[2] Лекции Капустина (2006)

§5 Пространство Lp
Пусть E - измеримое множество, число p  1
Определение 1. Множество всех измеримых на E функций f(x), для которых функции
p
f(x) суммируемы на E, называется пространством Lp(E).
Норма в пространстве Lp(E) вводится по формуле f(x)
Lp(E)
 f(x)
 (  f(x) dx )1/p .
p
p
E
Если f(x)
p
 0 , то f(x) ~ 0, поэтому в этом пространстве элементы считаются равными,
если они эквивалентны. Остается проверить аксиому треугольника для таким образом
введенной нормы. В случаи = 1 это очевидно, в случаи p > 1 сначала докажем
неравенство Гельдера, а затем неравенство Минковского.
Если p > 1, число q связано с числом p по формуле
1 1
  1, f(x)  Lp(E), g(x)  Lp(E) , то функция f(x)g(x) суммируема на E и справедливо
p q
неравенство Гельдера.
 f(x)g(x) dx 
f(x)
Lp(E)
g(x)
Lp(E)
.
E
Для доказательства введем в рассмотрение на множестве x > 0 функцию
 (x)  x α  αx, α  (0,1) . Производная  ' (x)  αx α1  α  α(x α1  1) функции  (x) больше
нуля при x  (0,1) и меньше нуля при x > 1. Следовательно, функция  (x ) достигает
максимума при x = 1. Запишем неравенство  ( x)   (1) в виде x α  αx  1  α и положим
a
x  , где a  0, b  0 . Получим соотношение a α  b1α  αa  (1  α) , справедливо для всех
b
1
1
чисел
. Если α  , то 1  α  ; В результате выведем неравенство Юнга
p
q
a
1
p

0, b

0
1
q
a b
 .
p q
В случаях f(x) ~ 0 или g(x) ~ 0 неравенство Гельдера очевидно. Пусть f(x) ~ 0, g(x) ~ 0,
p
q
f(x)
g(x)
положим a 
. В результате неравенство Юнга примет вид
,b 
p
q
f(x) p
g(x) q
a b 
q
 f(x) p
g(x) 

f(x)g(x)  f(x) p g(x) q 

.
 p f(x) p q g(x) q 
p
q 

Правая часть соотношения суммируема на множестве E, поэтому в силу мажорантного
признака суммируема на E и левая часть, то есть функция f(x)g(x). Интеграл от функции,
стоящий в скобках в правой части, равен единице. В итоге неравенство Гельдера доказано.
p
Если p  1, f(x), g(x)  Lp(E) , то функция f(x)  g(x) суммируема на множестве E и
справедливо неравенство Минковского f(x)  g(x)
Lp(E)
 f(x)
Lp(E)
 g(x)
Lp(E)
.
Суммируемость функций f(x)  g(x) вытекает из очевидного неравенства
p
a  b  2 p ( a  b ) , справедливо для любых чисел a и b. Также мы отметили
p
p
p
справедливость неравенства Минковского при p = 1. Проведем доказательство для случая
p > 1, воспользуемся неравенством Гельдера.
p/q
Если f(x)  g(x)  Lp(E) , то f(x)  g(x)  Lp(E)
Запищим сначала неравенство Гельдера, заменив функцию g(x) на f(x)  g(x)
 f(x) f(x)  g(x)
p/q
dx  f(x)
Lp(E)
f(x)  g(x)
Lp(E)
p/q
,
, а затем f(x) на g(x),а g(x) снова на
E
f(x)  g(x)
p/q
,
 g(x) f(x)  g(x)
p/q
dx  g(x)
Lp(E)
f(x)  g(x)
Lp(E)
E
Используя выведенные соотношения в следующей цепочке неравенств
f(x)  g(x)

p
  f(x)  g(x) dx    f(x)  g(x) f(x)  g(x)
p
Lp(E)
E
 f(x)  g(x)
p/q
dx 
E
1
 1 , из выведенной
p
оценки получим неравенство Минковского, которое и подтверждает справедливость
аксиомы треугольника в пространстве Lp(E)
 f(x)
Lp(E)
 g(x)
Lp(E)
p/q
Lp(E)
Учитывая равенство p 
Последовательность { f n } элементов нормированного пространства называется
фундаментальной, если числовая последовательность f m  f n стремится к нулю при
m, n   . Последовательность { f n } элементов нормированного пространства называется
сходящейся, если в этом пространстве существует элемент а такой, что lim f n  f  0 .
n 
Определение 2. Нормированное пространство называется полным(банаховым), ели любая
фундаментальная последовательность в этом пространстве является сходящийся.
Теорема 1. Пространство Lp(E), E  , p  1 , является полным(банаховым)
пространством.
Доказательство. Пусть {f n (x)} - произвольная фундаментальная последовательность в
Lp(E). Для любого натурального числа k существует номер n k такой, что для всех
1
m  n k , n  n k выполняется неравенство f m(x)  f n(x)  k . Можно считать, что
2
1
n 1  n 2  n 3  ... , тогда f n k 1 (x)  f n k (x)  k . В силу неравенства Гельдера:
2
1
 q q
1 1/q
f
(x)

f
(x)
dx

f
(x)

f
(x)
1 dx   k E .

n
n k 1
n
E n k 1

p
2
E

Из этого соответствия следует оценка


1
1/q
1/q
f
(x)

f
(x)
dx

E
 E , которая по теореме 8(Б.Леви) из §4 гарантирует


n k 1
n
k

k 1 E
k 1 2

сходимость почти всюду на E ряду
f
k 1


n k 1
(x)  f n (x) и тем более ряда

f n1 (x)   f n k 1 (x)  f n k (x) . Но это означает, что какая то частичная сумма этого ряда,
k 1
равна f n k 1 (x) сходится почти всюду на E к некоторой функции f(x). Далее, для любы
ε  0 существует номер N такой, что для всех номеров m  N, n k  N выполняется
неравенство f m (x)  f n k (x)
p


 ε , а поскольку последовательность f m (x)  f n k (x) сходится


почти всюду на E к функции f m (x)  f (x) при k   , то по теореме 9(Фату) из §4
f
m

(x)  f (x)  Lp(x) и выполняется неравенство f m (x)  f (x)
p
 ε для всех m  N .
Отсюда в силу неравенства Минковского следует принадлежность функции f(x)
пространству Lp(E) и сходимость последовательности { f n (x)} к функции f(x) в метрике
Lp(E). Теорема доказана.
Измеримая функция F(x) на измеримом множестве E называется простой, если она
принимает f(x) = C k , если x  E k , причем C k может быть равным   .
1, x  E
Характеристической функцией множества E называется функция χ E (x)  
.
0, x  E

Очевидно, что всякая простая функция f(x) имеет вид f(x)   C k χ E n (x) ,причем в этой
k 1
сумме при каждом x отличном от нуля лишь одно слагаемое. Ясно, что функция
χ E (x) измерима тогда и только тогда, когда множество E-измеримо.
Лемма 1. Для любой на измеримом множестве E неотрицательной f(x) существует
неубывающая последовательность {f n (x)} простых неотрицательных функций f n (x) таких,
что lim f n (x)  f(x) в каждой точке x множества E, причем сходимость равномерная на
n 
множестве конечных значений функции f(x).
k  1
k
Доказательство. Введем в рассмотрение множество E (n)
,
k  E  n  f(x) 
2 n 
2
n = 1,2,…, k =0,1,2,…, E 0  Ef(x)   . Ясно, что при любом натуральном n множество E
представимо в виде объединения попарно не пересекающихся множеств


k
, если x  E (n)
E   E (n)
k   E 0 . Определим f n (x) следующим образом: f n (x) 
k , если
n
2
k  0

( n 1)
 E 2( nk 11) , так как
f n (x)  f(x) на E 0 . При переходе от n к (n+1) множество E (n)
k  E2k
 k k  1   2k 2k  1   2k  1 2k  2 
(n 1)
 2n , 2n    2n 1 , 2n 1    2n 1 , 2n 1  . На множестве E 2k выполняется равенство
2k
2k  1 k
1
1
f n 1 (x)  n 1  f n (x) , а на E (n2k1)1 : f n 1 (x)  n 1  n  n 1  f n (x)  n 1  f n (x) . Кроме
2
2
2
2
2
1
этого справедливо соответствие 0  f(x) - f n ( x)  n для всех точек x  E \ E 0 . Лемма
2
доказана.
Следствие. Последовательность {g n (x)} , в которой функции g n (x) определяются
 f ( x), f n ( x)  n,
по формуле g n (x)   n
обладает свойством: lim g n (x)  f(x) для любой точки
n 
 n, f n ( x)  n,
x  E , g n (x) 
m( n)
C 
k 1
k
Ek
( x) , по равномерной сходимости на E \ E0 может и не быть.
Теорема 2. Пусть E-ограниченное измеримое множество, p  1 . Тогда
пространство непрерывных на E функций С(E) плотно в Lp(E).
Доказательство. Необходимо доказать, что для любой функции f (x)  Lp(E) и для
любого числа ε  0 найдется непрерывная на E функция  (x ) такая, что f(x)   (x) p  ε .
Так как f(x)  f  (x)  f  (x) , то теорему достаточно доказать для случая f n (x)  0 .
Принадлежность f(x) классу Lp(E) означает, что функция f(x) почти всюду конечна на E и
множеством E0  Ef(x)   можно пренебречь. В силу следствия к лемме 1 существует
неубывающая последовательность f n (x)  простых неотрицательных функций f n (x)
превращающих каждое число значение такое, что lim f n (x)  f(x)  Lp(E) . Поэтому
n 
согласно теореме 8(Б. Леви) из §4 для любого ε  0 найдется номер N такой, что для всех
n  N выполняется равенство f n (x)  f(x)
p
 ε . Таким образом достаточно установить
существование функции  ( x)  C ( E ), удовлетворяющий для любого ε  0 неравенству
f N (x)   (x)
m
p
 ε , для f N (x)   Ck  E k ( x) -произвольная простая функция, принимающая
k 1
конечное число значений.
Для каждого множества Ek существует, содержащийся в нем замкнутое множества
Fk , и такое, что Ek \ Fk  ε pk , где ε k -любое положительное число. При этом выполняется
соотношение χ E k (x)  χ Fk (x)
p
 E k \ Fk
1/p
 ε k . Обозначим через rk (x)  ρ(x, Fk ) -функцию
расстояния от точки x  E до множества Fk . Ясно, что функция rk (x) является непрерывной
на E. Характеристическую функцию множества Fk можно представить в виде
1, x  Fk

1

( n)
(n)
1
. Последовательность k(n) (x) не
Fk ( x)  lim k где k 

,
x

F
n 
k
1  nrk (x) 
1  nrk (x)
возрастает с номером n, причем справедливо соотношение χ Fk (x)   k(n)  1 , и в силу


теоремы 8(Б. Леви) из §4 будет выполнятся неравенство χ Fk (x)  k(n)  ε k , если n p
велико. Заметим, что все  (x) непрерывны на E и даже во всем R n .
(n)
k
m
Далее, определим функцию  (x)   C k k(n) (x) справедливо цепочка неравенств:
m

k 1
f N (X)   (x) p   Ck χ Fk (x)   k(n)  χ E k (x)  χ (n)
Fk
k 1
p
достаточно выбрать из неравенства 0   k 

  2 C ε
m
p
k 1
k
k
 ε , поэтому ε k
1
. Теорема доказана.
2
Теорема 3. (Непрерывность в метрике Lp). Пусть E - ограниченное измеримое
множеств, p  1 . Тогда любая функция f(x)  Lp(E) непрерывна в метрике Lp, то есть для
любого ε  0 найдется число   0 такое, что справедливо неравенство
f(x  h)  f(x) p  ε , ели h   , а функция f(x) считается продолженной нулем на все
K 1
Ck
пространство R n .
Доказательство.
Пусть множество E содержится в шаре B0 (R) радиуса R с центром в точке x = 0.
обозначим E1  B0 (R  1) и воспользуемся теоремой 2.Тогда для любого ε  0 существует
 (x)  C(E1 ) и даже по замечанию в тексте доказательства  (x)  C(E1 ) такая, что
ε
. Пусть h    1 ,тогда при x  E тоже x  h  E1 и справедлива
3
цепочка неравенств:
f(x  h)  f(x) Lp(E)  f(x  h)   (x  h) Lp(E)   (x  h)   (x) Lp(E)  f(x)   (x) Lp(E) 
f(x)   (x)
Lp(E1 )

