Применение операторного метода и метода переменных

Денисова А.В.
Применение операторного метода и метода
переменных состояния для расчета
переходных процессов
Санкт-Петербург
2012
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
А. В. Денисова
Применение операторного метода и метода
переменных состояния для расчета
переходных процессов
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2012
Денисова А.В. Применение операторного метода и метода переменных
состояния для расчета переходных процессов: Методические указания. –
СПб: НИУ ИТМО, 2012. – 105 с.
В пособии кратко излагаются математические основы операторного метода
расчета переходных процессов и метода переменных состояния, способы
получения и решения уравнений состояния. Приведены подробные примеры
применения обоих методов расчета.
Пособие предназначено для студентов специальностей № 090900,161100,
140400,210700,211000, 220400, 221000.
Рекомендовано к печати Ученым советом факультета КТ и У от 18 декабря,
протокол №10.
В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в
результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым
присвоена категория «Национальный исследовательский университет».
Министерством образования и науки Российской Федерации была
утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году
Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный
исследовательский университет информационных технологий, механики и
оптики»
 Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, 2012
 Денисова А.В., 2012
2
Содержание.
Операторный метод расчета переходных процессов
Расчет переходных процессов операторным методом
Свойства преобразования Лапласа
Нахождение оригинала по изображению
Последовательность расчета в операторном методе
Примеры
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Метод переменных состояния
Методы составления уравнений состояния цепи
Метод составления уравнений состояния с помощью
уравнений Кирхгофа
Топологический метод составления уравнений состояния.
Формирование уравнений состояния методом наложения.
Пример 1
Составление уравнений с помощью законов Кирхгофа
Составление уравнений топологическим методом
Составление уравнений методом наложения
Пример 2
Составление уравнений с помощью законов Кирхгофа
Составление уравнений топологическим методом
Составление уравнений методом наложения
Пример 3
Составление уравнений с помощью законов Кирхгофа
Составление уравнений топологическим методом
Составление уравнений методом наложения
Пример 4
Составление уравнений с помощью законов Кирхгофа
Составление уравнений топологическим методом
Составление уравнений методом наложения
Пример 5
Составление уравнений с помощью законов Кирхгофа
Составление уравнений топологическим методом
Составление уравнений методом наложения
Пример 6
3
5
5
7
9
11
12
12
17
19
21
24
29
37
38
39
39
40
41
42
43
44
45
45
49
51
54
54
55
56
58
58
59
61
62
62
64
65
66
Составление уравнений с помощью законов Кирхгофа
Составление уравнений топологическим методом
Составление уравнений методом наложения
Методы решения уравнения состояния цепи
Аналитические методы
Отыскание матричной экспоненты методом КелиГамильтона
Отыскание матричной экспоненты методом Сильвестра
Отыскание матричной экспоненты операторным методом
Пример 1
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Отыскание решения уравнений состояния
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Численные методы решения уравнений состояния
Приложения
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
История кафедры
Литература
4
67
70
71
73
74
74
75
75
75
77
79
82
83
83
84
86
88
90
90
92
94
96
97
98
101
103
Операторный метод расчета переходных процессов
Расчет переходных процессов в сложных цепях классическим
методом очень часто затруднен нахождением постоянных интегрирования.
В связи с этим был разработан операторный метод расчета, основанный на
понятии изображения функций времени. В операторном методе каждой
функции времени соответствует функция новой, комплексной переменной
p=c +jw и наоборот, функции от р отвечает определенная функция времени
t. Переход от одной функции к другой осуществляется с помощью
преобразования Лапласа.
Данный метод облегчает решение системы интегродифференциальных уравнений, составленных для цепи по законам
Кирхгофа, а также позволяет освободиться от нахождения постоянных
интегрирования путем введения начальных условий в уравнения исходной
системы.
Таким образом, идея метода заключается в том, что из области
действительного переменного t решение переносится в область
комплексного переменного p=c +jw, где операции дифференцирования и
интегрирования более просты, или же интегро-дифференциальные
уравнения цепи в переходном режиме заменяются алгебраическими
относительно некоторой комплексной переменной.
Операторный
метод
расчета
сводится
к
четырем
последовательным этапам.
1. От искомой функции f(t), называемой оригиналом, переходят с помощью
преобразования Лапласа к функции комплексного переменного р. Новую
функцию обозначают через F(p) и называют изображением функции f(t).
2. Систему уравнений Кирхгофа для оригиналов, согласно правилам
преобразования функций, их производных и интегралов преобразуют в
операторные алгебраические уравнения для изображений.
3. Полученные операторные уравнения решают относительно F(p) .
4. От найденного изображения F(p) переходят к оригиналу f(t) , который и
является искомой функцией.
Расчет переходных процессов операторным методом.
Операторный метод расчета переходных процессов
основывается на использовании линейного интегрального преобразования
Лапласа, которое позволяет любые интегральные и дифференциальные
временные соотношения свести к алгебраическим выражениям, получив
систему алгебраических уравнений, зависимых от комплексной
переменной р.
∞
F(p) = � f(t)e−pt dt
0
5
f(t) – оригинал, F(p) – изображение, ≓ - символ соответствия между
оригиналом и изображением по Лапласу. Каждой функции времени
f(t) соответствует единственная функция переменной p: 𝑓(𝑡) ≓
𝐹(𝑝), и наоборот, каждой функции переменной p соответствует
только одна функция времени: 𝐹(𝑝) ≓ 𝑓(𝑡). Изображения наиболее
часто используемых функций приведены в таблице 1.
Таблица 1 Операторные изображения некоторых функций.
Оригинал f(t)
𝛿(𝑡) = 1(𝑡)
Изображение F(p)
1
𝑝
𝐴
𝑝
1
𝐴𝛿1 (𝑡)
𝛿(𝑡) =
𝑑𝛿1
𝑑𝑡
𝑡𝑛
𝑛!
𝑒 −𝑎𝑡
1 − 𝑒 −𝑎𝑡
sin (𝜔𝑡 + 𝜓)
𝑒 −𝑎𝑡 sin 𝜔𝑡
𝑡𝑒 −𝑎𝑡
𝑓(𝑡)
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
1
𝑝(𝑛+1)
1
(𝑝 + 𝑎)
𝑎
𝑝(𝑝 + 𝑎)
𝑝𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝜔𝑐𝑜𝑠𝜓
𝑝2 + 𝜔 2
𝜔
(𝑝 + 𝑎)2 + 𝜔 2
𝑎
𝑝(𝑝 + 𝑎)
𝐹(𝑝)
𝑝𝐹(𝑝) − 𝑓(0)
𝐹(𝑝)
𝑝
0
Применяя преобразование Лапласа, можно установить правило
перехода от реальной цепи к операторной. Это правило приведено в
таблице 2. Источники энергии переносятся в операторную цепь как
операторные изображения констант, поскольку рассматриваются
источники постоянного напряжения и тока. Ненулевые начальные условия
моделируются источником тока в цепи, содержащей индуктивность, и
источником напряжения, направленным в сторону разряда емкости в цепи
с емкостью. Пользуясь этой таблицей, легко построить операторную
𝑡
� 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
6
расчетную цепь, которая в дальнейшем рассчитывается как цепь
постоянного тока. Из рассмотренного следует, что расчет переходного
процесса операторным методом целесообразно начинать сразу с
операторной схемы замещения, минуя этап составления системы интегродифференциальных уравнений.
Свойства преобразования Лапласа.
При работе с изображениями можно использовать свойства
преобразования Лапласа, которые позволяют упростить операторное
изображение искомой функции. Очевидно, что соответствие между
оригиналом и изображением взаимно однозначны, т. е. каждой функции
f(t) соответствует одна вполне определенная функция F(p) и наоборот.
Приведены наиболее часто используемые свойства.
Свойство линейности. При умножении оригинала на постоянную
величину на ту же постоянную величину умножается и изображение:
𝑎𝑓(𝑡) ≓ 𝑎𝐹(𝑝).
Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этой суммы
равно сумме изображений этих функций (изображение линейной
комбинации функций есть линейная комбинация изображений):
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑘=1
� 𝑎𝑘 𝑓𝑘 (𝑡) ≓ � 𝑎𝑘 𝐹𝑘 (𝑝)
7
Теорема дифференцирования. Допустим, что некоторая функция f(t)
имеет изображение F(p) , тогда изображение производной этой функции
𝑓 ′ (𝑡) ≓ 𝑝𝐹(𝑝) − 𝑓(0)
Вычисление производной при нулевых начальных условиях (f(0) = 0)
соответствует умножению изображения функции на множитель p:
𝑓 ′ (𝑡) ≓ 𝑝𝐹(𝑝),
многократное дифференцирование при нулевых условиях:
𝑓 𝑘 (𝑡) ≓ 𝑝𝑘 𝐹(𝑝)
Теорема интегрирования. Известно изображение некоторой функции f(t).
Изображение функции, являющейся интегралом функции f(t) определяется
𝑡
𝐹(𝑝)
� 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≓
𝑝
0
Многократному (n раз) интегрированию соответствует общее выражение:
𝑡
𝑡
𝑡
𝐹(𝑝)
� 𝑑𝑡 � 𝑑𝑡 … � 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≓ 𝑛
𝑝
0
0
0
Теорема запаздывания. Теорема позволяет определить изображение
функции f(t - t1), отличающейся от функции f(t) тем, что она сдвинута
вправо вдоль оси времени на t1 (рис.1) :
0 при 𝑡 < 𝑡1
𝑓(𝑡 − 𝑡1) = �
�
𝑓(𝑡 − 𝑡1 ) при 𝑡 > 𝑡1
𝑓(𝑡 − 𝑡1 ) ≓ 𝑒 −𝑝𝑡1 𝐹(𝑝)
Таким образом, запаздывание
функции
на
время
t1
соответствует умножению её
изображения на 𝑒 −𝑝𝑡1 .
Рис.1
Теорема смещения. Теорема смещения позволяет определить, как
изменяется изображение при умножении оригинала на показательную
функцию e±at, где a - постоянное число.
Пусть новая функция имеет вид
8
𝛹(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑒 ±𝑎𝑡
Её изображение
𝛷(𝑝) = 𝐹(𝑝 ∓ 𝑎)
Таким образом, умножение временной функции на экспоненциальный
множитель приводит к «смещению» в области изображений независимой
переменной p на p±a.
Теорема умножения изображений (теорема свертки - интеграл Бореля).
Теорема заключается в следующем: если
𝑓1 (𝑡) ≓ 𝐹1 (𝑝), 𝑓2 (𝑡) ≓ 𝐹2 (𝑝), то
𝑡
𝑡
Ф(𝑝) = 𝐹1 (𝑝)𝐹2 (𝑝) ≓ � 𝑓1 (𝜏)𝑓2 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = � 𝑓1 (𝑡 − 𝜏)𝑓2 (𝜏)𝑑𝜏
0
0
Таким образом, произведению изображений двух функций соответствует
свертка их оригиналов. Теорема свертки широко используется при
составлении таблиц операторных соотношений. Если изображение
искомой функции может быть представлено в виде произведения двух (или
более) сомножителей, то по оригиналам каждого из сомножителей можно
вычислить оригинал исходной функции.
Теорема подобия. Теорема позволяет определить изображение функции
времени при изменении масштаба её аргумента. Пусть известно
изображение функции 𝑓(𝑡) ≓ 𝐹(𝑝). Изображение функции
j(t) = f (at) , где а - некоторая положительная постоянная, будет
1 𝑝
𝐹( )
𝑎 𝑎
Умножение аргумента оригинала на положительное постоянное число а
приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то
же число а.
𝑓(𝑎𝑡) ≓
Нахождение оригинала по изображению
Существует три способа перехода от изображения к оригиналу.
Первый. С помощью обратного преобразования Лапласа. Переход от
изображения к оригиналу выполняется с помощью так называемого
интеграла Римана - Мелина, являющегося формулой обратного
преобразования Лапласа:
1 𝑐+𝑗∞
𝑓(𝑡) =
�
𝐹(𝑝) 𝑒 𝑝𝑡 𝑑𝑝
2𝜋𝑗 𝑐−𝑗∞
9
Для того, чтобы функция F(p) являлась изображением функции f(t),
необходимо выполнение следующих условий: а) F(p) аналитична в
полуплоскости Re p > Co , б) стремится к нулю при |p|→∞, в)
интеграл
𝑐+𝑗∞
�
𝑐−𝑗∞
𝐹(𝑝)𝑑𝑝
абсолютно сходится.
Практически чаще применяют теорему о вычетах, согласно которой
оригиналом F(p) является функция
𝑓(𝑡) = � 𝑅𝑒𝑠 𝐹(𝑝)𝑒 𝑝𝑡 (𝑡 > 0)
𝑝𝑘
𝑓(𝑡) =
𝑐+𝑗∞
1
�
2𝜋𝑗 𝑐−𝑗∞
𝑓(𝑡) = 0
(𝑡 < 0)
1
𝐹(𝑝)𝑒 𝑝𝑡 𝑑𝑝 =
� 𝐹(𝑝)𝑒 𝑝𝑡 𝑑𝑝
2𝜋𝑗
= � 𝑅𝑒𝑠 𝐹(𝑝)𝑒 𝑝𝑡
𝑝𝑘
(1)
(Интегрирование вдоль бесконечной прямой параллельной мнимой оси и
расположенной на расстоянии с > co заменяется на интегрирование по
замкнутому контуру, охватывающему все полюсы функции F(p) . Полюсы
F(p) есть значения p, при которых F(p) =∞).
Вычетом функции (Res) в некотором полюсе называют величину, на
которую уменьшается разделенный на 2pj контурный интеграл от этой
функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс.
Вычисления по последней формуле требуют применения методов теории
вычетов, причем во многих случаях это оказывается весьма сложным.
Поэтому большое значение имеют теоремы, позволяющие представить
изображение в виде суммы более простых слагаемых и тем самым
упростить переход от изображения к оригиналу.
Второй способ нахождения оригинала - использование теоремы
разложения. Теорема разложения используется, когда изображение
найдено в
виде рациональной дроби:
𝐹1 (𝑝) 𝑎𝑚 𝑝𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑝𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑝 + 𝑎0
𝐹(𝑝) =
=
𝐹2 (𝑝)
𝑏𝑛 𝑝𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑝 + 𝑏0
Где F1(p) и F2(p) – полиномы относительно p.
Предположим, что знаменатель F2(p) имеет n простых корней p1 , p2 ,
... pk , тогда общая формула теоремы разложения:
10
𝑛
𝐹1 (𝑝)
𝐹1 (𝑝𝑘 )𝑒 𝑝𝑘𝑡
≓�
𝐹2 (𝑝)
𝐹2′ (𝑝𝑘 )
(2)
𝑘=1
В случае комплексных корней получаются два сопряженных слагаемых,
сумма которых равна удвоенному значению действительной части:
𝑛
𝐹1 (𝑝)
𝐹1 (𝑝𝑘 )𝑒 𝑝𝑘𝑡
≓ 2𝑅𝑒 �
(3)
𝐹2 (𝑝)
𝐹2′ (𝑝𝑘 )
𝑘=1
Если в полиноме F2(p) слагаемое 𝑏0 = 0, тогда множитель p можно
вынести за скобку, и знаменатель принимет вид F2 = pF3. В этом случае
при наличии n корней один корень уравнения pF3(p) = 0 будет нулевым: p1
= 0. Для этого частного случая теорема разложения принимает вид
𝑛
𝐹1 (0)
𝐹1 (𝑝𝑘 ) 𝑝 𝑡
𝑘 �
𝑓(𝑡) =
+��
′ (𝑝 ) 𝑒
(0)
𝐹3
𝑝𝑘 𝐹3 𝑘
(4)
𝑘=2
Третий способ определения оригинала заключается в использовании
таблиц, где приводятся как изображения, так и соответствующие им
оригиналы.
Существуют справочники, содержащие несколько сотен изображений и
соответствующих им оригиналов. Следует только изображение привести к
табличному виду. При использовании готовых таблиц следует выяснить, с
помощью какого преобразования они составлены - Лапласа или Карсона.
Если изображение дается по Карсону, то его следует поделить на р для
получения изображения по Лапласу.
Последовательность расчета в операторном методе
В общем случае порядок расчета переходных процессов операторным
методом следующий:
1) Составляется операторная схема замещения цепи, сложившейся после
коммутации по правилу, приведенному в таблице 1. Выбираются
положительные направления токов в ветвях.
2) Определяется докоммутационное состояние цепи (определяются токи в
индуктивностях и напряжения на емкостях до коммутации).
3) Любым способом расчета (с помощью уравнений Кирхгофа, методом
контурных токов, методом узловых потенциалов, и т.д.) определяется
операторное изображение искомой величины.
4) На основе полученного изображения находится оригинал искомой
функции.
11
Примеры.
Пример 1. Решить задачу операторным методом. Схема цепи, параметры
элементов и ЭДС следующие: Е=100 В, r=10 Ом, R1=40 Ом, R2=50 Ом,
С=1000 мкФ.
Найти токи в ветвях и напряжения на всех элементах цепи при замыкании
ключа: i1(t), i2(t), i3(t), UR1(t), UR2(t), UС(t), Ur(t).
Рис.2
Рис.3
Решение.
1. Составляем операторную схему замещения для цепи после коммутации,
пользуясь таблицей 1 (рис.3):
2. Определяем докоммутационное состояние цепи. Здесь необходимо
определить напряжение на емкости UC(0), зная, что по закону коммутации
UC(0)=UC(0-). Для этого возвращаемся к рис.2. До коммутации в цепи
существует постоянный ток, который не протекает через емкость, поэтому
мы заменяем ее разрывом цепи. Значит, ток замыкается в первом контуре.
Схема
приобретает
вид
(рис.4).
Численное
значение
тока
можно
определить, составив для этого контура
уравнение по 2-му закону Кирхгофа:
𝐼𝑟 + 𝐼𝑅1 + 𝐼𝑅2 = 𝐸;
𝐸
= 1 𝐴.
𝐼=
𝑟 + 𝑅1 + 𝑅2
зажимам, что и R1 и R2 , то есть
параллельно с этими резисторами, равно:
UC(0-)=UC(0)
Рис.4
𝑈𝑐 (0 −) = 𝑈𝑅1 + 𝑈𝑅2 = 𝐼(𝑅1 + 𝑅2 ) = 90 В
𝑈𝑅1 = 40 𝐵, 𝑈𝑅2 = 50 𝐵.
3. Определим операторные изображения искомых величин. Решать задачу
можно любым известным способом (воспользоваться уравнениями
Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов и пр.).
12
Воспользуемся уравнениями Кирхгофа. В этой схеме три ветви и два узла,
поэтому необходимо составить одно узловое и два контурных уравнения:
𝑖1 (𝑝) = 𝑖2 (𝑝) + 𝑖3 (𝑝)
⎧
⎪ 𝑖 (𝑝)𝑟 + 𝑖 (𝑝)𝑅 = 𝐸
1
2
1
(5)
𝑝
⎨
𝑖 (𝑝) 𝑈𝐶 (0)
⎪𝑖2 (𝑝)𝑅1 − 3
=
𝑝𝐶
𝑝
⎩
Теперь выразим ток i2(p) из второго уравнения системы через ток i1(p) :
𝐸
− 𝑖1 (𝑝)𝑟
𝑝
(6)
𝑖2 (𝑝) =
𝑅1
А затем, подставив
𝑖2 (𝑝)𝑅1 =
𝐸
− 𝑖1 (𝑝)𝑟
𝑝
в третье уравнение системы (5), выразим ток i3(p) через ток i1(p):
𝑖3 (𝑝) 𝑈𝐶 (0)
𝐸
− 𝑖1 (𝑝)𝑟 −
=
𝑝𝐶
𝑝
𝑝
𝐸 𝑈𝐶 (0)
𝑖3 (𝑝) = � −
− 𝑖1 (𝑝)𝑟� 𝑝𝐶
𝑝
𝑝
(7)
После этого можно подставить выражения (6) и (7) в первое уравнение,
получив таким образом уравнение относительно i1(p)
𝐸
− 𝑖1 (𝑝)𝑟
𝐸 𝑈𝐶 (0)
𝑝
𝑖1 (𝑝) =
+ 𝑝𝐶 � −
− 𝑖1 (𝑝)𝑟�
𝑝
𝑝
𝑅1
Подставляя известные нам значения ЭДС Е, найденное в п.2 UC(0),
значения сопротивлений и упрощая выражение, получим операторное
изображение тока i1:
0.01𝑝 + 2.5
𝑖1 (𝑝) =
(8)
𝑝(0.01𝑝 + 1.25)
Теперь по формулам (6) и (7) можем определить операторные изображения
токов i2(p) и i3(p):
2.5
(0.01𝑝 + 2.5)
𝑖2 (𝑝) =
−
(9)
𝑝
4𝑝(0.01𝑝 + 1.25
𝑖3 (𝑝) = 10−2 (
−1.25
)
0.01𝑝 + 1.25
13
(10)
4. Перейдем к оригиналам полученных величин, пользуясь разными
способами.
• Сначала получим оригинал тока i1(t). Поскольку числитель и
знаменатель полученного выражения (8) представляют собой полиномы от
p, и дробь является рациональной (порядок числителя меньше порядка
знаменателя), то перейдем от изображения к оригиналу по теореме
разложения.
 Запишем числитель:
𝐹1 (𝑝) = 0.01𝑝 + 2.5 , знаменатель 𝐹2 (𝑝) =
𝑝(0.01𝑝 + 1.25), найдем производную знаменателя: 𝐹2′ (𝑝) = 0.02𝑝 + 1.25.
Приравняв знаменатель к нулю, определим его корни: p1=0, p2=-125.
Подставляя корни, найдем значения числителя и производной
знаменателя: 𝐹1 (𝑝1 ) = 𝐹1 (0) = 2.5, 𝐹2′ (𝑝1 ) = 𝐹2′ (0) = 1.25, 𝐹1 (𝑝2 ) =
𝐹1−125=1.25, 𝐹2′𝑝2=𝐹2′−125=−1.25. Теперь можно получить оригинал
тока i1(t) по формуле:
𝐹1 (𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 𝐹1 (𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡 2.5𝑒 0𝑡 1.25𝑒 −125𝑡
𝑖1 (𝑡) =
+
=
+
𝐹2′ (𝑝1 )
𝐹2′ (𝑝2 )
1.25
(−1.25)
𝑖1 (𝑡) = 2 − 1𝑒 −125𝑡
 Интересно также получить оригинал тока i1(t) по теореме о вычетах, при
этом также необходимо приравнять знаменатель к нулю и определить его
корни. Количество определяемых вычетов (слагаемых) будет равно
количеству корней:
𝑖1 (𝑡) = 𝑖1 (𝑝)(𝑝 − 𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑖1 (𝑝)(𝑝 − 𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡 ⃒𝑝2
(0.01𝑝 + 2.5)(𝑝 − 0)𝑒 0𝑡
𝑖1 (𝑡) =
⃒𝑝=0
𝑝(0.01𝑝 + 1.25)
(0.01𝑝 + 2.5)(𝑝 + 125)𝑒 −125𝑡
+
⃒𝑝=−125
𝑝(0.01𝑝 + 1.25)
(2.5)𝑒 0𝑡 (−1.25 + 2.5)𝑒 −125𝑡
𝑖1 (𝑡) =
+
= 2 − 1𝑒 −125𝑡
(1.25)
−1.25
• Перейдем к отысканию оригинала тока i2(t).
 Здесь необходимо обратить внимание на то, что выражение состоит из
двух слагаемых и вспомнить свойство линейности: изображение линейной
комбинации функций есть линейная комбинация изображений. То есть
14
будем искать оригинал первого слагаемого, а затем оригинал второго.
Нетрудно увидеть, что оригинал первого представляет собой константу –
2.5. Оригинал второго слагаемого отыщем по теореме разложения.
Изображение тока i2:
Второе cлагаемое:
𝑖2 (𝑝) =
2.5 (0.01𝑝 + 2.5)
−
𝑝
𝑝(0.04𝑝 + 5)
(0.01𝑝 + 2.5)
𝑝(0.04𝑝 + 5)
Корни знаменателя те же, поскольку переходный процесс един во всей
цепи: 𝑝1 = 0, 𝑝2 = −125. Запишем числитель: 𝐹1 (𝑝) = 0.01𝑝 + 2.5,
знаменатель 𝐹2 (𝑝) = 𝑝(0.04𝑝 + 5), найдем производную знаменателя:
𝐹2′ (𝑝) = 0.08𝑝 + 5. Подставляя корни, найдем значения числителя и
производной знаменателя: 𝐹1 (𝑝1 ) = 𝐹1 (0) = 2.5, 𝐹2′ (𝑝1 ) = 𝐹2′ (0) = 5,
𝐹1 (𝑝2 ) = 𝐹1 (−125) = 1.25, 𝐹2′ (𝑝2 ) = 𝐹2′ (−125) = −5. Теперь можно
получить оригинал функции ψ(t):
𝜓(𝑝) =
2.5𝑒 0𝑡 1.25𝑒 −125𝑡
𝐹1 (𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 𝐹1 (𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡
+
+
𝜓(𝑡) = � ′
�=
(−5)
𝐹2 (𝑝1 )
𝐹2′ (𝑝2 )
5
−125𝑡
𝜓(𝑡) = 0.5 − 0.25𝑒
а затем и оригинал тока i2(t) по формуле:
𝑖2 (𝑡) = 2.5 − 𝜓(𝑡) = 2.5 − 0.5 + 0.25𝑒 −125𝑡 = 2 + 0.25𝑒 −125𝑡
 Получим оригинал тока i2(t) по теореме о вычетах:
2.5 (0.01𝑝 + 2.5)
𝑖2 (𝑝) =
−
𝑝
𝑝(0.04𝑝 + 5)
Приведем оба слагаемых к общему знаменателю и упростим:
2.5(0.04𝑝 + 5) − (0.01𝑝 + 2.5)
0.09𝑝 + 10
𝑖2 (𝑝) =
=
𝑝(0.04𝑝 + 5)
𝑝(0.04𝑝 + 5)
Найдем ток i2(t):
𝑖2 (𝑡) = 𝑖2 (𝑝)(𝑝 − 𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑖2 (𝑝)(𝑝 − 𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡 ⃒𝑝2
(0.09𝑝 + 10)(𝑝 − 0)𝑒 0𝑡
𝑖2 (𝑡) =
⃒𝑝=0
𝑝(0.04𝑝 + 5)
(0.09𝑝 + 10)(𝑝 + 125)𝑒 −125𝑡
+
⃒𝑝=−125
𝑝(0.04𝑝 + 5)
10𝑒 0𝑡 (−11.25 + 10)𝑒 −125𝑡
+
= 2 + 0.25𝑒 −125𝑡
𝑖2 (𝑡) =
5
(−5)
15
• Ток i3(t) можно искать разными способами: воспользовавшись первым
уравнением из системы уравнений Кирхгофа, найти разность токов i1 и i2,
оперируя изображениями, а затем перейти к оригиналу; воспользоваться
выражением (7), определить изображение этого тока и затем перейти к
оригиналу удобным способом; найти непосредственно разность
оригиналов токов i1 и i2. Наиболее простыми представляются два
последних:

Изображение тока i3 из выражения (7):
𝐸 𝑈𝐶 (0)
− 𝑖1 (𝑝)𝑟� 𝑝𝐶
𝑖3 (𝑝) = � −
𝑝
𝑝
В упрощенном виде:
−1.25
𝑖3 (𝑝) = 10−2 (
)
0.01𝑝 + 1.25
Здесь при переходе к оригиналу также необходимо вспомнить свойство
линейности: при умножении оригинала на постоянную величину на ту же
величину умножается и изображение, и наоборот.
