Практическая работа Исследование функций и построение графиков.

Практическая работа
Исследование функций и построение графиков.
Общая схема построения графиков функций.
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат ( если это не вызывает
затруднений).
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.
6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Построить график, используя полученные результаты исследования.
Пример 1.
Построить график функции у  х 3  6 х 2  9 х  3 .
Решение.
1. Так как функция задана в виде многочлена, то она определена на всей числовой прямой,
т.е. D(y)=R.
2. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, так как подставив вместо х (-х)
получаем ,что первое и третье слагаемые поменяли свой знак, а второе и четвертое
остались без изменения, то есть
y( x)  ( x) 3  6( x) 2  9( x)  3   x 3  6 x 2  9 x  3 .
Кроме того, она не периодическая, так как не является тригонометрической функцией.
3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу:
полагая х=0, имеем у  0 3  6  0 2  9  0  3  3 .
Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно.
4. Так как функция определена на всей числовой прямой, то график функции не имеет
асимптот.
5. Найдем производную функции: у   3х 2  12 х  9 .
Найдем критические точки, т.е. 3х 2  12 х  9  0 , получим х=1 и х=3. Эти точки делят
область определения на три промежутка:    х  1 , 1  х  3 , 3  х   .
В промежутках    х  1 и 3  х   у   0 , т.е. функция возрастает, а в промежутке
1  х  3 у   0 , т.е. функция убывает. При переходе через точку х=1 производная меняет
знак с плюса на минус, а при переходе через точку х=3 производная меняет знак с минуса
на плюс. Значит, у max  у (1)  13  6  12  9  1  3  1 , у min  у(3)  33  6  32  9  3  3  3 .
6. Найдем вторую производную: у   6  х  12 .
Приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение, получим
6х-12=0, х=2.
Точка х=2 делит область определения функции на два промежутка    х  2 и
2  х  .
В первом из них у   0 , а во втором у   0 , т.е. в промежутке    х  2 кривая
выпукла вверх, а в промежутке 2  х   выпукла вниз.
Таким образом, получаем точку перегиба (2;-1).
7. Используя полученные данные, строим искомый график.
Пример 2.
х2
Построить график функции у 
.
х3
Решение.
1. Найдем область определения функции – это все числа кроме 3, так как знаменатель при
3 будет равен нулю.
2.Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
3. При х=0 получим у=0, т.е. график проходит через начало координат.
x2
  .
4. Прямая х=3 является вертикальной асимптотой графика, так как lim
x 3  0 x  3
Далее найдем наклонную асимптоту у=кх+в.
Сначала найдем к= lim
x 
f ( x)
x2
 lim
 1 , потом
x  x( x  3)
x
 x2

3x
в= lim  f ( x)  kx  lim 
 x  lim
 3.
x 
x  x  3

 x x  3
Следовательно, можно записать уравнение наклонной асимптоты графика у=х+3.
5. Найдем производную функции:
( х 2 )  ( х  3)  х 2  ( х  3) 2 х( х  3)  х 2 2 х 2  6 х  х 2 х 2  6 х
у 



.
( х  3) 2
( х  3) 2
( х  3) 2
( х  3) 2
Найдем точки в которых производная у  обращается в нуль или терпит разрыв,
т.е. х 2  6 х  0 , х( х  6)  0 , х  0 или х  6 и терпит разрыв при х=3. Этими точками
числовая прямая делится на четыре промежутка:    х  0 , 0  х  3 , 3  х  6 ,
6  х  .
Определим знак производной в каждом из них. Очевидно, что у   0 на промежутках
   х  0 и 6  х   , т.е. в этих промежутках функция возрастает.
А на промежутках 0  х  3 и 3  х  6 у   0 , т.е. в этих промежутках функция
убывает. При переходе через точку х=0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е.
это точка максимума. При переходе через точку х=6 производная меняет знак с минуса на
плюс, т.е. это точка минимума. Найдем значение функции в найденных точках, получим
02
62
36
у max  у (0) 
 0 , у min  у (6) 

 12 .
03
63 3
6. Найдем вторую производную:
( х 2  6 х)  ( х  3) 2  ( х 2  6 х)  (( х  3) 2 ) (2 х  6)  ( х  3) 2  ( х 2  6 х)  2( х  3)
18
у  


4
4
( х  3)
( х  3)
( х  3) 3
Вторая производная в нуль нигде не обращается и терпит разрыв при х=3.
В промежутке    х  3 у   0 , т.е. в этом промежутке кривая выпукла вверх.
А в промежутке 3  х   имеем у   0 , т.е. в этом промежутке кривая выпукла вниз.
Точек перегиба нет.
7. На основании полученных данных строим график функции.
Задания для самостоятельного решения.
Исследуйте следующие функции и постройте их графики:
х2
х3
3
2
1. у  х  6 х  9 х  8
5. у 
8. у  2
х4
х 1
2
х
х3  4
2. у  2 х 3  3х 2  12 х  1
6. у 
9. у 
х2
х2
х3
3. у  х 3  6 х 2  16
7. у  2
х 4
4. у  2 х 3  3х 2  12 х  10