1 / p
E
ε
ε
1/p
   (x  h)   (x) C( E ) E   ε . Неравенство  (x  h)   (x) C( E ) 
при
3
3
3
достаточно малых значениях h имеет место в силу равномерной непрерывности
непрерывной на E1 функции  (x ) . Теорема доказана.
§6 Метрические и нормированные пространства.
Определение 1. Множество M называется метрическим пространством, если
каждой паре его элементов x и y поставлены в соответствия
неотрицательное число  (x, y) , удовлетворяющее условиям:
1)  (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y(аксиома тождества);
2)  (x, y) =  (y, x) (аксиома симметрии);
3)  (x, z)   (x, y)   (y, z) (аксиома треугольника).
Число  (x, y) называется расстоянием между элементами x и y, а перечисленные
три условия - аксиомами метрики. Любое множество можно сделать метрическим
пространством, если ввести метрику по закону:  (x, y) = 0, если x = y,  (x, y) = 1,
если x  y .
Определение 2. последовательность x n  элементов метрического
множества M называется фундаментальной, если lim ρ(x m , x n ) = 0.
n 
m 
Последовательность x n  элементов метрического множества M называется
сходящейся, если существует x  M и такой, что Lim ρ(x n , x) = 0. Если
n 
последовательность x n  точек множества пространства M сходится к точке
 
x  M , то и любая подпоследовательность x n k последовательности x n 
сходится к этой же точке. Фиксируем произвольное число ε  0 . Ели ρ(x n , x)  ε для
n  N( ) , то и ρ(x n k , x)  ε для n k  N( ) .
Последовательность точек x n  метрического пространства M может
сходиться не более, чем к одному пределу. Пусть x n  x , yn  y . Тогда
ρ(x, y)  ρ(x n , x)  ρ(y, x n )  ε
при любом ε  0 для достаточно больших номеров n, но это возможно лишь в
случае  (x, y) = 0, то есть x = y.
Если последовательность x n  точек из метрического пространства M
сходится к точке x  M , то эта последовательность ограничена в том смысле, что
числа  (x n , ) ограничены для любой фиксированной точки  из M.
Действительно, по аксиоме треугольника для любого номера n имеем
ρ(x n , )  ρ(x n , x)  ρ(x,  )  a  ρ(x,  )  K ,
ибо последовательность  (x, y)ограничена как сходящаяся числовая
последовательность и, следовательно, числа  (x n , x) не превосходят постоянной
a.
Назовем шаром B(a,r) (замкнутым шаром B(a, r) ) с центром в точке a  M и
радиусом r совокупность точек x метрического пространства M, удовлетворяющих
неравенству  (x, a)  r (  (x, a)  r ). Окрестностью точки x назовем любой шар с
центром в этой точке. Множество, лежащее целиком внутри некоторого шара,
называется ограниченным.
Пусть дано множество X метрического пространства M. Точка
a  M называется предельной точкой этого множества, если любая окрестность
точке а содержит хотя бы одну точку множества X \ {a}, то есть
B(a, r)  X \ a   для любого r. Множество, полученное присоединением к X всех
его придельных точек, называется замыканием множества X и обозначается X .
Множество X называется замкнутым, если X = X . Множество Y называется
открытым, если его дополнение M \ Y замкнуто. Множество X называется всюду
плотным в пространстве M, если X = M. Множество X называется нигде не
плотным в пространстве M, если каждый шар этого пространства содержит в
себе шар, свободный от точек множества X.
Определение 3. Если в метрическом пространстве M каждая
фундаментальная последовательность является сходящейся, то
пространство M называется полным.
Фиксируем число p  1 . Рассмотрим множество числовых
последовательностей x  i  таких, что


i 1
p
i
  . Это множество обозначается
 p . Метрика для элементов x  i  и y  i  вводится по формуле
1/ p
 
p
 (x, y)    i  i 
 i 1

Справедливость аксиомы треугольника для таким образом введенного расстояния
проверяется по схеме, изложенной в §5 для доказательств неравенств Гельдера и
Минковского (здесь фактически имеет место дискретный аналог этих неравенств).
Докажем полноту пространства  p . Для этого рассмотрим
фундаментальную последовательность x n  i( n )  этого пространства, то есть
последовательность, у которой для любого ε  0 выполняется неравенство
1/ p
p
 
 (x n , x m )    i( n )  i( m)   
 i 1

для всех n , m  N( ) . Отсюда следует, что для любого индекса i имеет место
i(n)  i(m)   при n, m  N( ) . Фиксируем число i. Последовательность i(n ) 
фундаментальная, поэтому она сходится к некоторому пределу  i , или
lim i( n )  i .
n 
Обозначим x  i . Для любого натурального числа k справедливо
неравенство
k

i 1
(n)
i
p
  i( m )   p .
Переходя к пределу при m   , получим
k

i 1
(n)
i
 i
p
p
при n  N . В свою очередь, переходя к пределу при k   , будем иметь


i 1
(n)
i
 i
p
p
при n  N . Отсюда следует, что x - x n   p . Кроме того,  (x n , x)  0 при n   , и
полнота пространства  p доказана.
Теорема 1(о вложенных шарах). Пусть дана в полном метрическом
пространстве M последовательность замкнутых шаров, вложенных друг в
друга (то есть таких, что каждый последующий шар содержится внутри
предыдущего), радиусы которых стремятся к нулю. Тогда существует и
притом единственная точка, принадлежащая всем этим шарам.
Доказательство. Обозначим рассматриваемые шары следующим образом:
B1 (a1 , 1 ), B2 (a 2 ,  2 ),..., Bn (a n ,  n ),... .
По условию теоремы
B1  B2  ...  Bn  ... .
Рассмотрим последовательность центров этих шаров:
a1 , a 2 ,..., a n ,..., a n  p ,... .
Так как Bn  p  Bn , то a n  p  Bn (an ,  n ) . Поэтому  (a n  p , a n )   n . Следовательно,
 (a n  p , a n )  0 при n   независимо от номера p, т.е. последовательность
центров сфер является фундаментальной.
В силу того, что пространство M - полное, эта последовательность сходится
в некоторому пределу a  M . Возьмем любой шар Bk . Тогда точки a k , a k1, a k2 ,...
принадлежат этому шару. В силу замкнутости шара Bk предельная точка а этой
последовательности также принадлежит Bk . Таким образом, a  lim a n
n
принадлежит всем шарам.
Допустим, что существует еще одна точка b, принадлежащая всем шарам и
отличная от точки a, так, что  (a, b)    0 . Так как a и b  Bn , то
   (a, b)   (a, a n )   (a n , b)  2 n ,
что невозможно, ибо  n  0 при n   . Теорема доказана.
Определение 4. Множество X называется множеством 1-ой категории,
если она может быть представлено в виде суммы конечного или счетного
числа нигде не плотных множеств. Множество, не являющееся множеством 1ой категории, называется множеством второй категории.
Теорема 2(Бэра о категориях). Полное метрическое пространство есть
множество 2-ой категории.
Доказательство. Предположим противное и допустим, что полное

пространство M   M n , где множества Mn нигде не плотны. Возьмем шар B(a,1)
n 1
с центром в произвольной точке a и радиусом, равным единице. Так как M1 нигде
не плотно, то внутри шара B(a,1) найдется шар B(a 1 , r1 ) радиуса r1  1, не
содержащий точек множества M1 . Так как M2 нигде не плотно, то внутри шара
1
B(a 1 , r1 ) найдется шар B(a 2 , r2 ) радиуса r2  , не содержащий точек множества M2
2
и так далее.
Мы получили последовательность замкнутых шаров
B1 (a1 , r1 ), B2 (a 2 , r2 ),..., Bn (a n , rn ),... ,
каждый из которых вложен в предыдущий и радиусы которых стремятся к нулю.
При этом шар B(a n , rn ) не содержит точек множеств M1, M2 ,..., Mn . По теореме 1
существует точка a 0  M , принадлежащая всем шарам. С другой стороны, эта
точка a0 не принадлежит ни одному из множеств Mn , поэтому a 0  M . Мы
получили противоречие, которое и доказывает теорему.
Если рассмотреть числовую прямую R1 с обычной евклидовой нормой как
метрическое пространство, то множество рациональных точек на R1 представляет
собой множество 1-ой категории, а множество иррациональных точек является
множеством 2-ой категории.
Теорема 3 (принцип сжатых отображений). Пусть в полном
метрическом пространстве M задан оператор A, переводящий элементы
пространства M в элементы этого пространства. Пусть, кроме того,
 (A(x), A(y))   (x, y) ,
где   1 , а x и y - любые элементы M. Тогда существует и притом единственная точка
x 0  M и такая, что A(x 0 )  x 0 . Эта точка называется неподвижной точкой
оператора A, который, в свою очередь, называется сжатым (сжимающим)
отображением.
Доказательство. Зафиксируем произвольный элемент x  M и положим
x1  A(x) , x 2  A(x1 ) , … , x n  A(x n -1 ) ,… . Покажем, что последовательность x n 
является фундаментальной. В связи с этом, заметим
 (x1, x 2 )   (A(x), A(x1 ))  (x, x1 )  (x, A(x))
 (x 2 , x 3 )   (A(x 1 ), A(x 2 ))   (x1 , x 2 )   2  (x, A(x)) ,
…,  (x n , x n1 )   n  (x, A(x)) , … .
Далее,
 (x n , x np )   (x n , x n1 )   (x n1, x n2 )  ...   (x np-1, x np )   n   n1  ...   np--1  (x, A(x)) 


 n   n p
n
 ( x, A( x)) 
 ( x, A( x)) .
1
1
Из этой оценки следует, что  (x n , x n  p )  0 , то есть x n  - фундаментальная

последовательность. В силу полноты M существует элемент x 0  M , x 0  lim x n .
n
Докажем, что x 0  A(x 0 ) . В самом деле,
 (x 0 , A(x 0 ))   (x 0 , x n )   (x n , A(x 0 ))   (x 0 , x n )   (A(x n -1 ), A(x 0 ))   (x 0 , x n )  (x n -1, x 0 ) .