По теореме разложения: 𝑝 = −125; 𝐹1 (𝑝) = −1.25; 𝐹2′ = 0.01;
(−1.25)𝑒 −125𝑡 −2
𝑖3 (𝑡) =
10 = −1.25𝑒 −125𝑡
0.01
По теореме о вычетах:
−1.25(𝑝 + 125)𝑒 −125𝑡
𝑝
𝑡
−2
1
𝑖3 (𝑡) = 𝑖3 (𝑝)(𝑝 − 𝑝1 )𝑒 ⃒𝑝1 = 10 �
� ⃒𝑝=−125
10−2 (𝑝 + 125)
= −1.25𝑒 −125𝑡
 Вычитая непосредственно оригиналы:
𝑖3 (𝑡) = 𝑖1 (𝑡) − 𝑖2 (𝑡)
−125𝑡
𝑖3 (𝑡) = 2 − 𝑒
− (2 + 0.25𝑒 −125𝑡 ) = −1.25𝑒 −125𝑡
Осталось определить напряжения на всех элементах этой схемы: UC, UR1,
UR2, Ur.
𝑈𝐶 = 𝑈𝑅1 = 𝑅1 𝑖2 (𝑡) = 40(2 + 0.25𝑒 −125𝑡 ) = 80 + 10𝑒 −125𝑡
𝑈𝑟 = 𝑟𝑖1 (𝑡) = 10(2 − 𝑒 −125𝑡 ) = 20 − 10𝑒 −125𝑡
Напряжение на резисторе R2 изменилось до 0 в момент коммутации и мы
принимаем это изменение за мгновенное, как и сам процесс коммутации.
Напряжение на резисторе R1 до коммутации равно 40 В (𝑈𝑅1 = 𝐼𝑅1 ), а
после нее равно напряжению на емкости.
Ту же задачу можно решать и методом двух узлов. Это частный случай
метода узловых потенциалов, когда схема имеет только два узла.
Потенциал одного из них принимают равным нулю, потенциал второго
находят по формуле:
∑𝑛𝑘=1 ±𝐸𝑘 𝐺𝑘
𝜑=
∑𝑛𝑘=1 𝐺𝑘
16
Где Gк – проводимость к-той ветви, подходящей к узлу, Ек – ЭДС в к-той
ветви.
Напряжение между двумя узлами 𝜑А − 𝜑В = 𝜑 − 0 = 𝜑.
В данном случае это позволяет сразу найти напряжение UC :
𝐸 𝑈𝐶 (0)
+
𝑝𝐶
𝑝𝑟
𝑝
𝑈𝐶 (𝑝) =
1 1
+ + 𝑝𝐶
𝑟 𝑅1
Приводя знаменатель и упрощая, получим операторное изображение
напряжения UC:
102 (10 + 0.09𝑝)
𝑈𝐶 (𝑝) =
𝑝(0.1𝑝 + 12.5)
Оригинал находим по теореме о вычетах: 𝐹1 (𝑝) = 10 + 0.09𝑝, 𝐹2 (𝑝) =
0.1𝑝2 + 12.5𝑝, 𝐹2′ = 0.2𝑝 + 12.5, корни знаменателя 𝑝1 = 0, 𝑝2 = −125,
значения числителя F1 и производной знаменателя 𝐹2′ : 𝐹1 (𝑝1 ) = 10,
𝐹1 (𝑝2 ) = −1.25, 𝐹2′ (𝑝1 ) = 12.5, 𝐹2′ (𝑝2 ) = −12.5, оригинал:
10𝑒 0𝑡 1.25𝑒 −125𝑡
2
(𝑡)
= 10 �
𝑈𝐶
−
� = 80 + 10𝑒 −125𝑡
(−12.5)
12.5
Рассмотрим случаи, когда в цепи несколько реактивных элементов.
Пример 2.
Дано:
𝐿6 = 0,8 Гн, 𝐿5 = 0,4 Гн, 𝑅2 = 60 Ом, 𝑅3 = 20 Ом, 𝑅4 =
110 Ом, С = 80 мкФ. Переменные состояния: 𝑈𝐶 (𝑡), 𝑖𝐿 (𝑡)
Выходные переменные: 𝑈2 , 𝑈3 ,𝑈4 , 𝑖2 , 𝑖3 , 𝑖4
Решить задачу операторным методом, схема цепи на рис. 5
Решение.
Рис.5
Рис.6
17
Рис.7
1. Составляем операторную схему замещения для цепи после коммутации,
пользуясь таблицей 1 (рис.6):
2. Определим докоммутационное состояние цепи. До коммутации в данной
схеме отсутствует источник энергии, поэтому 𝑖𝐿5 (0) = 0; 𝑖𝐿6 (0) =
0; 𝑈𝐶 (0) = 0.
3. Данная схема содержит три реактивных элемента и шесть ветвей,
поэтому искать токи, пользуясь уравнениями Кирхгофа, нерационально.
Воспользуемся методом контурных токов для нахождения операторных
изображений токов. Уравнения, составленные по рисунку 7:
(11)
𝐼11 (𝑝𝐿6 + 𝑅3 + 𝑅4 ) − 𝐼22 𝑅3 − 𝐼33 𝑅4 = 0
1
𝐸
(12)
𝐼22 �𝑝𝐿5 +
+ 𝑅3 � − 𝐼11 𝑅3 − 𝑝𝐿5 𝐼33 = −
𝑝𝐶
𝑝
𝐸
(13)
𝐼33 (𝑝𝐿5 + 𝑅2 + 𝑅4 ) − 𝑝𝐿5 𝐼22 − 𝐼11 𝑅4 =
𝑝
Выражаем контурный ток 𝐼11 из уравнения (11):
𝐼11 =
𝐼22 𝑅3 +𝐼33 𝑅4
𝑝𝐿6 +𝑅3 +𝑅4
,
подставляем в (13):
𝐼33 (𝑝𝐿5 + 𝑅2 + 𝑅4 ) − 𝑝𝐿5 𝐼22 −
упрощаем и выражаем ток 𝐼22 :
𝐼22 = �𝐼33 �𝑅4 + 𝑅2 + 𝑝𝐿5 −
(𝐼22 𝑅3 +𝐼33 𝑅4 )𝑅4
𝑝𝐿6 +𝑅3 +𝑅4
𝑅42
𝑝𝐿6 +𝑅3 +𝑅4
𝐸
𝐸
= ,
𝑝
� − 𝑝� / �𝑝𝐿5 + 𝑝𝐿
𝑅3 𝑅4
6 +𝑅3 +𝑅4
�.
Полученные таким образом токи подставляем в уравнение (12), и получаем
уравнение относительно одной неизвестной, тока 𝐼33 :
18
𝑅42
𝐸
1
�𝐼33 �𝑅4 + 𝑅2 + 𝑝𝐿5 − 𝑝𝐿 + 𝑅 + 𝑅 � − 𝑝 � �𝑝𝐿5 + 𝑝𝐶 + 𝑅3 �
6
3
4
𝑅3 𝑅4
�𝑝𝐿5 +
�
𝑝𝐿6 + 𝑅3 + 𝑅4
𝐼22 𝑅32
𝐼33 𝑅3 𝑅4
𝐸
−
−
− 𝑝𝐿5 𝐼33 = −
𝑝
𝑝𝐿6 + 𝑅3 + 𝑅4 𝑝𝐿6 + 𝑅3 + 𝑅4
После преобразований и упрощений полученного выражения операторное
изображение тока 𝐼33 будет следующим:
𝐸(16𝑝2 + 104 𝑝 + 1.625 ∗ 106 )
𝐼33 =
𝑝(60.8𝑝3 + 9840𝑝2 + 2.482 ∗ 106 𝑝 + 1.25 ∗ 108
Проверить правильность этого выражения можно, если отыскать корни
знаменателя и сравнить с собственными числами матрицы А, найденной
методом переменных состояния (см. стр. 47). Определим также два других
контурных тока:
𝐸(𝑝 + 57.353)
𝐼22 = −
60.8𝑝3 + 9840𝑝2 + 2.482 ∗ 106 𝑝 + 1.25 ∗ 108
𝐸(1740𝑝2 + 1.1 ∗ 106 𝑝 + 178.75 ∗ 106 )
𝐼11 =
𝑝(0.8𝑝 + 130)(60.8𝑝3 + 9840𝑝2 + 2.482 ∗ 106 𝑝 + 1.25 ∗ 108 )
После отыскания контурных токов нетрудно найти изображения токов в
ветвях, однако полученные выражения громоздки, и отыскание оригиналов
также потребует больших вычислений, поэтому здесь они не приводятся.
Пример 3.
В схеме второго порядка на рис. 8 после замыкания ключа рассчитать
переходный процесс операторным методом. Дано: 𝐿 = 5 мГн, 𝑅1 =
20 Ом, 𝑅2=10 Ом, 𝑅3=20 Ом, С=4 мкФ, J=30 A.
Переменные состояния: 𝑈𝐶 (𝑡), 𝑖𝐿 (𝑡)
Выходные переменные: напряжения на резисторах R1 и R2 - 𝑈1 , 𝑈2
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между
реактивными элементами после коммутации ключа S.
Решение.
1. В соответствии с порядком расчета составим схему замещения цепи для
послекоммутационного состояния (рис. 9).
19
Рис. 8
Рис. 9
2. Определим докоммутационное состояние цепи (токи в индуктивностях и
напряжения на емкостях). Цепь для расчета представлена на рис.10. В цепи
действует постоянный ток, поэтому заменяем индуктивность перемычкой,
а емкость – разрывом цепи, и анализируем данную цепь.
𝑈2 = 𝐽𝑅2 = 300; 𝑈3 = 𝐽𝑅3 = 600; 𝑖𝐿 (0) = 𝐽
= 30;
𝑈𝐶 (0) = 𝐽(𝑅2 + 𝑅3 ) = 900.
3.
Теперь,
определив
все
параметры
операторной схемы замещения, составим
операторные уравнения (см. рис.9) и
определим
операторные
изображения
искомых величин.
𝐽
Рис. 10
𝑖1 (𝑝) + 𝑖𝐶 (𝑝) + 𝑖𝐿 (𝑝) =
𝑝
1
𝑈𝐶 (0)
𝑖1 (𝑝)𝑅1 − 𝑖𝐶 (𝑝)
=
𝑝𝐶
𝑝
𝑈𝐶 (0)
𝑖𝐶 (𝑝)
− 𝑖𝐿 (𝑝)(𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2 ) = −
− 𝐿𝑖𝐿 (0)
𝑝𝐶
𝑝
Выразим ток 𝑖𝐿 (𝑝) из третьего уравнения, а ток 𝑖𝐶 (𝑝) – из второго, и
подставим их в первое:
𝑖 (𝑝)
𝑈𝐶 (0)
+ 𝐿𝑖𝐿 (0) + 𝐶
𝐿𝑖𝐿 (0) + 𝑖1 (𝑝)𝑅1
𝑝
𝑝𝐶
=
𝑖𝐿 (𝑝) =
𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2
𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2
𝑈𝐶 (0)
𝑖𝐶 (𝑝) = �𝑖1 (𝑝)𝑅1 −
� 𝑝𝐶
𝑝
𝐿𝑖𝐿 (0) + 𝑖1 (𝑝)𝑅1 𝐽
𝑈𝐶 (0)
𝑖1 (𝑝) + �𝑖1 (𝑝)𝑅1 −
=
� 𝑝𝐶 +
𝑝
𝑝
𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2
Таким образом, получили выражение, в котором все величины, кроме
𝑖1 (𝑝), известны. Выразим ток 𝑖1 (𝑝).
20
𝐽
𝐿𝑖𝐿 (0)
𝑅1
� = + 𝑈𝐶 (0)𝐶 −
𝑝
𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2
𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2
Домножим на 𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2 числитель и знаменатель и получим
выражение:
𝐽
� + 𝑈𝐶 (0)𝐶� (𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2 ) − 𝐿𝑖𝐿 (0)
𝑝
𝑖1 (𝑝) =
(𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2 )(1 + 𝑅1 𝑝𝐶) + 𝑅1
Так как 𝑖𝐶 = 𝑖1 𝑅1 𝑝𝐶 − 𝑈𝐶 (0)𝐶, то
𝐽
� + 𝑈𝐶 (0)𝐶� (𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2 )𝑅1 𝑝𝐶 − 𝐿𝑖𝐿 (0)𝑅1 𝑝𝐶
𝑝
𝑖С (𝑝) =
− 𝑈𝐶 (0)𝐶
(𝑅3 + 𝑝𝐿 + 𝑅2 )(1 + 𝑅1 𝑝𝐶) + 𝑅1
После упрощения данного выражения имеем:
𝐽
𝑅1 𝑝𝐶 � (𝑅3 + 𝑅2 + 𝑝𝐿) − 𝐿𝑖𝐿 (0)� − 𝑈𝐶 (0)𝐶[𝑅3 + 𝑅2 + 𝑅1 + 𝑝𝐿]
𝑝
𝑖С (𝑝) ==
𝑅3 + 𝑅2 + 𝑅1 + 𝑝𝐿 + 𝑅1 𝑝𝐶(𝑅3 + 𝑅2 + 𝑝𝐿)
Операторное изображение тока 𝑖1 :
18 ∗ 10−6 𝑝2 + 0.108𝑝 + 900
𝑖1 (𝑝) =
4 ∗ 10−7 𝑝3 + 7.4 ∗ 10−3 𝑝2 + 50𝑝
−18 ∗ 10−6 𝑝 − 0.108
𝑖С (𝑝) =
4 ∗ 10−7 𝑝2 + 7.4 ∗ 10−3 𝑝 + 50
4. Определим оригиналы функций. Воспользуемся теоремой разложения.
Определим корни знаменателя, приравняв его к нулю. В первом случае
имеем три корня, во втором два.
𝑝1 = −9250 + 𝑗6280, 𝑝2 == −9250 − 𝑗6280, 𝑝3 = 0
Поскольку корни являются комплексно-сопряженными (в первом случае к
ним добавится нулевой корень), решение может быть найдено с помощью
выражения (3).
Тогда ток 𝑖С (𝑡) после преобразований получится:
𝑖𝐶 (𝑡) = 𝑒 −9250𝑡 [50,16sin (6280𝑡 − 63°)]
𝑖1 (𝑝) �1 + 𝑅1 𝑝𝐶 +
При анализе выражения для тока 𝑖1 (𝑝) видим, что в полиноме знаменателя
слагаемое 𝑏0 = 0. В этом случае при наличии n корней один корень
уравнения pF3(p) = 0 будет нулевым: p1 = 0. Для этого частного случая
теорема разложения принимает вид (4), и ток равен:
𝑖1 (𝑝) = 18 + 𝑒 −9250𝑡 [56.7sin (6280𝑡 + 28.5°)]
Пример 4.
Решить задачу операторным методом для схемы второго порядка на рис.
11 после размыкания ключа. Дано: 𝑅1 = 20 Ом, 𝑅2 = 30 Ом, 𝑅3 =
35 Ом, С = 5 мкФ, Е = 50 В.
21
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между
реактивными элементами после коммутации ключа S (ключ размыкается).
Решение.
1. В соответствии с порядком расчета составим схему замещения цепи для
послекоммутационного состояния (рис.12).
Рис. 11
Рис. 12
2. Определим докоммутационное состояние цепи (напряжения
емкостях). Цепь для расчета представлена на рис.13.
на
Рис. 13
Рис. 14
В цепи действует постоянный ток, поэтому заменяем емкости разрывами
цепи, и анализируем данную цепь. Ток в цепи равен
50
𝐸
=
= 0.6; 𝑈𝐶2 (0) = 𝑈𝑅3 = 𝑖𝑅3 = 20.6,
𝑖=
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 85
𝑈𝐶1 (0) = 𝑈𝑅2 + 𝑈𝑅3 = 39,
𝑈𝑅1 = 𝑖𝑅1 ,
𝑈𝑅2 = 𝑖𝑅2
После коммутации (рис.14) ток равен нулю, 𝑈𝐶1 = 𝑈𝐶2 = 𝐸.
3. Применим для решения данной задачи метод двух узлов.
Напряжение 𝑈𝑎𝑏 между точками a и b может быть найдено по формуле:
22
∑𝑛𝑘=1 ±𝐸𝑘 𝐺𝑘
𝜑=
∑𝑛𝑘=1 𝐺𝑘
𝑈𝐶 (0)
𝑈𝐶1 (0)
𝑝𝐶1 + 2
𝑝
𝑝
1
+
𝐸
𝑝𝑅1
1
+ 𝑅2 �
𝑝𝐶2
𝑈𝑎𝑏 =
1
1
+ 𝑝𝐶1 + 1
𝑅1
�
+ 𝑅2 �
𝑝𝐶2
Упростив данное выражение и подставив числа, получим изображение
напряжения 𝑈𝑎𝑏 :
𝑈𝑎𝑏 =
�
5.734∗10−3 𝑝2 +133.81𝑝+5∗105
0.15∗10−3 𝑝3 +3.5𝑝2 +104 𝑝
.
4. Определим оригинал этого напряжения, воспользовавшись теоремой
разложения.
 Найдем корни знаменателя, приравняв его к нулю.
0.15 ∗ 10−3 𝑝3 + 3.5𝑝2 + 104 𝑝 = 0
Корни: 𝑝1 = 0, 𝑝2 = −20000, 𝑝3 = −3333.3
Числитель: 𝐹1 = 5.734 ∗ 10−3 𝑝2 + 133.81𝑝 + 5 ∗ 105
Знаменатель: 𝐹2 = 0.15 ∗ 10−3 𝑝3 + 3.5𝑝2 + 104 𝑝
Производная знаменателя: 𝐹2′ = 0.15 ∗ 10−3 ∗ 3𝑝2 + 3.5 ∗ 2𝑝 + 104
Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и
рассчитаем
эти
величины:
𝐹1 (0) = 5 ∗ 105 , 𝐹2′ (0) = 104 , 𝐹1 (𝑝1 ) =
Таким
117709, 𝐹2′ (𝑝1 ) = −8331, 𝐹1 (𝑝2 ) = 115800, 𝐹2′ (𝑝2 ) = 50000.
0𝑡
−3333𝑡
−20000𝑡
образом, 𝑈𝑎𝑏 (𝑡) = 50𝑒 − 14𝑒
+ 2.3𝑒
. Проверим, подставив
0
нулевое значение времени: 𝑈𝑎𝑏 (𝑡) = 50 − 14𝑒 + 2.3𝑒 0 = 38.2 В. То же
значение получено нами при анализе цепи до коммутации, а поскольку
𝑈𝑎𝑏 = 𝑈𝐶1 (0), то для этого напряжения действует закон коммутации, и его
значение до коммутации равно значению в первый момент после нее.
Подставив же бесконечное время, получим 𝑈𝑎𝑏 = 50 В, что также
соответствует сделанному ранее анализу цепи после коммутации.
Определив оригинал данного напряжения, можно определить все
остальные искомые величины:
𝑈𝐶1 = 𝑈𝑎𝑏 = 50𝑒 0𝑡 − 14𝑒 −3333𝑡 + 2.3𝑒 −20000𝑡
𝑑𝑈𝐶1
= 0.23𝑒 −3333𝑡 − 0.23𝑒 −20000𝑡
𝑖𝐶1 = 𝐶1
𝑑𝑡
𝐸 = 𝑈1 + 𝑈𝑎𝑏 ; 𝑈1 = 𝐸 − 𝑈𝑎𝑏 = 14𝑒 −3333𝑡 − 2.3𝑒 −20000𝑡
𝑖1 = 0.7𝑒 −3333𝑡 − 0.11𝑒 −20000𝑡
𝑖𝐶2 = 𝑖1 − 𝑖𝐶1 = 0.7𝑒 −3333𝑡 − 0.11𝑒 −20000𝑡 − (0.23𝑒 −3333𝑡 − 0.23𝑒 −20000𝑡 )
= 0.47𝑒 −3333𝑡 + 0.12𝑒 −20000𝑡
23
𝑈𝑅2 = 𝑖𝐶2 𝑅2 = 14.1𝑒 −3333𝑡 + 3.6𝑒 −20000𝑡
𝑈𝐶2 = 𝑈𝑎𝑏 − 𝑈𝑅2 = 50 − 28.1𝑒 −3333𝑡 − 1.3𝑒 −20000𝑡
Проверить это решение можно, найдя ток 𝑖𝐶2 через производную от
последнего
выражения:
𝑑𝑈𝐶
2
𝑖𝐶2 = 𝐶2
=
𝑑𝑡
5 ∗ 10−6 [(−28.1)(−3333)𝑒 −3333𝑡 + (−1.3)(−2000)𝑒 −20000𝑡 ] =
0.47𝑒 −3333𝑡 + 0.12𝑒 −20000𝑡
 Определим теперь оригинал напряжения 𝑈𝑎𝑏 , пользуясь теоремой о
вычетах:
5.734 ∗ 10−3 𝑝2 + 133.81𝑝 + 5 ∗ 105
𝑈𝑎𝑏 =
0.15 ∗ 10−3 𝑝3 + 3.5𝑝2 + 104 𝑝
Корни знаменателя: 𝑝1 = 0, 𝑝2 = −20000, 𝑝3 = −3333.3 Три корня –
значит, вычетов тоже будет три.
𝑈𝑎𝑏 (𝑡) = 𝑈𝑎𝑏 (𝑝)(𝑝 − 𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑈𝑎𝑏 (𝑝)(𝑝 − 𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡 ⃒𝑝2 + 𝑈𝑎𝑏 (𝑝)(𝑝
− 𝑝3 )𝑒 𝑝3𝑡 ⃒𝑝3
𝑈𝑎𝑏 (𝑡) =
(5.734 ∗ 10−3 𝑝2 + 133.81𝑝 + 5 ∗ 105 )(𝑝 − 0)𝑒 0𝑡
=
⃒𝑝=0
0.15 ∗ 10−3 𝑝3 + 3.5𝑝2 + 104 𝑝
(5.734 ∗ 10−3 𝑝2 + 133.81𝑝 + 5 ∗ 105 )(𝑝 + 20000)𝑒 −20000𝑡
+
⃒𝑝=−20000
0.15 ∗ 10−3 𝑝3 + 3.5𝑝2 + 104 𝑝
(5.734 ∗ 10−3 𝑝2 + 133.81𝑝 + 5 ∗ 105 )(𝑝 + 3333)𝑒 −3333𝑡
+
⃒𝑝=−3333
0.15 ∗ 10−3 𝑝3 + 3.5𝑝2 + 104 𝑝
5 ∗ 105
(𝑡)
𝑈𝑎𝑏
=
104
(5.734 ∗ 10−3 𝑝2 + 133.81𝑝 + 5 ∗ 105 )𝑒 −20000𝑡
+
⃒𝑝=−20000
0.15 ∗ 10−3 𝑝(𝑝 + 3333)
(5.734 ∗ 10−3 𝑝2 + 133.81𝑝 + 5 ∗ 105 )𝑒 −3333𝑡
+
⃒𝑝=−3333
0.15 ∗ 10−3 𝑝(𝑝 + 20000)
= 50 + 2.3𝑒 −20000𝑡 − 14𝑒 −3333𝑡
Пример 5.
Определить токи и напряжения в цепи второго порядка (рис.15)
операторным методом. Переходный процесс возникает в цепи после
24
замыкания ключа. Дано: 𝑅1 = 12 Ом, 𝑅2 = 6 Ом, 𝑅3 = 3 Ом, 𝐿 = 8 мГн,
𝐽 = 6 A.
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между
реактивными элементами после коммутации ключа S (ключ закрывается).
Решение.
1. Составим схему
замещения данной цепи
для
послекоммутационного
состояния (см. рис. 16).
Рис. 15
2. Определим докоммутационное
состояние цепи, чтобы найти
токи в индуктивностях в нулевой
момент времени, которые по
закону коммутации сохраняют
свое значение и в первый момент
времени после коммутации. Для
этого воспользуемся схемой на
рис.17:
𝑖1 𝑅1 = 𝑖2 𝑅2 ; 𝑖1 + 𝑖2 = 𝐽
Отсюда
𝑖𝐿1 (0) = 𝑖2 (0) =
4𝐴; 𝑖𝐿2 (0) = 𝑖1 (0) =
2𝐴; 𝑈𝑅1 (0) = 24 𝐵; 𝑈𝑅2 (0) =
24 𝐵.
Также проанализируем схему в
Рис. 16
новом установившемся режиме
(после коммутации) – рис.18. Поскольку в установившемся режиме нет
падения напряжения на индуктивных элементах цепи, то заменяем
индуктивности отрезками проводов.
Таким
образом,
получаем
параллельное
соединение
трех
резисторов. 𝑖1 𝑅1 = 𝑖2 𝑅2 = −𝑖3 𝑅3 ; 𝑖1 + 𝑖2 − 𝑖3 = 𝐽. Подставив численные
значения, получим токи в цепи по окончании переходного процесса:
𝑖1 = 0.86; 𝑖2 = 1.71; 𝑖3 = −3.43.
