны 0. Умножая это равенство
последовательно на a1 , на a2 , . . . , на am и учитывая определение матрицы
GA = (aij ), получаем следующий набор равенств:

t1 a11 + t2 a21 + · · · + tm am1 = 0,



t1 a12 + t2 a22 + · · · + tm am2 = 0,
(10)
....................................



t1 a1m + t2 a2m + · · · + tm amm = 0.
Обозначим через g1 , g2 , . . . , gm векторы-строки матрицы GA . Систему
равенств (10) можно переписать в виде
t1 g1 + t2 g2 + · · · + tm gm = 0.
Б.М.Верников
(11)
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Матрица Грама и линейная независимость (2)
Таким образом, векторы-строки матрицы GA линейно зависимы.
Следовательно, ранг этой матрицы по строкам меньше m. По теореме о
ранге матрицы (см. § 27) ее ранг по минорам также меньше m.
Следовательно, матрица GA вырожденна.
Необходимость. Предположим, что матрица GA вырожденна.
Следовательно, ранг этой матрицы по минорам меньше m. По теореме о
ранге матрицы ее ранг по строкам также меньше m. Это означает, что
векторы-строки матрицы GA линейно зависимы, т. е. для некоторых
скаляров t1 , t2 , . . . , tm , не все из которых равны 0, выполнено равенство
(11), а значит и набор равенств (10). С учетом определения матрицы GA ,
этот набор равенств можно переписать в виде

t1 a1 a1 + t2 a2 a1 + · · · + tm am a1 = 0,



t1 a1 a2 + t2 a2 a2 + · · · + tm am a2 = 0,
........................................



t1 a1 am + t2 a2 am + · · · + tm am am = 0.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве
Матрица Грама и линейная независимость (3)
В свою очередь, эти равенства можно переписать в виде

(t1 a1 + t2 a2 + · · · + tm am )a1 = 0,



(t1 a1 + t2 a2 + · · · + tm am )a2 = 0,
....................................



(t1 a1 + t2 a2 + · · · + tm am )am = 0.
Положив x = t1 a1 + t2 a2 + · · · + tm am , получим xa1 = xa2 = · · · = xam = 0.
Для всякого i = 1, 2, . . . , m умножим равенство xai = 0 на ti и сложим
полученные равенства. Используя (2), получим:
0 = t1 (xa1 ) + t2 (xa2 ) + · · · + tm (xam ) =
= x(t1 a1 ) + x(t2 a2 ) + · · · + x(tm am ) =
= x(t1 a1 + t2 a2 + · · · + tm am ) = xx.
Итак, xx = 0. В силу аксиомы 4) t1 a1 + t2 a2 + · · · + tm am = x = 0, т. е.
система A линейно зависима.
Б.М.Верников
§ 35. Скалярное произведение в векторном пространстве