Но при достаточно больших значениях n выполняются неравенства:  (x 0 , x n )  ,
2

 (x 0 , x n-1 ) 
, следовательно  (x 0 , A(x 0 ))   для произвольного числа ε  0 .
2
Поэтому  (x 0 , A(x 0 ))  0 или x 0  A(x 0 ) .
Докажем единственность неподвижной точки. Предположим, что
существуют два элемента x 0 , y0  M такие, что x 0  A(x 0 ) , y0  A(y 0 ) . Тогда
 (x 0 , y0 )   (A(x 0 ), A(y 0 ))  (x 0 , y0 ) , а это возможно при   1 только в случае
 (x 0 , y0 )  0 . Теорема доказана.
Рассмотрим пример на применения принципа сжатых отображений из
теории интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Пусть K(s,t) - функция,
b b
определенная и измеримая на квадрате a  s, t  b и такая, что
 K
2
( s, t )dsdt   .
a a
Пусть, кроме того, f (s)  L2 (a, b) . Тогда интегральное уравнение
b
x( s)  f ( s)    K ( s, t ) x(t )dt имеет при каждом достаточно малом значении
a
параметра  единственное решение x(s)  L2 (a, b) .
b
Введем оператор A( x)  f (s)    K (s, t ) x(t )dt . Покажем, что этот оператор
a
действует из L2 (a, b) в L2 (a, b) . Для этого достаточно доказать выполнение
b
b
a
a
указанного свойства для оператора A0 ( x)   K ( s, t ) x(t )dt . Пусть y( s)   K ( s, t ) x(t )dt .
Тогда согласно неравенству Коши - Буняковского:
2
b
b
 b 2
y ( s)    K ( s, t ) x(t )dt    K ( s, t )dt  x 2 (t )dt .
a
a
 a
Следовательно, в силу теоремы Фубини и мажорантного признака, функция
y 2 ( s) интегрируема на интервале (a,b) , причем
2
b
y
b b
2
b
( s)ds    K ( s, t )dtds  x 2 (t )dt .
2
a
a a
a
Оценим теперь  (A(x), A(z)) . Имеем:
1/ 2
2
b
b b


 ( A( x), A( z ))      K ( s, t ) x(t )dt    K ( s, t ) z (t )dt  ds 


a
 
a a
1/ 2
2
 b b
 

     K ( s, t )x(t )  z (t )dt  ds


 
 a a
1/ 2
b b 2

    K ( s, t )dsdt 
a a


1/ 2
2
b

 x(t )  z (t ) dt 
 a




1/ 2
b b

    K 2 ( s, t )dsdt 
a a

 ( x, z ) .
1
Если  
, то мы находимся в условиях применения принципа
1/ 2
b b 2

  K ( s, t )dsdt 


a a

сжатых отображений.
Определение 5. Пусть X - линейное пространство над полем
вещественных или комплексных чисел. X называется линейным нормированным
пространством, если каждому его элементу x поставлено в соответствие
вещественное число x , называемое нормой этого элемента, причем
выполнены следующие аксиомы:
1) x  0, x  0  x  0 ,
2) x   x ,  - число из поля,
3) x  y  x  y .
Сходимость последовательности x n  из линейного нормированного
пространства отождествляется со сходимостью в метрике  ( x, y)  x  y , причем
полное линейное нормированное пространство называется банаховым.
Примеры:
1) R n - n мерное евклидово пространство, банохово пространство с нормой
1/ 2
 n

x    xi2  , где x  (x1,..., x n ) ;
 i1 
2) C[0,1] - пространство непрерывных на [0,1] функций с нормой x  max x(t ) ,
t[ 0 ,1]
отвечающий равномерной сходимости, поэтому С[0,1] также банохово пространство:
1/ p


p
3)  p (E) , p  1 . E   x    x(t ) dt 
E

теоремы 1 из §5;
,  p (E) - банохово пространство в силу
1/ 2
 
p
4)  p , p  1 , x    i  , x  (1 ,..., n ,...) ,  p - банохово пространство (доказательство в
 i 1

начале этого параграфа) ;
5) C m [0,1] - пространство на [0,1] функций, имеющих непрерывную производную
m
порядка m x   max x ( k ) (t ) , C m [0,1] - банохово пространство.
k 0
t[ 0 ,1]
Определение 6. Линейное многообразие L линейного нормированного
пространства X называется подпространством, если множество L замкнуто
относительно сходимости по норме.
Отметим, что из x n  x  0 при n   следует x n  x , так как
x  y  x  y в частности, если последовательность  x n - ограниченная числовая
последовательность.
Теорема 4 (теорема Рисса). Пусть L - подпространство линейного пространства
X, L  X . Тогда для любого ε  (0,1) существует элемент y  X \ L , y  1 и такой, что
x  y  1   для x  L .
Доказательство. Фиксируем произвольный элемент y0  X \ L и обозначим
d  inf y0  x . Тогда d > 0, ибо если d = 0, то
xL
y0  lim Xn и y0  L (в силу замкнутости
X n L
L), что невозможно. Для любого ε  0 существует x 0  L такой, что d  y0  x 0  d  dε .
Положим y 
y0 - x 0
; y 0  L , так как в противном случае y0  L , что невозможно,
y0 - x 0
y  1 . Далее, y  x 
y0  ( x0  x y0  x0 )
y0  x0
d

x 

 1
 1  .
y0  x0
y0  x0
d  d
1 
Теорема доказана.
§7. Линейные операторы.
Пусть X и Y – линейные нормированные пространства над полем
действительных или полем комплексных чисел.
Определение 1. Отображение A:X  Y (y = Ax), то есть оператор А,
определяемый на X с областью значений в Y, называется линейным
оператором, если для любых элементов x1 , x 2  X и любого числа λ справедливы
равенства:
а) A( x1 + x 2 ) = A x1 + A x 2 ,
б) А(λ x1 )= λА x1
Определение 2. Оператор A:X  Y непрерывен в точке x 0  X если для
любой последовательности x n , сходящейся к соответствующая
последовательность образов Ax n  сходится к элементу А x 0 , то есть для
любого ε  0 существует δ  0 и такое, что как только выполняется
неравенство x n  x 0 X  δ будет выполняться неравенство Ax n  Ax0 Y  
Теорема 1. Линейный оператор А непрерывен на всем пространстве Х
тогда и только тогда, когда А – непрерывен в одной точке x 0  X.
Доказательство. Действительно, пусть x  X – любая точка и x n  x . Тогда
x n  x  x 0  x и в виду непрерывности А в точке x 0 : А x 0 = lim A(x n  x  x 0 ) =
n 
lim Ax n  Ax  Ax0 , то есть lim Ax n  Ax .
n 
n 
Примеры:
1) А=0 или А=I (тождественный оператор) линейные непрерывные операторы.
2) X=C[0,1], x(t ) C  max x(t ) ,
t[ 0 ,1]
Оператор А, действует из Х на числовую прямую R1 по закону Ах(t) = x(0).
Рассмотрим непрерывность А в нуле x n (t)  0 C  0 , или x n (t) C  0 при n   .
Тогда Ax n (t)  0 R  x n (0)  0 , так как x n (t)
1
C
 0 означает равномерную
сходимость к нулю по t  [0,1]. Следовательно, оператор А – непрерывен.
3)Пусть теперь норма для оператора А из пункта 2) вводится по формуле
1
x(t )
L1
  x(t ) dt . Рассмотрим последовательность x n (t ), которая вычисляется по
0
n3  2
 2
 2 

формуле x n (t)   2  t  , t  0, 2  ; x n (t) =0, t   2 ,1 . В этом случае
2 n
 n 
n 

1
x n (t)  0 L  x n (t) L   0 , при n   . Но Axn (t )  0 R  xn (0)  n не стремится к
1
1
1
n
0, то есть оператор А не является непрерывным.
Определение 3. Оператор А называется ограниченным, если
существует постоянная М такая, что оценка Ax  M x выполняется для всех
x  X.
Ограниченный оператор переводит ограниченное множество пространства
X в ограниченное множество пространства Y.
Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен
необходимо и достаточно, чтобы А был ограничен.
Необходимость. Пусть А – непрерывен, предположим А – неограничен.
Тогда существует последовательность x n , для членов которой выполняется
1
1
неравенство Ax n  n x n . Положим ξ n 
, ξ n  0 ,так как ξ n  . Но
n
n xn
1
Axn  1 , то есть Aξ n не стремиться к A0 = 0. Следовательно, оператор
n xn
А не является непрерывным.
Достаточность. Пусть А – ограничен, то есть Ax n  M x n . Если x n  x ,
An 
или x n  x  0 при n   , то из неравенства Ax n  Ax  M x n  x следует
Ax n  Ax , значит А – непрерывен.
Определение 4. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих
условию Ax  M x для линейного ограниченного оператора А называется
нормой оператора А и обозначается A . Другими словами A  Sup
x 0
Ax
.
x
Покажем, что норму линейного ограниченного оператора А можно
вычислить по формуле A  Sup Ax . Действительно, если x  1 , то
x 1
Ax  A x  A и Sup Ax  A . Но для любого ε  0 существует x ε такой, что
x 1
Ax ε   A  ε  x ε . Положим ξ ε 
 A  ε   A  ε , а так как
Ax ε
xε

, тогда Aξ ε 
xε
xε
xε
ξ ε  1 , то Sup Ax  A  A   . Из этой оценки в силу произвольности ε вытекает
x 1
неравенство Sup Ax  A .
x 1
Совокупность всех линейных ограниченных операторов, отображающих
линейное нормированное пространство Х в линейное нормированное
пространство Y, образует линейное пространство LX  Y . Если А и В –
линейные ограниченные операторы, то равенство A  Bx  Ax  Bx определяет
сумму операторов, а λAx  λAx - умножение оператора на число. Нулем этого
пространства является оператор 0x=0 для любого х  Х. В LX  Y можно ввести
норму A  Sup Ax :
x 1
1) если A  0 , то Ax  0 для любого х  Х, то есть A=0;
2) λA  Sup λAx  λ A ;
x 1
3) A  B  Sup Ax  Bx  Sup Ax  Sup Bx  A  B
x 1
x 1
x 1
Таким образом LX  Y – линейное нормированное пространство.
Если линейный ограниченный оператор действует из линейного
нормированного пространства Х на числовую прямую R1 , то такой оператор
называется линейным функционалом f (x) . Совокупность всех линейных
функционалов, действующих из Х называется сопряженным пространством к Х и
обозначается X  LX  R1  . Норма функционала вычисляется по формуле
Ax  lim An x  M x .
n 
Теорема 3. Если Х – линейное нормированное пространство, а Y –
банахово пространство (полное линейное нормированное пространство), то
пространство L X  Y  также будет полным, то есть банаховым.
Доказательство. Пусть последовательность операторов An 
фундаментальна в L(X  Y), An x  Am x  An  Am x  0 , n, m   ,
следовательно, A n x  A m x  0 , n, m   ,а, значит последовательность  An

фундаментальная, то есть ограниченная: An  M для всех номеров n. Отсюда
An x  M x и Ax  lim An x  M x , что и означает ограниченность оператора А.
n 
Докажем формулу A  lim A n в смысле A  A n  0, n   . Действительно, для любого
n 
ε  0 существует N  Nε  такой, что при всех n  N и любом натуральном p для
всех х  Х, x  1 , выполняется неравенство A n  p x  A n x  ε , переходя пределе
при p   , получим Ax  An x  ε для любого n  N и любого х  Х, x  1 . Но тогда
A n  A  Sup A n  A x  ε , то есть A  lim A n в смысле сходимости по норме
x 1
n 
пространства L(X  Y). Теорема доказана.
Следствие. Пространство X  , сопряженное к линейному нормированному
пространству X - банахово, так как R1 - банахово пространство.
Теорема 4 (теорема Банаха-Штейнгауза – принцип равномерной
ограниченности). Пусть Х и Y – банаховы пространства. Если An  L X  Y  и
последовательность An x ограничена для любого, то найдется постоянная С
 A  ограничена.
Доказательство. Предположим, что последовательность  A 
неограниченна, тогда множество  A x  неограниченно на любом замкнутом шаре
такая, что An  C , то есть числовая последовательность
n
n
n
Bx 0 , ε  , x 0  X , ε  0 . В самом деле, если бы неравенство A n x  C выполнялось
для всех номеров n и всех x  Bx 0 , ε  , то, взяв, любой элемент ξ  X, ξ  0 , мы
ε
получим элемент x  ξ  x 0  Bx 0 , ε  . Для этого элемента A n x  C , или
ξ
ε
ε
Anξ  An x0 
A n ξ  A n x 0  A n x  C , следовательно,
ξ
ξ
C  An x0
2C
2C
, что противоречит предложению.
ξ 
ξ и An 
ε
ε
ε
Если теперь Bx 0 ,   - любой замкнутый шар, то на нем множество  An x 
Anξ 
неограниченно. Тогда существуют номер n1 и элемент x1  B0 такие, что
A n 1 x1  1. В силу непрерывности оператора A n 1 неравенство A n 1 x  1
выполняется и в некотором шаре B1 x1 , ε1   B0 . На B1 множество  An x  также
неограниченно и существуют номер n2 и элемент x2  B1 такие, что A n 2 x 2  2 и по
непрерывности оператора A n 2 это неравенство выполнено в некотором замкнутом
шаре B2 x 2 , ε 2   B1 и так далее. Можно считать, что n1  n 2  n 3... и ε n  0 . Тогда
по теореме о вложенных шарах из §6 существует единственная точка x  Bn x n ,  n 
для всех номеров n . В этой точке A n k x  k , что противоречит условию теоремы.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть Х и Y – банаховы пространства, An  L X  Y  ,
существует последовательность xn  такая, что xn  1 и lim A n x n   . Тогда
n 
существует x0  X , x 0  1 и lim A n x 0   .
n 
Пусть это не так, то есть для всех x  X , x  1 последовательность
ограничена. Если   0, то x 
A x 
n
A ξ