25
Рис. 17
Рис. 18
3. Решать эту задачу удобнее, составив для нее уравнения Кирхгофа:
𝐽
𝑖𝐿1 + 𝑖1 = �𝑝
𝑖𝐿1 + 𝑖3 − 𝑖2 = 0
𝑖1 − 𝑖3 − 𝑖𝐿2 = 0
𝑖1 𝑅1 + 𝑖3 𝑅3 −𝑖𝐿1 𝐿1 𝑝 = −𝐿1 𝑖𝐿1 (0)
𝑖2 𝑅2 + 𝑖3 𝑅3 −𝑖𝐿2 𝐿2 𝑝 = −𝐿2 𝑖𝐿2 (0)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Из уравнения (14) выразим 𝑖𝐿1 , подставим в (15), из (16) получим 𝑖𝐿2 :
𝐽
𝑖𝐿1 = �𝑝 − 𝑖1
𝐽�
𝑝 − 𝑖1 + 𝑖3 − 𝑖2 = 0
𝐽
𝑖𝐿2 = 𝑖1 − 𝑖3 = �𝑝 − 𝑖2
Теперь можно исключить ток 𝑖2 из контурных уравнений:
𝐽
𝑖1 𝑅1 + 𝑖3 𝑅3 −( − 𝑖1 )𝐿1 𝑝 = −𝐿1 𝑖𝐿1 (0)
𝑝
𝐽
( − 𝑖1 + 𝑖3 )𝑅2 + 𝑖3 𝑅3 −(𝑖1 − 𝑖3 )𝐿2 𝑝 = −𝐿2 𝑖𝐿2 (0)
𝑝
Из уравнения (17) выражаем ток 𝑖3 :
𝑖3 =
−𝐿1 𝑖𝐿1 (0)+𝐽𝐿1 −𝑖1 (𝑅1 +𝐿1 𝑝)
𝑅3
, и подставляем в (18):
−𝑖1 (𝑅2 + 𝐿2 𝑝) + (𝑅2 + 𝑅3 + 𝐿2 𝑝) �
−𝐿1 𝑖𝐿1 (0) + 𝐽𝐿1 − 𝑖1 (𝑅1 + 𝐿1 𝑝)
𝐽𝑅2
�+
𝑅3
𝑝
= −𝐿2 𝑖𝐿2 (0)
После упрощения данного выражения и подстановки известных чисел,
получим изображение тока 𝑖1 :
128 ∗ 10−6 𝑝2 + 192 ∗ 10−3 𝑝 + 108
𝑖1 (𝑝) =
64 ∗ 10−6 𝑝3 + 192 ∗ 10−3 𝑝2 + 126𝑝
4. Определим оригинал тока.
 При использовании теоремы разложения корни знаменателя будут: 𝑝1 =
0; 𝑝2 = −969.7, 𝑝3 = −2030.3. Числитель выражения: 𝐹1 = 128 ∗
26
10−6 𝑝2 + 192 ∗ 10−3 𝑝 + 108, знаменатель выражения: 𝐹2 = 64 ∗ 10−6 𝑝3 +
192 ∗ 10−3 𝑝2 + 126𝑝, производная знаменателя: 𝐹2΄ = 192 ∗ 10−6 𝑝2 +
384 ∗ 10−3 𝑝 + 126.
Определим значения числителя и производной
знаменателя при разных корнях:
𝐹1 ( 𝑝1 ) = 108; 𝐹1 ( 𝑝2 ) = 42; 𝐹1 ( 𝑝3 ) = 245.8; 𝐹2΄ ( 𝑝1 ) = 126; 𝐹2΄ ( 𝑝2 )
= −65.8; 𝐹2΄ ( 𝑝3 ) = 137.8
Тогда: 𝑖1 (𝑡) = 0.857 − 0.638𝑒 −969.7𝑡 + 1.78𝑒 −2030.3𝑡
Найдем изображения и оригиналы других искомых токов. Определим
изображение тока 𝑖3 (𝑝) по формуле: 𝑖3 =
−𝐿1 𝑖𝐿1 (0)+𝐽𝐿1 −𝑖1 (𝑅1 +𝐿1 𝑝)
𝑅3
.
После упрощений получим выражение:
−1152 ∗ 10−3 𝑝 − 1296
𝑖3 (𝑝) =
𝑝[192 ∗ 10−6 𝑝2 + 576 ∗ 10−3 𝑝 + 378]
Корни знаменателя будут те же. Определим оригинал тока. Числитель
выражения: 𝐹1 = −1152 ∗ 10−3 𝑝 − 1296, знаменатель выражения: 𝐹2 =
𝑝[192 ∗ 10−6 𝑝2 + 576 ∗ 10−3 𝑝 + 378], производная знаменателя: 𝐹2΄ =
576 ∗ 10−6 𝑝2 + 1152 ∗ 10−3 𝑝 + 378. Определим значения числителя и
производной знаменателя при разных корнях:
𝐹1 ( 𝑝1 ) = −1296; 𝐹1 ( 𝑝2 ) = −179; 𝐹1 ( 𝑝3 ) = 1042; 𝐹2΄ ( 𝑝1 ) = 378; 𝐹2΄ ( 𝑝2 )
= −197.4; 𝐹2΄ ( 𝑝3 ) = 413.3
Тогда: 𝑖3 (𝑡) = −3.428 + 0.91𝑒 −969.7𝑡 + 2.52𝑒 −2030.3𝑡
Зная оригиналы двух токов и оперируя ими, можем найти все остальные:
𝑖𝐿2 = 𝑖1 − 𝑖3
𝑖𝐿1 = 𝐽 − 𝑖1
𝑖2 = 𝑖𝐿1 + 𝑖3
Имеем: 𝑖𝐿2 (𝑡) = 4.285 − 1.548𝑒 −969.7𝑡 − 0.74𝑒 −2030.3𝑡
𝑖𝐿1 (𝑡) = 5.143 + 0.638𝑒 −969.7𝑡 − 1.78𝑒 −2030.3𝑡
𝑖2 (𝑡) = 1.715 + 1.548𝑒 −969.7𝑡 + 0.74𝑒 −2030.3𝑡
Проверим результат на сходимость, подставив ноль в показатель
экспоненты. Получим: 𝑖2 (0) = 1.715 + 1.548 + 0.74 = 4 А
𝑖1 (0) = 0.857 − 0.638 + 1.78 = 2 А
𝑖1 (∞) = 0.857
𝑖2 (∞) = 1.715
𝑖3 (∞) = −3.4
 Определим оригиналы с помощью вычетов.
128 ∗ 10−6 𝑝2 + 192 ∗ 10−3 𝑝 + 108
𝑖1 (𝑝) =
64 ∗ 10−6 𝑝3 + 192 ∗ 10−3 𝑝2 + 126𝑝
Корни знаменателя те же: 𝑝1 = 0; 𝑝2 = −969.7, 𝑝3 = −2030.3.
27
Тогда:
𝑖1 (𝑡) = 𝑖1 (𝑝)�𝑝 − 𝑝1 �𝑒𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑖1 (𝑝)�𝑝 − 𝑝2 �𝑒𝑝2𝑡 ⃒𝑝2 + 𝑖1 (𝑝)(𝑝
− 𝑝3 )𝑒𝑝3 𝑡 ⃒𝑝
3
𝑖1 (𝑡) =
(128 ∗ 10−6 𝑝2 + 192 ∗ 10−3 𝑝 + 108)(𝑝 − 0)𝑒0𝑡
=
+
⃒𝑝=0
64 ∗ 10−6 𝑝3 + 192 ∗ 10−3 𝑝2 + 126𝑝
(128 ∗ 10−6 𝑝2 + 192 ∗ 10−3 𝑝 + 108)(𝑝 + 969.7)𝑒−969.7𝑡
⃒𝑝=−969.7
64 ∗ 10−6 𝑝3 + 192 ∗ 10−3 𝑝2 + 126𝑝
(128 ∗ 10−6 𝑝2 + 192 ∗ 10−3 𝑝 + 108)(𝑝 + 2030.3)𝑒−2030.3𝑡
+
⃒𝑝=−2030.3
64 ∗ 10−6 𝑝3 + 192 ∗ 10−3 𝑝2 + 126𝑝
𝑖1 (𝑡)
−969.7𝑡
108 (128 ∗ 10−6 𝑝2 + 192 ∗ 10−3 𝑝 + 108)(𝑝 + 969.7)𝑒
=
+
⃒𝑝=−969.7
126
64 ∗ 10−6 𝑝(𝑝 + 2030.3)(𝑝 + 969.7)
(128 ∗ 10−6 𝑝2 + 192 ∗ 10−3 𝑝 + 108)(𝑝 + 2030.3)𝑒−2030.3𝑡
+
⃒𝑝=−2030.3
64 ∗ 10−6 𝑝(𝑝 + 2030.3)(𝑝 + 969.7)
= 0.857 − 0.638𝑒−969.7𝑡 + 1.78𝑒−2030.3𝑡
−1152 ∗ 10−3 𝑝 − 1296
𝑖3 (𝑝) =
𝑝[192 ∗ 10−6 𝑝2 + 576 ∗ 10−3 𝑝 + 378]
𝑖3 (𝑡) = 𝑖3 (𝑝)�𝑝 − 𝑝1 �𝑒𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑖3 (𝑝)�𝑝 − 𝑝2 �𝑒𝑝2𝑡 ⃒𝑝2 + 𝑖3 (𝑝)(𝑝
− 𝑝3 )𝑒𝑝3 𝑡 ⃒𝑝
3
(−1152 ∗ 10−3 𝑝 − 1296)(𝑝 − 0)𝑒0𝑡
𝑖3 (𝑡) ==
⃒𝑝=0
𝑝[192 ∗ 10−6 𝑝2 + 576 ∗ 10−3 𝑝 + 378]
+
(−1152 ∗ 10−3 𝑝 − 1296)(𝑝 + 969.7)𝑒−969.7𝑡
⃒𝑝=−969.7
192 ∗ 10−6 𝑝[(𝑝 + 969.7)(𝑝 + 2030.3)]
(−1152 ∗ 10−3 𝑝 − 1296)(𝑝 + 2030.3)𝑒−2030.3𝑡
+
⃒𝑝=−2030.3
192 ∗ 10−6 𝑝[(𝑝 + 969.7)(𝑝 + 2030.3)]
1296 (−1152 ∗ 10−3 𝑝 − 1296)𝑒−969.7𝑡
𝑖3 (𝑡) = −
+
⃒𝑝=−969.7
378
192 ∗ 10−6 𝑝(𝑝 + 2030.3)
(−1152 ∗ 10−3 𝑝 − 1296)𝑒−2030.3𝑡
+
⃒𝑝=−2030.3
192 ∗ 10−6 𝑝(𝑝 + 969.7)
= −3.428 + 0.91𝑒−969.7𝑡 + 2.52𝑒−2030.3𝑡
28
Пример 6.
Определить токи и напряжения в цепи второго порядка (рис.19)
операторным методом. Дано: 𝑅1 = 𝑅4 = 1 Ом, 𝑅2 = 𝑅3 = 3 Ом, С = 1 Ф,
𝐿 = 0,3 Гн.
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между
реактивными элементами после коммутации ключа S (ключ закрывается).
Рис. 19
Рис. 20
Рис. 21
Рис. 22
Решение для этой схемы в данном пособии проведено дважды: сначала
проанализирована работа схемы при наличии источника тока, затем – при
равенстве тока источника нулю (при отсутствии источника).
Первое решение для схемы с источником. 𝐸 = 5 𝐵, 𝐽 = 3 𝐴
1. Составим схему замещения данной цепи для послекоммутационного
состояния (рис.20). Резисторы 𝑅2 и 𝑅3 оказываются замкнуты накоротко
перемычкой, поэтому ток через них не протекает, т.о. ток равен: 𝑖𝐿 (∞) =
𝐸−𝐸𝐽
𝑅1 +𝑅4
= 0.5 А. Напряжение 𝑈𝐶 = 𝑈𝑅4 = 0.5 В.
29
2. Определим докоммутационное состояние цепи. Для этого воспользуемся
схемой на рис.21 Видно, что источник энергии отключен, поэтому все
токи во всех ветвях, кроме ветви 𝑅4 , нулевые. В ветви 𝑅4 протекает ток
источника.
3. Составим уравнения Кирхгофа для операторной схемы замещения
(рис.22):
(19)
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖𝐿
(20)
𝑖2 = 𝑖3 + 𝑖𝐶
(21)
𝑖4 = 𝑖3 + 𝑖𝐿 + 𝐽/𝑝
𝑖𝐶
𝐸 𝑈𝐶 (0)
(22)
𝑖1 𝑅1 + 𝑖2 𝑅2 +
= −
𝑝𝐶 𝑝
𝑝
𝑖𝐶
𝑈𝐶 (0)
(23)
𝑖3 𝑅3 + 𝑖4 𝑅4 −
=
𝑝𝐶
𝑝
−𝑖3 𝑅3 − 𝑖2 𝑅2 + 𝑖𝐿 𝑝𝐿 = 𝐿𝑖𝐿 (0)
Тогда из уравнения (24) ток 𝑖𝐿 =
(24)
𝑖3 𝑅3 +𝑖2 𝑅2 +𝐿𝑖𝐿 (0)
𝑝𝐿
, из (20) ток 𝑖𝐶 = 𝑖2 − 𝑖3 .
Подставим ток 𝑖С в уравнение (22):
𝐸 𝑖𝐶
𝑈𝐶 (0)
𝑖1 𝑅1 = −
− 𝑖2 𝑅2 −
𝑝 𝑝𝐶
𝑝
Тогда
𝑖1 𝑅1 =
𝐸
1
𝑈𝐶 (0)
(𝑖2 − 𝑖3 ) − 𝑖2 𝑅2 −
−
𝑝 𝑝𝐶
𝑝
𝐸 − 𝑈𝐶 (0)
1
𝑖2 𝑅2
(𝑖2 − 𝑖3 ) −
−
𝑝𝑅1
𝑝𝐶𝑅1
𝑅1
𝑖3 𝑅3 +𝑖2 𝑅2
Найдем ток 𝑖4 из (21): 𝑖4 = 𝑖3 + 𝑖𝐿 + 𝐽/𝑝 = 𝑖3 +
+ 𝐽/𝑝.
𝑖1 =
𝑝𝐿
Подставив найденные токи в уравнение (23), получим:
𝑖3 𝑅3 + 𝑖2 𝑅2 + 𝐿𝑖𝐿 (0)
𝑖2 − 𝑖3 𝑈𝐶 (0)
+ 𝐽/𝑝� −
=
𝑖3 𝑅3 + 𝑅4 �𝑖3 +
𝑝𝐿
𝑝
𝑝𝐶
После упрощения данного выражения получим:
(25)
𝑖3 (𝑅3 𝑝𝐿𝐶 + 𝑅4 𝑝𝐿𝐶 + 𝐿 + 𝑅4 𝑅3 𝐶) + 𝑖2 (𝑅2 𝑅4 𝐶 − 𝐿)
= 𝑈𝐶 (0) − 𝐽𝑅4 𝐿𝐶 − 𝐿𝐶𝑅4 𝑖𝐿 (0)
Теперь выразим ток 𝑖1 через 𝑖𝐶 и 𝑖4 : 𝑖1 = 𝑖4 + 𝑖𝐶
Подставим в него все токи, полученные ранее в зависимости от 𝑖2 и 𝑖3 :
30
1
𝐸 − 𝑈𝐶 (0)
𝑖2 𝑅2
(𝑖2 − 𝑖3 ) −
−
𝑝𝑅1
𝑝𝐶𝑅1
𝑅1
𝑖3 𝑅3 + 𝑖2 𝑅2 + 𝐿𝑖𝐿 (0)
= 𝑖2 − 𝑖3 + 𝑖3 +
+ 𝐽/𝑝
𝑝𝐿
Упрощая, получим:
1
𝑅3
𝑅2
𝑅2
1
(26)
𝑖3 �
− � = 𝑖2 ��1 + � 𝑝 +
+
� + 𝐽 + 𝑖𝐿 (0)
𝐶𝑅1 𝐿
𝑅1
𝐿 𝐶𝑅1
𝑈𝐶 (0) − 𝐸
+
𝑅1
Далее выражаем ток 𝑖3 через ток 𝑖2 и подставляем в выражение (25).
После упрощений и подстановки численных значений получим
операторное изображение тока 𝑖2 :
11 + 4𝑝
𝑖2 = −
16𝑝2 + 88𝑝 + 40
Теперь можно вычислить операторное изображение тока 𝑖3 , подставив
полученное изображение тока 𝑖3 в выражение (26):
9
𝑖3 =
16𝑝2 + 88𝑝 + 40
Изображение тока 𝑖𝐿 найдем, воспользовавшись уравнением (24):
40𝑝 + 20
10𝑝 + 5
=
−
𝑖𝐿 = −
𝑝(16𝑝2 + 88𝑝 + 40)
𝑝(4𝑝2 + 22𝑝 + 10)
Изображение тока в емкости:
4𝑝 + 20
𝑝+5
𝑖С = −
=
−
16𝑝2 + 88𝑝 + 40
4𝑝2 + 22𝑝 + 10
Изображение тока 𝑖4 :
48𝑝2 + 233𝑝 + 100
𝑖4 = −
𝑝(16𝑝2 + 88𝑝 + 40)
4. Получим теперь оригиналы токов.
 Ток 𝑖3 :
9
𝑖3 =
16𝑝2 + 88𝑝 + 40
Числитель: 𝐹1 (𝑝) = 9, заменатель: 𝐹2 (𝑝) = 16𝑝2 + 88𝑝 + 40, производная
знаменателя: 𝐹2΄ (𝑝) = 32𝑝 + 88. Корни знаменателя будут: 𝑝1 = −0.5; 𝑝2 =
−5. Определим значения числителя и производной знаменателя при
разных корнях:
𝐹1 ( 𝑝1 ) = 9; 𝐹1 ( 𝑝2 ) = 9; 𝐹2΄ ( 𝑝1 ) = 72; 𝐹2΄ ( 𝑝2 ) = −72
Тогда: 𝑖3 (𝑡) = 0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.125𝑒 −5𝑡
Ток 𝑖2 :
11 + 4𝑝
𝑖2 = −
2
16𝑝 + 88𝑝 + 40
31
Числитель: 𝐹1 (𝑝) = 4𝑝 + 11, заменатель: 𝐹2 (𝑝) = 16𝑝2 + 88𝑝 + 40,
производная знаменателя: 𝐹2΄ (𝑝) = 32𝑝 + 88. Корни знаменателя
будут: 𝑝1 = −0.5; 𝑝2 = −5. Определим значения числителя и производной
знаменателя при разных корнях:
𝐹1 ( 𝑝1 ) = 9; 𝐹1 ( 𝑝2 ) = −9; 𝐹2΄ ( 𝑝1 ) = 72; 𝐹2΄ ( 𝑝2 ) = −72
Тогда: 𝑖2 (𝑡) = −0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.125𝑒 −5𝑡
Ток 𝑖𝐿 :
10𝑝 + 5
𝑖𝐿 = −
𝑝(4𝑝2 + 22𝑝 + 10)
Числитель: 𝐹1 (𝑝) = 10𝑝 + 5, заменатель: 𝐹2 (𝑝) = 4𝑝3 + 22𝑝2 + 10𝑝,
производная знаменателя: 𝐹2΄ (𝑝) = 12𝑝2 + 44𝑝 + 10. Корни знаменателя
будут: 𝑝1 = 0, 𝑝2 = −0.5; 𝑝3 = −5. Определим значения числителя и
производной знаменателя при разных корнях:
𝐹1 ( 𝑝1 ) = 5; 𝐹1 ( 𝑝2 ) = 0; 𝐹1 ( 𝑝3 ) = −45; 𝐹2΄ ( 𝑝1 ) = 10; 𝐹2΄ ( 𝑝2 )
= −9; 𝐹2΄ ( 𝑝3 ) = 90
Тогда: 𝑖𝐿 (𝑡) = −0.5 + 0.5𝑒 −5𝑡
Для проверки получим напряжение 𝑈𝐿 двумя способами:
𝑈𝐿 = 𝑈2 +𝑈3 = 𝑖2 𝑅2 + 𝑖3 𝑅3
= 3(−0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.125𝑒 −5𝑡 ) + 3(0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.125𝑒 −5𝑡 )
= −0.75𝑒 −5𝑡
𝑑𝑖𝐿
= 0.3(0.5)(−5)𝑒 −5𝑡 = −0.75𝑒 −5𝑡
𝑈𝐿 = 𝐿
𝑑𝑡
Теперь получим остальные токи, оперируя полученными оригиналами:
𝑖4 = 𝑖3 + 𝑖𝐿 + 𝐽 = 0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.125𝑒 −5𝑡 − 0.5 + 0.5𝑒 −5𝑡 + 3
= 2.5 + 0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.375𝑒 −5𝑡
𝑖С = 𝑖2 − 𝑖3 = −0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.125𝑒 −5𝑡 − 0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.125𝑒 −5𝑡
𝑖С = −0.25𝑒 −0.5𝑡
𝑖1 = 𝑖С + 𝑖4 = −0.25𝑒 −0.5𝑡 + 2.5 + 0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.375𝑒 −5𝑡
𝑖1 = 2.5 − 0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.375𝑒 −5𝑡
 Получим теперь те же оригиналы с помощью теоремы о вычетах:
9
𝑖3 =
16𝑝2 + 88𝑝 + 40
𝑖3 (𝑡) = 𝑖3 (𝑝)(𝑝 − 𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑖3 (𝑝)(𝑝 − 𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡 ⃒𝑝2
9(𝑝 + 0.5)𝑒 −0.5𝑡
9(𝑝 + 5)𝑒 −5𝑡
𝑖3 (𝑡) =
⃒
+
⃒
16(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5) 𝑝=−0.5 16(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5) 𝑝=−5
32
9𝑒 −0.5𝑡
9𝑒 −5𝑡
𝑖3 (𝑡) =
+
= 0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.125𝑒 −5𝑡
16 ∗ 4.5 16(−4.5)
11 + 4𝑝
𝑖2 = −
16𝑝2 + 88𝑝 + 40
𝑖2 (𝑡) = 𝑖2 (𝑝)(𝑝 − 𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑖2 (𝑝)(𝑝 − 𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡 ⃒𝑝2
(11 + 4𝑝)(𝑝 + 0.5)𝑒 −0.5𝑡
(11 + 4𝑝)(𝑝 + 5)𝑒 −5𝑡
⃒𝑝=−0.5 −
⃒
16(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5)
16(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5) 𝑝=−5
(11 − 2)𝑒 −0.5𝑡 (11 − 20)𝑒 −5𝑡
−
= −0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.125𝑒 −5𝑡
𝑖2 (𝑡) = −
16 ∗ 4.5
16(−4.5)
𝑖2 (𝑡) = −
𝑖𝐿 = −
10𝑝 + 5
𝑝(4𝑝2 + 22𝑝 + 10)
𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑖𝐿 (𝑝)(𝑝 − 𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑖𝐿 (𝑝)(𝑝 − 𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡 ⃒𝑝2 + 𝑖𝐿 (𝑝)(𝑝
− 𝑝3 )𝑒 𝑝3𝑡 ⃒𝑝3
Здесь к уже известным корням добавляется еще один: 𝑝1 = 0, 𝑝2 =
−0.5; 𝑝3=−5.
10(𝑝 + 0.5)(𝑝 − 0)𝑒 0𝑡
10(𝑝 + 0.5)(𝑝 + 0.5)𝑒 −0.5𝑡
𝑖𝐿 (𝑡) = −
⃒𝑝=0 −
⃒𝑝=−0.5
4𝑝(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5)
4𝑝(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5)
10(𝑝 + 0.5)(𝑝 + 5)𝑒 −5𝑡
−
⃒𝑝=−5
4𝑝(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5)
10𝑒 0𝑡
10(𝑝 + 0.5)𝑒 −0.5𝑡
10𝑒 −5𝑡
⃒
−
⃒𝑝=−0.5 −
⃒𝑝=−5
𝑖𝐿 (𝑡) = −
4(𝑝 + 5) 𝑝=0
4𝑝(𝑝 + 5)
4𝑝
10 10𝑒 −5𝑡
𝑖𝐿 (𝑡) = − −
= −0.5 + 0.5𝑒 −5𝑡
20 4(−5)
Второе решение (источник тока отключен) 𝐸 = 1 𝐵, 𝐽 = 0 𝐴
1. Составим схему замещения данной цепи для послекоммутационного
состояния (рис.20). Резисторы 𝑅2 и 𝑅3 оказываются замкнуты накоротко
перемычкой, поэтому ток через них не протекает, т.о. ток равен: 𝑖𝐿 (∞) =
𝐸
𝑅1 +𝑅4
= 0.5 А. Напряжение 𝑈𝐶 = 𝑈𝑅4 = 0.5 В.
2. Определим докоммутационное состояние цепи. Для этого воспользуемся
схемой на рис.21 Видно, что источник энергии отключен, поэтому все
токи во всех ветвях нулевые.
33
Рис. 23
Рис. 24
3. Составим уравнения Кирхгофа для операторной схемы замещения
(рис.22):
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖𝐿 , 𝑖2 = 𝑖3 + 𝑖𝐶 , 𝑖4 = 𝑖3 + 𝑖𝐿
𝑖𝐶
𝐸
=
𝑝𝐶 𝑝
𝑖𝐶
=0
𝑖3 𝑅3 + 𝑖4 𝑅4 −
𝑝𝐶
−𝑖3 𝑅3 − 𝑖2 𝑅2 + 𝑖𝐿 𝑝𝐿 = 0
𝑖3 𝑅3 +𝑖2 𝑅2
Тогда ток 𝑖𝐿 =
, ток 𝑖𝐶 = 𝑖2 − 𝑖3 . Подставим ток 𝑖С в первое
𝑖1 𝑅1 + 𝑖2 𝑅2 +
𝑝𝐿
контурное уравнение:
𝑖1 𝑅1 =
Тогда
𝑖1 𝑅1 =
𝑖1 =
𝐸 𝑖𝐶
−
− 𝑖2 𝑅2
𝑝 𝑝𝐶
𝐸
1
(𝑖 − 𝑖3 ) − 𝑖2 𝑅2
−
𝑝 𝑝𝐶 2
𝐸
1
𝑖2 𝑅2
(𝑖2 − 𝑖3 ) −
−
𝑝𝑅1 𝑝𝐶𝑅1
𝑅1
Найдем ток 𝑖4 : 𝑖4 = 𝑖3 + 𝑖𝐿 = 𝑖3 +
𝑖3 𝑅3 +𝑖2 𝑅2
𝑝𝐿
.
