Элементы симметрии континуума
advertisement
Элементы симметрии континуума А. Матисс. Танец. Кристаллический комплекс комплекс направлений комплекс плоскостей Виды преобразований симметрии Преобразования I рода z (повороты) z y y х х Преобразования II рода z z y х y х (инверсии) Повороты a Характеристики: Ось поворота Угол поворота a a a cos(α ) a a cos(α ) a 2a cos(α ) = na Повороты: примеры http://webmineral.com/crystal/Mon_2.shtml http://webmineral.com/crystal/Trig_3.shtml http://webmineral.com/crystal/Tet_4.shtml http://webmineral.com/crystal/Hex_6.shtml Инверсии Инверсионная ось 1-го порядка (центр симметрии) С Инверсии Инверсионная ось 2-го порядка (плоскость симметрии) Инверсии Инверсионная ось 3-го порядка (центр симметрии + ось 3-го порядка) С Инверсии Инверсионная ось 4-го порядка Инверсии Инверсионная ось 6-го порядка (ось 3-го порядка + плоскость симметрии) С Обозначения элементов симметрии Наименование элемента симметрии Обозначение Ось симметрии первого порядка Символика Браве - Ось симметрии второго порядка L2 1 2 Ось симметрии третьего порядка L3 3 Ось симметрии четвертого порядка L4 4 Ось симметрии шестого порядка L6 6 Центр симметрии (инверсионная ось симметрии первого порядка) C 1 Плоскость симметрии (инверсионная ось симметрии второго порядка) Инверсионная ось симметрии четвертого порядка P m L4 4 L6 6 Инверсионная ось симметрии шестого порядка Международная символика Графическое обозначение Теорема Эйлера Через точку пересечения двух осей симметрии проходит третья, равнодействующая ось Взаимодействие двух осей n-го порядка, поворотных или инверсионных, приводит к возникновению проходящей через точку их пересечения третьей оси симметрии с элементарным углом поворота, вдвое превышающим угол между исходными осями. При этом результирующая ось окажется поворотной, если исходными являются две одинаковые оси (обе поворотные или обе инверсионные), и инверсионной, если порождающие оси разные. Теорема Эйлера Ось А, угол поворота α Ось B, угол поворота β A α/2 α/2 C γ/2 β/2 C’ Ось С, угол поворота γ Сферический треугольник ABC β/2 α/2+β/2+γ/2>180 B α+β+γ>360 1/nα+1/nβ+1/nγ>1 Возможные сочетания осей симметрии Взаимное распоожение осей 222 Взаимное распоожение осей 322 Взаимное распоожение осей 233 Взаимное распоожение осей 422 Взаимное распоожение осей 234 Взаимное распоожение осей 622 Определения Класс симметрии (точечная группа симметрии) множество элементов симметрии, действующих на плоскости и направления в кристалле ГАДОЛИН Аксель Вильгельмович (1828-1892 года), российский ученый, академик Петербургской АН (1875 г.); генерал от артиллерии (1890 г.). Разработал теорию скрепления стволов артиллерийских орудий (1861 г.). Вывел 32 точечные группы симметрии кристаллов (1867; Ломоносовская премия, 1868 г.). Единственная ось симметрии Символика Браве L1 L2 L3 L4 L6 Шенфлиса C1 C2 C3 C4 C6 ГерманаМогена 1 2 3 4 6 Эпюра элементов симметрии Единственная инверсионная ось симметрии Символика Браве Шенфлиса ГерманаМогена Эпюра элементов симметрии 1 C P L3C L4 L3P Ci Cs C3i C4i C3h 4 6 m 3 Поворотная ось и ось второго порядка Символика Браве Шенфлиса ГерманаМогена Эпюра элементов симметрии 3 L2 L33L2 L44L2 L66L2 D2 D3 D4 D6 222 32 422 622 