имеет норму x  1 и A n x  n . Значит,
ξ

последовательность  An x  ограниченна для любого   X и по теореме 4
существует постоянная С такая, что A n  C , но и An x n  An x n  C , что
противоречит стремлению последовательности  An x  к  .
Приведем пример применения теоремы 4 в теории рядов Фурье. Мы
докажем существование непрерывной периодической функции, для которой ряд
Фурье расходиться.
Пусть f x   C π, π , f  π  f π , f x  ~
π
a0 
  a k cos(kx)  b k sin kx  ,
2 k 1
π
1
1
a k   f(t)cos(kt )dt , bk   f(t)sin(kt )dt .
π π
π π
Преобразуем частичную сумму ряда Фурье
π
π
n
a0 n
1
1
Sn (f, x)    a k cos(kx)  bksin kx  
f(t)dt    f(t)cosk(t  x)dt 
2 k 1
2π π
k 1 π  π
1

sin  n  t  x 
1
2
  f(t) 
dt .
tx
π π
2sin
2
1
1
 ; g(t) непрерывная на   ,   функция, если ее
Положим х=0 и g(t) 
t t
2tg
2
доопределить нулем в точке.
1

t
t
sin  n   t sin(nt)cos    cos(nt)sin  
2

2
 2   sin(nt)  cos(nt) 

t
t
t
2
2sin
2sin
2tg
2
2
2
sin(nt)
cos(nt)

 g(t)sin(nt ) 
t
2
π
1
sin(nt)
Таким образом, Sn f,0    f(t)
dt  O(1) , O (1)  0 при n   . Рассмотрим
π π
t
π
π
1
sin(nt)
оператор A n f   f(t)
dt - линейный оператор из пространства f(x)  C π, π ,
π π
t
f(  π)  f(π( в пространстве R1 , ставящий с точностью до O (1) в соответствие f (x )
ее частичную сумму ряда Фурье в точке x  0 . Пусть f n (t )  sgn t  sin( nt ) , f n (t ) C  1 ,
π
π
πn
πn
πn
πn
1 sin 2 (nt)
2 sin 2 (nt)
1 sin 2 y
1 sin 2 y
1 dt 1 cos2y
Anfn  
dt  
dt  
dy  
dy    
dy 
π π t
π0
t
π0 y
π1 y
π1 t π1 y

1
ln( πn(  O(1) так как интеграл
π

cos 2 y
dy сходится по признаку Дирихле-Абеля.
y
1

Итак, An f n   при n   и согласно следствию к теореме 4 существует
f 0 (x)  C π, π, f 0 (π)  f 0 (ππ для которой ряд Фурье расходится в точке t  0 .
§8 Обратный оператор.
Пусть оператор А действует из множества Х на множество Y, R(A)  Y - область
значений оператора А. Если для любого элемента y R(A) уравнение Ax = y имеет
единственное решение, то говорят, что оператор А имеет обратный оператор А 1 ,
то есть х = А 1 y. Очевидно, что х = А 1 Ах и y = АА 1 y, или операторы I х = А 1 А, I y =
АА 1 - тождественные операторы в Х и Y. Если А – линейный оператор, то и А 1 линейный оператор. Пусть
х = А 1 ( α1 y 1 + α 2 y 2 ) - α1 А 1 y 1 - α 2 А 1 y 2 , тогда
Ах = АА 1 ( α1 y 1 + α 2 y 2 ) - α1 АА 1 y 1 - α 2 АА 1 y 2 = α1 y 1 + α 2 y 2 - α1 y 1 - α 2 y 2 = 0, и
поэтому х = А 1 (Ах) = 0.
Теорема 1. Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного
нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y,
причем существует постоянная m>0 такая, что ||Ах||  m||x|| для всех х из Х.
Тогда существует А 1 - линейный ограниченный оператор.
Доказательство. Прежде всего докажем, что уравнение Ах = y, y  R(A),
имеет единственное решение. Предположим, их два: х 1 и х 2 : Ах 1 = y, Ах 2 = y,
тогда А(х 1 - х 2 ) = 0 и m||х 1 - х 2 ||  ||A(х 1 - х 2 )|| = 0. Значит, х 1 = х 2 и существует
А 1 - линейный оператор. Этот оператор ограничен, ибо
1
1
||А 1 y|| 
||AА 1 y|| =
||y|| для всех y  Y.
m
m
Теорема 2 (Теорема Неймана). Пусть А – линейный ограниченный
оператор, отображающий банахово пространство Х на себя и ||A||  q < 1. Тогда
оператор I-A имеет обратный линейный ограниченный оператор (I-А) 1 .
Доказательство. Определим степени оператора А:
k
А = А(А k-1 ), k = 1,2,3,…, А 0 = I – тождественный оператор. Ясно, что


1
||А k ||  ||A|| k  q k . Далее  || A k ||   q k =
, пространство L(X  X) –
1- q
k 0
k 0
банахово, значит сумма

A
k
представляет собой линейный ограниченный
k 0
оператор. Для любого натурального числа n имеют место соотношения
n
(I-A)  A k =
k 0
n
 (I - A)A k =
k 0
n
 (A
k
 A k 1 ) = I - A n1 , причем I - A n1  I при n   , ибо
k 0

||A n ||  ||A|| n  0. Следовательно, (I-A)  A k = I, то есть (I-A) 1 =
k 0

A
k
, причем
k 0
1
.
1- q
Замечание. Пусть А, В  L(X  X). Тогда определен оператор АВ  L(X  X)
по формуле АВх = А(Вх), причем ||AB||  ||A|| ||B||. Действительно,
||ABx||  ||A|| ||Bx||  ||A|| ||B|| ||x|| для любого х  Х.
Теорема 3. Пусть оператор А  L(X  X), где Х – банахово пространство,
имеет обратный оператор А 1 и существует линейный ограниченный оператор Δ А
1
такой, что || Δ А||<
. Тогда оператор В = А + Δ А, то есть возмущение
|| A -1 ||
||(I-A) 1 || 
|| ΔA || || A-1 ||2
.
1 - || ΔA || || A-1 ||
Доказательство. Представим оператор В в виде А + Δ А = А(I + А 1 Δ А) и
так как по условию ||A 1 Δ A||  ||A 1 || || Δ A|| < 1, то оператор I + A 1 Δ A имеет по
теореме Неймана обратный оператор (I + A 1 Δ A) 1 . Произведение
(I + A 1 Δ A) 1 А 1 является обратным оператором к оператору В и
||B 1 - A 1 || = ||(I + A 1 Δ A) 1 А 1 - A 1 ||  ||(I + A 1 Δ A) 1 - I|| ||A 1 || 

|| A 1ΔA |||| A 1 ||
|| ΔA || || A-1 ||2
. Теорема доказана.
  || A -1ΔA ||k || A 1 || =

1 || A 1ΔA ||
1 - || ΔA || || A-1 ||
k 1
Теорема 4 (теорема Банаха об обратном операторе). Если линейный
ограниченный оператор А отображает банахово пространство Х на банахово
оператора А, имеет обратный оператор В 1 , причем ||B 1 - А 1 || 
пространство Y взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный
оператор А 1 , обратный к оператору А, отображающий Y на Х.
Доказательство. По условию линейный оператор А устанавливает взаимно
однозначное соответствие между элементами Х и Y. По доказанному выше
обратный оператор А 1 , отображающий Y на Х, также является линейным.
Остается доказать ограниченность оператора А 1 .
Обозначим через Y n множество элементов y  Y таких, что ||A 1 y||  n||y||.
Каждое из множеств Y n не пусто, так как, например, нулевой элемент
пространства Y принадлежит всем Y n . Кроме того, всякий элемент y Y, y  0,
попадает в множество Y n , если в качестве n взять любое целое число,

|| A 1y ||
. Поэтому можно записать Y =  Yn .
n 1
|| y ||
Ввиду того, что полное пространство Y не может быть объединением
счетного числа нигде не плотных множеств (теорема Бэра категориях из §6), по
крайней мере, одно из множеств Y n 0 не является нигде не плотным.
превосходящее
Следовательно, существует шар В(y,r), в котором множество В(y,r)  Y n 0 всюду
плотно. Рассмотрим шар В(y1 , r1 ) , лежащий целиком внутри В(y,r) и такой, что
y 1  Y n 0 . Возьмем любой элемент y с нормой ||y|| = r 1 . Элемент y+y 1  В(y1 , r1 ) , ибо
||(y + y 1 ) - y 1 || = r 1 . Так как В(y1 , r1 )  Yn 0 , то найдется последовательность
элементов {z (k) } из Y n 0  В(y1 , r1 ) и такая, что z (k)  y+y 1 при k   , Эта
последовательность может быть стационарной, если y+y 1  Y n 0 .
Обозначим y (k) = z (k) -y 1  y; при этом можем считать, что
r1
 ||y (k) ||, и, кроме того,
2
||y (k) ||  r 1 .
Так как z (k) и y 1  Y n 0 , то
||A 1 y (k) || = ||A 1 z (k) - A 1 y 1 ||  ||A 1 z (k) || + ||A 1 y 1 ||  n 0 (|| z (k) || + ||y 1 ||).
Далее, ||z (k) || = ||y (k) + y 1 ||  ||y (k) || + ||y 1 ||  r 1 + ||y 1 ||.
2n 0 (r1  2 || y1 ||)
|| y k || .
Поэтому имеем оценку ||A 1 y (k) ||  n 0 (r 1 + 2||y 1 ||) 
r1
2n 0 (r1  2 || y1 ||)
Обозначим через N наименьшее целое число, превосходящее
.
r1
Для элементов последовательности {y (k) } справедливо неравенство
||A 1 y (k) ||  N||y (k) ||, откуда следует, что все y (k)  Y N .
Итак, любой элемент y с нормой, равной r 1 , можно аппроксимировать элементами
r
из Y N . Пусть теперь y – любой элемент из Y. Рассмотрим элемент y’ = 1 y,
|| y ||
(k)
||y’|| = r 1 . По доказанному найдется последовательность {y’ } элементов из Y N ,
|| y ||
сходящаяся к y’. Тогда y (k) = y’ (k)
 y и справедливы соотношения
r1
|| y ||
|| y ||
||A 1 y (k) || =
||A 1 y’ (k) || 
N||y’ (k) || = N||y (k) ||.
r1
r1
Отсюда следует, что y (k)  Y N , то есть множество Y N всюду плотно в Y.
Рассмотрим снова произвольный элемент y  Y. Пусть ||y|| =  . Выберем

y 1  Y N такой, что ||y - y 1 ||  , ||y 2 ||   .
2
Это можно сделать, так как B (0,  )  Y N всюду плотно в В(0,  ) и y  B (0,  ).


