Геометрия 9 класс_Скалярное произведение векторов в

Урок геометрии
9 класс
Тема: «Скалярное произведение векторов в
координатах.
Свойства скалярного произведения»
Санкт-Петербург 2011-2012гг.
Цели урока:
Образовательные: ввести понятие скалярного произведения векторов в
координатах, закрепить формулы скалярного произведения векторов при
решении задач
Развивающие: развивать навыки самостоятельной работы; развивать логическое
мышление, умение оперировать изученным материалом, умение решать
проблемы
Воспитательные: воспитывать познавательную активность ученика; умение
работать с информацией; принимать самостоятельные решения
Используемые образовательные технологии: проблемное обучение, технология
дистанционного обучения, игровые технологии
Оборудование: компьютер, карточки
Ход урока
I. Актуализация опорных знаний
Математический диктант
1. Известно, что 𝑏⃗ = 2𝑖 - 𝑗, где 𝑖 и 𝑗 – координатные векторы. Выпишите
координаты вектора 𝑐.
2. Найдите длину вектора 𝑐.
3. Даны векторы 𝑎 (5;-3) и 𝑏⃗ (-1;2). Найдите координаты вектора 𝑐 = 3𝑎 + 𝑏⃗.
4. Найдите сторону BC ∆ABC, если AB = 2; AC = 3;  A = 60°.
II. Изучение нового материала
(Карточка № 1) Скалярное произведение векторов 𝑎 {𝑥1 ; 𝑦1 } и 𝑏⃗ {𝑥2 ; 𝑦2 }
выражается формулой 𝑎, 𝑏⃗ = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 .
1. Сравнить формулы:
̂
𝑎, 𝑏⃗ = |𝑎||𝑏⃗ |- cos (𝑎, 𝑏⃗ )
𝑎𝑏⃗ = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
2. Пусть 𝑎 ≠ 0; 𝑏⃗ ≠0, векторы 𝑎 и 𝑏⃗ не коллинеарные. Отложить векторы 𝑎 и 𝑏⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗.
от точки O. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = 𝑎; 𝑂𝐵
3. Запишите, чему равна сторона AB треугольника AOB по теореме косинусов.
B
𝑏⃗
O
A
𝑎
4. Верно ли это равенство для коллинеарных векторов?
⃗⃗⃗⃗⃗ .
5. Выразите вектор ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 через разность векторов ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 и 𝑂𝐵
6. Найдите скалярный квадрат вектора 𝑎–𝑏⃗.
7. Выразите скалярное произведение векторов 𝑎 и 𝑏⃗ из полученного равенства в
п.6.
8. Подставьте в это выражение вместо длин векторов их длины, выраженные в
координатах.
9. Преобразуйте выражение.
10. Что получилось?
11. Проверь себя (карточка № 2)
Карточка № 2
3. 𝐴𝐵2 = 𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 – 2OA ∙ OB cos𝛼
⃗⃗⃗⃗⃗ – ⃗⃗⃗⃗⃗
5. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵
𝑂𝐴 = 𝑏⃗ – 𝑎
6. |𝑎 − 𝑏⃗|2 = |𝑎|2 + |𝑏⃗|2 – 2𝑎 ∙ 𝑏⃗
1
7. 𝑎 ∙ 𝑏⃗ = (|𝑎|2 + |𝑏⃗|2 – |𝑎 − 𝑏⃗|2 )
2
1
8. 𝑎 ∙ 𝑏⃗ = (𝑥12 + 𝑦12 + 𝑥22 + 𝑦22 – |(𝑥1 – 𝑥2 )2 + (𝑦1 – 𝑦2 )2 | =
2
– (𝑥12 – 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥22 + 𝑦12 – 2𝑦1 𝑦2 + 𝑦22 )) =
1
1
2
𝑎 ∙ 𝑏⃗ = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
2
(𝑥12 + 𝑦12 + 𝑥22 + 𝑦22 –
(𝑥12 + 𝑦12 + 𝑥22 + 𝑦22 – 𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 – 𝑥22 –
– 𝑦12 + 2𝑦1 𝑦2 – 𝑦22 ) = (2𝑥1 𝑥2 + 2𝑦1 𝑦2 ) = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
2
1
Задача 1.
Известно, что не нулевые векторы 𝑎 {𝑥1 ; 𝑦1 } и 𝑏⃗ {𝑥2 ; 𝑦2 } – перпендикулярны.
Найдите 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 .
(Задача решается самостоятельно. )
Задача 2.
̂
Дано: 𝑎 {𝑥1 ; 𝑦1 }; 𝑏⃗ {𝑥2 ; 𝑦2 }; (𝑎, 𝑏⃗ ) = 𝛼. Найти: cos𝛼.
(Задача решается самостоятельно.)
Из полученных формул сделать опорный конспект.
𝑎 {𝑥1 ; 𝑦1 }; 𝑏⃗ {𝑥2 ; 𝑦2 }
y
𝑎 {𝑥1 ; 𝑦1 }
𝑗
𝑖
x
0
𝑏⃗ {𝑥2 ; 𝑦2 }
𝑎 ∙ 𝑏⃗ = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
̂
cos (𝑎, 𝑏⃗ ) =
𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
√𝑥12 + 𝑦12 ∙ √𝑥22 + 𝑦22
III. Закрепление изученного материала
1. Вычислить скалярное произведение векторов 𝑎 {2; – 3}; 𝑏⃗ {– 1; 5}
1
2
2. Вычислить скалярное произведение векторов 𝑝 {– 3; } и 𝑞 {– ; – 6}
2
3
3. Найти косинус угла между векторами 𝑚
⃗⃗ {– 𝑥; 𝑦} и 𝑛⃗ {𝑦; 𝑥}
1
⃗ {−8; 𝑦}.При каком значении y векторы
4. Даны векторы 𝑒 {– ; 1} и 𝑘
8
перпендикулярны.
5. Даны векторы 𝑐 {– 1; 4} и 𝑑 {𝑥; – 2}. При каком значении x векторы
перпендикулярны.
6. Найдите косинус угла между векторами 𝑓 {4; – 3} и 𝑝 {3; – 4}
7. Вычислить скалярное произведение векторов 𝑒 и 𝑚
⃗⃗ , если |𝑒| = 2; |𝑚
⃗⃗ | = 5 и
угол между ними равен 120°.
Расшифруйте слово, используя полученные ответы
О
-1
Е
0,96
М
-17
Ц
-5
Д
-8
Л
0
IV. Итоги урока
1. Что нового узнали на уроке?
2. Достигнуты ли цели урока?
V. Домашнее задание
1.п. 103, стр. 266-267.
2.Выписать свойства скалярного произведения.
3.Решить № 1044, 1045, 1047