Подставив найденные токи во второе контурное уравнение, получим:
𝑖3 𝑅3 + 𝑖2 𝑅2
𝑖2 − 𝑖3
=0
𝑖3 𝑅3 + 𝑅4 �𝑖3 +
�−
𝑝𝐿
𝑝𝐶
После упрощения данного выражения получим:
34
𝑖3 (𝑅3 𝑝𝐿𝐶 + 𝑅4 𝑝𝐿𝐶 + 𝐿 + 𝑅4 𝑅3 𝐶) + 𝑖2 (𝑅2 𝑅4 𝐶 − 𝐿) = 0
(27)
Теперь выразим ток 𝑖1 через 𝑖𝐶 и 𝑖4 : 𝑖1 = 𝑖4 + 𝑖𝐶
Подставим в него все токи, полученные ранее в зависимости от 𝑖2 и 𝑖3 :
1
𝑖3 𝑅3 + 𝑖2 𝑅2
𝐸
𝑖2 𝑅2
(𝑖2 − 𝑖3 ) −
−
= 𝑖2 − 𝑖3 + 𝑖3 +
𝑝𝑅1 𝑝𝐶𝑅1
𝑅1
𝑝𝐿
Упрощая, получим:
𝑅2 𝑅2
1
𝑅3
𝐸
1
− �+
= 𝑖2 �1 +
+
+
𝑖3 �
�
𝑝𝑅1
𝑝𝐶𝑅1 𝑝𝐿
𝑝𝐿 𝑅1 𝑝𝐶𝑅1
Далее выражаем ток 𝑖2 через ток 𝑖3 :
𝐿 − 𝐶𝑅1 𝑅3 + 𝐸𝐿𝐶
(28)
𝑖2 = 𝑖3 �
�
𝑝𝐿𝐶𝑅1 + 𝐶𝑅1 𝑅2 + 𝑝𝐿𝐶𝑅2 + 𝐿
и подставляем в выражение (27):
После упрощений и подстановки численных значений получим
операторное изображение тока 𝑖3 :
1.125
𝑖3 = − 2
2𝑝 + 11𝑝 + 5
Теперь можно вычислить операторное изображение тока 𝑖2 , подставив
полученное изображение тока 𝑖3 в выражение (22):
0.5𝑝 + 1.375
𝑖2 = 2
2𝑝 + 11𝑝 + 5
Изображение тока 𝑖𝐿 найдем, воспользовавшись третьим контурным
уравнением:
5𝑝 + 2.5
𝑖𝐿 =
𝑝(𝑝 + 0.5)(𝑝 + 5)
4. Получим теперь оригиналы токов 𝑖3 , 𝑖2 , 𝑖𝐿 .
 Ток 𝑖3 :
1.125
𝑖3 = − 2
2𝑝 + 11𝑝 + 5
заменатель:
𝐹2 (𝑝) = 2𝑝2 + 11𝑝 + 5,
Числитель:
𝐹1 (𝑝) = −1.125,
производная
знаменателя:
𝐹2΄ (𝑝) = 4𝑝 + 11.
Корни
знаменателя
будут: 𝑝1 = −0.5; 𝑝2 = −5. Определим значения числителя и производной
знаменателя при разных корнях:
𝐹1 ( 𝑝1 ) = −1.125; 𝐹1 ( 𝑝2 ) = −1.125; 𝐹2΄ ( 𝑝1 ) = 9; 𝐹2΄ ( 𝑝2 ) = −9
Тогда: 𝑖3 (𝑡) = −0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.125𝑒 −5𝑡
Ток 𝑖2 :
0.5𝑝 + 1.375
𝑖2 = 2
2𝑝 + 11𝑝 + 5
Числитель: 𝐹1 (𝑝) = 0.5𝑝 + 1.375, заменатель: 𝐹2 (𝑝) = 2𝑝2 + 11𝑝 + 5,
Корни
знаменателя
производная
знаменателя:
𝐹2΄ (𝑝) = 4𝑝 + 11.
35
будут: 𝑝1 = −0.5; 𝑝2 = −5. Определим значения числителя и производной
знаменателя при разных корнях:
𝐹1 ( 𝑝1 ) = 1.125; 𝐹1 ( 𝑝2 ) = −1.125; 𝐹2΄ ( 𝑝1 ) = 9; 𝐹2΄ ( 𝑝2 ) = −9
Тогда: 𝑖2 (𝑡) = 0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.125𝑒 −5𝑡
Ток 𝑖𝐿 :
5𝑝 + 2.5
𝑖𝐿 =
𝑝(2𝑝2 + 11𝑝 + 5)
Числитель: 𝐹1 (𝑝) = 5𝑝 + 2.5, заменатель: 𝐹2 (𝑝) = 2𝑝3 + 11𝑝2 + 5𝑝,
производная знаменателя: 𝐹2΄ (𝑝) = 6𝑝2 + 22𝑝 + 5. Корни знаменателя
будут: 𝑝1 = 0, 𝑝2 = −0.5; 𝑝3 = −5. Определим значения числителя и
производной знаменателя при разных корнях:
𝐹1 ( 𝑝1 ) = 2.5; 𝐹1 ( 𝑝2 ) = 0; 𝐹1 ( 𝑝3 ) = −22.5; 𝐹2΄ ( 𝑝1 ) = 5; 𝐹2΄ ( 𝑝3 ) = 45
Тогда: 𝑖𝐿 (𝑡) = 0.5 − 0.5𝑒 −5𝑡
Для проверки получим напряжение 𝑈𝐿 двумя способами:
𝑈𝐿 = 𝑈2 +𝑈3 = 𝑖2 𝑅2 + 𝑖3 𝑅3
= 3(0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.125𝑒 −5𝑡 ) + 3(−0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.125𝑒 −5𝑡 )
= 0.75𝑒 −5𝑡
𝑑𝑖𝐿
= 0.3(−0.5)(−5)𝑒 −5𝑡 = 0.75𝑒 −5𝑡
𝑈𝐿 = 𝐿
𝑑𝑡
Теперь получим остальные токи, оперируя полученными оригиналами:
𝑖4 = 𝑖3 + 𝑖𝐿 = −0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.125𝑒 −5𝑡 + 0.5 − 0.5𝑒 −5𝑡
= 0.5 − 0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.375𝑒 −5𝑡
𝑖С = 𝑖2 − 𝑖3 = 0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.125𝑒 −5𝑡 − 0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.125𝑒 −5𝑡
𝑖С = 0.25𝑒 −0.5𝑡
𝑖1 = 𝑖С + 𝑖4 = 0.25𝑒 −0.5𝑡 + 0.5 − 0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.375𝑒 −5𝑡
𝑖1 = 0.5 + 0.125𝑒 −0.5𝑡 − 0.375𝑒 −5𝑡
 Получим теперь те же оригиналы с помощью теоремы о вычетах:
1.125
𝑖3 = − 2
2𝑝 + 11𝑝 + 5
𝑖3 (𝑡) = 𝑖3 (𝑝)(𝑝 − 𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑖3 (𝑝)(𝑝 − 𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡 ⃒𝑝2
−1.125(𝑝 + 0.5)𝑒 −0.5𝑡
−1.125(𝑝 + 5)𝑒 −5𝑡
⃒𝑝=−0.5 +
⃒
𝑖3 (𝑡) =
2(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5)
2(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5) 𝑝=−5
−1.125𝑒 −0.5𝑡 −1.125𝑒 −5𝑡
(𝑡)
𝑖3
=
+
= −0.125𝑒 −0.5𝑡 + 0.125𝑒 −5𝑡
2 ∗ 4.5
2(−4.5)
0.5𝑝 + 1.375
𝑖2 = 2
2𝑝 + 11𝑝 + 5
𝑖2 (𝑡) = 𝑖2 (𝑝)(𝑝 − 𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑖2 (𝑝)(𝑝 − 𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡 ⃒𝑝2
36
(0.5𝑝 + 1.375)(𝑝 + 0.5)𝑒 −0.5𝑡
⃒𝑝=−0.5
𝑖2 (𝑡) =
2(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5)
(0.5𝑝 + 1.375)(𝑝 + 5)𝑒 −5𝑡
+
⃒𝑝=−5
2(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5)
(0.5(−0.5) + 1.375)𝑒 −0.5𝑡 (0.5(−5) + 1.375)𝑒 −5𝑡
𝑖2 (𝑡) =
+
2 ∗ 4.5
2(−4.5)
−0.5𝑡
−5𝑡
= 0.125𝑒
+ 0.125𝑒
𝑖𝐿 =
5𝑝 + 2.5
𝑝(2𝑝2 + 11𝑝 + 5)
𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑖𝐿 (𝑝)(𝑝 − 𝑝1 )𝑒 𝑝1𝑡 ⃒𝑝1 + 𝑖𝐿 (𝑝)(𝑝 − 𝑝2 )𝑒 𝑝2𝑡 ⃒𝑝2 + 𝑖𝐿 (𝑝)(𝑝
− 𝑝3 )𝑒 𝑝3𝑡 ⃒𝑝3
Здесь к уже известным корням добавляется еще один: 𝑝1 = 0, 𝑝2 =
−0.5; 𝑝3=−5.
5(𝑝 + 0.5)(𝑝 − 0)𝑒 0𝑡
5(𝑝 + 0.5)(𝑝 + 0.5)𝑒 −0.5𝑡
𝑖𝐿 (𝑡) =
⃒
+
⃒𝑝=−0.5
2𝑝(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5) 𝑝=0
2𝑝(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5)
5(𝑝 + 0.5)(𝑝 + 5)𝑒 −5𝑡
+
⃒
2𝑝(𝑝 + 5)(𝑝 + 0.5) 𝑝=−5
5𝑒 0𝑡
5(𝑝 + 0.5)𝑒 −0.5𝑡
5𝑒 −5𝑡
⃒
+
⃒𝑝=−0.5 +
⃒
𝑖𝐿 (𝑡) =
2(𝑝 + 5) 𝑝=0
2𝑝(𝑝 + 5)
2𝑝 𝑝=−5
5
5𝑒 −5𝑡
𝑖𝐿 (𝑡) =
+
= 0.5 − 0.5𝑒 −5𝑡
10 2(−5)
Как видно, изменение параметров источников привело к изменению вида
изображения, при этом корни знаменателя остались неизменными. Именно
они определяются структурой цепи, то есть количеством, видом и схемой
включения элементов.
Метод переменных состояния.
Метод переменных состояния – метод, основанный на описании состояния
электрической цепи системой дифференциальных уравнений первого
порядка, разрешенной относительно производных искомых переменных,
которые называются переменными состояния.
Под переменными
состояния обычно понимают токи в индуктивностях и напряжения на
емкостях, потому что через них можно определить любые другие
напряжения и токи в цепи. Действительно, зная закон изменения этих
переменных во времени, их всегда можно заменить источниками ЭДС и
тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной,
37
а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах
источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к
независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других. Систему
уравнений для первых производных переменных состояния цепи обычно
называют уравнениями состояния. При расчете методом переменных
состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые
𝑑ѱ
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑞
𝑑𝑈𝐶
производные
( )и
( )с самими переменными ѱ (𝑖𝐿 ) и 𝑞(𝑈𝐶 )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить
систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с
переменными состояния и источниками внешних воздействий. Таким
образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид
𝑿′ = 𝑨𝑿 + 𝑩𝑼
(29)
𝒀 = 𝑪𝑿 + 𝑫𝑼
Здесь X и 𝑿 - столбцовые матрицы соответственно переменных состояния
и их первых производных по времени; U- матрица-столбец источников
внешних воздействий; Y- столбцовая матрица выходных (искомых)
величин; A- квадратная размерностью n x n (где n – число переменных
состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; Bпрямоугольная матрица связи между источниками и переменными
состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m);
C- прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми
величинами (количество строк равно числу искомых величин k, а столбцов
– n); D- прямоугольная размерностью k×m матрица связи входа с
выходом.
Начальные условия для уравнения (29) задаются вектором начальных
значений X(0).
Метод распространяется на непрерывные и на дискретные линейные и
нелинейные цепи и системы. Метод переменных состояния часто
применяется для расчета разветвленных цепей и цепей со многими
входами и выходами.
Применение данного метода расчета потребует решения двух основных
задач: 1) составления уравнений состояния цепи и 2) их решения.
′
Методы составления уравнений состояния цепи.
Существует три способа составления уравнений состояния (см. рис. 25). В
данном пособии рассматриваются все указанные методы. Метод уравнений
Кирхгофа и метод наложения более удобно применять для простых цепей
с небольшим количеством реактивных элементов. Топологический метод
является наиболее формализованным и больше всего подходит для расчета
38
переходных процессов в сложных схемах со многими реактивными
элементами с помощью математических пакетов.
Рис. 25
Метод составления уравнений состояния с помощью уравнений
Кирхгофа.
Порядок расчета.
1. Выбирают переменные состояния – токи в индуктивностях и
напряжения на емкостях.
2. Формируют уравнения состояния. Для этого составляют систему
уравнений Кирхгофа для послекоммутационной схемы и разрешают их
относительно производных переменных состояния:
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑢
= 𝑖𝐿 ; 𝐶 = 𝑢𝐶 . Уравнения записывают в канонической форме и в
𝑑𝑡
𝑑𝑡
матричной форме при решении на ЭВМ.
3. Составляют алгебраические уравнения для выходных переменных
(искомых токов ветвей и напряжений на элементах). Рассматривая схему,
находят уравнения, связывающие переменные состояния и выходные
переменные. Полученные уравнения записывают в матричной форме.
Топологический метод составления уравнений состояния.
Порядок расчета.
1.Составляется ориентированный граф схемы, на котором выделяется
дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС).
Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом
всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники
тока и оставшиеся резисторы.
2.Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме),
проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются
участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами,
39
включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с
резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами.
3.Составляется таблица связи, описывающая соединение элементов в цепи.
В первой строке таблицы перечисляются емкостные и резистивные
элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце
перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а
также источники тока. Процедура заполнения таблицы заключается в
поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей
связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно
ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются
ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода
контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.
4.По таблице связи (табл.3) составляются уравнения Кирхгофа,
описывающие данную схему. Осуществляется расписывание таблицы по
столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по
первому закону Кирхгофа, во втором – по второму. При расписывании
таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах
необходимо брать со знаками, противоположными табличным.
Затем уравнения разрешаются относительно производных переменных
состояния (которыми являются токи в индуктивностях и напряжения на
емкостях), и таким образом уравнения состояния формируются таким же
способом, как и в предыдущем методе. Если схема имеет «неправильные»
размещения: a) контура, состоящие только из ветвей с источниками ЭДС и
емкостных ветвей или только из емкостных ветвей; б) узлы схемы, в
которых стягиваются ветви либо только с источниками тока и
индуктивностями, либо только ветви с индуктивностями; в) узлы схемы, к
которым не подключено ни одной емкостной ветви или ветви с
источником напряжения и в то же время подключено более одной
резистивной ветви, иными словами, в число ветвей связи попадает
емкостная ветвь, или в число ветвей дерева – ветвь, содержащая
индуктивный элемент, то вычисление UC и iL потребует еще и решения
систем линейных алгебраических уравнений.
5. Далее по необходимости составляются уравнения выходных
переменных. Рассматривая схему, находят уравнения, связывающие
переменные состояния и выходные переменные. Полученные уравнения
записывают в матричной форме.
Формирование уравнений состояния методом наложения.
Порядок расчета.
40
1. Выбирают переменные состояния
(которыми являются токи в
индуктивностях и напряжения на емкостях).
2. Для каждого индуктивного и емкостного элемента записывают
выражения для напряжения и тока: 𝑖𝐶1 = 𝐶1
………
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑈𝐶1
𝑑𝑡
;
𝑈𝐿1 = 𝐿1 1
𝑑𝑡
…………
𝚤̇𝐶
0 0 0 ⎡ 𝑈̇𝐶1 ⎤
⎡ 1 ⎤ ⎡𝐶1 0 0
⎤
0 0 0 ⎢ ⋮ ⎥
⎢ ⋮ ⎥ ⎢0 ⋱ 0
⎥
⎢ 𝚤̇𝐶𝑑 ⎥ ⎢ 0 0 𝐶𝑑 0 0 0 ⎥ ⎢𝑈̇𝐶𝑑 ⎥
Тогда в матричной форме: ⎢𝑈̇ ⎥ =
,
0 0 0 𝐿1 0 0 ⎥ ⎢ 𝚤̇𝐿1 ⎥
𝐿1
⎢
⎢ ⎥
0 ⋱ 0⎥⎢ ⋮ ⎥
⎢ ⋮ ⎥ ⎢ 0 0 0
⎢
⎥
0 0 𝐿𝑗 ⎦ ⎣ 𝑖𝐿 ⎦
⎣𝑈̇𝐿𝑗 ⎦ ⎣ 0 0 0
𝑗
̇
𝑖𝐶
𝑈
𝐶 0
Или � � = �
� � 𝐶�
𝑈𝐿
0 𝐿 𝑖𝐿
3. В послекоммутационной схеме индуктивные элементы заменяют
источниками тока, а емкостные элементы – источниками ЭДС. Затем,
применяя свойство наложения (ток в любой ветви равен сумме
составляющих токов от каждого из источников в отдельности)
рассматривают частные схемы, в каждой из которых действует только
один из источников, входящих в исходную схему: E, J, 𝑖𝐿 , 𝑈𝐶 . Суммируя
частные решения для отдельных источников с учетом выбранных
положительных направлений напряжений и токов, находим полные
значения искомых величин.
4. Составляют систему уравнений для выходных переменных.
Рассматривая схему, находят уравнения, связывающие переменные
состояния и выходные переменные. Полученные уравнения записывают в
матричной форме.
В каждом из приведенных примеров представлены все три указанных
способа решения.
Пример 1.
Составить уравнения состояния и уравнения выходных переменных для
схемы на рис. 2 после замыкания ключа. Дано: Е=100 В, r=10 Ом, R1=40
Ом, R2=50 Ом, С=1000 мкФ.
41
Найти токи в ветвях и напряжения на всех элементах цепи при замыкании
ключа: i1(t), i2(t), i3(t), UR1(t), UR2(t), UС(t), Ur(t).
Решение.
Составим уравнения состояния с помощью уравнений Кирхгофа.
В соответствии с порядком расчета:
1. Выбираем переменные состояния – напряжение на емкости (𝑈𝐶 )
2. Составляем уравнения Кирхгофа. Для этого обозначим направления
токов в схеме и их номера (см. рис. 26).
Уравнения, описывающие данную схему:
𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖3 = 0
𝑖1 𝑟 + 𝑖2 𝑅1 = 𝐸
𝑈С − 𝑖2 𝑅1 = 0
Из данных уравнений следует:
𝐸 − 𝑖1 𝑟 𝑈С
𝑖2 =
=
𝑅1
𝑅1
𝑖1 =
𝐸 − 𝑈С
𝑟
𝐸 − 𝑈С 𝑈С
−
𝑟
𝑅1
Отсюда уравнение состояния:
𝑖3 = 𝑖𝐶 =
Или
Рис. 26
𝑑𝑈С
𝑑𝑡
Матрицы X и Х′:
𝑈С
𝑑𝑈С 𝐸 − 𝑈С
=
−
𝑑𝑡
𝑟𝐶
𝑅1 𝐶
= 𝑈𝐶 �−
𝑑𝑈𝐶
𝑋 = [𝑈𝐶 ]; 𝑋 ′ = �
�
𝑑𝑡
Коэффициенты матрицы А:
𝐴11 = −
𝑅1 + 𝑟
, 𝐴11 = −125
𝐶𝑅1 𝑟
42
1
𝑟𝐶
−
1
𝑅1 𝐶
�+
𝐸
𝑟𝐶
Данное собственное число совпадают с корнем характеристического
уравнения (см. операторный метод).
Матрица В примет вид: 𝐵 = �1�𝑟𝐶 �
Матрица U: 𝑈 = [𝐸].
3. Составляем уравнения для выходных переменных. Для этого
воспользуемся следующими соотношениями, вытекающими из уравнений
Кирхгофа:
𝐸 − 𝑈С
𝑈С
𝑈1 = 𝑖1 𝑟 = 𝐸 − 𝑈С ; 𝑈2 = 𝑖2 𝑅1 = 𝑈С ; 𝑖1 =
; 𝑖2 =
;
𝑟
𝑅1
𝐸 − 𝑈С 𝑈С
𝑖3 =
−
𝑟
𝑅1
Столбцовая матрица выходных переменных (искомых величин):
С11
𝑈1
⎡С ⎤
⎡𝑈 ⎤
⎢ 21 ⎥
⎢ 2⎥
𝑌 = ⎢ 𝑖1 ⎥; матрица С будет иметь следующий вид: С = ⎢С31 ⎥,
⎢ 𝑖2 ⎥
⎢С41 ⎥
⎣ 𝑖3 ⎦
⎣С51 ⎦
1
1
Где С11 = −1; С21 = 1; С31 = − ; С41 = ; С51 = −
𝑟
𝑅1
1
⎡0 ⎤
⎢1⎥
Матрица D: 𝐷 = ⎢ 𝑟 ⎥
⎢0 ⎥
⎢1⎥
⎣𝑟 ⎦
𝑅1 +𝑟
𝑅1 𝑟
.
Составим уравнения состояния топологическим методом.
В данной схеме неправильные размещения отсутствуют.
1. Составляем ориентированный граф схемы. Включаем С- и Е- ветви в
дерево, а R- ветви - в число ветвей связи. Направленность ветвей связи и
ветвей дерева выбрана в соответствии с ранее выбранным направлением
токов в исходной схеме. Прямыми изображены ветви дерева, дугами –
ветви связи. Каждый элемент при формировании графа представляет собой
отдельную ветвь (см. рис. 27).
2. Нумеруем ветви графа: 11-емкость, 22 – малый резистор r, 33 – резистор
R1.
43
3. Составляем таблицу связи: первая строка – ветви дерева, первый
столбец – ветви связи.
𝟏𝟏 𝑬
𝟐𝟐 1 1
𝟑𝟑 −1 0
4.
Запишем уравнения Кирхгофа для
данной таблицы связи:
𝑖11 = 𝑖22 − 𝑖33 , т.е.
𝑖𝐶 = 𝑖1 − 𝑖2 ,
𝑈22 = −𝑈11 + 𝐸, или 𝑈1 = −𝑈𝐶 +
Рис. 27
𝐸, 𝑈33 = 𝑈11 , или 𝑈2 = 𝑈𝐶 .
Видно, что уравнения совпали с ранее составленными непосредственно по
законам Кирхгофа, поэтому вывод уравнений состояния не приводится (он
выполнен выше).
Составим уравнения состояния методом наложения.
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях и
напряжения на емкостях ( 𝑈𝐶 ).
2. Запишем выражения для напряжения и тока:
𝑑𝑈
𝑖𝐶 = 𝐶 𝐶 . Заменим емкость источником ЭДС (см. рис. 28). Оставляя в
𝑑𝑡
схеме один источник (неучитываемые источники ЭДС закорачиваются, а
неучитываемые источники тока размыкаются), сформируем две частные
𝐸
схемы (см. рис.29 и 30). Схема рис. 29: 𝑖1 ′ = 𝑖3 ′ = ; 𝑖2 ′ = 0
𝑟
Схема рис. 30: 𝑖3 ′′ = 𝑖1 ′′ − 𝑖2 ′′; 𝑖1 ′′𝑟 = −𝑖2 ′′𝑅1 ; 𝑖2 ′′𝑅1 = 𝑈𝐶 .
𝐸
𝑈
𝑈
Таким образом, 𝑖𝐶 = 𝑖3 = 𝑖3′ + 𝑖3′′ = − 𝐶 − 𝐶 , и вновь получили
уравнение состояния:
𝑟
Рис. 28
44
𝑟
𝑅1
𝑈С
𝑑𝑈С 𝐸 − 𝑈С
=
−
𝑑𝑡
𝑟𝐶
𝑅1 𝐶
Рис. 29
Рис. 30
Уравнения для выходных переменных получены выше.
Пример 2.
Составить уравнения состояния и уравнения выходных переменных для
схемы на рис. 31 после замыкания ключа.
Рис. 31
Дано: 𝐿6 = 0,8 Гн, 𝐿5 = 0,4 Гн, 𝑅2 = 60 Ом, 𝑅3 = 20 Ом, 𝑅4 =
110 Ом, С = 80 мкФ.
Выходные переменные: 𝑈2 , 𝑈3 , 𝑈4 , 𝑖2 , 𝑖3 , 𝑖4
Решение.
Составим уравнения состояния с помощью уравнений Кирхгофа.
В соответствии с порядком расчета:
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях и
напряжения на емкостях (𝑖𝐿5 , 𝑖𝐿6 , 𝑈𝐶 )
2. Составляем уравнения Кирхгофа. Для этого обозначим направления
токов в схеме и их номера (см. рис. 32). В данной схеме четыре узла,
значит, по первому закону Кирхгофа составим три уравнения:
𝑖𝐿6 + 𝑖𝐶 + 𝑖3 = 0;
𝑖4 − 𝑖3 − 𝑖𝐿5 = 0;
45
𝑖2 + 𝑖𝐿5 − 𝑖𝐶 = 0.
По второму закону Кирхгофа составим еще три уравнения:
𝑈4 + 𝑈3 − 𝑈С − 𝑈2 = 0;
𝑈𝐿5 + 𝑈𝐶 − 𝑈3 = 𝐸;
𝑈𝐿6 − 𝑈𝐶 − 𝑈2 = 0.
Рис. 32
Разрешая их относительно производных 𝑖𝐿5 , 𝑖𝐿6 , 𝑈𝐶 , cформируем систему
уравнений состояния. Вначале выразим 𝑖𝐶 , 𝑈𝐿5 , 𝑈𝐿6 , а затем приведем
уравнения к нормальной форме, воспользовавшись равенствами:
𝑖𝐶 𝑑𝑖𝐿5
;
𝐶 𝑑𝑡
=
𝑈𝐿5 𝑑𝑖𝐿6
,
𝐿5
𝐿6
=
𝑈𝐿6
𝐿6
:
𝑑𝑈𝐶
𝑑𝑡
Найдем 𝑖𝐶 . Для этого используем уравнение:
𝑈𝐶 = 𝑈𝐿6 − 𝑈2 = 𝑈𝐿6 − 𝑖2 𝑅2 = 𝑈𝐿6 − 𝑅2 (𝑖𝐶 − 𝑖𝐿5 )
𝑖𝐶 =
1
𝑅2
𝑖𝐶 =
1
1
�−𝑈𝐶 + 𝑅2 𝑖𝐿5 + 𝑈𝐿6 � =
�−𝑈𝐶 + 𝑅2 𝑖𝐿5 + 𝑈4 + 𝑈3 �
𝑅2
𝑅2
1
�−𝑈𝐶 + 𝑅2 𝑖𝐿5 + 𝑅4 𝑖4 + 𝑅3 𝑖3 � = 𝑅 (−𝑈𝐶 + 𝑅2 𝑖𝐿5 + 𝑅4 �𝑖𝐿5 − 𝑖𝐿6 −
−𝑖𝐶+𝑅3−𝑖𝐿6−𝑖𝐶).