Найдем далее элемент y 2  Y N такой, что ||(y - y 1 ) - y 2 ||  2 , ||y 2 ||  ;
2
2


возможность выбора обеспечена тем, что B (0, )  Y N всюду плотно в B (0, ) и
2
2

y - y 1  B (0, ). Продолжая этот процесс, построим элементы y n  Y N такие, что
2


||y – (y 1 + … + y n )||  n , ||y n ||  n-1 .
2
2
В итоге получим представление y  lim
n 
n
y
k 1
k
. Обозначим х k = А 1 y k , тогда
N
. Последовательность {S n }, где S n =
2 k 1
сходится к некоторому пределу x  E, так как
n p
N
||S n p - S n || = ||  x k || < n 1
2
k  n 1
и Х – полное пространство. Следовательно,
||x k ||  N||y k || 
n

k 1
k 1
n
x
k 1
k
, при n  
x  lim  x k   x k .
n 
Далее Ax  A( lim
n 
n
x
k 1
n
k
n
)  lim  Ax k  lim  y k  y .
n 
n 
k 1
n
Отсюда || A 1y |||| x || lim ||  x k || lim
n 
k 1
n 
n
k 1
N
 2N  2N || y || .
k 1
n 
k 1 2
n
 || x k || lim 
k 1
Так как y – любой элемент из Y, то ограниченность оператора A 1 доказана.
§9 Линейные функционалы
Выше мы определили линейные функционалы f(x) как линейные непрерывные
операторы со значениями в R 1 .
Теорема 1(теорема Хана-Банаха). Любой линейный функционал f(x) ,
определённый на линейном многообразии L  X линейного нормированного
пространства X, можно продолжить на всё пространство X с сохранением нормы,
то есть существует линейный функционал F(x) , определённый на всём X и такой,
что F(x)  f(x) для любой точки x  L , F x  f L
Доказательство. Пусть x 0  L и L 0  (L, x 0 ) - множество элементов вида
u  x  tx 0 , где x  L , а t – любое действительное число. Множество L 0 - линейное
многобразие и каждый его элемент однозначно представим в таком виде. Пусть
x  x2
u  x 1  t 1 x 0  x 2  t 2 x 0 ; если t 1  t 2 , то x1  x2 ; если t 1  t 2 , то 1
 x0 и x0  L ,
t 2  t1
что невозможно.
Выберем любые два элемента x1 и x 2 из L. Справедливы соотношения
f(x 1 )  f(x 2 )  f(x 2  x1 )  f x 2  x1  f ( x 2  x 0  x1  x 0 ) , из которых вытекает
неравенство f(x 2 )  f x 2  x 0  f(x 1 )  f x1  x 0 , а в силу произвольности
элементов x1 и x 2 имеет место оценка
sup{f(x)  f x  x 0 }  c  inf {f(x)  f x  x 0 } .
xL
xL
Пусть u – любой элемент из L. Введём функционал  (u ) на L0 по правилу
 (u )  f ( x)  tc . На L имеет место равенство   f , так как t  0 . Очевидно, что
 (u ) -линеен; покажем ограниченность функционала  (u ) и равенство   f .
x
многообразию L и
t
неравенства для постоянной с справедливы соотношения
x
x
 (u)  t[f( ) - c]  t f  x 0  f x  tx 0  f u , итогом которых является неравенство
t
t
x
x
1
1
 (u)  f u . При t  0 имеем f( )  c   f  x 0   f x  tx 0  f u , а, значит,
t
t
t
t
Если t  0 , то из принадлежности элемента
x
1
t
t
элемент u на (-u), получим -  (u)  f u , в совокупности  (u)  f u . Мы доказали
 (u)  t[f( ) - c]  t * f u  f u , то есть  (u)  f u . Заменяя в этих рассуждениях
неравенство   f , но так как  (u) есть продолжение f (x ) , то его норма не
может быть уменьшена; следовательно, 
L0
 fL .
Закончим доказательство теоремы в случае сепарабельного пространства
X, то есть такого пространства, в котором существует счётное всюду плотное
множество элементов x 1 , x 2 , …  X . Пусть эти элементы линейно независимы и
не попали в L 0 . Продолжая функционал  (u) с многообразия L 0 на многообразия
L1  (L 0 , x 1 ) , L 2  (L1 , x 2 ) , …, мы построим линейный функционал ,

^
ψ(x) определённый на всюду плотном в X линейном многообразии L   L n ,
n 1
причём ψ L  f L . Доопределим ψ(x) на всё пространство X по непрерывности.
^
^
^
Если x  L , то существует последовательность {x n } элементов из L и x n  x при
n   , причём ψ(x m )  ψ(x n )  ψ x m  x n  0 . Следовательно,
последовательность { (x n )} имеет предел F(x) , однозначно определяющая
функционал F(x) на X. Этот функционал линеен в силу линейности ψ(x) и
линейности операции предельного перехода. Ограниченность F(x) вытекает из
того, что следствием неравенства  (x n )  ψ x n является неравенство
F(x)  ψ x . Итак, F x  ψ ^   f L , а так как F(x) -продолжение функционала f(x) ,
L
то его норма не может быть уменьшена. Мы доказали формулу F x  f L ,
завершив тем самым доказательство теоремы.
Следствие 1. Пусть X – линейное нормированное пространство, x0  X , x0  0 .
Тогда в X существует линейный функционал такой, что f  1 , f ( x0 )  x0 .
Доказательство. Пусть L  {tx 0 }, t  R . На линейном многообразии L определим
функционал  (x) : если x  tx0 , то  ( x)  t x0 . Ясно, что (x0 )  x0 ,  (x)  t x 0  x ,
то есть  ( x)  1 . Продолжая функционал  (x) на всё пространство X с
сохранением нормы, получим требуемый функционал.
Замечание. Это следствие доказывает существование в любом линейном
нормированном пространстве X нетривиальных линейных функционалов, то есть
f(x)  0 . С другой стороны из следствия 1 вытекает, что если для некоторого
элемента x 0  X выполнено равенство f(x 0 )  0 для всех f(x)  X * , то x 0  0 .
Следствие 2. Пусть X – линейное нормированное пространство, x 1, x 2  X, x 1  x 2 .
Тогда в X существует линейный функционал такой, что f(x 1 )  f(x 2 ) . Следует
положить x 0  x 1  x 2 и воспользоваться утверждением следствия 1.
Обсудим вопрос об общем виде линейного функционала в различных
нормировнных пространствах.
n
1) Если X  R n -конечномерное и e1, ..., e n - ортонормированный базис, то x   ξ i e i .
i 1
n
n
i 1
i 1
Тогда любой линейный функционал f(x)   ξ i f(e i )   ξ i f i однозначно
определяется числами f i  f(e i ), i  1, n
2) Если X  l p , p  1 -бесконечномерное пространство элементов x  (ξ1 , ξ 2 ,...)
p

1
p
таких, что x l  ( ξ i )   . Пусть e1 , e 2 ,... -ортонормированный базис l p , тогда
p
i 1



i 1
i 1
i 1
x   ξ i e i , f(x)   ξ i f(e i )   ξ i f i . Выясним свойства чисел c i , i  1,2,... .
Рассмотрим последовательность элементов x n  { k(n ) } , где
 c k

q 1
 k( n )  
n
f(x n )   c k
k 1
sgn c k , k  n 1 1
,   1 Справедливы соотношения
p q
0, k  n
q
 f xn
n
lp
 f ( c k
(q 1)p
k 1
1
q
n
1
) p  f ( c k ) p , откуда в сиду произвольности
k 1
q

1
q
числа n следует неравенство ( c k )  f или c l  f . С другой стороны в сиду
q
k 1
неравенства Гёльдера f(x) 

ξ c
i 1

i i
1
q

1
p
 ( c i ) ( ξ i )  c l x l , или f  c l .
i 1
q
p
i 1
q
p
q
Значит, f  c l , то есть l*p  l q . Заметим также, l*p*  l*q  l p -рефлексивно.
q
3) Если X  L p (E), p  1, E   . Можно показать, что
f(x)   x(t) y(t)dt, x(t)  L p (E), α(t)  L q (E) -однозначно определяемая функция по
E
функционалу f(x) , причём f  α(t)
Lq (E)
, L*P  L q , L*P*  L P
4) Если X  C[0,1] . Справедлива теорема Расса, в которой утверждается, что
1
любой линейный функционал f(x) на C[0,1] имеет вид f(x)   x(t)dh(t) , где
0
x(t)  C[0,1] , h(t) - фиксированная функция с ограниченным изменением:
n
1
f  {h(t)}  sup  h(t i )  h(t i 1 ) , где точная верхняя грань берётся по
0
T
i 1
всевозможным разбиениям T  {t i },0  t 0  t 1  ...  t n  1
Непосредственным следствием теоремы Банаха-Штейнгаузена для
функционалов являются её следующие аналоги.
Теорема 2. Пусть {x n } -последовательность элементов из банахового
пространства X такая, что последовательность {f(x n )} ограничена для любого
функционала f(x)  X * . Тогда существует постоянная M  0 и такая, что x n  M ,
то есть последовательность {x n } ограничена в X.
Теорема 3. Пусть X – банахово пространство, f n  X * , числовая
последовательность {f n (x)} ограничена в X * , то есть f n  M .
Определение 1. Последовательность {x n } элементов линейного
нормированного пространства X называется слабо сходящейся к элементу
x 0  X , если для любого линейного функционала f(x)  X * числовая
последовательность {f n (x)} сходится к f(x 0 ) .
В силу замечания к следствию 1 из теоремы 1 слабый предел единственен.
Из теоремы 2 вытекает ограниченность слабо сходящейся последовательности.
Сильная сходимость влечёт за собой слабую сходимость, так как
f(x n )  f(x 0 )  f x n  x 0 . Обратное неверно. Рассмотрим l p , p  1 и
последовательность {x n } элементов из l p , x n  (0,...,0,1,0,...) , единица стоит на
месте с номером n, f(x n )  C n . Так как ряд

q
 C n сходится, то C n  0 при n  
n 1
и, значит, {f(x n )} сходится к f(0)  0 , или x n  0 слабо. Однако,
xm  xn
p
 2, m  n , и последоватеьность {x n } не фундаментальна.
Теорема 4. Последовательность {x n } линейного нормированного
пространства X сходится сильно тогда и только тогда, когда последовательность
{f(x n )} сходится равномерно в единичном шаре f  1, f  X* .
Доказательство. Необходимость. Если x n  x сильно, то из неравенства
f(x n )  f(x)  f x n  x  x n  x следует равномерная сходимость {f(x n )} в шаре
f  1.
Достаточность. Пусть последовательность {f(x n )} сходится равномерно в
шаре f  1 , то есть ε  0 существует N  N(ε( , что f(x n )  f(x)  f(x n  x)  ε для
всех n  N и всех f  X* , f  1. Отсюда следует sup f(x n  x)  ε . Воспользуемся
f 1
следствием 1 к теореме Хана-Банаха, обозначив x 0  x n  x . Мы имеем
функционал f 0 (x), f 0  1, f 0 (x 0 )  x 0 или f 0 (x n  x)  x n  x , причём выбор
функционала f 0 (x) зависит от разности x n  x . Итак,
x n  x  f 0 (x n  x)  sup f(x n  x)  ε для всех n  N , что и означает
f 1
сильнуюсходимость {x n } к элементу x.
Теорема доказана.
§10. Гильбертовы пространства
Определение 1. Гильбертовым пространством H называется множество
элементов x, y, z, … со свойствами:
1) H – линейное пространство над полем действительных (комплексных)
чисел;
2) каждой паре x, y  H поставлено в соответствие действительное
( x, y ) , называемое скалярным произведением и
(комплексное) число
удовлетворяющее условиям:
а). (x, y)  (y, x) ,
б). (x  z, y)  (x, y)  (z, y) ,
в). (λλxy)  λ(x, y) для любого λ  R (λ  C) ,
г). (x, x)  0 , причем (x, x)  0 тогда и только тогда, когда x  0 ,
x  (x, x) - норма элемента x в H;
3). H – полное в метрике ρ(x, y)  x  y , то есть является банаховым
пространством;
4). H – бесконечномерное, то есть для любого натурального числа
n существует n линейно независимых элементов.
Комплексное пространство L2 - гильбертово пространство, если скалярное
произведение в нем ввести по формуле

