АННОТАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Функциональный анализ

АННОТАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Функциональный анализ
Направление подготовки 010400.62 прикладная математика и информатика
(математическое и информационное обеспечение экономической деятельности)
Квалификация (степень) выпускника бакалавр
Общая трудоемкость дисциплины 108 ч.
1. Цели освоения дисциплины
Целью изучения дисциплины «Функциональный анализ» является освоение
методов функционального анализа, непосредственно примыкающим к задачам
вычислительной математики и ее приложений, которые являются необходимыми для
понимания с общих позиций идей и методов вычислительной математики, задач
оптимизации вычислительных алгоритмов.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Курс входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части обучения.
Для его успешного освоения необходимы знания и умения, приобретенные в
результате обучения предшествующим дисциплинам: математический анализ, алгебра.
Знание функционального анализа может существенно помочь при решении задач
из различных областей математики. Кроме того, методы функционального анализа
широко применяются в целом ряде направлений современной математики.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля): ОК-6, ОК-8, ОК-16, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7,
ПК-8, ПК-9, ПК-15, ПК-16, ПК-20, ПК-21, ПК-22, ПК-25, ПК-27, ПК-29.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать: основные определения и понятия изучаемых разделов функционального
анализа.
2) Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области
функционального анализа, устанавливать взаимосвязи между вводимыми понятиям,
доказывать как известные утверждения, так и родственные им новые.
3) Владеть: разнообразным математическим аппаратом общей теории,
используемого для целого ряда приложений.
4. Структура и содержание дисциплины.
Тема 1. Элементы теории множеств, метрические и топологические
пространства
Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Разбиения на
классы. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества. Упорядоченные
множества.
Частично упорядоченные множества. Трансфинитные числа. Системы множеств.
Определение и основные примеры метрических пространств. Открытые и замкнутые
множества.
Полные метрические пространства. Определение и примеры топологических
пространств.
Тема 2. Понятие меры. Измеримые функции, линейные пространства
Мера элементарных множеств. Лебегова мера плоских множеств. Продолжение
меры с полукольца на порожденное им кольцо. Лебегово продолжение меры.
Определение и основные свойства измеримых функций. Действия над измеримыми
функциями. Сходимость по мере.
Определение и примеры линейных пространств. Линейная зависимость. Факторпространства. Линейные функционалы.
Тема 3. Выпуклые множества и выпуклые функционалы, обобщенные
функции
Выпуклые множества и выпуклые тела. Однородно-выпуклые функционалы.
Функционал Минковского.
Теорема Хана-Банаха.
Расширение понятия функции. Пространство основных функций. Определение
обобщенных функций. Действия над обобщенными функциями. Дифференциальные
уравнения в классе обобщенных функций.
Тема 4. Нормированные и евклидовы пространства
Определение и примеры нормированных пространств. Подпространства
нормированного пространства.
Фактор пространства нормированного пространства. Определение евклидовых
пространств.
Существование ортогональных базисов. Теорема об ортогонализации. Замкнутые
ортогональные системы.
Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса-Фишера.
Тема 5. Линейные операторы, компактные операторы и их свойства
Определение и примеры линейных операторов. Непрерывность и ограниченность.
Обратный оператор. Обратимость.
Сопряженные операторы. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве.
Самосопряженные операторы.
Определение и примеры компактных операторов. Основные свойства компактных
операторов.
Компактные операторы в гильбертовом пространстве. Самосопряженные
компактные операторы.
Теорема (Гильберт-Шмидт).
Тема 6. Тригонометрические ряды, преобразование Фурье и его свойства,
преобразование Лапласа
Условия сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера. Теорема Вейерштрасса.
Преобразование Фурье и формула обращения. Основные свойства преобразования
Фурье.
Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности.
Преобразование Фурье функции нескольких переменных.
Теорема Планшереля.
Определение и основные свойства преобразования Лапласа. Применение
преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений.
Тема 7. Линейные интегральные уравнения
Типы интегральных уравнений. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям.
Интегральные уравнения Фредгольма.
Теоремы Фредгольма.
Интегральные уравнения первого рода. Интегральные уравнения, содержащие
параметр.
Тема 8. Дифференцирование в линейных пространствах
Сильный дифференциал (дифференциал Фреше). Слабый дифференциал
(дифференциал Гато).
Связь между слабой и сильной дифференцируемостью.
Дифференцируемые функционалы.
Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.
Составил доцент кафедры МАиМ В.А.Труфанов