2
Раскрываем скобки, упрощаем и выражаем 𝑖𝐶 :
−𝑈𝐶 + (𝑅2 + 𝑅4 )𝑖𝐿5 − (𝑅3 + 𝑅4 )𝑖𝐿6
𝑖𝐶 =
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
46
=
Теперь получим выражение для 𝑈𝐿5 :
𝑈𝐿5 = −𝑈𝐶 + 𝑈3 + 𝐸 = −𝑈𝐶 + 𝑅3 𝑖3 + 𝐸 = −𝑈𝐶 + 𝑅3 �−𝑖𝐿6 − 𝑖𝐶 � + 𝐸,
После подстановки в это выражение 𝑖𝐶 получим:
−𝑈𝐶 + (𝑅2 + 𝑅4 )𝑖𝐿5 − (𝑅3 + 𝑅4 )𝑖𝐿6
𝑈𝐿5 = −𝑈𝐶 + 𝐸 − 𝑅3 𝑖𝐿6 − 𝑅3 �
�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
Упрощаем выражение:
𝑅3
𝑅3 (𝑅2 + 𝑅4 )
𝑈𝐿5 = 𝑈𝐶 �−1 +
� − 𝑖𝐿5 �
�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅3 (𝑅3 + 𝑅4 )
+ 𝑖𝐿6 �−𝑅3 +
�+𝐸
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
Выражение для 𝑈𝐿6 вытекает из равенства:
𝑈𝐿6 = 𝑈𝐶 + 𝑈2 = 𝑈𝐶 + 𝑅2 𝑖2 = 𝑈𝐶 + 𝑅2 (𝑖𝐶 − 𝑖𝐿5 ).
После подстановки в это выражение 𝑖𝐶 получим:
−𝑈𝐶 + (𝑅2 + 𝑅4 )𝑖𝐿5 − (𝑅3 + 𝑅4 )𝑖𝐿6
𝑈𝐿6 = 𝑈𝐶 − 𝑅2 𝑖𝐿5 + 𝑅2 �
�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
Упрощаем выражение:
𝑅2
𝑅2 (𝑅2 + 𝑅4 )
𝑅2 (𝑅3 + 𝑅4 )
− 𝑅2 � − 𝑖𝐿6 �
𝑈𝐿6 = 𝑈𝐶 �1 −
� + 𝑖𝐿5 �
�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
Приведем уравнения к нормальной форме:
(𝑅2 + 𝑅4 )𝑖𝐿5
(𝑅3 + 𝑅4 )𝑖𝐿6
𝑑𝑈𝐶 𝑖𝐶
𝑈𝐶
= =−
+
−
𝑑𝑡
𝐶
𝐶(𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 ) 𝐶(𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 ) 𝐶(𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 )
𝑖𝐿 𝑅3 (𝑅2 + 𝑅4 )
𝑑𝑖𝐿5 𝑈𝐿5 𝑈𝐶
𝑅3
=
=
�−1 +
�− 5�
�
𝑑𝑡
𝐿5
𝐿5
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝐿5 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑖𝐿
𝐸
𝑅3 (𝑅3 + 𝑅4 )
+ 6 �−𝑅3 +
�+
𝐿5
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝐿5
𝑖𝐿 𝑅2 (𝑅2 + 𝑅4 )
𝑑𝑖𝐿6 𝑈𝐿6 𝑈𝐶
𝑅2
=
=
− 𝑅2 �
�1 −
�+ 5�
𝐿6
𝐿6
𝐿6
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝐿6 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑖𝐿 𝑅2 (𝑅3 + 𝑅4 )
− 6�
�
𝐿6 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑑𝑈𝐶
⎡ 𝑑𝑡 ⎤
𝑈𝐶
⎢𝑑𝑖𝐿 ⎥
Матрицы X и Х′: 𝑋 = �𝑖𝐿5 � ; 𝑋 ′ = ⎢ 5 ⎥
𝑑𝑡
𝑖𝐿6
⎢𝑑𝑖𝐿6 ⎥
⎣ 𝑑𝑡 ⎦
47
Коэффициенты матрицы А (после упрощения):
𝐴11 = −
𝐴21 = −
𝐴31 =
1
1
, 𝐴12 =
𝐶(𝑅2 +𝑅3 +𝑅4 )
1
�
𝑅2 +𝑅4
𝐿5 𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
�
𝑅3 +𝑅4
𝐿6 𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
(𝑅2 +𝑅4 )
𝐶(𝑅2 +𝑅3 +𝑅4 )
�, 𝐴22 = −
�, 𝐴32 = −
1
, 𝐴13 = −
1 𝑅3 (𝑅2 +𝑅4 )
�
𝐿5 𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
�
𝑅2 𝑅3
𝐿6 𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
(𝑅3 +𝑅4 )
,
𝐶(𝑅2 +𝑅3 +𝑅4 )
�, 𝐴23 = −
�, 𝐴33 = −
1
�
𝑅2 𝑅3
𝐿5 𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
1 𝑅2 (𝑅3 +𝑅4 )
�
𝐿6 𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
�.
�,
Таким образом, подставив численные значения, можем записать матрицу А
(матрицу Якоби) для данной задачи:
−65.7 11184.2 −8552.6
А = �−2.24 −44.7
−15.8 �
0.86
−7.9
−51.3
Собственные числа матрицы А: λ1=-51.27+179.4j,
λ2=-51.27-179.4j, λ3=-59.16
0
1�
Матрица В примет вид: 𝐵 = � 𝐿 �
0
5
Матрица U: 𝑈 = [𝐸]
3. Составляем уравнения для выходных переменных. Для этого
воспользуемся следующими соотношениями, вытекающими из уравнений
Кирхгофа:
𝑈
𝑈
𝑈2 = 𝑈𝐿6 − 𝑈𝐶 ; 𝑖2 = 2�𝑅 ; 𝑈3 = 𝑈𝐿5 + 𝑈𝐶 − 𝐸; 𝑖3 = 3�𝑅 ; 𝑈4 = 𝑈𝐿6 − 𝑈3 ;
2
3
𝑈
𝑖4 = 4�𝑅 .
4
Тогда система уравнений для выходных переменных будет выглядеть так:
𝑅2
𝑅2 (𝑅2 + 𝑅4 )
𝑅2 (𝑅3 + 𝑅4 )
− 𝑅2 � − 𝑖𝐿6 �
𝑈2 = 𝑈𝐶 �−
� + 𝑖𝐿5 �
�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑖2 = 𝑈𝐶 �−
1
𝑅2 + 𝑅4
𝑅3 + 𝑅4
− 1� − 𝑖𝐿6 �
� + 𝑖𝐿5 �
�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅3 (𝑅3 + 𝑅4 )
𝑅3
𝑅3 (𝑅2 + 𝑅4 )
𝑈3 = 𝑈𝐶 �
� − 𝑖𝐿5 �
� + 𝑖𝐿6 �−𝑅3 +
�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑖3 = 𝑈𝐶 �
𝑅3 + 𝑅4
1
𝑅2 + 𝑅4
� − 𝑖𝐿5 �
� + 𝑖𝐿6 �−1 +
�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
48
𝑅4
(𝑅2 + 𝑅3 )(𝑅2 + 𝑅4 )
𝑈4 = 𝑈𝐶 �
− 𝑅2 �
� + 𝑖𝐿5 �
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
(𝑅2 + 𝑅3 )(𝑅3 + 𝑅4 )
− 𝑖𝐿6 �−𝑅3 +
�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑖𝐿 (𝑅2 + 𝑅3 )(𝑅2 + 𝑅4 )
1
− 𝑅2 �
𝑖4 = 𝑈𝐶 �
�+ 5�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅4
𝑖𝐿
(𝑅2 + 𝑅3 )(𝑅3 + 𝑅4 )
− 6 �−𝑅3 +
�
𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑅4
Столбцовая матрица выходных переменных (искомых величин):
С11 С12
𝑈2
⎡С
⎡𝑈 ⎤
С22
⎢ 21
⎢ 3⎥
С
С32
𝑈
𝑌 = ⎢ 4 ⎥; матрица С будет иметь следующий вид: С = ⎢ 31
⎢ 𝑖2 ⎥
⎢С41 С42
⎢ 𝑖3 ⎥
⎢С51 С52
⎣ 𝑖4 ⎦
⎣С61 С62
𝑅2
коэффициенты: С11 = −
С12 =
С23 =
𝑅2 (𝑅2 +𝑅4 )
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑅 (𝑅 +𝑅 )
−𝑅3 + 3 3 4 ;
𝑅 +𝑅 +𝑅
С33 = 𝑅3 −
С43 = −
С61 =
− 𝑅2 ;
2
3
4
(𝑅2 +𝑅3 )(𝑅3 +𝑅4 )
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
1
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
; С51 =
; С62 =
,
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑅 (𝑅 +𝑅 )
С13 = − 2 3 4 ;
𝑅 +𝑅 +𝑅
С31 =
2
𝑅4
3
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
; С41 = −
1
С13
С23 ⎤
⎥
С33 ⎥
, где
С43 ⎥
С53 ⎥
С63 ⎦
;
4
; С32 =
1
;
2
; С22 = −
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
(𝑅2 +𝑅3 )(𝑅2 +𝑅4 )
− 𝑅2 ;
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑅 +𝑅
С42 = 2 4
𝑅 +𝑅 +𝑅
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑅 +𝑅
С52 = − 2 4
𝑅 +𝑅 +𝑅
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
(𝑅2 +𝑅3 )(𝑅2 +𝑅4 )
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑅3
С21 =
3
4
2
3
4
− 1;
; С53 = −1 +
− 𝑅2 ; С63 = 𝑅3 −
𝑅3 (𝑅2 +𝑅4 )
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
(𝑅2 +𝑅3 )(𝑅3 +𝑅4 )
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
;
;
.
Наконец, матрица D размером 6×1 будет нулевой, т.к. источник Е не
входит в состав ни одного уравнения выходной переменной.
Составим уравнения состояния топологическим методом.
В данной схеме имеются неправильные размещения: узлы, к которым
стягиваются резистивные ветви R3 и R4, ветви R2 и R3. Поэтому вывод
уравнений состояния потребует решения алгебраических уравнений.
1. Составляем ориентированный граф схемы, включая С- и Е- ветви в
дерево, а R- и L- ветви - по возможности в число ветвей связи.
Направленность ветвей связи и ветвей дерева выбрана в соответствии с
ранее выбранным направлением токов в исходной схеме. Прямыми
изображены ветви дерева, дугами – ветви связи. Каждый элемент при
формировании графа должен представлять собой отдельную ветвь (см.
рис.33).
2. Пронумеруем ветви графа: ветвь 11 – емкость, ветви 22 и 33 – резисторы
дерева, также в число ветвей дерева входит ветвь Е. Таким образом, дерево
49
охватывает все узлы. Далее нумеруем ветви связи: 44 – резистивная ветвь,
55 и 66 – ветви с индуктивностями.
3.
3. Составляем таблицу связи:
первая строка – ветви дерева 11,
22, 33, Е, первый столбец – ветви
связи 44, 55, 66. Таблица
заполняется следующим образом.
Например, ветвь связи 44
образует контур из ветвей 44, 33,
11, 22 (все остальные ветви
образуемого этой ветвью контура
должны быть ветвями дерева).
Обход контура осуществляется по
Рис. 33
направлению ветви связи 44, т.е.
против часовой стрелки. Направление ветви 33 совпадает с выбранным
направлением обхода, поэтому на пересечении строки 44 и столбца 33
будет стоять +1, направление же ветвей 11 и 22 не совпадает с
направлением обхода, поэтому на пересечении строки 44 и
соответствующих столбцов будут стоять -1. Следующий контур
образовывает ветвь 55, и в него будут входить также ветви 11 (+1), 33 (-1)
и Е(+1).
𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑 Е
𝟒𝟒 −1 −1 +1 0
𝟓𝟓 +1 0 −1 +1
𝟔𝟔 −1 −1 0
0
4. Полученная таблица связи позволяет записать уравнения Кирхгофа для
данной схемы.
Уравнения по первому закону получаются при
расписывании таблицы по столбцам, по второму закону – при
расписывании таблицы по строкам (при этом напряжения на пассивных
элементах берут с обратным знаком). Запишем полученные по таблице
уравнения:
𝑖11 = −𝑖44 + 𝑖55 − 𝑖66 , т.е. 𝑖𝐶 = −𝑖4 + 𝑖𝐿5 − 𝑖𝐿6 ,
𝑖22 = −𝑖44 − 𝑖66 , т.е. 𝑖2 = −𝑖4 − 𝑖𝐿6 ,
𝑖33 = 𝑖44 − 𝑖55 , т.е. 𝑖3 = 𝑖4 − 𝑖𝐿5 ,
𝑈44 = 𝑈11 + 𝑈22 − 𝑈33 , или 𝑈4 = 𝑈𝐶 + 𝑈2 − 𝑈3 ,
𝑈55 = −𝑈11 + 𝑈33 + 𝐸, или 𝑈𝐿5 = −𝑈𝐶 + 𝑈3 + 𝐸 ,
𝑈66 = 𝑈11 + 𝑈22 , или 𝑈𝐿6 = 𝑈𝐶 + 𝑈2 .
50
Если сравнить полученные уравнения с ранее записанными уравнениями
по Кирхгофу, то обнаружится совпадение или возможность получения
выше записанных уравнений с помощью подстановок. Вывод уравнений
состояния и уравнений выходных переменных уже выполнен выше (см.
«Составление уравнений состояния с помощью уравнений Кирхгофа»)
Составим уравнения состояния методом наложения.
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях
напряжения на емкостях (𝑖𝐿5 , 𝑖𝐿6 , 𝑈𝐶 ).
2. Запишем выражения для напряжения и тока:
𝑑𝑈
𝑑𝑖𝐿
и
𝑑𝑖𝐿
𝑖𝐶 = 𝐶 𝐶 ; 𝑈𝐿5 = 𝐿5 5 , 𝑈𝐿6 = 𝐿6 6 .
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
3. Заменим индуктивности источниками тока, а емкости – источниками
ЭДС (см. рис. 34). Оставляя в схеме один источник (неучитываемые
источники ЭДС закорачиваются, а неучитываемые источники тока
размыкаются), сформируем четыре частные схемы (см. рис. 35).
Рис. 34
Рассматривая эти схемы, запишем для каждой выражения, определяющие
𝑖𝐶 , 𝑈𝐿5 , 𝑈𝐿6 .
51
Рис. 35
Схема а). В схеме действует источник 𝑈𝐶 , ток 𝑖𝐶 ′ можно записать так:
𝑖𝐶 ′ =
𝑈𝐶
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
,
𝑖𝐶 ′(𝑅3 + 𝑅4 ) =
тогда
(𝑅3 +𝑅4 )𝑈𝐶
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑈𝐿5 ′ = −𝑖𝐶 ′(𝑅2 + 𝑅4 ) = −
.
(𝑅2 +𝑅4 )𝑈𝐶
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
,
𝑈𝐿6 ′ =
Схема б). В схеме действует источник тока 𝑖𝐿5 , ток которого делится на 𝑖𝐶 ′′
и 𝑖2 ′′. Напряжение параллельных ветвей можно записать так: 𝑖𝐶 ′′𝑅3 =
𝑖2 ′′(𝑅2 + 𝑅4 ), откуда 𝑖2 ′′ =
𝑖𝐶 ′′ + 𝑖2 ′′ ток 𝑖𝐶 ′′ =
𝑖 𝐿5
𝑖𝐶 ′′𝑅3
𝑅2 +𝑅4
𝑅
1+ 3
𝑅2 +𝑅4
.
. После подстановки в уравнение 𝑖𝐿5 =
Напряжение 𝑈𝐿5 ′′ = −𝑖𝐶 ′′𝑅3 = −
𝑅3 𝑖𝐿5
1+
𝑅3
𝑅2 +𝑅4
,
напряжение 𝑈𝐿6 ′′ найдем из выражения 𝑈𝐿6 ′′ + 𝑖𝐶 ′′𝑅3 − 𝑖2 ′′𝑅4 = 0,
подставив в него найденные ранее значения токов 𝑖𝐶 ′′ и 𝑖2 ′′: 𝑈𝐿6 ′′ =
𝑖𝐶 ′′𝑅3 𝑅4
𝑅2 +𝑅4
− 𝑖𝐶 ′′𝑅3 = 𝑖𝐶 ′′𝑅3 �
𝑅4
𝑅2 +𝑅4
− 1� =
𝑖𝐿5 𝑅3
𝑅
1+ 3
𝑅2 +𝑅4
�
𝑅4
𝑅2 +𝑅4
− 1�.
Схема в). В схеме действует источник 𝑖𝐿6 , и уравнение по первому закону
Кирхгофа запишем так: 𝑖3 ′′′ = 𝑖𝐿6 + 𝑖𝐶 ′′′. Напряжение параллельных ветвей
можно записать следующим образом: 𝑖𝐶 ′′′𝑅2 = −𝑖3 ′′′(𝑅3 + 𝑅4 ), откуда
52
𝑖3 ′′′ = −
𝑖𝐶 ′′′ = −
𝑖𝐶 ′′′𝑅2
. После подстановки в уравнение 𝑖3 ′′′ = 𝑖𝐿6 + 𝑖𝐶 ′′′
𝑅3 +𝑅4
𝑖𝐿6 (𝑅3 +𝑅4 )
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
. Напряжение 𝑈𝐿5 ′′′ = −𝑖3 ′′′𝑅3 = −
𝑅3 𝑖𝐿6
𝑅 +𝑅 ,
1+ 3 4
ток
напряжение
𝑅2
𝑈𝐿6 ′′′ найдем из выражения 𝑈𝐿6 ′′′ = 𝑖С ′′′𝑅2 = −𝑖3 ′′′(𝑅3 + 𝑅4 ), подставив в
него найденные ранее значения токов 𝑖𝐶 ′′′ или 𝑖3 ′′′: 𝑈𝐿6 ′′′ = −
𝑖𝐿6 (𝑅3 +𝑅4 )
𝑅 +𝑅
1+ 3 4
.
𝑅2
Схема г). В схеме присутствует источник Е, однако ветвь с источником
разомкнута. Поэтому 𝑖𝐶 ′′′′ = 0, 𝑈𝐿5 ′′′′ = −𝑖С ′′′′𝑅3 + Е = Е, 𝑈𝐿6 ′′′′ =
−𝑖С ′′′′(𝑅3 + 𝑅4 ) = 0.
Суммируя частные решения с учетом выбранных направлений токов и
напряжений,
получим:
𝑖𝐶 = −𝑖𝐶′ + 𝑖𝐶′′ + 𝑖𝐶′′′ + 𝑖𝐶′′′′ = −
𝑈𝐶
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑈𝐿5 = 𝑈𝐿′ 5 + 𝑈𝐿′′5 + 𝑈𝐿′′′5 + 𝑈𝐿′′′′
=−
5
𝑈𝐿6 = 𝑈𝐿′ 6 + 𝑈𝐿′′6 + 𝑈𝐿′′′6 + 𝑈𝐿′′′′
=
6
+
𝑖𝐿5
𝑅
1+ 3
𝑅2 +𝑅4
(𝑅2 +𝑅4 )𝑈𝐶
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
(𝑅3 +𝑅4 )𝑈𝐶
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
+
−
−
𝑖𝐿6 (𝑅3 +𝑅4 )
𝑅2 +𝑅3 +𝑅4
𝑅3 𝑖𝐿5
𝑅
1+ 3
𝑅2 +𝑅4
𝑖𝐿5 𝑅3
𝑅
1+ 3
𝑅2 +𝑅4
�
−
𝑅4
𝑑𝑖𝐿6
𝐿6
=
𝑈𝐿6
𝐿6
.
𝑅3 𝑖𝐿6
𝑅 +𝑅
1+ 3 4
𝑅2 +𝑅4
Найдем переменные состояния с помощью равенств
,
𝑅2
+ 𝐸,
− 1� −
𝑑𝑈𝐶
𝑑𝑡
𝑖
𝑖𝐿6 (𝑅3 +𝑅4 )
= 𝐶;
𝐶
𝑅 +𝑅
1+ 3 4
𝑅2
𝑑𝑖𝐿5
𝑑𝑡
=
.
𝑈𝐿5
𝐿5
,
(𝑅2 + 𝑅4 )𝑖𝐿5
(𝑅3 + 𝑅4 )𝑖𝐿6
𝑑𝑈𝐶 𝑖𝐶
𝑈𝐶
= =−
+
−
𝑑𝑡
𝐶
𝐶(𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 ) 𝐶(𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 ) 𝐶(𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 )
𝑖𝐿 𝑅3 (𝑅2 + 𝑅4 )
𝑑𝑖𝐿5 𝑈𝐿5
𝑈𝐶
𝑅2 + 𝑅4
=
=− �
�− 5�
�−
𝑑𝑡
𝐿5
𝐿5 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝐿5 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑖𝐿6
𝐸
𝑅2 𝑅3
�
�+
𝐿5
𝐿5 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝑖𝐿
𝑖𝐿 𝑅2 (𝑅3 + 𝑅4 )
𝑑𝑖𝐿6 𝑈𝐿6 𝑈𝐶
𝑅3 + 𝑅4
𝑅2 𝑅3
=
=
�
�− 5�
�− 6�
�
𝑑𝑡
𝐿6
𝐿6 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝐿6 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
𝐿6 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4
Коэффициенты матрицы А совпали с теми, что были получены при
решении задачи с помощью уравнений Кирхгофа.
4. Уравнения для выходных переменных уже были выведены выше (см. п.
«Составим уравнения состояния с помощью уравнений Кирхгофа»).
53
Пример 3.
Составить уравнения состояния и уравнения выходных переменных для
схемы второго порядка на рис. 36 после замыкания ключа. Дано: 𝐿 =
5 мГн, 𝑅1 = 20 Ом, 𝑅2 = 10 Ом, 𝑅3 = 20 Ом, С = 4 мкФ, J = 30 A.
Выходные переменные: напряжения на резисторах R1 и R2 - 𝑈1 , 𝑈2
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между
реактивными элементами после коммутации ключа S.
Решение.
Составим уравнения состояния с помощью уравнений Кирхгофа.
В соответствии с порядком расчета:
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях и
напряжения на емкостях (𝑖𝐿 , 𝑈𝐶 )
Рис. 36
Рис. 37
2. Составляем уравнения Кирхгофа. Для этого обозначим направления
токов в схеме и их номера (см. рис. 37). В данной схеме два узла, значит,
по первому закону Кирхгофа составим одно уравнение:
𝐽 + 𝑖1 − 𝑖𝐶 − 𝑖𝐿 = 0
По второму закону Кирхгофа составим еще два уравнения:
𝑖𝐿 (𝑅2 + 𝑅3 ) + 𝑈𝐿 + 𝑖1 𝑅1 = 0
𝑈𝐶 = −𝑖1 𝑅1
Из трех данных уравнений непосредственно можно получить уравнения
для 𝑖𝐶 и 𝑈𝐿 :
𝑖𝐶 = 𝐽 − 𝑖𝐿 −
вытекают уравнения состояния:
𝑈𝐶
𝑅1
, 𝑈𝐿 = −𝑖𝐿 (𝑅2 + 𝑅3 ) + 𝑈𝐶 , из которых
𝑑𝑈𝐶
𝑑𝑡
=−
𝐶𝑅1
𝑑𝑈𝐶
𝑈
𝑑𝑡
Матрицы X и Х′: 𝑋 = � 𝐶 � ; 𝑋 ′ = � 𝑑𝑖
�
𝐿
𝑖𝐿
𝑑𝑡
𝑈𝐶
54
−
𝑖𝐿
𝐶
𝐽 𝑑𝑖𝐿
− ,
𝐶
𝑑𝑡
=
𝑈𝐶
𝐿
− 𝑖𝐿
𝑅2 +𝑅3
𝐿
Коэффициенты матрицы А :
1
1
𝐴11 = − , 𝐴12 = − ,
1
𝐶𝑅1
𝐴21 = , 𝐴22 = −
𝐿
𝐶
(𝑅2 +𝑅3 )
𝐿
.
−12500 −250000
�, собственные числа:
200
−6000
λ1=-9250+6279.93j, λ2 =-9250-6279.93j. Данные собственные числа
совпадают с корнями характеристического уравнения (см. операторный
метод).
Матрица А численно: 𝐴 = �
Матрица В примет вид:
𝐵=�
− 1�𝐶
�
0
Матрица U: 𝑈 = [𝐽].
3. Составляем уравнения для выходных переменных:
𝑈1 = −𝑈𝐶 , 𝑈2 = 𝑖𝐿 𝑅2 , т.о.
Столбцовая матрица выходных переменных (искомых величин):
𝑈
−1 0
𝑌 = � 1 �; матрица С будет иметь следующий вид: С = �
�. Матрица
0 𝑅2
𝑈2
D размером 2×1 будет нулевой, т.к. источник J не входит в состав
уравнений выходных переменных.
Составим уравнения состояния топологическим методом.
В данной схеме нет неправильных размещений. Поэтому уравнения
состояния получатся непосредственно после расписывания матрицы связи
по столбцам и строкам.
1. Составляем ориентированный граф
схемы, включая С- ветвь в дерево, а L- и
J-ветви - в число ветвей связи.
Направленность ветвей связи и ветвей
дерева выбрана в соответствии с ранее
выбранным направлением токов в
исходной схеме. Прямыми изображены
ветви дерева, дугами – ветви связи.
Каждый элемент при формировании графа
Рис. 38
должен представлять собой отдельную
ветвь (см. рис.38).
2. Пронумеруем ветви графа: ветвь 11 – емкость, ветви 22 и 33 – резисторы
дерева. Таким образом, дерево охватывает все узлы. Далее нумеруем ветви
55
связи: 44 – резистивная ветвь, 55 и 66 – ветви с индуктивностью и
источником тока соответственно.
3. Составляем таблицу связи: первая строка – ветви дерева 11, 22, 33,
первый столбец – ветви связи 44, 55, 66. Заполняем таблицу, обходя
контура, образованные ветвью связи и ветвями дерева, по направлению
ветви связи. Например, ветвь связи 44 образует контур из ветвей 44, 33,
11, 22. Обход контура осуществляется по направлению ветви связи 44, т.е.
по часовой стрелке. Направление ветвей 22 и 33 совпадает с выбранным
направлением обхода, поэтому на пересечении строки 44 и столбцов 22 и
33 будет стоять +1, направление же ветви 11 не совпадает с направлением
обхода, поэтому на пересечении строки 44 и столбца 11 будет -1.