(x, y)   ξ i ηi ,
i 1
где x  (ξ1, ξ 2 ,...), y  (η1, η2 ,...) . Сходимость ряда следует из неравенства
Коши-Буняковского. Аналогично, пространство L2 (E) - гильбертово пространство
со скалярным произведением
(x, y)   x(t) y(t)dt .
E
Поговорим о свойствах скалярного произведения. Первые два
(x, y  z)  (x, y)  (x, z) и (x, λy)  λ(x, y) проверяются тривиально. Неравенство Коши
(x, y)  x y при y  0 очевидно. Пусть y  0 - любой элемент из H, λ - любое
число из С:
0  (x  λy, x  λy)  (x, x)  λ(x, y)  λ(y, x)  λ (y, y) ;
2
полагая здесь λ  (x, y)/(y, y) , получим
2
(x, y)
(x, x) 
 0,
(y, y)
откуда и следует неравенство Коши. Неравенство
x  y  x  y доказывается на основе неравенства Коши:
треугольника
x y  (x  y, x  y)  (x, x)  (x, y)  (y, x)  (y, y)  x  2 x y  y .
2
2
2
xy  xy 2 x 2 y
Равенство параллелограмма
следует
следующих соотношений:
2
2
2
2
2
2
x  y  x  2Re(x, y)  y , x  y  x  2Re(x, y)  y .
2
2
2
2
π
Замечание. Пространство C[0, ] не является гильбертовым:
2
x(t)  cost, y(t)  sint, x  y  1 ,
из
π
x  y  max cost  sint  max 2 sin(t  )  2 ,
π
π
4
t[0, ]
t[0, ]
2
2
π
x  y  max cost  sint  max 2 sin(t  )  1 ,
π
π
4
t[0, ]
t[0, ]
2
2
следовательно, равенство параллелограмма не выполнено.
Теорема 1. Замкнутое выпуклое множество W в гильбертовом пространстве
H содержит элемент содержит элемент с наименьшей нормой, и причем только
один.
Доказательство. Пусть d  inf x и пусть {x n } - минимизирующая
xW
последовательность, то есть x n  W, x n  d при n   . Так как W – выпукло, то
1
(x n  x m )  W , поэтому x n  x m  2d . Согласно равенству параллелограмма
2
2
2
2
2
0  x n  x m  2( x n  x m )  x n  x m  0
при n, m   , ибо вычитаемая величина  4d 2 , а уменьшаемое стремится к
4d 2 . В силу того, что H – полное, а W – замкнуто, существует x 0  lim x n , x 0  W ,
n 
причем x 0  lim x n  1 , то есть x 0 - элемент с наименьшей нормой. Докажем
n 
единственность элемента x 0 : пусть x1 - еще один элемент из W и такой, что
x1  d . Тогда
x 0  x1  x 0  x1  2( x 0  x1 )  4d 2 .
2
Так как
2
2
2
x 0  x1
W,
2
то
x 0  x1 1
2
 ( x 0  x1 )  d , или x 0  x1  4d 2 .
2
2
равенству параллелограмма для x 0 и
d
Возвращаясь
к
x1 ,
имеем
x 0  x1  0 , то есть x 0 = x1 . Теорема доказана.
Определение 2. Два элемента x, y  H называются ортогональными ( x  y ),
если (x, y) = 0; говорят, что элемент x  H ортогонален множеству L  H , если
x  y для любого y  L .
Теорема 2 (теорема Б. Леви). Пусть L – подпространство H. Каждый вектор
x  H допускает единственное представление x  y  z, y  L, z  L , причем элемент
y осуществляет наилучшее приближение вектора x в подпространстве L, то есть
x  y  min x  u .
uL
Доказательство. Обозначим множество W  {x  u; u  L} , которое замкнуто
в силу замкнутости L и, очевидно, выпуклое. По теореме 1 существует
единственный элемент z  W с минимальной нормой, z  x  y, y  L , или y  x  z .
Покажем, что z  L . Пусть v  0 - любой вектор из L, а λ - произвольное
2
2
комплексное число. Так как z  λv  W , то z  λv  z , поэтому
z  (z  λv, z  λv)  z  λ(v, z)  λ(z, v)  λ v .
2
Полагая
2
2
2
λ
(z, v)
x
2
,
получим

(z, v)
x
2
2
 0 , или (z, v) = 0,
а так как v – любой элемент из L, то z  L . Докажем теперь единственность
разложения. Пусть y  z  y1  z1 , где y, y1  L, z, z1  L , тогда y  y1  z1  z , то есть
y  y1  L , другими словами, y  y1 ортогонален самому себе. Следовательно
y  y1 и z  z1 . Второе утверждение теоремы следует из определения W и
теоремы 1.
Предел последовательности элементов, ортогональных подпространству L,
ортогонален L. Поэтому элементы, ортогональные к L, образуют подпространство,
которое называется ортогональным дополнением к L и обозначается L . Так как
любой элемент x  H равен x  y  z, y  L, z  L , то говорят, что пространство H
разлагается в прямую сумму подпространств L и L . Записывают этот факт в виде
H  L  L . Элемент y называется ортогональной проекцией элемента x на
подпространство L, а оператор P, действующий по закону y = Px, то есть каждому
элементу x  H ставящий в соответствие его проекцию y, называется оператором
ортогонального проецирования или ортопроектором. Нетрудно проверить
справедливость равенства (L )   L .
Рассмотрим линейный ограниченный оператор, действующий из
гильбертова пространства H на комплексную плоскость C. Этот оператор мы
также будем называть линейным функционалом. Обозначим через ker f =
{x  H : f(x)  0} - множество, называемое ядром функционала f(x). Очевидно, что
ker f – подпространство H.
Лемма 1. Коразмерность пространства ker f, то есть ортогонального
дополнения к ядру, любого линейного функционала f(x) в h, не равного
тождественно нулю, равна 1: dim(ker f)   1 .
Доказательство. Пусть x1 , x 2  (ker f)  . Докажем, что x1 и x 2 - линейно
зависимы. Положим x  (fx 1 )x 2  f(x 2 )x1, f(x 1 )  0, f(x 2 )  0 , тогда f(x) = 0, то есть
x  ker f . С другой стороны, x  (ker f)  , следовательно x  x . Получаем x = 0 и,
значит, x1 и x 2 - линейно зависимы.
Теорема 3 (теорема Рисса - Фреше). Любой линейный функционал f(x) в
гильбертовом пространстве H представим в виде скалярного произведения f(x) =
(x, y), где элемент y однозначно определяется по функционалу f(x), причем
f  y .
Доказательство. Если f(x)  0 , то y = 0. Если f(x)  0 , то обозначим через e
– единичный вектор, ортогональный ядру f(x). Согласно лемме 1 и теореме 2
любой элемент x  H представим в виде x = Px + (x, e)e, где P – ортопроектор на
ядро ker f. Отсюда
f(x)  f(Px)  (x, e)f(e)  (x, f (e), e) ,
так как Px  ker f . Полагая y  f (e)e , получаем f(x) = (x, y) для любого x  H .
Докажем единственность элемента y. Пусть существует вектор y1 такой, что
f(x)  (x, y)  (x, y1 ) для любого x  H , или (x, y  y1 )  0 . Для x  y  y1 получим
(y  y1 , y  y1 )  y  y1  0 ,
2
то есть y  y1 . По поводу нормы заметим
f(x)  (x, y)  x y  f  y ,
но
f(y)  y  f  y ,
2
следовательно f  y . Теорема доказана.
Лемма 2. Для того, чтобы линейное многообразие M было всюду плотно в
H, необходимо и достаточно, чтобы в H не существовало элемента, отличного от
нуля и ортогонального M.
Необходимость. Пусть M  H . Ясно, что из условия x  M следует x  M ,
но M  H и x  H . В частности x  x , следовательно x = 0.
Достаточность. Пусть M не всюду плотно в H, то есть M  H . Поэтому
существует x 0  M , x 0  H . Так как M также подпространство, то по теореме 2
x 0  y z , где y  M, z  M , причем z  0 и z  M . Это противоречит условию.
Определение 3. Система {e n } элементов гильбертова пространства H
1, i  j
называется ортонормированной, если (e i , e j )  σ ij , где σ ij  
.
0, i  j
Определение 4. Бесконечная система элементов линейного пространства
называется линейно независимой, если любая конечная подсистема этой системы
линейно независима.
Лемма 3. Любую систему {h n } линейно независимых элементов можно
сделать ортонормированной с помощью процесса ортогонализации Шмидта.
Доказательство. Полагаем
h
e1  1 ;
h1
пусть g 2  h 2  c21e1 , подберем c21 так, чтобы g 2  e1 , то есть c21  (h 2 , e1 ) .
Получаем
g
e2  2 , g 2  0 ,
g2
ибо в противном случае g 2  0 и элементы h1 и h 2 - линейно зависимы, что
невозможно. Пусть e1,..., em 1 уже построены, вводим элемент
m 1
g m  h m   c mi ei
i 1
и подберем числа c mi так, чтобы gm  ei , i  1,2,..., m  1. Для этого надо взять
cmi  (h m , ei ) ; полагаем
g
em  m , g m  0
gm
и так далее.
Если совокупность степеней 1, t, t 2 ,... ортогонализировать в пространстве
L 2,ρ (a, b) с весом ρ(t) , то есть в пространстве со скалярным произведением
b
(x(t), y(t))   ρ(t)x(t)y( t)dt ,
a
мы придем к системе полиномов. При ρ(t)  1, a  1, b  1 получим полиномы
Лежандра; при ρ(t)  e t , a  , b   получим полиномы Чебышева – Эрмита, при
ρ(t)  e t , a  0, b   получим полиномы Чебышева – Лагерра.
Пусть L – подпространство, порожденное ортонормированной системой {en }
2
и x  L . Тогда для любого ξ  0 существует линейная комбинация
n
α e
i 1
i i
такая,
что
2
n
x   α i ei
ξ.
i 1
Но
n
x   α i ei
2
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 x   αi (x, ei )   αi (ei , x)   αi
2
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
2
=
x   α i ci   α i ci   α i ,
2
2
где ci  (x, ei ) - коэффициенты Фурье элемента x. Перепишем последнее
представление в виде
n
x   α i ei
2
n
2
i 1
n
 x   c i   α i  ci ,
2
i 1
2
i 1
откуда следует, что выражение
n
x   α i ei
2
i 1
достигает минимального значения при αi  ci . В этом случае
n
0  x   ci ei
2
n
 x   ci
2
i 1
2
i 1
и так как ξ  0 - любое, то в итоге получаем
x  lim
n 

n
c e  c e ,
i 1
i i
i i
i 1
Причем

c
i 1
Пусть теперь x –
x  y  z, y  L, z  L . Тогда
2
i
 x
2
любой
(равенство Парсеваля).
элемент
из
H.
y   ci ei , ci  (y, ei )  (x, ei ) и
c

i 1
В силу равенства y  z  x
2
2
2
имеем

c
i 1
2
i
Согласно

i 1
 x
2
i
2
теореме
2:
 y .
2
(неравенство Бесселя).
Определение 5. Ортонормированная в H система {e n } называется полной,
если в H не существует никакого элемента кроме нуля, ортогонального каждому
члену en системы {e n } . Система называется замкнутой, если подпространство L,
порожденное этой системой, совпадает с H.
По доказанному выше ряд Фурье по замкнутой системе, построенный для
любого элемента x  H , сходится к нему сильно, то есть по норме, и выполняется
равенство Парсеваля

c
i 1
2
i
 x .
2
Определение 6. Замкнутая ортонормированная система называется
ортонормированным базисом в гильбертовом пространстве H.
Легко проверяется справедливость следующих двух утверждений. В
гильбертовом пространстве H полнота и замкнутость ортонормированной системы
совпадают. Любая ортонормированная система {e n } в гильбертовом пространстве
слабо сходится к нулю.
Лемма 1. Пусть Х – банахово пространство. Если последовательность
элементов xn  X сходится слабо к элементу x0  X, то xn  x0 сильно.
Доказательство. Пусть это не так: тогда существует ε  0 и
последовательность номеров nk такие, что x n k  x 0   . Так как xnk компактна, то
она содержит последовательность элементов ~
x  x , которая сходится сильно к
 
