Математика (8-9, 10

Задания и требования
к конкурсной работе первого тура
по математике
1. Каждый участник первого тура конкурса выполняет работу по
заданиям для своего класса.
2. Критерии оценки работы:
- правильно понято задание;
- задача считается решенной, если дан ответ и приведено объяснение
решения.
Особо оценивается оригинальность решения.
3. Требования к оформлению работ первого тура:
1) Текст набирается в MS Word шрифтом Times New Roman 14 c
полуторным межстрочным интервалом, поля по 2 см со всех сторон. При
наборе формул используется стандартное приложение Microsoft Equation.
Работа может быть оформлена также в рукописном варианте на листе
формата А4 чёрной гелевой ручкой, разборчивым почерком.
Отсканированный текст отсылается по указанному адресу электронной
почты.
2) На первой странице располагается заявка на участие (строго по
форме):
Пример заполнения заявки:
Информация об участнике (класс, Иванов
Александр
Николаевич,
школа, населённый пункт, ФИО)
учащийся 11 «А» класса МБОУ «СОШ
№7»г. Рубцовска
Домашний
и/или
мобильный 8-902-123-45-67
телефон
Личный e-mail участника
fgo205a@mail.ru
Почтовый адрес с индексом школы 656534, г. Рубцовск, ул. Ленина 36
(обязательно)
МБОУ СОШ №7
Консультант
(ФИО полностью, Петрова Галина Ивановна,
место работы, должность)
учитель химии МБОУ СОШ № 7 г.
Рубцовска
Электронный адрес консультанта petrova@mail.ru
(обязательно)
Рабочий и/или мобильный телефон 8-961-987-65-43
консультанта
3) На второй и последующих страницах размещается работа:
формулировка задания и текст ответа.
4) Информация об участнике и выполненные задания оформляются
одним документом и отправляются одним файлом по адресу электронной
почты: matemalt@mail.ru
Файл (с заявкой и работой) необходимо назвать фамилией и
именем (в именительном падеже) участника олимпиады.
Задания для 8-9 классов
1. После проведения теста по математике в классе стало известно, что
средний балл среди сдавших тест равен 68, среди тех, кто не сдал – 43, а
средний балл по классу – 63. Какая часть учеников в классе сдали тест?
2. Сколько раз в сутки совпадает положение по крайней мере двух из
трех стрелок на часах?
3. На карточке в определенном порядке написаны числа (a; b) . За одно
действие можно к любому из этих чисел добавить другое из них или
поменять знак любого из чисел. Каким образом из карточки (a; b) можно
получить карточку (b; a ) ?
4. В коробке лежит 8 белых, 7 черных и 5 красных шаров. Наугад
вынимают из коробки N шаров. Найти наибольшее возможное значение N,
если известно, что в коробке осталось не менее 3 шаров одного цвета и не
менее 2 – другого.
5. Дано, что
x
1
x4

.
Вычислить
.
x2  x  1 7
x8  x 4  1
6. В треугольнике, периметр которого равен 18,
из
каждой
вершины
противоположной
провели
стороны.
В
отрезок
итоге,
до
данный
треугольник оказался разбитым на 4 треугольника и 3
четырёхугольника. Известно, что сумма периметров
трёх белых четырёхугольников равна 25, а сумма периметров четырёх
чёрных треугольников равна 20. Найти сумму длин трех построенных
отрезков.
Задания для 10-11 классов
1. После проведения теста по математике в классе стало известно, что
средний балл среди сдавших тест равен 83, среди тех, кто не сдал – 55, а
средний балл по классу – 76.
Какая часть учеников в классе сдали тест?
2. Найти наименьшее возможное значение x 100  x  y  2015  y , если
x и y – произвольные действительные числа.
3. В трапеции ABCD
EF  AB , где точка E
(AD‫׀׀‬BC)
AB = 5 и
– середина стороны CD. Найти
площадь трапеции, если EF  4 .
a 7

b
17 , если a и b – целые
4. Найти наименьшее возможное значение
положительные числа, и b < 17.
5. Дано, что cos(  )  sin(  )  0 и tg  2015 . Найти tg .
x  a   a3  x 
3
6. Решить уравнение
для всех значений параметра a.
7. Члены арифметической прогрессии
an 
5n
, n  1, 2,..., 2015
7
округлили
до ближайших целых чисел, и затем сложили. Найти сумму этих чисел.
8. Решить систему:
9.
Функция
1
1
1

x   y   z 
y
z
x

 x  y  z  2016

f(x)
удовлетворяет
.
при
всех
x
соотношениям:
f ( x)  f ( x)  2; f (1  x)  f (1  x) .Найти f (2018) , если f (0)  3
10. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M - середина ребра AB , точка N –
середина ребра CC1 . Найти объем треугольной пирамиды AMNC1 , если длина
ребер куба равна 6.