Поворотная ось и плоскости симметрии Символика Браве Шенфлиса ГерманаМогена Эпюра элементов симметрии L22P L33P L44P L66P C2v C3v C4v C6v 2mm 3m 4mm 6mm Инверсионная ось, ось второго порядка и плоскость симметрии Браве СимШенфлиса волика ГерманаМогена Эпюра элементов симметрии L2 2 P L3 3 L2 3 PC L4 2 L2 2 P L3 3 L2 4 P C2v D3d 2mm 32/m D4d 4 2m D6d 6m 2 Поворотная ось и центр симметрии Символика Браве C L2PC L3C L4PC L6PC Шенфлиса Ci C2h C3i C4h C6h 2/m 3 4/m 6/m ГерманаМогена Эпюра элементов симметрии 1 Поворотная ось, ось второго порядка и центр симметрии Символика Браве Шенфлиса ГерманаМогена Эпюра элементов симметрии 3L23P D2h 2/m2/m2/m L33L23PC L44L24PC D3d 32/m D4h L66P D6h 4/m2/m2/m 6/m2/m2/m Поворотные оси Символика Браве Шенфлиса ГерманаМогена Эпюра элементов симметрии 4L33L2 3L44L36L2 T O 23 432 Поворотные и инверсионные оси Символика Браве Шенфлиса ГерманаМогена 4L33L23PC 3L-44L36P Th Td 2/m3 4 3m Эпюра элементов симметрии 3L44L36L29PC Oh 4/m32/m Тетрагональная Гексагональная С2 2 С3 3 С4 4 С6 6 Сi Cs m C3i C4i C3h 3 4 6 Предельные группы Кубическая Тригональная С1 1 Ромбическая Моноклинная 5 Триклинная Число групп Группы поворотов Cn Кристаллические системы Вращающийся конус ∞ Вращающийся цилиндр ∞ /m Группы инверсионных поворотов Cni 5 Группы с осями 2-го порядка, перпендикулярными главной оси Dn 4 D2 222 D3 32 D4 422 D6 622 Скрученный цилиндр ∞ 22 Группы с плоскостями симметрии, параллельными главной оси Cnv 4 C2v 2mm C3v 3m C4v 4mm C6v 6mm Неподвижный конус ∞ mm Группы с инверсионной осью, перпендикулярными ей осями симметрии 2-го порядка и параллельными ей плоскостями симметрии Dnd 3 D3d 32/m D4d D6d 4 2m 6m2 Группы с плоскостью симметрии, перпендикулярной главной оси Cnh 3 C4h 4/m C6h 6/m Группы с осями 2-го порядка и плоскостью, перпендикулярной главной оси Dnh 3 D4h 4/m2/m2/m D6h 6/m2/m2/m Группы с осями симметрии тетраэдра 3 1 C2h 2/m D2h 2/m2/m2/m Неподвижный цилиндр ∞ /mmm T 23 Закрученный шар Th 2/m3 Неподвижный шар Td Неподвижный шар 4 3m ∞/∞ ∞ / m∞ ∞ / m∞ Кристаллические системы. Определяющие элементы симметрии Кристаллическая система Определяющие элементы симметрии (поворотные или инверсионные) Триклинная Оси 1-го порядка Моноклинная Ось 2-го порядка Ромбическая 3 оси 2-го порядка Тригональная Ось 3-го порядка Тетрагональная Ось 4-го порядка Гексагональная Ось 6-го порядка Кубическая 4 оси 3-го порядка Единичные направления. Категории Единичным направлением называется такое направление, которое преобразуется само в себя при действии всех элементов симметрии данного класса. Категория Число ед. направлений Низшая Более одного Средняя Одно Высшая Нет Правила установки Кристалличес кая система Х Y Z Триклинная Праллельно ребрам, перпендикулярно граням ||L2 Моноклинная ||L2 ||L2 Тригональная ?||L2 ?||L2 ||L3 Тетрагональн ая ?||L2 ?||L2 ||L4 Гексагональн ая ?||L2 ?||L2 ||L6 Кубическая Равнонаклонно к осям L3 Ромбическая ||L2 Главные направления. Символика Германа-Могена Кристаллическая система I II III Триклинная - - - Моноклинная [010] - - Ромбическая [001] [100] [010] Тригональная [001] [100] - Тетрагональная [001] [100] [1-10] Гексагональная [001] [100] [1-10] Кубическая [001] [111] [1-10] Символ Германа-Могена 4/m 3 2/m
