Получить слайды лекции 9 в формате pdf

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Курс лекций
Московский государственный университет
имени М.В.Ломоносова
Экономический факультет
1
Лекция 9
Математика бедности и богатства
(измерение экономического неравенства)
2
Математика бедности и богатства
В этой лекции мы познакомимся на конкретном
примере с тем, как создается экономическая
теория некоторого экономического явления. Чтобы
теория была недвусмысленной и строгой, она
должна опираться на набор аксиом, из которых все
утверждения выводились бы в виде теорем.
Мы узнаем некоторые способы измерения
бедности и богатства, мы научимся
отслеживать с цифрами в руках нарастание
экономического неравенства и противоречий в
обществе, которые на определенном уровне
могут быть чреваты социальным взрывом.
3
Амартия Сен
Нобелевским лауреатом по экономике в 1998 году был единодушно
избран ученый индийского происхождения Амартия Сен.
Его работы по развитию
экономической теории
благосостояния неразрывно
связаны с исследованием проблем
бедности и голода, особенно
актуальными для развивающихся
стран. Наибольшую известность
получила книга “Бедность и голод”,
опубликованная в 1981 году.
Сен показал, что массовый голод вовсе не обязательно связан именно
с нехваткой продуктов питания в стране. Причины голода скорее
следует искать в институциональных несовершенствах и
неразвитости инфраструктуры в развивающихся странах (системы
торговли, транспортных коммуникаций, здравоохранения и т. д.), что
в свою очередь обусловлено отсутствием источников инвестиций.
4
Аксиоматическая теория благосостояния
Сен – один и из создателей аксиоматической экономической теории
благосостояния. Ее основоположник — другой Нобелевский лауреат
— Кеннет Эрроу еще в начале 50-х годов доказал так называемую
теорему о невозможности, согласно которой нельзя
математическим путем вывести универсальную формулу общего
благосостояния, удовлетворяющую всем аксиомам, которые лежат
в основе процесса принятия непротиворечивых решений. Сен
изменил аксиоматику, введя менее строгое правило коллективного
принятия решений, и теорию удалось вывести из тупика.
Амартию Сена вообще отличает редкое сочетание активного
использования математического аппарата с упорным встраиванием в
разрабатываемые модели этических, философских компонентов.
Это дает все основания говорить об Амартии Сене как об
экономисте будущего — ученом, пытающемся заложить фундамент
интегрированной экономической теории.
5
Начнем с практической задачи.
В 19 веке много споров вызывал вопрос об особом
пути России. Слишком медленно происходили
изменения. Развивается ли в ней капитализм,
происходит ли разложение общинных отношений?
Возможна ли в ней промышленная революция?
Политиков волновал вопрос, есть ли предпосылки для
социальных потрясений?
Ответ на этот вопрос во многом зависит от того,
происходило ли в России 19 века имущественное
расслоение крестьянства.
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно иметь
количественную меру имущественного неравенства.
Существует много способов измерения неравенства,
которые изучаются в других курсах.
Мы попытаемся найти еще одну.
6
Центральное понятие: распределение
Чтобы подступиться к проблеме, рассмотрим ее основные элементы.
Каждый элемент распределения показывает долю общего богатства,
приходящегося на данного члена общества.
7
Важнейшие виды распределений
Введем несколько распределений, играющих особую роль в теории.
Эти распределения служат эталонами, задавая крайние случаи.
8
Постановка задачи. Дифференциация.
Мы хотим найти способ измерять величину неравенства в
распределении богатства в обществе.
Дифференциация - нейтрально звучащая альтернатива для
эмоционально окрашенного понятия “неравенство”).
9
Аксиомы дифференциации
Всего мы введем 5 аксиом (хотя их число можно еще уменьшить).
Каждая аксиома выражает простейшее качественное свойство меры
оценки экономического неравенства.
10
Аксиома группировки
11
Свойства монопольных распределений
Полученные два свойства дифференциации напоминают свойства
логарифмов. Это даст нам повод попробовать их далее использовать.
12
Лемма о двух милиционерах
Выполненные преобразования (вынесение степени в виде множителя,
сохранение неравенства) опять напоминают логарифмы. Стоит
попробовать их использовать для преобразования того же неравенства.
13
Облава продолжается
Теперь два разных выражения оказались заключенными между одними и
теми же границами, находящимися друг от друга на расстоянии 1/N.
14
Вместе за решеткой
15
Разложение олигопольного распределения
В первом способе мы соберем все ненулевые члены распределения
в одну группу, полностью обнулив остальные.
Во втором способе мы, наоборот, равномерно распределим все
ненулевые члены распределения по группам (строго по одному),
так что в каждой из них возникнет монопольное распределение.
16
Первый способ представления
Итак, первый способ разложения дал сумму дифференциаций
монопольного и олигопольного распределений.
17
Второй способ представления
Другой способ дал дифференциацию чисто монопольного
распределения. Осталось их приравнять.
18
Формула для олигопольного распределения
Итак, мы уже научились вычислять дифференциацию
монопольного и олигопольного распределений.
19
Формула для олигопольного распределения
Осталось рассмотреть общий случай. Идея заключается в том,
чтобы сначала рассмотреть только рациональные числа (дроби),
а потом пользуясь аксиомой непрерывности, распространить
полученный результат на любые числа.
Но мы умеем работать только с олигопольными распределениями
20
Разложение на олигопольные распределения
21
Формула дифференциации
22
Задачка на дом
Методы измерения неравенства.
Какие еще способы измерения неравенства в
экономике вы знаете? (из курсов экономики,
книг и других источников)
В чем их сравнительные преимущества и
недостатки?
Приведите примеры их применения.
23
Задачка на дом
Все мы немножечко лошади...
24
Задачка на дом
Quo vadis? Попробуйте ответить на вопросы:
- Каковы причины возникновения неравенства?
- Растет ли неравенство в современном мире?
- Каковы его особенности в современной России?
- Какие данные взяли бы вы для своих расчетов?
- Где и как найти эти данные?
- Как их нужно обработать?
- Что у вас получилось, и каковы ваши выводы?
25
Конец лекции