Следующий контур образовывает ветвь 55, и в него будет входить только
ветвь 11 (+1), и т.д. Получилась следующая таблица связи:
𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑
𝟒𝟒 −1 +1 +1
0 0
𝟓𝟓 +1
0 0
𝟔𝟔 +1
4. Данную таблицу распишем по столбцам (уравнения по первому закону
Кирхгофа), и по строкам (по второму закону, напряжения на пассивных
элементах берут со знаками, противоположными табличным):
𝑖𝐶 = −𝑖𝐿 + 𝑖1 + 𝐽
𝑖2 = 𝑖3 = 𝑖𝐿
𝑈𝐿 = 𝑈𝐶 − 𝑈2 − 𝑈3
𝑈1 = −𝑈𝐶
Из этих уравнений получаются уравнения для 𝑖𝐶 и 𝑈𝐿 :
𝑈𝐶
− 𝑖𝐿 + 𝐽
𝑖𝐶 = −
𝑅1
𝑈𝐿 = 𝑈𝐶 − 𝑖𝐿 (𝑅2 + 𝑅3 )
Откуда уравнения состояния:
𝑈𝐶
𝑖𝐿 𝐽
𝑑𝑈𝐶
=−
− +
𝑑𝑡
𝐶𝑅1 𝐶 𝐶
𝑑𝑖𝐿 𝑈𝐶 𝑅2 + 𝑅3
=
−
𝑖𝐿
𝑑𝑡
𝐿
𝐿
Составим уравнения состояния методом наложения.
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях
напряжения на емкостях (𝑖𝐿 , 𝑈𝐶 ).
2. Запишем выражения для напряжения и тока:
56
и
𝑑𝑈
𝑑𝑖
𝑖𝐶 = 𝐶 𝐶 , 𝑈𝐿 = 𝐿 𝐿.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
3. Заменим индуктивность источником тока, а емкость – источником ЭДС
(см. рис. 39). Оставляя в схеме один источник (неучитываемые источники
ЭДС закорачиваются, а неучитываемые источники тока размыкаются),
сформируем три частные схемы (см. рис. 40).
Рис. 39
Рис. 40, а
Рис. 40, б
Рис. 40, в
Схема а). В схеме действует источник 𝑈𝐶 , ток 𝑖𝐶 ′ можно записать так:
𝑈
𝑖𝐶′ = − 𝐶 , тогда 𝑈𝐿 ′ = 𝑈𝐶 .
𝑅1
Схема б). В схеме действует источник тока 𝑖𝐿 , ток которого замыкается в
контуре 𝑅2 и 𝑅3 . Ток через резистор 𝑅1 равен нулю. Поэтому:
𝑖𝐶 ′′ = −𝑖𝐿 , 𝑈𝐿 ′′ = −𝑖𝐿 (𝑅2 + 𝑅3 ).
Схема в). В схеме действует источник J. Ток через резистор 𝑅1 равен нулю.
Можем записать:𝑖𝐶 ′′′ = 𝐽, 𝑈𝐿 ′′′ = 0. Суммируя частные решения с учетом
выбранных
направлений
токов
и
напряжений,
получим:
𝑈𝐶
− 𝑖𝐿 + 𝐽
𝑅1
= 𝑈𝐶 − 𝑖𝐿 (𝑅2 + 𝑅3 )
𝑖𝐶 = 𝑖𝐶′ + 𝑖𝐶′′ + 𝑖𝐶′′′ = −
𝑈𝐿 = 𝑈𝐿′ + 𝑈𝐿′′ − 𝑈𝐿′′′
Откуда уравнения состояния:
57
𝑈𝐶
𝑖𝐿 𝐽
𝑑𝑈𝐶
=−
− +
𝑑𝑡
𝐶𝑅1 𝐶 𝐶
𝑑𝑖𝐿 𝑈𝐶 𝑅2 + 𝑅3
=
−
𝑖𝐿
𝑑𝑡
𝐿
𝐿
4. Уравнения для выходных переменных уже были выведены выше.
Пример 4.
Составить уравнения состояния и уравнения выходных переменных для
схемы второго порядка на рис. 41 после размыкания ключа. Дано: 𝑅1 =
20 Ом, 𝑅2=30 Ом, 𝑅3=35 Ом, С=5 мкФ, Е=50 В.
Выходные переменные: напряжения на резисторах R1 и R2 - 𝑈1 , 𝑈2
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между
реактивными элементами после коммутации ключа S (ключ размыкается).
Решение.
Составим уравнения состояния с помощью уравнений Кирхгофа.
В соответствии с порядком расчета:
1. Выбираем переменные состояния – напряжения на емкостях (𝑈𝐶1 , 𝑈𝐶2 )
2. Составляем уравнения Кирхгофа. Для этого обозначим направления
токов в схеме и их номера (см. рис. 42). В данной схеме два узла, значит,
по первому закону Кирхгофа составим одно уравнение:
По второму закону составим два уравнения:
𝑖1 𝑅1 + 𝑈𝐶1 = 𝐸
𝑖𝐶2 𝑅2 + 𝑈𝐶2 − 𝑈𝐶1 = 0
Из данных уравнений непосредственно можно получить уравнения для
𝑖𝐶1 и 𝑖𝐶2 :
𝑖𝐶2 =
𝑈𝐶1
𝑅2
−
𝑈𝐶2
𝑅2
; 𝑖𝐶1 = 𝑖1 − 𝑖𝐶2 =
𝐸−𝑈𝐶1
𝑅1
Теперь можем записать уравнения состояния:
𝑖1 − 𝑖𝐶1 − 𝑖𝐶2 = 0
−
𝑈 𝐶1
𝑅2
+
𝑈𝐶
𝑑𝑈𝐶1
𝑈𝐶 1
1
𝐸
=− 1� + �+ 2 +
𝑑𝑡
𝐶 𝑅1 𝑅2
𝐶𝑅2 𝐶𝑅1
58
𝑈𝐶2
𝑅2
,
Рис. 41
Рис. 42
𝑈𝐶
𝑈𝐶
𝑑𝑈𝐶2
= 1 − 2
𝑑𝑡
𝐶𝑅2 𝐶𝑅2
𝑑𝑈𝐶1
𝑈𝐶
𝑑𝑡
Матрицы X и Х′: 𝑋 = � 1 � ; 𝑋 ′ = �𝑑𝑈
�
𝐶2
𝑈𝐶2
Коэффициенты матрицы А :
1 1
1
1
𝐴11 = − � + �, 𝐴12 =
,
𝐴21 =
1
𝐶 𝑅1
𝐶𝑅2
𝑅2
, 𝐴22 = −
1
𝐶𝑅2
𝑑𝑡
𝐶𝑅2
.
−16667 6667
�, собственные числа:λ1=6667
−6667
20000, λ2=-3333. Данные собственные числа совпадают с корнями
характеристического уравнения (см. операторный метод).
Матрица А численно: 𝐴 = �
Матрица В примет вид:
1�
𝐵 = � 𝐶𝑅1 �,
0
Матрица U: 𝑈 = [𝐸].
3. Составляем уравнения для выходных переменных:
𝑈1 = −𝑈𝐶1 + 𝐸, 𝑈2 = 𝑈𝐶1 − 𝑈𝐶2 , т.о.
Столбцовая матрица выходных переменных (искомых величин):
𝑈
−1 0
�. Матрица
𝑌 = � 1 �; матрица С будет иметь следующий вид: С = �
𝑈2
1 −1
1
D размером 2×1: 𝐷 = � � .
0
59
Составим уравнения состояния топологическим методом.
В данной схеме нет неправильных размещений. Поэтому уравнения
состояния получатся непосредственно после расписывания матрицы связи
по столбцам и строкам.
1. Составляем ориентированный граф схемы, включая С- и Е- ветви в
дерево, а
в число ветвей связи – только резистивные ветви.
Направленность ветвей связи и ветвей дерева выбрана в соответствии с
ранее выбранным направлением токов в исходной схеме. Прямыми
изображены ветви дерева, дугами – ветви связи. Каждый элемент при
формировании графа должен представлять собой отдельную ветвь (см.
рис.43).
2. Пронумеруем ветви графа: ветви 11 и 22– емкость, ветви 33, и 44 –
резистивные ветви связи. Дерево охватывает все узлы.
3. Составляем таблицу связи: первая строка – ветви дерева 11, 22, Е,
первый столбец – ветви связи 33, 44. Заполняем таблицу:
𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑬
𝟑𝟑 +1 0 +1
𝟒𝟒 −1 +1 0
Рис. 43
4. Данную таблицу распишем по столбцам и по строкам (напряжения на
пассивных элементах берут со знаками, противоположными табличным):
𝑖𝐶1 = 𝑖1 − 𝑖𝐶2 ; 𝑈1 = −𝑈𝐶1 + 𝐸; 𝑈2 = 𝑈𝐶1 − 𝑈𝐶2 , с помощью подстановок
получим уравнения токов 𝑖𝐶1 и 𝑖𝐶2 :
𝑖𝐶2 = 𝑖2 =
𝑈𝐶1
состояния:
𝑅2
−
𝑈𝐶2
𝑅2
; 𝑖𝐶1 = 𝑖1 − 𝑖𝐶2 =
𝐸−𝑈𝐶1
𝑅1
−
𝑈𝐶1
𝑅2
+
𝑈𝐶2
𝑅2
,
𝑈𝐶
𝑈𝐶 1
𝑑𝑈𝐶1
1
𝐸
=− 1� + �+ 2 +
𝑑𝑡
𝐶 𝑅1 𝑅2
𝐶𝑅2 𝐶𝑅1
𝑈𝐶
𝑈𝐶
𝑑𝑈𝐶2
= 1 − 2
𝑑𝑡
𝐶𝑅2 𝐶𝑅2
60
откуда уравнения
Составим уравнения состояния методом наложения.
1. Выбираем переменные состояния – напряжения на емкостях (𝑈𝐶1 , 𝑈𝐶2 )
𝑑𝑈𝐶
𝑑𝑈𝐶
2
1
2. Запишем выражения для токов: 𝑖𝐶1 = 𝐶
, 𝑖𝐶2 = 𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡
3. Заменим емкости источниками ЭДС (см. рис.44). Оставляя в схеме
один источник (неучитываемые источники ЭДС закорачиваются),
сформируем три частные схемы (см. рис. 45).
Схема а). В схеме действует источник Е, ток 𝑖𝐶1 ′ можно записать так:
𝑖𝐶′ 1 =
Е
𝑅1
, ток 𝑖𝐶2 ′ равен нулю.
Схема б). В схеме действует источник 𝑈𝐶1 . Ток 𝑖2 ′′ = 𝑖𝐶2 ′′.
записать для параллельных ветвей:
𝑈
𝑈
𝑖1 ′′𝑅1 = −𝑈𝐶1 ′′ = −𝑖𝐶2 ′′𝑅2 ; 𝑖1 ′′ = − 𝐶1�𝑅 ; 𝑖𝐶2 ′′ = 𝐶1�𝑅 .
1
2
Рис. 44
Рис. 45, а
Рис. 45, б
Рис. 45, в
𝑈 𝐶1
𝑈𝐶
По первому закону запишем: 𝑖𝐶1 ′′ = 𝑖1 ′′ − 𝑖𝐶2 ′′ = −
− 1
𝑅1
61
𝑅2
Можно
Схема в). В схеме действует источник 𝑈𝐶2 . Ток через резистор 𝑅1 равен
𝑈
нулю. Можем записать: 𝑈𝐶2 ′′′ = 𝑖𝐶1 ′′′𝑅2 ; 𝑖𝐶′′′1 = 𝐶2�𝑅 ; .
2
По первому закону запишем: 𝑖𝐶′′′2 = −𝑖𝐶′′′1 = −
𝑈𝐶2
𝑅2
Суммируя частные решения с учетом выбранных направлений токов и
напряжений, получим:
𝐸 𝑈𝐶1 𝑈𝐶1 𝑈𝐶2
−
−
+
𝑖𝐶1 = 𝑖𝐶′ 1 + 𝑖𝐶′′1 + 𝑖𝐶′′′1 =
𝑅1 𝑅1
𝑅2
𝑅2
𝑈𝐶
𝑈𝐶
𝑖𝐶2 = 𝑖𝐶′ 2 + 𝑖𝐶′′2 + 𝑖𝐶′′′2 = 1 − 2
𝑅2
𝑅2
Откуда уравнения состояния:
𝑈𝐶
𝑈𝐶 1
𝑑𝑈𝐶1
1
𝐸
=− 1� + �+ 2 +
𝑑𝑡
𝐶 𝑅1 𝑅2
𝐶𝑅2 𝐶𝑅1
𝑈𝐶
𝑈𝐶
𝑑𝑈𝐶2
= 1 − 2
𝑑𝑡
𝐶𝑅2 𝐶𝑅2
4. Уравнения для выходных переменных получены выше.
Пример 5.
Составить уравнения состояния и уравнения выходных переменных для
схемы второго порядка на рис. 46 после замыкания ключа. Дано: 𝑅1 =
12 Ом, 𝑅2=6 Ом, 𝑅3=3 Ом, 𝐿1=𝐿2=8 мГн,𝐽=6 A.
Выходные переменные: напряжения на резисторах R1 ,R2 и R3 - 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3
Переходный процесс в цепи вызван перераспределением энергии между
реактивными элементами после коммутации ключа S.
Решение.
Составим уравнения состояния с помощью уравнений Кирхгофа.
В соответствии с порядком расчета:
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях (𝑖𝐿1 , 𝑖𝐿2 ).
2. Составляем уравнения Кирхгофа. Для этого обозначим направления
токов в схеме и их номера (см. рис. 47). В данной схеме четыре узла,
62
Рис. 46
Рис. 47
значит, по первому закону Кирхгофа составим три уравнения:
𝐽 − 𝑖𝐿1 − 𝑖1 = 0
𝑖𝐿1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0
𝑖1 − 𝑖3 − 𝑖𝐿2 = 0
По второму закону составим еще два уравнения:
𝑈𝐿1 − 𝑈3 − 𝑈1 = 0
𝑈𝐿2 − 𝑈2 − 𝑈3 = 0
Тогда:
𝑈𝐿1 = 𝑈1 + 𝑈3 = 𝑅1 𝑖1 + 𝑅3 𝑖3 = 𝑅1 �𝐽 − 𝑖𝐿1 � + 𝑅3 (𝐽 − 𝑖𝐿1 − 𝑖𝐿2 )
𝑈𝐿2 = 𝑈2 + 𝑈3 = 𝑅2 𝑖2 + 𝑅3 𝑖3 = 𝑅2 �𝐽 − 𝑖𝐿2 � + 𝑅3 (𝐽 − 𝑖𝐿1 − 𝑖𝐿2 )
Таким образом:
𝑈𝐿1 = −𝑖𝐿1 (𝑅1 + 𝑅3 ) − 𝑅3 𝑖𝐿2 + 𝐽(𝑅1 + 𝑅3 )
𝑈𝐿2 = −𝑅3 𝑖𝐿1 − 𝑖𝐿2 (𝑅2 + 𝑅3 ) + 𝐽(𝑅2 + 𝑅3 )
Уравнения состояния:
𝑖𝐿
𝑖𝐿 𝑅3 𝐽
𝑑𝑖𝐿1 𝑈𝐿1
=
= − 1 (𝑅1 + 𝑅3 ) − 2 + (𝑅1 + 𝑅3 )
𝐿1
𝑑𝑡
𝐿1
𝐿1
𝐿1
𝑑𝑖𝐿2 𝑈𝐿2
𝑖𝐿 𝑅3 𝑖𝐿
𝐽
=
= − 1 − 2 (𝑅2 + 𝑅3 ) + (𝑅2 + 𝑅3 )
𝐿2
𝑑𝑡
𝐿2
𝐿2
𝐿2
𝑑𝑖𝐿1
𝑖𝐿
Матрицы X и Х′: 𝑋 = � 1 � ; 𝑋 ′ = �𝑑𝑖𝑑𝑡 �
𝐿2
𝑖𝐿2
Коэффициенты матрицы А :
(𝑅 +𝑅 )
𝑅
𝐴11 = − 1 3 , 𝐴12 = − 3,
𝐿1
𝑑𝑡
𝐿1
63
𝑅
𝐴21 = − 3 , 𝐴22 = −
𝐿2
(𝑅2 +𝑅3 )
𝐿2
.
−1875 −375
�, собственные числа:λ1=−375 −1125
2030.3, λ2=-969.7. Данные собственные числа совпадают с корнями
характеристического уравнения (см. операторный метод).
Матрица А численно: 𝐴 = �
Матрица В примет вид:
1
⎡ (𝑅1 + 𝑅3 )⎤
𝐿
⎥
𝐵=⎢ 1
⎢ 1 (𝑅 + 𝑅 )⎥
3
⎣𝐿2 2
⎦
Матрица U: 𝑈 = [𝐽].
3. Составляем уравнения для выходных переменных:
𝑈1 = 𝑅1 𝑖1 = 𝑅1 �𝐽 − 𝑖𝐿1 �, 𝑈2 = 𝑅2 𝑖2 = 𝑅2 �𝐽 − 𝑖𝐿2 �, 𝑈3 = 𝑅3 𝑖3 = 𝑅3 (𝐽 − 𝑖𝐿1 −
𝑖𝐿2 ), т.о.
Столбцовая матрица выходных переменных (искомых величин):
−𝑅1
0
𝑈1
−𝑅2 �.
𝑌 = �𝑈2 �; матрица С будет иметь следующий вид: С = � 0
𝑈3
−𝑅3 −𝑅3
𝑅1
Матрица D размером 3×1: 𝐷 = �𝑅2 � .
𝑅3
Составим уравнения состояния топологическим методом.
В данной схеме нет неправильных размещений. Поэтому уравнения
состояния получатся непосредственно после расписывания матрицы связи
по столбцам и строкам.
1. Составляем ориентированный граф схемы, включая в дерево все
резистивные ветви, а в число ветвей связи – ветви с источником тока и
индуктивностями. Направленность ветвей связи и ветвей дерева выбрана в
соответствии с ранее выбранным направлением токов в исходной схеме.
Прямыми изображены ветви дерева, дугами – ветви связи. Каждый
элемент при формировании графа должен представлять собой отдельную
ветвь (см. рис. 48).
2. Пронумеруем ветви графа: ветви 11, 22 и 33– резистивные ветви дерева,
ветви связи 44 и 55 – индуктивности. Дерево охватывает все узлы.
64
Составляем таблицу связи: первая
строка – ветви дерева 11, 22, 33,
первый столбец – ветви связи 44,
55,
J.
Заполняем
таблицу:
𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑
𝟒𝟒 −1 0 −1
𝟓𝟓 0 −1 −1
𝑱
1
1
1
4.
Распишем таблицу по столбцам
и строкам:
𝑖1 = −𝑖𝐿1 + 𝐽
Рис. 48
𝑖2 = −𝑖𝐿2 + 𝐽
𝑖3 = −𝑖𝐿1 − 𝑖𝐿2 + 𝐽
𝑈𝐿1 = 𝑈1 + 𝑈3
𝑈𝐿2 = 𝑈2 + 𝑈3
Уравнения полностью совпадают с составленными по Кирхгофу, поэтому
вывод уравнений состояния не приведен (см. стр. 63).
3.
Составим уравнения состояния методом наложения.
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях (𝑖𝐿1 , 𝑖𝐿2 ).
2. Запишем выражения для напряжений: 𝑈𝐿1 = 𝐿1
𝑑𝑖𝐿1
𝑑𝑡
, 𝑈𝐿2 = 𝐿2
𝑑𝑖𝐿2
𝑑𝑡
.
3. Заменим индуктивности источниками тока(рис. 49). Оставляя в схеме
один источник (неучитываемые источники тока разрываются),
сформируем три частные схемы (см. рис. 50).
Схема а). Ток источника J протекает через резисторы 𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 . Для
напряжений 𝑈𝐿1 , 𝑈𝐿2 можем
записать:
𝑈𝐿1 ′ = (𝑅1 + 𝑅3 )𝐽
𝑈𝐿2 ′ = (𝑅2 + 𝑅3 )𝐽
Схема б). Ток 𝑖𝐿1 замыкается
в контуре 𝑅1 , 𝑅3 .
Рис. 49
65
Рис. 50, а
Рис. 50, б
Рис. 50, в
Ток через резистор 𝑅2 равен нулю. 𝑈𝐿1 ′′ = −(𝑅1 + 𝑅3 )𝑖𝐿1 , 𝑈𝐿2 ′′ = 𝑈3 ′′ =
−𝑖𝐿1 𝑅3 .
Схема в). Ток 𝑖𝐿2 замыкается в контуре 𝑅2 , 𝑅3 . Через резистор 𝑅1 ток не
протекает. 𝑈𝐿1 ′′′ = −𝑅3 𝑖𝐿2 , 𝑈𝐿2 ′′′ = −(𝑅2 + 𝑅3 )𝑖𝐿2 .
Суммируя частные решения с учетом выбранных направлений токов и
напряжений,
получим:
𝑈𝐿1 = 𝑈𝐿′ 1 + 𝑈𝐿′′1 + 𝑈𝐿′′′1 = −𝑖𝐿1 (𝑅1 + 𝑅3 ) − 𝑅3 𝑖𝐿2 + 𝐽(𝑅1 + 𝑅3 )
𝑈𝐿2 = 𝑈𝐿′ 2 + 𝑈𝐿′′2 + 𝑈𝐿′′′2 = −𝑅3 𝑖𝐿1 − 𝑖𝐿2 (𝑅2 + 𝑅3 ) + 𝐽(𝑅2 + 𝑅3 )
С учетом последних выражений уравнения состояния цепи:
𝑖𝐿
𝑖𝐿 𝑅3 𝐽
𝑑𝑖𝐿1 𝑈𝐿1
=
= − 1 (𝑅1 + 𝑅3 ) − 2 + (𝑅1 + 𝑅3 )
𝐿1
𝑑𝑡
𝐿1
𝐿1
𝐿1
𝑑𝑖𝐿2 𝑈𝐿2
𝑖𝐿 𝑅3 𝑖𝐿
𝐽
=
= − 1 − 2 (𝑅2 + 𝑅3 ) + (𝑅2 + 𝑅3 )
𝐿2
𝑑𝑡
𝐿2
𝐿2
𝐿2
4. Уравнения для выходных переменных получены выше.
Пример 6.
Составить уравнения состояния и уравнения выходных переменных для
схемы второго порядка с двумя источниками на рис. 51. Дано: 𝑅1 = 𝑅4 =
1 Ом, 𝑅2=𝑅3=3 Ом, С=1 Ф, 𝐿=0,3 Гн.
Выходные переменные: напряжения на резисторах R1 ,R2, R3 и R4- 𝑈1 , 𝑈2 ,
𝑈3 , 𝑈4
66
Рис. 51
Решение.
Составим уравнения состояния с помощью уравнений Кирхгофа.
В соответствии с порядком расчета:
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях и
напряжения на емкостях (𝑖𝐿 , 𝑈𝐶 )
2. Составляем уравнения Кирхгофа. Для этого обозначим направления
токов в схеме и их номера (см. рис. 23). В данной схеме четыре узла,
значит, по первому закону Кирхгофа составим три уравнения:
𝑖1 − 𝑖2 − 𝑖𝐿 = 0
𝑖2 + 𝑖𝐶 − 𝑖3 = 0
𝑖𝐿 + 𝑖3 + 𝐽 + 𝑖4 = 0
По второму закону Кирхгофа составим еще три уравнения:
𝑈1 + 𝑈2 − 𝑈С = 𝐸
𝑈4 − 𝑈3 − 𝑈С = 0
𝑈𝐿 − 𝑈4 + 𝑈1 = 𝐸
Вначале выразим 𝑖𝐶 , 𝑈𝐿 , а затем приведем уравнения к нормальной форме,
𝑑𝑈
𝑖 𝑑𝑖
𝑈
воспользовавшись равенствами: 𝐶 = 𝐶 ; 𝐿 = 𝐿.
𝑑𝑡
𝐶 𝑑𝑡
𝐿
𝑖𝐶 = 𝑖3 − 𝑖2 = 𝑖3 − (−𝑖𝐿 + 𝑖1 ) = −𝐽 − 𝑖4 − 𝑖1 , откуда 𝑖1 = −𝑖𝐶 − 𝐽 − 𝑖4 .
𝑈𝐿 = 𝐸 + 𝑈4 − 𝑈1 = 𝐸 + 𝑖4 𝑅4 − 𝑖1 𝑅1 = 𝐸 + 𝑖4 𝑅4 − 𝑅1 (−𝑖𝐶 − 𝐽 − 𝑖4 )
= 𝐸 + 𝑖4 (𝑅1 + 𝑅4 ) + 𝑅1 𝑖𝐶 + 𝑅1 𝐽
𝑈𝐶 = 𝑈1 + 𝑈2 − 𝐸 = 𝑅1 (−𝑖𝐶 − 𝐽 − 𝑖4 ) + 𝑅2 (−𝑖𝐿 + 𝑖1 ) − 𝐸 = 𝑅1 (−𝑖𝐶 − 𝐽 −
𝑖4+𝑅2−𝑖𝐶−𝐽−𝑖4−𝑖𝐿−𝐸,
откуда
𝑈𝐶 = −𝑖𝐶 (𝑅1 + 𝑅2 ) − 𝐽(𝑅1 + 𝑅2 ) − 𝑖4 (𝑅1 + 𝑅2 ) − 𝑅2 𝑖𝐿 − 𝐸.
