Лекция 9. Аппаратные свойства преобразований Фурье 1

Лекция 9. Аппаратные свойства преобразований Фурье
1. Формула Планшереля для преобразования Фурье от функций многих
переменных.
Теорема 1 Пусть f ∈ C n+2,0 (Rn ). Тогда f˜(α) определена для всех α, и
2
||f˜|| =
1
2
n ||f || .
(2π)
Доказательство Рассмотрим куб Kl = (l[−π, π])n такой, что supp f ∈ Kl . Разложим
f |Kl в ряд Фурье:
X
1
f |Kl =
f˜(α)eiαx .
(2πl)n Zn
α∈
Тогда
l
1 X ˜
2
|f (α)| = σl ,
n
(2πl) Zn
||f ||2 =
l
2
|f˜(α)| ≤
σl –“интегральная сумма” для
σl = σl1 + σl2 , σl1 ∼
1
2π n
1
(2πl)n
R
C
, r = |α|.
1 + rn+1
2
|f˜(α)| dα
X
2
|f˜(α)| , σl2 ∼
Zn
∩{|α|≤N }
l
1
(2πl)n
X
|f˜(α)|
2
Zn
\{|α|≤N }
l
.
При достаточно большом N, σl2 < 3ε (замена ряда сходящимся интегралом)
Z
Z
2
2
˜
|f (α)| dα = I1 + I2 , I1 =
|f˜(α)| dα
|α|≤N
Z
I2 =
ε
2
|f˜(α)| dα ≤ ,
3
|α|≥N
поскольку интеграл сходится. Далее, σl1 → I1 при l → ∞, поскольку интегральная
сумма сходится к интегралу по отрезку по теореме Римана.
¤
2. Формула обращения.
Теорема 2 Пусть f ∈ C n+2,0 (Rn ). ∀x ∈ Rn . Тогда
Z
1
f (x) =
f˜(α)eiαx dα.
(2π)n
1
Тот же выбор l. При x ∈ Kl :
f (x) =
X
1
f˜(α)eiαx = Sl (x).
n
(2πl)
Zn
α∈
Хотим:
1
f (x) =
(2π)n
l
Z
f˜(α)eiαx dα = I(x).
Rn
Sl (x) – интегральная сумма для интеграла I(x). Доказательство сходимости Sl (x) →
I(x) при l → ∞ – такое же, как и выше.
3. Продолжение на все L2 (Rn ).
По формуле Планшереля, F – изометрия с точностью до множителя. Пространство
n+2,0
C
плотно в L2 (Rn ). По теореме лекции 6, продолжаем F с C n+2,0 на L2 (Rn ) как
изометрию. Равенство Планшереля и формула обращения получаются предельным
переходом.
4. Дифференцируемость и убывание.
Коэффициенты Фурье m раз дифференцируемой функции убывают как |k|−m .
Аналогичным свойством обладает преобразование Фурье.
Теорема 3 Пусть преобразование Фурье функции f (m) ограничено:
|F(f (m) )| < C,
и функция вместе со всеми производными до порядка m стремится к нулю на бесконечности. Тогда при |α| ≥ 1,
C
|f˜(α)| <
.
(1)
|α|m
Доказательство Похожая теорема уже доказана в лекции 5, только там функция f
была финитна.
Индукция по m. База: m = 1. Имеем
Z
Z
Z
0
0
−iαx
−iαx
F(f )(α) = f (x)e
dx = e
df (x) = iα f (x)e−iαx dx = iαF(f ).
Следовательно,
|f˜0 (α)|
˜
.
|f (α)| =
|α|
Шаг индукции состоит в применении этого неравенства к производным до порядка m
и дает (1).
¤
2
5. Убывание и дифференцируемость.
Справедлива обратная теорема: убывание преобразования Фурье функции из L2 (R)
на бесконечности со скоростью c|α|−m влечет m-кратную дифференцируемость функции. Мы не будем доказывать это утверждение, а докажем родственный, существенно
более полезный факт.
6. Пространство быстро убывающих функций.
Определение 1 Функция на R называется быстро убывающей, если она бесконечно дифференцируема и убывает на бесконечности быстрее любой степени модуля x.
Пространство всех таких функций называется пространством Шварца и обозначается S.
Теорема 4 Пространство быстро убывающих функций отображается на себя преобразованием Фурье.
Доказательство Рассмотрим произвольную функцию f ∈ S. Очевидно, она принадлежит L2 (R) (докажите!) Она бесконечно дифференцируема. Следовательно, ее
преобразование Фурье убывает быстрее любой степени на бесконечности. Докажем,
что для любой функции f ∈ S ее преобразование Фурье бесконечно дифференцируемо. Действительно, функция f убывает быстрее любой степени на бесконечности. Тем
же свойством обладает функция xm f (x) для любого натурального m. Следовательно,
все функции
gk = (ix)k f (x)e−ixα
Ck
мажорируются при любом α ∈ R функцией F(x) = 1+x
2 . Интеграл этой функции
сходится. Значит, интеграл
Z
Ik (α) = (ix)k f (x)eiαx dx
допускает дифференцирование по α под знаком интеграла. Это дает:
Ik+1 (α) = Ik0 (α).
С учетом того, что I0 = f˜, это доказывает теорему.
¤
Аналогично определяется пространство Шварца и доказывается теорема 4 для
функций многих переменных.
3