n
nkl
xn  сходится слабо к
некоторому элементу y0  X. Тем более последовательность ~
x0 и поэтому x0=y0. Итак имеем ~
xn  x0   и ~
xn  x0  0 при n   , что
невозможно. Лемма доказана.
Теорема 3. Пусть X и Y – баноховы пространства. Любой вполне
непрерывный оператор А, действующий из X в Y, переводит всякую слабо
сходящуюся последовательность в X в сильно сходящуюся в Y.
Доказательство. Пусть xn  x0 слабо, тогда xn  c и, значит, {Axn}-
компактна. Кроме того, Axn  Ax0 слабо в Y, так как, взяв произвольный
функционал φ  Y*, получим φ(Axn)=f(xn), где f  X*, φ(Ax0)=f(x0). Из слабой
сходимости {xn} к x0 следует f ( xn )  f ( x0 ) , или  ( Axn )   ( Ax0 ) . Таким образом,
последовательность {Axn} сходится слабо к Ax0. По лемме 1 эта
последовательность сходится сильно к Ax0. Теорема доказана.
Если оператор А – вполне непрерывен, а В – ограничен, то операторы АВ и
ВА – вполне непрерывные.
Теорема 4. Если А – вполне непрерывный оператор, действующий из
гильбертова пространства Н в Н, то оператор А* также вполне непрерывен.
Доказательство. Пусть xn  x0 слабо. Докажем, что A * ( xn  x0 )  0 сильно.
Действительно, A * ( xn  x0 ) =(A*(xn-x0),A*(xn-x0))=(xn-x0,AA*(xn2
x0))  xn  x0 AA* ( xn  x0 )  0 , так как xn  x0  c , АА* - вполне непрерывен и по
теореме 4 AA * ( xn  x0 )  0 сильно. Поскольку любое в Н ограниченное множество
– слабо компактно, то оператор А* переводит ограниченное множество в
компактное, то есть является вполне непрерывным.
§13. Теорема фредгольма.
В связи с вопросом об однозначной разрешимости интегральных уравнений
вида x(t )   K (t , s ) x( s )ds  f (t ) , E   , f(x)  L2(E), K(t,s)  L2(E×E) рассмотрим
теорию уравнений (I-A)x=f, где I – тождественный оператор, А – вполне
непрерывный оператор, действующий из Н в Н f  H. Обозначим L  I  A и наряду
с уравнением Lx=f будем рассматривать однородное уравнение Lx=0, а также
сопряженные уравнения L*y=h и L*y=0.
Лемма 1. Многообразие ImL – замкнуто, где ImL={y  H: y=Lx}.
Доказательство. Докажем, что Im L  Im L , то есть, если yn  ImL и
yn  y  H , то y  ImL. По условию yn=Lxn=xn-Axn  y. Будем считать, что xn  KerL ,
ибо в противном случае перейдем к xn-Pxn, где P – ортопроектор на KerL, причем
L(Pxn)=0. Покажем, что xn  C . Если это не так, то существует
подпоследовательность x'n  последовательности {Xn}: x'n   . По условию
yn  y , значит yn  C1 , что приводит к соотношению
x' n  Ax'n
x' n

y 'n
x' n
 0 . Так как
 x ' 
А – вполне непрерывный оператор, а последовательность  n  ограничена, то
 x ' n 
существует подпоследовательность x' 'n  последовательности x'n  такая, что
 Ax' ' n 
последовательность 
 сходится. Но когда сходится и последовательность
 x' ' n 
x' ' n
{zn}, где z n 
. Пусть z  lim z n и в силу z n  1 имеет место z n  1. С другой
n 
x' ' n
стороны Lz n  0 и из сходимости z n  z следует Lz  L( z  z n )  Lz n  0 при n   ,
то есть Lz=0 и, значит, z  KerL. Однако все xn  KerL , поэтому lim x' 'n  z  KerL ,
n 
или элемент z ортоганален самому себе. Это возможно только если z=0 и мы
получили противоречие с равенством z  1 . Итак, xn  C , а поэтому существует
xn . Отсюда следует сходимость
сходящаяся подпоследовательность A~
~
x  x  H . В пределе получим Lx=y, то
подпоследовательности x , причем lim ~
n
n 
n
есть y  ImL. Теорема доказана.
Лемма 2. H  KerL  ImL * , H  KerL * Im L .
Непосредственным следствием леммы 2 является следующая
Теорема 1 (1-я теорема Фредгольма). Уравнение Lx=f разрешимо тогда и
только тогда, когда f  KerL * , то есть элемент f ортоганален любому
решению уравнения L*y=0.
Для любого натурального числа k положим Hk=ImLk, в частности,
H0=H=ImL0, где L0=I, H1=ImL и так далее. По лемме 1 все Hk – замкнуты и очевидно
H  H 1  H 2  ... , причем L(Hk)=Hk+1.
Лемма 3. Существует номер j такой, что Hk+1=Hk при всех k  j .
Доказательство. Если это не так, то все подпространства Hk различны,
поэтому по теореме Леви можно построить ортонормированную систему {xk} так,
что xk  Hk и xk  H k 1 . Пусть l>k: Axl-Axk=-xk+(xl+Lxk-Lxl). Выражение в скобках
принадлежит Hk+1 и xk  H K 1 , поэтому Axl  Axk  xk  1 , то есть из
последовательности {Axk} нельзя выделить сильно сходящуюся
подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А.
Лемма 4. Если KerL=0, то ImL=H. Если KerL*=0, то ImL*=H.
Доказательство. Если KerL=0, то оператор L отображает H на Н взаимно
однозначно, а при ImL≠H цепочка Hk состоит из различных подпространств. По
лемме 3 их конечное число, то есть если x0  H\H1 и номер k такой, что Hk=Hk+1,
тогда Lkx0  Hk и существует y  H: Lkx0=Lk+1y, или L(Lk-1x0-Lky)=0. Так как KerL=0, то
Lk-1x0=Lky и так далее. В итоге получим x0=Ly, что означает x0  H1. Полученное
противоречие доказывает равенство ImL=H. Аналогично устанавливается
соотношение ImL*=H, если KerL*=0. Лемма доказана.
Лемма 5. Если ImL=H, то KerL=0.
Так как ImL=H, то по лемме 2 KerL*=0, но тогда по лемме 4 ImL*=H. Снова
применяя лемму 2, получим KerL=0.
Из лемм 4 и 5 непосредственно следует
Теорема 2 (2-я теорема Фредгольма или альтернатива Фредгольма).
Либо уравнение Lx=f имеет единственное решение при любой правой части
f  H, либо уравнение Lx=0 имеет ненулевое решение.
Теорема 3 (3-я теорема Фредгольма). Однородные уравнения Lx=0 и
L*y=0 имеют одно и то же и при том конечное число линейно независимых
решений.
Доказательство. Пусть   dim KerL,  dim KerL * . Если    , то в
подпространстве KerL существует счетная ортонормированная система {xk}. Из
Lxk=0 следует равенство Axk=xk, причем при l≠k: Axl  Axk  xl  xk  2 , то есть
из последовательности {Axk} нельзя выделить сходящуюся
подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А.
Таким образом ,   .
Докажем равенство    . Пусть i  и  j  – ортонормированные базисы
соответственно в KerL и KerL*. От противного, предположим    . Получим

Sx  Lx   ( x, j ) j .
j 1
Так как оператор S получается сложением оператора L и конечномерного
оператора, то все результаты для оператора L справедливы и для S. Покажем,

что уравнение Sx=0 имеет только тривиальное решение. Итак, Lx   ( x, j ) j  0 .
j 1
По лемме 2 ( Lx, j )  0 , значит ( x, j )  0 для всех j  1,2,...,  . Поэтому Lx=0, то
есть x  KerL и одновременно x  KerL , следовательно x=0.
Из утверждения о том, что уравнение Sx=0 имеет только тривиальное
решение по 2-ой теореме Фредгольма следует существование элемента y, для

каждого справедливо равенство Ly   ( y, j ) j    1 .
j 1
Умножая это равенство скалярно на   1 , получим слева 0, а справа 1, ибо
Ly  ImL, а Im L  KerL * . Противоречие означает, что    . Заменив теперь в
наших рассуждениях L на L*, докажем неравенство    . Таким образом    и
теорема доказана.
Теорема 4. В любом сепарабельном гильбертовом пространстве
существует ортонормированный базис, то есть полная ортонормированная
система.
Доказательство. Пусть G = { g , g , …} – счетное и всюду плотное в
1 2
g
гильбертовом пространстве H множество G =H ( g n  0 ). Положим e1  1 и
g1
обозначим через L1 - подпространство, порожденное e1 . Выберем g n 2 - первый по
счёту элемент, не принадлежащий L1 и рассмотрим
h 2 - его проекцию на
L1  H Ө L1 . Так как h 2  0 , то e 2 
h2
, а через L 2 обозначим подпространство,
h2
порождённое e1 и e 2 . Пусть g n 3  L 2 - первый по счёту за g n 2 и h 3 его проекция на
L2  H Ө L 2 . Так как h 3 , то e 3 
h3
h3
и так далее. Получим ортонормированную
систему { e i } и в силу того, что любой элемент g n 2  L m по построению, то
замыкание линейной оболочки системы { e i } совпадает с H, то есть эта система
образует базис. Теорема доказана.
Теорема 5. Любое комплексное (вещественное) сепарабельное
гильбертово пространство изоморфно и изометрично комплексному
(вещественному) пространству l 2 , то есть все комплексные (вещественные)
сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны и изометричны между
собой.
Доказательство. Пусть H – сепарабельное гильбертово пространство и
{ e i } – ортонормированный базис в нём. Если x – любой элемент из H, то
~
x  (c1 , c 2 ,...) , c i  (x, e i ) и так как

c
i 1
2
i
 ~
x
2
l2
 x
2
H
  , то ~
x  l 2 . Пусть x, y  H ,
α и β - числа из поля. Ясно, что αx  βy  H , α~
x  β~
y  l 2 , αx  βy
H
 α~
x  β~
y
l2
,
следовательно отображение H  l 2 сохраняет линейную операцию и расстояние.
n
Обратно, пусть ~
z  (1 ,  2 ,...)  l 2 . Рассмотрим в H последовательность z n = ∑ξ iei .
i =1
Так как
zm  zn
2