67
Теперь необходимо выразить 𝑖4 :
𝑈4 𝑈𝐶 + 𝑈3 𝑈𝐶 𝑖3 𝑅3 𝑈𝐶 𝑅3
=
=
+
=
+ (−𝐽 − 𝑖4 − 𝑖𝐿 )
𝑖4 =
𝑅4
𝑅4
𝑅4
𝑅4
𝑅4 𝑅4
Раскрывая скобки и упрощая, получим 𝑖4 :
𝑈𝐶 − 𝑅3 𝐽 − 𝑅3 𝑖𝐿
𝑅3 + 𝑅4
Подставляя это выражение в (), и воспользовавшись равенством 𝑅1 =
𝑅4, 𝑅2=𝑅3, имеем:
(𝑅1 + 𝑅2 )(𝑈𝐶 − 𝑅2 𝐽 − 𝑅2 𝑖𝐿 )
𝑈𝐶 = −𝑖𝐶 (𝑅1 + 𝑅2 ) − 𝐽(𝑅1 + 𝑅2 ) − 𝑅2 𝑖𝐿 − 𝐸 −
(𝑅1 + 𝑅2 )
откуда
𝐸
2𝑈𝐶
𝑅1
𝑖𝐶 = −
−
−
𝐽
(𝑅1 + 𝑅2 ) (𝑅1 + 𝑅2 ) 𝑅1 + 𝑅2
В ранее полученное выражение для 𝑈𝐿 подставим ток 𝑖4 и полученный
выше ток 𝑖𝐶 :
𝑈𝐿 = 𝐸 + 𝑖4 (𝑅1 + 𝑅4 ) + 𝑅1 𝑖𝐶 + 𝑅1 𝐽
(𝑅1 + 𝑅4 )
(𝑈 − 𝑅3 𝐽 − 𝑅3 𝑖𝐿 )
=𝐸+
(𝑅4 + 𝑅3 ) 𝐶
𝐸
2𝑈𝐶
𝑅1
+ 𝑅1 �−
−
−
𝐽�
(𝑅1 + 𝑅2 ) (𝑅1 + 𝑅2 ) 𝑅1 + 𝑅2
После упрощения и замен 𝑅1 = 𝑅4 , 𝑅2 = 𝑅3 получаем:
𝐸𝑅2
𝑅1 𝑅2
𝑅1 𝑅2
𝑈𝐿 =
−2𝑖𝐿
−𝐽
(𝑅1 + 𝑅2 )
𝑅1 +𝑅2
𝑅1 +𝑅2
Уравнения состояния:
𝐸𝑅2
𝑅1 𝑅2
𝑑𝑖𝐿 𝑈𝐿
𝑅1 𝑅2
=
= −2𝑖𝐿
+
−𝐽
𝑑𝑡
𝐿
𝐿(𝑅1 +𝑅2 ) 𝐿(𝑅1 + 𝑅2 )
𝐿(𝑅1 +𝑅2 )
𝑖4 =
𝑑𝑈𝐶 𝑖𝐶
2𝑈𝐶
𝐸
𝑅1
= =−
−
−
𝐽
𝑑𝑡
𝐶
𝐶(𝑅1 + 𝑅2 ) 𝐶(𝑅1 + 𝑅2 ) 𝐶(𝑅1 + 𝑅2 )
𝑑𝑈𝐶
𝑈
𝑑𝑡
Матрицы X и Х′: 𝑋 = � 𝐶 � ; 𝑋 ′ = � 𝑑𝑖
�
𝐿
𝑖𝐿
Коэффициенты матрицы А :
2
, 𝐴12 = 0,
𝐴11 = −
)
𝐶(𝑅1 +𝑅2
𝐴21 = 0, 𝐴22 = −2
𝑅1 𝑅2
𝑑𝑡
.
𝐿(𝑅1 +𝑅2 )
68
−0.5 0
�, собственные числа матрицы:λ1=0
−5
0.5, λ2=-5. Данные собственные числа совпадают с корнями
характеристического уравнения (см. операторный метод).
Матрица А численно:𝐴 = �
Матрица В примет вид:
1
𝑅1
⎡−
⎤
−
)
)
𝐶(𝑅
+
𝑅
𝐶(𝑅
+
𝑅
1
2
1
2
⎥
𝐵=⎢
𝑅
𝑅
𝑅
2
1 2
⎢
⎥
−
⎣ 𝐿(𝑅1 + 𝑅2 )
𝐿(𝑅1 +𝑅2 ) ⎦
𝐸
Матрица U: 𝑈 = � �.
𝐽
3. Составляем уравнения для выходных переменных:
𝑅
𝑅 𝑅
𝑅 𝑅
𝑈4 = 𝑅4 𝑖4 = 4 𝑈𝐶 − 3 4 𝐽 − 3 4 𝑖𝐿 ,
𝑈3 = 𝑈4 − 𝑈𝐶 = −
𝑅3 𝑅4
𝑅3 𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅4
𝑖𝐿 ,
𝑅3 +𝑅4
𝑈3
𝑖3 =
𝑅3
=−
𝑅3 +𝑅4
1
𝑅3 +𝑅4
𝑈𝐶 −
𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅2
𝐽−
𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑈𝐶 −
𝑖 , 𝑖2 = 𝑖3 − 𝑖𝐶 =
𝑅3 +𝑅4 𝐿
𝐸
𝑅 𝑅
𝐸𝑅2
𝑈𝐶 −
𝑖𝐿 +
, 𝑈2 = 𝑅2 𝑖2 =
𝑈𝐶 − 2 4 𝑖𝐿 +
, 𝑖1 =
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
1
𝑅
𝐸
𝑅
𝑅 𝑅
𝑅 𝐸
𝑈𝐶 + 2 𝑖𝐿 +
, 𝑈1 = 𝑖1 𝑅1 = 1 𝑈𝐶 + 1 2 𝑖𝐿 + 1
𝑖𝐿 + 𝑖2 =
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
𝑅3 +𝑅4
1
𝐽−
𝑅3 +𝑅4
𝑅3
т.о. после замены 𝑅4 на 𝑅1 , 𝑅3 на 𝑅2 получим:
𝑅1
𝑅1 𝑅2
𝑅1 𝐸
𝑈1 =
𝑈𝐶 +
𝑖𝐿 +
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝑈2 =
𝑅2
𝑅1 𝑅2
𝐸𝑅2
𝑈𝐶 −
𝑖𝐿 +
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝑈3 = −
𝑅2
𝑅1 𝑅2
𝑅1 𝑅2
𝑈𝐶 −
𝐽−
𝑖
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2 𝐿
𝑅1
𝑅1 𝑅2
𝑅1 𝑅2
𝑈𝐶 −
𝐽−
𝑖 ,
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2 𝐿
Столбцовая матрица выходных переменных (искомых величин):
𝑈4 =
69
𝑅1
⎡ 𝑅1+𝑅2
𝑈1
⎢ 𝑅2
𝑈2
⎢ 𝑅 +𝑅
𝑌 = � �; матрица С будет иметь следующий вид: С = ⎢ 1 𝑅22
𝑈3
⎢− 𝑅1+𝑅2
𝑈4
⎢ 𝑅1
⎣ 𝑅1+𝑅2
𝑅1
⎡𝑅1 +𝑅2
⎢ 𝑅2
⎢𝑅 +𝑅
Матрица D размером 4×2: 𝐷 = ⎢ 1 2
⎢ 0
⎢ 0
⎣
0
⎤
⎥
0 ⎥
𝑅 𝑅 ⎥.
− 1 2⎥
𝑅1 +𝑅2
𝑅 𝑅 ⎥
− 1 2⎦
𝑅1 +𝑅2
𝑅1 𝑅2
⎤
⎥
−
𝑅1 +𝑅2 ⎥
𝑅 𝑅 ⎥.
− 1 2⎥
𝑅1 +𝑅2
𝑅 𝑅 ⎥
− 1 2⎦
𝑅1 +𝑅2
𝑅1 +𝑅2
𝑅1 𝑅2
Составим уравнения состояния топологическим методом.
В данной схеме есть неправильные размещения. Поэтому вывод уравнений
состояния потребует решения алгебраических уравнений.
1. Составляем ориентированный граф схемы, включая в дерево С-, Е- ветви
и резистивные ветви так, чтобы дерево охватывало все узлы, а в число
ветвей связи – ветви с источником тока, индуктивностью и остальные
резисторы. Направленность ветвей связи и ветвей дерева выбрана в
соответствии с ранее выбранным направлением токов в исходной схеме.
Прямыми изображены ветви дерева, дугами – ветви связи. Каждый
элемент при формировании графа должен представлять собой отдельную
ветвь (рис.52).
2. Пронумеруем ветви графа. Ветви дерева: 11 - емкость, 22 - источник ЭДС,
33 и 44 – резистивные ветви, ветви связи: 55 и 66 – резистивные ветви, 77
– индуктивность, J(88) – источник тока. Дерево охватывает все узлы.
3. Составляем таблицу связи: первая строка – ветви дерева 11, 22, 33, 44;
первый столбец – ветви связи 55, 66, 77, J. Заполняем таблицу:
𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟒𝟒
𝟓𝟓 1
0 0 −1
𝟔𝟔 −1
1 1 0
𝟕𝟕 0
1 1 −1
𝑱
0 0 −1
0
4.
Распиш
ем
таблицу
по
столбцам и строкам:
𝑖𝐶 = 𝑖3 − 𝑖2
𝑖1 = 𝑖𝐿 + 𝑖2
𝑖4 = −𝑖3 − 𝑖𝐿 − 𝐽
𝑈3 = −𝑈𝐶 + 𝑈4
70
Рис. 52
𝑈2 = 𝑈𝐶 + 𝐸 − 𝑈1
𝑈𝐿 = 𝐸 − 𝑈1 + 𝑈4
При расписывании таблицы очевидно, что в ветвях дерева Е и 33(R1)
протекает один и тот же ток. Поэтому уравнение третьего столбца
дублирует уравнение второго, и его не записывают. Уравнения полностью
совпадают с составленными по Кирхгофу, поэтому вывод уравнений
состояния не приведен (см. выше).
Составим уравнения состояния методом наложения.
1. Выбираем переменные состояния – токи в индуктивностях
напряжения на емкостях (𝑖𝐿 , 𝑈𝐶 ).
2. Запишем выражения для напряжения и тока:
𝑑𝑈𝐶
𝑑𝑖𝐿
, 𝑈𝐿 = 𝐿
.
𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡
и
3.
Заменим
индуктивность
источником тока,
а
емкость
–
источником ЭДС
(см.
рис.53).
Оставляя в схеме
один
источник
(неучитываемые
источники
ЭДС
закорачиваются, а
неучитываемые
Рис. 53
источники
тока
размыкаются), сформируем четыре частные схемы (см. рис. 54).
Схема а). В схеме действует источник ЭДС, обусловленный им ток
замыкается в контуре 𝑅1 , 𝑅2 . Через резисторы 𝑅3 , 𝑅4 ток не протекает
вследствие наличия перемычки (𝑖𝐶 ) и разрыва. Для тока 𝑖𝐶 ′ и напряжения
𝑈𝐿 ′ можем записать:
𝐸
𝑖𝐶′ = −
(𝑅1 + 𝑅2 )
𝐸𝑅2
𝑈𝐿′ = −𝑈2′ =
(𝑅1 + 𝑅2 )
Схема б). Теперь ток обусловлен наличием источника 𝑈𝐶 и будет
протекать в обоих контурах, включающих резисторы. На основании
законов Ома и Кирхгофа можно записать:
𝑖1 ′′ + 𝑖𝐶 ′′ = 𝑖3 ′′
𝑖1 ′′(𝑅1 + 𝑅2 ) = 𝑈𝐶 = −𝑖3 ′′(𝑅3 + 𝑅4 )
71
𝑖1 ′′ =
𝑈𝐶
(𝑅1 + 𝑅2 )
𝑖3 ′′ = −
𝑈𝐶
(𝑅3 + 𝑅4 )
Рис. 54, а
Рис. 54, б
Рис. 54, в
Рис. 54, г
𝑈𝐶
𝑈𝐶
2𝑈𝐶
𝑖𝐶 ′′ = 𝑖3 ′′ − 𝑖1 ′′ = −
−
=−
(𝑅3 + 𝑅4 ) (𝑅1 + 𝑅2 )
(𝑅1 + 𝑅2 )
𝑈𝐿′′ = 𝑈2 + 𝑈3 = 0
Схема в). Ток источника 𝑖𝐿 протекает через параллельные соединения
резисторов 𝑅3 , 𝑅4 и 𝑅1 , 𝑅2 , и, т.о.:
𝑅1 𝑅2
𝑅3 𝑅4
𝑅1 𝑅2
𝑈𝐿 ′′′ = −𝑖𝐿
− 𝑖𝐿
= −2𝑖𝐿
𝑅1 +𝑅2
𝑅3 +𝑅4
𝑅1 +𝑅2
𝑖𝐶 ′′′ = 0
Схема г). Ток источника 𝐽 протекает через резисторы 𝑅3 , 𝑅4 , которые
оказываются соединенными параллельно, и т.о.:
𝑅3 𝑅4
𝑅1 𝑅2
= −𝐽
𝑈𝐿′′′′ = −𝐽
𝑅3 +𝑅4
𝑅1 +𝑅2
72
𝑈𝐿 ′′′′ = 𝑖С ′′′′𝑅3
𝑈𝐿′′′′
𝑅1
=
=−
𝐽
𝑅3
𝑅1 + 𝑅2
Все сокращения проведены с учетом равенства номиналов резисторов.
Учитывая, что во всех четырех схемах приняты одни и те же направления
для тока 𝑖𝐶 и напряжения 𝑈𝐿 , можем записать:
𝐸𝑅2
𝑅1 𝑅2
𝑅1 𝑅2
′
−2𝑖𝐿
−𝐽
𝑈𝐿 = 𝑈𝐿′ + 𝑈𝐿′′ + 𝑈𝐿′′′ + 𝑈𝐿′′′ =
(𝑅1 + 𝑅2 )
𝑅1 +𝑅2
𝑅1 +𝑅2
𝐸
2𝑈
𝑅1
𝐶
′
𝑖𝐶 = 𝑖𝐶′ + 𝑖𝐶′′ + 𝑖𝐶′′′ + 𝑖𝐶′′′ = −
−
−
𝐽
(𝑅1 + 𝑅2 ) (𝑅1 + 𝑅2 ) 𝑅1 + 𝑅2
Уравнения состояния запишутся так:
𝐸𝑅2
𝑅1 𝑅2
𝑑𝑖𝐿 𝑈𝐿
𝑅1 𝑅2
=
= −2𝑖𝐿
+
−𝐽
𝑑𝑡
𝐿
𝐿(𝑅1 +𝑅2 ) 𝐿(𝑅1 + 𝑅2 )
𝐿(𝑅1 +𝑅2 )
𝑖𝐶′′′′
2𝑈𝐶
𝑅1
𝑑𝑈𝐶 𝑖𝐶
𝐸
= =−
−
−
𝐽
𝑑𝑡
𝐶
𝐶(𝑅1 + 𝑅2 ) 𝐶(𝑅1 + 𝑅2 ) 𝐶(𝑅1 + 𝑅2 )
Уравнения для выходных переменных получены выше.
Методы решения уравнений состояния цепи.
После того, как уравнения состояния получены, необходимо решить эти
уравнения и найти переменные состояния, а затем и выходные
переменные.
Основные способы
решения уравнений
состояния
представлены на рис.
55.Они делятся на
аналитические и
численные.
Рис. 55
73
Аналитические методы решения уравнений состояния.
При аналитическом способе решение уравнений состояния записывают в
виде суммы матриц свободной и принужденной составляющих: 𝑥 = 𝑥св +
𝑥пр , где
𝑥св = 𝑥(0)𝑒 𝐴𝑡 - соответствует реакции цепи, обусловленной ненулевыми
начальными условиями 𝑥(0) ≠ 0 при отсутствии внешних воздействий
U=0;
𝑡
𝑥пр = ∫0 𝑒 𝐴(𝑡−𝜏) 𝐹(𝜏)𝑑𝜏 – соответствует
реакции цепи от внешних
воздействий 𝑈(𝑡) ≠ 0 при нулевых начальных условиях 𝑥(0) = 0;
𝑥(0) - матрица (вектор) начальных значений переменных состояния,
полученных при 𝑡 = 0;
𝑒 𝐴𝑡 –матричная экспоненциальная функция (матричная экспонента).
Если в цепи после коммутации нет источников энергии, т.е. 𝑈(𝑡) = 0, то
решение матричного уравнения имеет вид:
𝑥 = 𝑥(0)𝑒 𝐴𝑡
Если же в цепи после коммутации есть источники независимых
воздействий, то матрица 𝑈(𝑡) ≠ 0,
и интегрирование матричного
′
дифференциального уравнения 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑈 приводит к решению в
виде:
𝑡
𝑥 = 𝑥(0)𝑒 𝐴𝑡 + ∫0 𝑒 𝐴(𝑡−𝜏) 𝐵𝑈(𝜏)𝑑𝜏,
которое состоит из суммы двух слагаемых – реакции цепи при ненулевых
начальных условиях и реакции цепи при нулевых начальных условиях и
наличии источников внешних воздействий 𝑈(𝑡).
Матрица выходных переменных:
𝐴𝑡
𝑌 = 𝐶𝑒 𝑥(0) + 𝐶𝑒
𝐴𝑡
𝑡
� 𝑒 −𝐴𝜏 𝐵𝑈(𝜏)𝑑𝜏 + 𝐷𝑈
0
При нулевых начальных условиях 𝑥(0) = 0
𝑥 = (𝑒 𝐴𝑡 − 1)𝐴−1 𝐵𝑈
𝑦 = 𝐶(𝑒 𝐴𝑡 − 1)𝐴−1 𝐵𝑈 + 𝐷𝑈
Наиболее трудным здесь является вычисление матричной экспоненты 𝑒 𝐴𝑡 .
𝐴𝑘 𝑡 𝑘
Можно использовать разложение ее в ряд ∑∞
𝑘=0 𝑘! , однако ряд медленно
сходится и его суммирование трудоемко. Можно также получить
матричную экспоненту в виде полинома на основании теоремы КелиГамильтона, по методу Сильвестра или вычислить операторным методом.
Метод Кели-Гамильтона.
Матричная экспонента представляется выражением
𝛼2 𝐴2 + ⋯ + 𝛼𝑛−1 𝐴𝑛−1 , где 𝐴2 = 𝐴 ∗ 𝐴 и т. д.
74
𝑒 𝐴𝑡 = 𝛼0 𝟏 + 𝛼1 𝐴 +
Число членов разложения равно порядку n матрицы А (то есть числу
переменных состояния). В уравнении …(номер ввести) коэффициенты
𝛼0 , 𝛼1 , … , 𝛼𝑛 - некоторые функции f(t, λ1, λ2, … λn), которые определяются
из матричного уравнения (ввести номер), если нет кратных корней λ:
𝛼0
1 𝜆1 … 𝜆1𝑛−1 𝑒 𝜆1𝑡
⎡
⎤
𝑛−1
𝛼1
𝜆 𝑡
1
𝜆
…
𝜆
2
2 ⎥ � 𝑒 2 �.
� ⋮ �=⎢
⋮ ⎥ ⋮
⎢⋮ ⋮ ⋱
𝛼𝑛−1
𝑛−1 𝑒 𝜆𝑛 𝑡
⎣1 𝜆 𝑛 … 𝜆 𝑛 ⎦
В уравнении (номер) λ1, λ2, … λn есть собственные значения матрицы A,
совпадающие с корнями характеристического уравнения. Собственные
числа матрицы можно определить из уравнения (p1-A)=0, где 1 –
единичная матрица порядка n.
Характеристическое уравнение получаем, приравняв к нулю определитель
системы
∆(𝑝) = det(𝑝1 − 𝐴) = 0, собственные числа матрицы А
определяются из уравнения ∆(𝜆) = det(𝜆1 − 𝐴) = 0. Если матрица А
𝑎11 𝑎12 … … 𝑎1𝑛
⎡𝑎21 𝑎22 … … 𝑎2𝑛 ⎤
… … … ⎥,
…
имеет вид 𝐴 = ⎢ …
… … …⎥
…
⎢…
⎣𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … … 𝑎𝑛𝑛 ⎦
𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎11 − 𝜆
𝑎21
𝑎2𝑛
𝑎22 − 𝜆 …
то ∆(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡 � …
…
… �
…
… 𝑎𝑛𝑛 − 𝜆
𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
Метод Сильвестра.
Матричная экспонента (в случае отсутствия кратных
представляется в виде
∏ (𝐴−𝜆𝑙 1)
, l=1,2,3,…n.
𝑒 𝐴𝑡 = ∑𝑛𝑘=1 𝑒 𝜆𝑘𝑡 Ф𝑘 , где Ф𝑘 = ∏𝑙≠𝑘
корней
𝜆)
𝑙≠𝑘(𝜆𝑘 −𝜆𝑙 )
Собственные значения λ матрицы А определяются из уравнения (номер).
Операторный метод.
Матричную экспоненту можно определить путем обращения матрицы (1pA):
𝑒 𝐴𝑡 = 𝐿−1 (𝑝1 − 𝐴)−1
Рассмотрим примеры отыскания матричной экспоненты.
Пример 1.
1. По методу Кели-Гамильтона
Так как корней два (λ1=0, λ2=-125), то в разложении 𝑒 𝐴𝑡 будут
присутствовать два члена: 𝑒 𝐴𝑡 = 𝛼0 1 + 𝛼1 𝐴
75
1 −125 0
𝛼0
1
0 −1 𝑒 0𝑡
𝑒 0𝑡 �
�𝛼 � = �
�
� � −125𝑡
� � −125𝑡 � = −
1 −125
1
1 𝑒
125 −1
𝑒
𝑒 0𝑡 + 0
1 −125𝑡 �
= � 1 0𝑡
𝑒 −
𝑒
125
125
1 −125𝑡
1 0𝑡
𝑒 −
𝑒
125
125
0t
1
1
0
0
1 0
𝑒 −125𝑡 � �
𝑒 𝐴𝑡 = 𝑒 0𝑡 �
� = �e
� + � 𝑒 0𝑡 −
125
125
0 −125
0 1
0
0t
0
0
� = �e
−125t �
−e0t + e−125t
0 e
Тогда:
0
�
0
𝛼0 = 𝑒 0𝑡 ; 𝛼1 =
0 �+
e0t
2. По методу Сильвестра:
Корни характеристического уравнения, совпадающие с собственными
числами матрицы А1: λ1=0, λ2=-125. Тогда:
0
0
1 0
𝐴 − 𝜆2 1 �0 −125� + 125 �0 1�
1 0
=
=�
𝛷1 =
�
0 0
𝜆1 − 𝜆2
0 − (−125)
0
0
1 0
𝐴 − 𝜆1 1 �0 −125� − 0 ∗ �0 1�
0 0
𝛷2 =
=
=�
�
0 1
𝜆2 − 𝜆1
−125
0𝑡
1 0
0 0
0 �
Тогда 𝑒 𝐴𝑡 = 𝑒 0𝑡 �
� + 𝑒 −125𝑡 �
� = �𝑒
−125𝑡
0 0
0 1
0 𝑒
3.По Лапласу:
𝑒 𝐴𝑡 = ℒ −1 [𝑝1 − 𝐴]−1
𝑝
0
𝑝 0
0
0
𝑝1 − 𝐴=�
�=�
�−�
�
0 𝑝
0 𝑝 + 125
0 −125
1
⎡
0 ⎤
1
𝑝
𝑝
+
125
0
⎥
[𝑝1 − 𝐴]−1 =
�
�=⎢
1
0
𝑝
𝑝(𝑝 + 125)
⎢0
⎥
𝑝 + 125⎦
⎣
0𝑡
0
𝑒 𝐴𝑡 = �𝑒
−125𝑡 �
0 𝑒
Пример 2.
Вследствие сложности данного примера (схема с тремя реактивными
элементами, матрица А размером 3×3, комплексные корни
характеристического уравнения) аналитическое решение в данном пособии
не приводится. Программа для численного решения данного примера и
графики представлены в приложении.
76
Пример 3.
Вследствие сложности данного примера (комплексные корни
характеристического уравнения) аналитическое решение в данном пособии
не приводится. Программа для численного решения данного примера и
графики представлены в приложении.
Пример 4.
1.По методу Кели-Гамильтона
Корней характеристического уравнения два (λ1=-20000, λ2=-3333),
разложении 𝑒 𝐴𝑡 будут присутствовать два члена: 𝑒 𝐴𝑡 = 𝛼0 1 + 𝛼1 𝐴
𝛼0
1 −20000 −1 𝑒 −20000𝑡
�𝛼 � = �
� � −3333𝑡 �
1 −3333
1
𝑒
1
−3333 −1 𝑇 𝑒 −20000𝑡
=−
�
� � −3333𝑡 �
−3333 + 20000 20000 1
𝑒
−20000𝑡
1
−3333 20000 𝑒
=−
�
� � −3333𝑡 �
1
16667 −1
𝑒
−0.2
1.2
−20000𝑡
1�
= �− 1�
� �𝑒 −3333𝑡 �
16667
16667 𝑒
в
−0.2𝑒 −20000𝑡 + 1.2𝑒 −3333𝑡
−20000𝑡
= �− 1�
+ 1�16667 𝑒 −3333𝑡 �
16667 𝑒
𝛼0 = −0.2𝑒 −20000𝑡 + 1.2𝑒 −3333𝑡 ; 𝛼1
= − 1�16667 𝑒 −20000𝑡 + 1�16667 𝑒 −3333𝑡
Тогда: 𝑒 𝐴𝑡 = (−0.2𝑒 −20000𝑡 + 1.2𝑒 −3333𝑡 ) �
1 0
� + �− 1�16667 𝑒 −20000𝑡 +
0 1
116667𝑒−3333𝑡−1666766676667−6667=−0.2𝑒−20000𝑡+1.2𝑒−3333𝑡00
−0.2𝑒−20000𝑡+1.2𝑒−3333𝑡+𝑒−20000𝑡−𝑒−3333𝑡−0.4𝑒−20000𝑡+0.4𝑒−
3333𝑡−0.4𝑒−20000𝑡+0.4𝑒−3333𝑡0.4𝑒−20000𝑡−0.4𝑒−3333𝑡=0.8𝑒−2000
0𝑡+0.2𝑒−3333𝑡−0.4𝑒−20000𝑡+0.4𝑒−3333𝑡−0.4𝑒−20000𝑡+0.4𝑒−3333𝑡0.