n
ξ
i  m 1
2
i
 0 при n,m   , то последовательность { z n } –
фундаментальная. В силу полноты H имеет место z n  z  H , а имея в виду
(z, ei ) = lim (z n , ei ) = ξ i , получаем для любого ~
z ∈l2 элемент ~z ∈H , где ξ i n →∞
коэффициенты Фурье. Таким образом отображение взаимно однозначно, а из
рассуждений выше следует, что оно изометрично и изоморфно. Теорема
доказана.
Непосредственным следствием из теоремы 5 является
Теорема 6 (теорема Рисса-Фишера). Пространства
L 2 ( E) и
∞
l 2 изоморфны
и
изометричны,
причём
f ( x ) dx = ∑ci ,
∫
2
E
2
где
i =1
ci = ∫
f ( x )ei ( x )dx = (f , ei ) .
E
Теорема 7. В сепарабельном гильбертовом пространстве H
ограниченная последовательность
{ x n } содержит слабо сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство. Пусть x n ≤C и так как Н – сепарабельно, то в нём
существует ортонормированный базис { e i }. В силу ( x n k , e1 ) ≤ x n ≤C по теореме
Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность { x n k } для которой
( x n k , e1 ) сходится. Так как ( x n k , e 2 ) ≤ x n ≤C то существует подпоследовательность
{ x n k } для которой ( x nk , e2 ) сходится и так далее. Возьмём диагональную
l
l
последовательность { ~
x n }, то есть последовательность, где элемент ~
x n равен n-му
члену подпоследовательности для базисного элемента en . Для неё (~
x n , ek )
m
сходится при n → ∞ и также сходится (~
x n , ψ) , где ψ = ∑αi ei - любая линейная
i =1
комбинация из элементов ортонормированного базиса.
Докажем сходимость последовательности (~
x n , z) для любого элемента
z ∈H . Пусть ε > 0 - любое наперёд заданное число. Тогда существует линейная
m
ε
комбинация ψ = ∑αi ei такая, что выполняется неравенство z - ψ <
.
2C + 1
i =1
Выберем номер N=N( ε ), для которого при всех n,m ≥N выполняется неравенство
ε
(~
xm - ~
x n , ψ) <
.
Тогда
(~
x m , z) - (~
x m , z) ≤(~
xm - ~
x n , z - ψ) + (~
xm - ~
x n , ψ) ≤
2C + 1
ε
ε
ε
≤( ~
xm + ~
xn ) z - ψ +
< 2C
+
=ε,
тем
самым
сходимость
2C + 1
2C + 1 2C + 1
последовательности (~
x n , z) доказана для любого z ∈H .
Покажем, что существует слабый предел x 0 последовательности {x n } .
Обозначим f (z) = lim (~
x n , z) - линейный функционал на H. По теореме Рисса-Фреше
n →∞
f (z) = ( x , z) , то есть lim (~
x , z) = ( x , z) , а, значит, x - слабый предел для {~
x }.
0
n →∞
n
0
0
n
Теорема доказана.
§11.Сопряжённый оператор.
Введём понятие сопряжённого оператора A* . Пусть А – линейный
оператор, действующий из линейного нормированного пространства Х в линейное
нормированное пространство Y, или y=Ax. Если φ ( y ) - любой линейный
функционал, определённый на Х: f (x) = φ(Ax ) ≤φ Ax ≤φ A x . Таким образом
любому линейному функционалу φ ∈Y* ставится в соответствие линейный
функционал f ∈X* , то есть построен оператор, определённый на Y* со
значениями в X* . Этот оператор обозначим A* и назовём сопряжённым: f = A*φ .
Если
записать значение функционала f ( x ) = (f , x ) , то можно написать
*
(A φ, x) = (φ, Ax ) . Легко проверяется свойство сопряжённого оператора: если А и В
– линейные ограниченные операторы, то (αA + βB)* = αA* + β B* .
Теорема 1. Пусть A ∈Z(X → Y) . Тогда существует A* ∈Z(Y* → X* ) , то
есть A* - линейный ограниченный оператор, причём A = A* .
Доказательство. Из определения оператора следует цепочка соотношений
A φ(x) = f (x) = φ(Ax ) ≤φ Ax ≤φ A x , откуда сначала следует неравенство
*
f ≤φ A , а затем оценка A* ≤A . Далее, пусть x 0 - любой элемент
пространства Х. По первому следствию из теоремы Хана-Банаха существует
линейный функционал φ 0 ∈Y* такой, что φ 0 = 1 и φ 0 (Ax 0 ) = Ax 0 . Тогда
Ax 0 = φ 0 (Ax 0 ) = f 0 ( x 0 ) ≤f 0 x 0 = A*φ0 x 0 ≤ A* φ 0 x 0 = A* x 0 .
Отсюда
в
силу
произвольности элемента x 0 получаем оценку A ≤A* , а, затем, и равенство
A = A* . Теорема доказана.
Оператор A* сопряжён к линейному непрерывному оператору A ,
действующему в гильбертовом пространстве Н, если для любых элементов
x , y ∈H выполняется равенство (Ax, y) = (x, A* y) .
b
k ( t , s) x (s)ds , где
В пространстве L2 (a, b) рассмотрим оператор Ax ( t ) = ∫
a
k(t, s) ∈L2 (П) , где П = (a , b) × (a , b) . Произвольный линейный функционал φ ( x ) ,
b
x ( t )h ( t ) t , где h(t ) ∈L2 (a, b) действующий в L2 (a, b) , имеет вид φ( x ) = ( x , h ) = ∫
a
b
b
b
h ( t )( ∫
k ( t , s) x (s)ds)dt = ∫
x (s)g (s)ds ,
однозначно определяется по φ . Поэтому φ(Ax ) = ∫
a
a
a
b
k ( t , s)h ( t )dt , то есть g = A*h . Переход к сопряженному оператору
где g (s) = ∫
a
означает переход к транспонированному ядру, другими словами у
переставляются аргументы.
k ( t , s)
Пусть A ∈Z(H → H) . Обозначим Im A = {y ∈H : y = Ax} - образ оператора А,
KerA = {x ∈H : Ax = 0} - ядро оператора А. Если А – ограничен, то KerA подпространство.
Теорема 2. Если A ∈z(H → H) , H - гильбертово пространство, то
H = Im A ⊕KerA* .
Доказательство. Так как Im A - подпространство, то H = Im A ⊕(Im A)⊥. По
теореме 1 существует линейный ограниченный оператор A* . Покажем, что
KerA* = (Im A )⊥. Если x ∈KerA* , то A * x = 0 и для любого y ∈H справедливо
равенство ( y, A*x) = (Ay, x ) = 0 , то есть x ⊥Ay , при x ⊥Im A . Отсюда следует, что
x ⊥Im A , а потому x ∈( Im A )⊥. Обратно x ∈( Im A )⊥, следовательно, x ⊥Im A , или
даже x ⊥Im A . Значит (Ay, x ) = 0 для всех x и y из H . Но (Ay, x ) = ( y, A*x ) = 0 , или
полагая y = A*x , получим A*x = 0 , A * x = 0 , то есть x ∈KerA* Теорема доказана.
§12. Вполне непрерывные операторы.
Определение 1. Множество M линейного нормированного пространства
X называется компактным, если любая последовательность его элементов
содержит фундаментальную подпоследовательность.
Очевидными являются следующие факты: компактное множество
ограничено, любое ограниченное множество в конечномерном пространстве
является компактным, единичная сфера в бесконечномерном пространстве –
множество ограниченное, но не компактное ( из последовательности, состоящей
из элементов ортонормированного
подпоследовательности).
базиса,
нельзя
выделить
сходящейся
Определение 2. Линейный оператор A , действующий из линейного
нормированного пространства X в линейное нормированное пространство Y ,
называется вполне непрерывным (компактным), если он всякое ограниченное
множество переводит в компактное.
Любой ограниченный оператор переводит ограниченное множество в
ограниченное и компактное в компактное. Вполне непрерывный оператор
является ограниченным, а любой ограниченный оператор в конечномерном
пространстве – компактным. В бесконечномерном пространстве единичный
(тождественный) оператор – ограничен, но не компактен.
Пусть E - ограниченное замкнутое множество в R n , C(E) - множество
непрерывных на У функций.
Теорема 1 (критерий компактности в C(E) ). Для того, чтобы множество
K было компактным в C(E) необходимо и достаточно выполнение условий:
множество K
1)
- равномерно ограничено в C(E) , то есть
существует постоянная M такая, что x(t ) C( E ) ≤M для любой
функции x ( k ) ∈K ;
множество K - равностепенно непрерывно в C(E) , то есть для
любого ε > 0 найдётся δ = δ(ε) > 0 и такое, что как только h < δ ,
2)
x , x + h ∈E , будет выполняться неравенство x(t + h) - x(t)
C( E )
<ε
для любой функции x ( t ) ∈K .
Теорема 2 (критерий компактности в
L p (E ) ).
Для того
чтобы
множество K ⊂L p (E ) , p ≥1 , E < +∞, было компактно в L p (E ) необходимо и
достаточно, чтобы это множество было равномерно ограничено в L p (E ) и
равностепенно непрерывно в L p (E ) .
1
Пусть X = Y = C[0,1] , y( t ) = Ax ( t ) = ∫
K( t, s) x(s)ds , где K (s, t ) - непрерывная
0
функция на квадрате П = {( t , s) : 0 ≤t , s ≤1} . Покажем, что A - вполне непрерывный
1
оператор.
1)
Если
x ( t ) C ≤r ,
то
1
y( t ) ≤ ∫
K(s, t ) x (s) ds ≤K ∫
x (s) ds ≤Kr ,
0
где
0
K = max K ( t , s) . 2) По теореме Кантора любая непрерывная на замкнутом
( t , s )∈П
ограниченном множестве в R n функция является равномерно непрерывной.
Потому для любого ε > 0 найдётся δ = δ(ε) > 0 такой, что как только t1 - t 2 < δ , то
ε
будет выполняться неравенство K ( t1 , s) - K(t 2 , s) <
для всех (t1, s), (t 2 , s) ∈П и
r
1
t1 - t 2 < δ . Следовательно,
ε
y( t1 ) - y(t 2 ) ≤∫
K( t1 , s) - K(t 2 , s) x (s) ds < • r = ε . Условия
r
0
теоремы 1 выполнены.
Пусть
X = Y = H = L2 (E) ,
E < +∞,
y( t ) = Ax ( t ) = ∫
K( t, s) x (s)ds ,
где
E
K ( t , s)dtds < +∞.
∫∫
2
Тогда A
также вполне непрерывный оператор. Следует
ExE
использовать теорему 2,
непрерывности в метрике L p .
неравенство
Коши-Буняковского
и
теорему
§14. Элементы спектральной теории.
Пусть X – банахово пространство над полем комплексных чисел. Оператор
A  L(X  X) , то есть линейный ограниченный оператор, действующий из X в X.
Определение 1. Резольвентное множество ρ(A) оператора A есть множество
комплексных чисел λ , для которых существует (I - A) -1 - ограниченный оператор,
определенный на всем X. Спектром σ(A) оператора A называется дополнение к
множеству ρ(A) на комплексной плоскости, то есть σ(A)  C \ ρ(A) .
Определение 2. Операторнозначная функция ρ(λ, A)  (I - A) 1 , определенная на
множестве ρ(A) , называется резольвентой оператора A, а λ  ρ(A) называется
регулярным значением оператора A.
Таким образом, λ - регулярно, если:
1. Ker(I  A)  {0} ;
2. Im( I  A)  X ;
3.
(I  A) -1   .
В конечномерном пространстве либо Ker(I  A)  {0} , то есть λ - собственное
значение, либо λ - регулярное значение. В бесконечномерном пространстве возможно,
что Ker(I  A)  {0} , но обратный оператор действует не на всем пространстве, так как в
случае Im( I  A)  X по теореме Банаха мы имели бы существование ограниченного
оператора (I - A) -1 . Кроме того, при несовпадении образа оператора (I - A) и
пространства X оператор (I - A) -1 может быть и неограничен.
Рассмотрим в качестве примера оператор A : x(t)  tx(t) , действующий в
пространстве C[0;1] . Из равенства (I - A)  (λ - t)x(t)  0 следует x(t)  0 для любого
x(t)
и,
λ  C , то есть KerA  {0} . Обратный оператор задается равенством (I - A) -1 x(t) 
λ-t
очевидно, действует не на всем пространстве C[0;1] при λ  [0;1] . Таким образом, спектр
этого оператора равен отрезку σ(A)  [0;1] .
Определение 3. Комплексное число λ называется собственным значением оператора
A, если Ker(I  A)  {0} , а любой не равный нулю элемент x  Ker(I  A) называется
собственным элементом, отвечающим собственному значению λ .
Теорема 1. Резольвентное множество ρ(A) - открыто.
Доказательство. Пусть λ - фиксированное число из ρ(A) , а μ - любое комплексное
число такое, что μ  R( λ, A)
1
. Покажем, что λ  μ  ρ(A) . Введем в рассмотрение


k 0
k 0
оператор s(μ )   (μ) k ( λI  A) (k 1)  (μ ) k (R (λ, A)) k 1 .
Так как по условию μ R( λ, A)  1 , то ряд сходится сильно (по норме в L(X  X) ).
Далее,

(( λ  μ )I  A)s(μ )  (λI  A)s(μ)  μs(μ )   {( μR (λ, A)) k  (μR (λ, A)) k 1 }  I ,
то
k 0
есть s(μ )  R(λ  μ, A) - ограниченный оператор и λ  μ  ρ(A) . Теорема доказана.
Следствие. Спектр σ(A ) - замкнут.
Теорема 2. Пусть X - банахово бесконечномерное пространство и A – вполне
непрерывный оператор в нем. Тогда 0  σ(A ) , то есть λ  0 не является регулярным
значением.
Если бы 0  ρ(A ) , то оператор A имел бы ограниченный обратный оператор и
оператор AA -1  I являлся вполне непрерывным, что невозможно.
Теорема 3 (теорема Гильберта-Шмидта). Пусть A  A * - вполне непрерывный
оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда любой элемент x  ImA
представим в виде ряда Фурье
x
 (x, e
λ k 0
k
)e k
по собственным элементам e k оператора A, образующим ортонормированную систему.
Замечание. Для всякого самосопряженного вполне непрерывного оператора A в
сепарабельном гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис
пространства H, состоящий из собственных векторов этого оператора. Для этого
достаточно систему из теоремы 3 дополнить произвольным ортонормированным
базисом из KerA .