2𝑒−20000𝑡+0.8𝑒−3333𝑡
2. По методу Сильвестра:
Корни характеристического уравнения, совпадающие с собственными
числами матрицы A: λ1=-20000, λ2=-3333. Тогда:
77
−16667 6667
1
� − (−3333) �
𝐴 − 𝜆2 1 � 6667
−6667
0
𝛷1 =
=
𝜆1 − 𝜆2
−20000 − (−3333)
0
�
1 = � 0.8 −0.4�
−0.4 0.2
−16667 6667
1 0
� − (−20000) �
�
𝐴 − 𝜆1 1 � 6667
0.2 0.4
−6667
0
1
𝛷2 =
=
=�
�
0.4 0.8
𝜆2 − 𝜆1
−3333 − (−20000)
Тогда
0.8 −0.4
0.2 0.4
𝑒 𝐴𝑡 = 𝑒 −20000𝑡 �
� + 𝑒 −3333𝑡 �
�=
−0.4 0.2
0.4 0.8
−20000𝑡
−3333𝑡
−20000𝑡
−3333𝑡
� 0.8𝑒 −20000𝑡+ 0.2𝑒 −3333𝑡 −0.4𝑒−20000𝑡 + 0.4𝑒−3333𝑡 �
−0.4𝑒
+ 0.4𝑒
0.2𝑒
+ 0.8𝑒
3.По Лапласу:
𝑒 𝐴𝑡 = ℒ −1 [𝑝1 − 𝐴]−1
𝑝 0
𝑝 + 16667
6667
−16667 6667
𝑝1 − 𝐴=�
�=�
�−�
�
0 𝑝
6667
𝑝 + 6667
6667
−6667
1
𝑝 + 6667
−6667 𝑇
−1
[𝑝1 − 𝐴] =
�
�
(𝑝 + 16667)(𝑝 + 6667) − 66672 −6667 𝑝 + 16667
1
𝑝 + 6667
−6667
=
�
�
(𝑝 + 20000)(𝑝 + 3333) −6667 𝑝 + 16667
𝑝 + 6667
−6667
⎡
⎤
(𝑝
(𝑝
+
20000)(𝑝
+
3333)
+
20000)(𝑝
+
3333)
⎥
=⎢
−6667
𝑝
+
16667
⎢
⎥
⎣(𝑝 + 20000)(𝑝 + 3333) (𝑝 + 20000)(𝑝 + 3333)⎦
Найдем оригиналы для всех членов этой матрицы:
Используем теорему разложения.
𝑝+6667
Тогда оригинал для А11: 𝐴11 = (𝑝+20000)(𝑝+3333)Корни: 𝑝1 = −20000, 𝑝2 =
−3333.3
Числитель: 𝐹1 = 𝑝 + 6667
Знаменатель: 𝐹2 = (𝑝 + 20000)(𝑝 + 3333)
Производная знаменателя: 𝐹2′ = 2𝑝 + 23334
Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и
рассчитаем
эти
величины:
𝐹1 (−20000) = 13334, 𝐹2′ (−20000) =
Таким
образом,
−16667, 𝐹1 (−3333) = 3334, 𝐹2′ (−3333) = 16667.
−20000𝑡
−3333𝑡
А11 (𝑡) = 0.8𝑒
+ 0.2𝑒
.
−6667
Оригиналы для А12 и А21: 𝐴21 = 𝐴12 = (𝑝+20000)(𝑝+3333) Корни знаменателя
те же.
Числитель: 𝐹1 = −6667
Знаменатель: 𝐹2 = (𝑝 + 20000)(𝑝 + 3333)
Производная знаменателя: 𝐹2′ = 2𝑝 + 23334
78
Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и
рассчитаем
эти
величины:
𝐹1 (−20000) = −6667, 𝐹2′ (−20000) =
Таким
образом,
−16667, 𝐹1 (−3333) = −6667, 𝐹2′ (−3333) = 16667.
−20000𝑡
−3333𝑡
А12 (𝑡) = А21 (𝑡) = −0.4𝑒
+ 0.4𝑒
.
𝑝+16667
Оригинал для А22: 𝐴22 = (𝑝+20000)(𝑝+3333) Корни знаменателя те же.
Числитель: 𝐹1 = 𝑝 + 16667
Знаменатель: 𝐹2 = (𝑝 + 20000)(𝑝 + 3333)
Производная знаменателя: 𝐹2′ = 2𝑝 + 23334
Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и
рассчитаем
эти
величины:
𝐹1 (−20000) = −3334, 𝐹2′ (−20000) =
−16667, 𝐹1 (−3333) = −13334, 𝐹2′ (−3333) = 16667. Таким образом,
А22 (𝑡) = 0.2𝑒 −20000𝑡 + 0.8𝑒 −3333𝑡 .
−20000𝑡
−3333𝑡
−20000𝑡
−3333𝑡
𝑒 𝐴𝑡 = � 0.8𝑒 −20000𝑡+ 0.2𝑒 −3333𝑡 −0.4𝑒−20000𝑡 + 0.4𝑒−3333𝑡 �
−0.4𝑒
+ 0.4𝑒
0.2𝑒
+ 0.8𝑒
Пример 5.
1.По методу Кели-Гамильтона
Корней характеристического уравнения два (λ1=-969.7, λ2=-2030.3),
разложении 𝑒 𝐴𝑡 будут присутствовать два члена: 𝑒 𝐴𝑡 = 𝛼0 1 + 𝛼1 𝐴
𝛼0
1 −969.7 −1 𝑒 −969.7𝑡
�𝛼 � = �
� � −2030.3𝑡 �
1 −2030.3
1
𝑒
1
−2030.3 −1 𝑇 𝑒 −969.7𝑡
=−
�
� � −2030.3𝑡 �
1
−2030.3 + 969.7 969.7
𝑒
−969.7𝑡
1
−2030.3 −969.7 𝑒
=−
�
� � −2030.3𝑡 �
−1
1
−1060.6
𝑒
969.7
2030.3
−
1060.6� � 𝑒 −969.7𝑡 �
= �1060.6
1
1
𝑒 −2030.3𝑡
−
1060.6
1060.6
969.7 −2030.3𝑡
2030.3 −969.7𝑡
𝑒
−
𝑒
1060.6
1060.6
=�
�
1
1
−969.7𝑡
−2030.3𝑡
𝑒
−
𝑒
1060.6
1060.6
в
2030.3 −969.7𝑡
969.7 −2030.3𝑡
𝑒
−
𝑒
;
1060.6
1060.6
1
1
−969.7𝑡
−
𝑒 −2030.3𝑡
𝛼1 = 1060.6 𝑒
1060.6
2030.3 −969.7𝑡 −969.7 −2030.3𝑡 1 0
1
𝐴𝑡
𝑒
𝑒
)�
𝑒 −969.7𝑡 −
Тогда:
𝑒 =(
�+�
1060.6
1060.6
1060.6
0 1
1
−1875 −375
−2030.3𝑡
�=
𝑒
��
1060.6
−375 −1125
𝛼0 =
79
2030.3
1060.6
�
−1875
�1060.6
−375
1060.6
155.3
�1060.6
−375
1060.6
𝑒 −969.7𝑡 +
𝑒
−969.7𝑡
0
+
𝑒 −969.7𝑡 +
𝑒 −969.7𝑡 +
𝑒 −969.7𝑡 +
−969.7
1060.6
1875
1060.6
375
1060.6
905.3
1060.6
375
1060.6
𝑒 −2030.3𝑡
𝑒
−2030.3𝑡
𝑒 −2030.3𝑡
𝑒 −2030.3𝑡
𝑒 −2030.3𝑡
2030.3
0
𝑒 −969.7𝑡 +
1060.6
−375 −969.7𝑡
𝑒
1060.6
−1125 −969.7𝑡
𝑒
1060.6
−375 −969.7𝑡
𝑒
1060.6
905.3 −969.7𝑡
𝑒
1060.6
+
+
+
+
−969.7
𝑒 −2030.3𝑡
�+
1060.6
375
𝑒 −2030.3𝑡
1060.6
1125 −2030.3𝑡 �
𝑒
1060.6
375
𝑒 −2030.3𝑡
1060.6
155.3 −2030.3𝑡 �
𝑒
1060.6
=
2. По методу Сильвестра:
Корни характеристического уравнения, совпадающие с собственными
числами матрицы A: λ1=-969.7, λ2=-2030.3. Тогда:
1 0
−1875 −375
𝐴 − 𝜆2 1 � −375 −1125� − (−2030.3) �0 1�
=
𝛷1 =
𝜆1 − 𝜆2
−969.7 − (−2030.3)
1
155.3 −375
=
�
�
1060.6 −375 905.3
1
−1875 −375
�
−
(−969.6)
�
𝐴 − 𝜆1 1
0
= −375 −1125
𝛷2 =
𝜆2 − 𝜆1
−2030.3 − (−969.6)
1
905.3 375
=−
�
�
1060.6 375 155.3
�
Тогда
0
�
1
1
155.3 −375
905.3 375
� − 𝑒 −2030.3𝑡
�
�=
1060.6 −375 905.3
1060.6 375
155.3
155.3 −969.7𝑡
905.3 −2030.3𝑡
375
−375 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
𝑒
+
𝑒 −2030.3𝑡
1060.6
1060.6
1060.6
1060.6
� −375
375
155.3 −2030.3𝑡 �
905.3 −969.7𝑡
𝑒 −969.7𝑡 +
𝑒 −2030.3𝑡
𝑒
+
𝑒
𝑒 𝐴𝑡 = 𝑒 −969.6𝑡
1060.6
3.По Лапласу:
1
�
1060.6
1060.6
1060.6
𝑒 𝐴𝑡 = ℒ −1 [𝑝1 − 𝐴]−1
𝑝 0
𝑝 + 1875
375
−1875 −375
𝑝1 − 𝐴=�
�=�
�−�
�
0 𝑝
375
𝑝 + 1125
−375 −1125
1
𝑝 + 1125
−375 𝑇
−1
[𝑝1 − 𝐴] =
�
�
𝑝 + 1875
(𝑝 + 1875)(𝑝 + 1125) − 3752 −375
1
𝑝 + 1125
−375
=
�
�
𝑝 + 1875
(𝑝 + 969.7)(𝑝 + 2030.3) −375
80
𝑝 + 1125
−375
⎡
⎤
(𝑝 + 969.7)(𝑝 + 2030.3) (𝑝 + 969.7)(𝑝 + 2030.3)⎥
⎢
=⎢
⎥
−375
𝑝 + 1875
⎢
⎥
⎣(𝑝 + 969.7)(𝑝 + 2030.3) (𝑝 + 969.7)(𝑝 + 2030.3)⎦
Найдем оригиналы для всех членов этой матрицы:
Используем теорему разложения.
𝑝+1125
Тогда оригинал для А11: 𝐴11 = (𝑝+969.7)(𝑝+2030.3) Корни: 𝑝1 = −969.7, 𝑝2 =
−2030.3
Числитель: 𝐹1 = 𝑝 + 1125
Знаменатель: 𝐹2 = (𝑝 + 969.7)(𝑝 + 2030.3)
Производная знаменателя: 𝐹2′ = 2𝑝 + 3000
Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и
рассчитаем
эти
величины:
′
𝐹1 (−969.7) = 155.3, 𝐹2 (−969.7) = 1060.6, 𝐹1 (−2030.3) = −905.3,
155.3 −969.7𝑡
Таким
образом,
А11 (𝑡) =
𝑒
+
𝐹2′ (−2030.3) = −1060.6.
905.3
1060.6
𝑒
−2030.3𝑡
.
−375
1060.6
Оригиналы для А12 и А21: 𝐴21 = 𝐴12 = (𝑝+969.7)(𝑝+2030.3) Корни знаменателя
те же.
Числитель: 𝐹1 = −375
Знаменатель: 𝐹2 = (𝑝 + 969.7)(𝑝 + 2030.3)
Производная знаменателя: 𝐹2′ = 2𝑝 + 3000
Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и
рассчитаем
эти
величины:
′
𝐹1 (−969.7) = 155.3, 𝐹2 (−969.7) = 1060.6, 𝐹1 (−2030.3) = −905.3,
Таким
образом,
𝐹2′ (−2030.3) = −1060.6.
−375 −969.7𝑡
375
А12 (𝑡) = А21 (𝑡) =
𝑒
+
𝑒 −2030.3𝑡
1060.6
1060.6
𝑝+1875
Оригинал для А22: 𝐴22 = (𝑝+969.7)(𝑝+2030.3) Корни знаменателя те же.
Числитель: 𝐹1 = 𝑝 + 1875
Знаменатель: 𝐹2 = (𝑝 + 20000)(𝑝 + 3333)
Производная знаменателя: 𝐹2′ = 2𝑝 + 3000
Подставим значения корней в числитель и производную знаменателя и
рассчитаем
эти
величины:
′
𝐹1 (−969.7) = 905.3, 𝐹2 (−969.7) = 1060.6, 𝐹1 (−2030.3) = −155.3,
905.3 −969.7𝑡
Таким образом, А22 (𝑡) =
𝑒
+
𝐹2′ (−2030.3) = −1060.6.
155.3
1060.6
𝑒
−2030.3𝑡
1060.6
.
81
𝑒 𝐴𝑡
905.3 −2030.3𝑡
155.3 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
=�
375 −2030.3𝑡
−375 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
375 −2030.3𝑡
−375 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
�
155.3 −2030.3𝑡
905.3 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
Пример 6.
1.По методу Кели-Гамильтона
Так как корней два (λ1=-0.5, λ2=-5), то в разложении 𝑒 𝐴𝑡 будут
присутствовать два члена: 𝑒 𝐴𝑡 = 𝛼0 1 + 𝛼1 𝐴
1
𝛼0
1 −0.5 −1 𝑒 −0.5𝑡
−5 0.5 𝑒 −0.5𝑡
� � −5𝑡 � = −
�
� � −5𝑡 �
�𝛼 � = �
1 −5
1
−5 + 0.5 −1 1
𝑒
𝑒
1
1 −0.5𝑡 1 −5𝑡
1
1
1 𝑒
−
− 𝑒
9� �𝑒 −0.5𝑡 � = � 9
9
=� 9
�
1 𝑒 −5𝑡
1
2 −0.5𝑡 2 −5𝑡
−
𝑒
− 𝑒
9
9
9
9
1
2
1
2
𝛼0 = 1 𝑒 −0.5𝑡 − 𝑒 −5𝑡 ; 𝛼1 = 𝑒 −0.5𝑡 − 𝑒 −5𝑡
9
9
9
9
1
1
2
2
1 0
−0.5 0
Тогда: 𝑒 𝐴𝑡 = (1 𝑒 −0.5𝑡 − 𝑒 −5𝑡 ) �
�=
� + � 𝑒 −0.5𝑡 − 𝑒 −5𝑡 � �
9
9
9
9
0 1
0
−5
1
1
1 𝑒 −0.5𝑡 − 𝑒 −5𝑡
0
9
� 9
1 −0.5𝑡
1 −5𝑡 � +
− 𝑒
0
1 𝑒
1
1
− 𝑒 −0.5𝑡 + 𝑒 −5𝑡
9
� 9
0
9
0
9
e−0.5t
=
�
�
10
10
0
− 𝑒 −0.5𝑡 + 𝑒 −5𝑡
9
9
0
−5t �
e
2. По методу Сильвестра:
Корни характеристического уравнения, совпадающие с собственными
числами матрицы A: λ1=-0.5, λ2=-5. Тогда:
1 0
−0.5 0
� + 5�
�
𝐴 − 𝜆2 1 � 0
1 0
0
1
−5
=
=�
𝛷1 =
�
0 0
𝜆1 − 𝜆2
−0.5 − (− 5)
Тогда 𝑒 𝐴𝑡
1 0
−0.5 0
� − (−5) ∗ �
�
𝐴 − 𝜆1 1 � 0
0 0
0
1
−5
=
=�
𝛷2 =
�
(− 5) − (−0.5)
0 1
𝜆2 − 𝜆1
−0.5𝑡
1 0
0 0
0 �
= 𝑒 −0.5𝑡 �
� + 𝑒 −5𝑡 �
� = �𝑒
−5𝑡
0 0
0 1
0
𝑒
82
𝑝
𝑝1 − 𝐴=�
0
𝑒 𝐴𝑡 = ℒ −1 [𝑝1 − 𝐴]−1
0
𝑝 + 0.5
0
−0.5 0
�=�
�−�
�
𝑝
0
𝑝+5
0
−5
[𝑝1 − 𝐴]−1
1
⎡
0 ⎤
1
𝑝
+
0.5
𝑝+5
0
⎥
=
�
�=⎢
1
𝑝 + 0.5
(𝑝 + 0.5)(𝑝 + 5) 0
⎢ 0
⎥
𝑝 + 5⎦
⎣
−0.5𝑡
0
𝑒 𝐴𝑡 = �𝑒
−5𝑡 �
0
𝑒
Отыскание решения уравнений состояния.
Пример 1.
Получить решение в этой задаче возможно, решив полученное уравнение
состояния напрямую, так как обратной матрицы 𝐴−1 не существует
(det [A]=0).
Пример 2.
Программа для численного решения данной задачи и получившиеся
графики представлены в приложении.
Пример 3.
Программа для численного решения данной задачи и получившиеся
графики представлены в приложении.
Пример 4.
Искать решение будем в виде:
𝑥 = 𝑥(0)𝑒 𝐴𝑡 + (𝑒 𝐴𝑡 − 1)𝐴−1 𝐵𝑈
−20000𝑡
−3333𝑡
−20000𝑡
−3333𝑡
𝑒 𝐴𝑡 = � 0.8𝑒 −20000𝑡+ 0.2𝑒 −3333𝑡 −0.4𝑒−20000𝑡 + 0.4𝑒−3333𝑡 �
−0.4𝑒
+ 0.4𝑒
0.2𝑒
+ 0.8𝑒
𝐵=
1
�𝐶𝑅1 �
𝟒
= �10 �
0
0
38.2
�
�
20.6
Найдем 𝐴−1 :
𝐴−1 =
−16667 6667
𝐴=�
�
6667
−6667
𝑈𝐶
𝑈 = 𝐸 = [50]
𝑋 = � 1�
𝑈𝐶2
𝑋(0) = �
1
−6667 −6667
�
�
2
16667 ∗ 6667 − 6667 −6667 −16667
𝐴−1
1
− 4
= � 10
1
− 4
10
1
104 �
2.5
− 4
10
−
83
𝑈𝐶1 (0)
�=
𝑈𝐶2 (0)
−20000𝑡
−3333𝑡
−20000𝑡
−3333𝑡 38.2
𝑋 = � 0.8𝑒 −20000𝑡+ 0.2𝑒 −3333𝑡 −0.4𝑒−20000𝑡 + 0.4𝑒−3333𝑡 � �
�
20.6
−0.4𝑒
+ 0.4𝑒
0.2𝑒
+ 0.8𝑒
−20000𝑡
−3333𝑡
−20000𝑡
−3333𝑡
+ �� 0.8𝑒 −20000𝑡+ 0.2𝑒 −3333𝑡 −0.4𝑒−20000𝑡 + 0.4𝑒−3333𝑡 �
−0.4𝑒
+ 0.4𝑒
0.2𝑒
+ 0.8𝑒
1
1
− 4 − 4
1 0
10 � �10𝟒 � [50]
−�
�� � 10
1
2.5
0 1
0
− 4 − 4
10
10
−20000𝑡
−3333𝑡
+
15.8𝑒
−0.4𝑒 −20000𝑡 − 0.6𝑒 −3333𝑡 + 1� [50]
22.3𝑒
+
𝑋=�
�
�
−11.1𝑒 −20000𝑡 + 31.7𝑒 −3333𝑡
0.2𝑒 −20000𝑡 − 1.2𝑒 −3333𝑡 + 1
−20000𝑡
−3333𝑡
= �50 + 2.3𝑒 −20000𝑡 − 14.1𝑒 −3333𝑡 �
50 − 1.1𝑒
− 28.2𝑒
Рассчитанное решение полностью совпадает с найденным операторным
методом.
Теперь найдем выходные переменные:
𝑦 = 𝐶𝑒 𝐴𝑡 𝑥(0) + 𝐶(𝑒 𝐴𝑡 − 1)𝐴−1 𝐵𝑈 + 𝐷𝑈
𝑈
1
−1 0
𝑌 = � 1 �; С = �
�; 𝐷 = � � .
𝑈2
1 −1
0
𝑈1
𝑌=� �
𝑈2
−20000𝑡
−3333𝑡
−20000𝑡
−3333𝑡 38.2
−1 0
=�
� � 0.8𝑒 −20000𝑡+ 0.2𝑒 −3333𝑡 −0.4𝑒−20000𝑡 + 0.4𝑒−3333𝑡 � �
�
1 −1 −0.4𝑒
20.6
+ 0.4𝑒
0.2𝑒
+ 0.8𝑒
1
−1 0 −0.4𝑒 −20000𝑡 − 0.6𝑒 −3333𝑡 + 1 [50]
+ � � [50]
+�
��
�
−20000𝑡
−3333𝑡
0
1 −1 0.2𝑒
− 1.2𝑒
+1
−20000𝑡
−3333𝑡
−20000𝑡
−3333𝑡
50
+
30𝑒
− 50
20𝑒
−
15.6𝑒
−22.4𝑒
�
+
=�
�
−20000𝑡
−3333𝑡 � + � 0 �
−20000𝑡
−3333𝑡
+ 30𝑒
−30𝑒
33.6𝑒
− 15.6𝑒
−20000𝑡
−3333𝑡
−2.4𝑒
+
14.4𝑒
=�
�
3.6𝑒 −20000𝑡 − 14.4𝑒 −3333𝑡
−20000𝑡
−3333𝑡
𝑈
� 1 � = �−2.4𝑒−20000𝑡 + 14.4𝑒−3333𝑡 �
𝑈2
3.6𝑒
− 14.4𝑒
Пример 5.
Искать решение будем аналогично примеру 4 в виде:
𝑥 = 𝑥(0)𝑒 𝐴𝑡 + (𝑒 𝐴𝑡 − 1)𝐴−1 𝐵𝑈
𝑒 𝐴𝑡
905.3 −2030.3𝑡 −375 −969.7𝑡
375 −2030.3𝑡
155.3 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
1060.6
1060.6
=�
�
375 −2030.3𝑡 905.3 −969.7𝑡
155.3 −2030.3𝑡
−375 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
1060.6
1060.6
−1875 −375
𝐴=�
�;
−375 −1125
84
𝑅1 +𝑅3
15∗103
𝐿2
8
𝐿
8
1
𝐵 = �𝑅2+𝑅
� = � 9∗10
3 �;
3
4
� �.
2
Найдем 𝐴−1 :
𝐴−1 =
𝑈 = 𝐽 = [6] ;
𝑖𝐿
𝑋 = � 1� ;
𝑖𝐿2
𝑖𝐿 (0)
𝑋(0) = � 1 � =
𝑖𝐿2 (0)
1
−1125
375
�
�
2
375
−1875
1875 ∗ 1125 − 375
−4
1.9 ∗ 10−4 �
−9.52 ∗ 10−4
375 −2030.3𝑡
−375 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
4
1060.6
1060.6
�� �
155.3 −2030.3𝑡 2
905.3 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
375 −2030.3𝑡
−375 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
�
155.3 −2030.3𝑡
905.3 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
15 ∗ 103
⎤
⎡
⎤
−4
1 0 ⎥ −5.7 ∗ 10−4
1.9
∗
10
8
⎥ [6]
−�
�⎢
� �
0 1 ⎥ 1.9 ∗ 10−4 −9.52 ∗ 10−4 ⎢ 9 ∗ 103 ⎥
⎥
⎣
⎦
8
⎦
−969.7𝑡
−2030.3𝑡
𝑋 = �−0.121𝑒 −969.7𝑡 + 4.119𝑒
�
0.292𝑒
+ 1.7𝑒 −2030.3𝑡
−969.7𝑡
−2030.3𝑡
+ � 0.766𝑒 −969.7𝑡− 5.89𝑒 −2030.3𝑡+ 5.13 �
− 2.43𝑒
+ 4.28
−1.845𝑒
−969.7𝑡
−2030.3𝑡
= �5.13 + 0.645𝑒−969.7𝑡 − 1.77𝑒−2030.3𝑡 �
4.28 − 1.55𝑒
− 0.73𝑒
Найденное решение полностью совпадает с найденным операторным
методом:
−969.7𝑡
−2030.3𝑡
𝑖𝐿
� 1 � = �5.13 + 0.645𝑒−969.7𝑡 − 1.77𝑒−2030.3𝑡 �
𝑖𝐿2
4.28 − 1.55𝑒
− 0.73𝑒
Теперь найдем выходные переменные:
𝑦 = 𝐶𝑒 𝐴𝑡 𝑥(0) + 𝐶(𝑒 𝐴𝑡 − 1)𝐴−1 𝐵𝑈 + 𝐷𝑈
−𝑅1
𝑅1
0
𝑈1
−𝑅2 �; 𝐷 = �𝑅2 � .
𝑌 = �𝑈2 �; С = � 0
𝑈3
𝑅3
−𝑅3 −𝑅3
12
−12 0
𝐷
=
С=� 0
�;
�
−6
6�
−3 −3
3
𝐴−1 = �−5.7 ∗ 10−4
1.9 ∗ 10
905.3 −2030.3𝑡
155.3 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
𝑋=�
375 −2030.3𝑡
−375 −969.7𝑡
𝑒
+
𝑒
1060.6
1060.6
⎡ 155.3 𝑒 −969.7𝑡 + 905.3 𝑒 −2030.3𝑡
⎢
1060.6
+ ⎢�1060.6
375 −2030.3𝑡
−375 −969.7𝑡
⎢
𝑒
+
𝑒
1060.6
⎣ 1060.6
85
𝑈1
−12 0
−0.121𝑒 −969.7𝑡 + 4.119𝑒 −2030.3𝑡 �
𝑌 = �𝑈2 � = � 0
−6� �
0.292𝑒 −969.7𝑡 + 1.7𝑒 −2030.3𝑡
𝑈3
−3 −3
−12 0
0.766𝑒 −969.7𝑡 − 5.89𝑒 −2030.3𝑡 + 5.13 �
+� 0
�
�
−6
−1.845𝑒 −969.7𝑡 − 2.43𝑒 −2030.3𝑡 + 4.28
−3 −3
12
+ � 6 � [6]
3
𝑈1
1.45𝑒 −969.7𝑡 − 49.44𝑒 −2030.3𝑡
�𝑈2 � = � −1.75𝑒 −969.7𝑡 − 10.2𝑒 −2030.3𝑡 �
𝑈3
−0.51𝑒 −969.7𝑡 − 17.46𝑒 −2030.3𝑡
72
−9.2𝑒 −969.7𝑡 + 70.7𝑒 −2030.3𝑡 − 61.6
−969.7𝑡
−2030.3𝑡
+ � 11𝑒
+ 14.6𝑒
− 25.7 � + �36�
−969.7𝑡
−2030.3𝑡
18
+ 25𝑒
− 28
3.2𝑒
−969.7𝑡
−2030.3𝑡
𝑈1
+ 21.3𝑒
10.4 − 7.75𝑒
−969.7𝑡
𝑈
� 2 � = � 10.3 + 9.25𝑒
+ 4.4𝑒 −2030.3𝑡 �
𝑈3
−10 + 2.7𝑒 −969.7𝑡 + 7.54𝑒 −2030.3𝑡
Полученное решение можно сравнить с результатами операторного
метода: умножить токи, полученные выше операторным методом на
сопротивления соответствующих ветвей. Нетрудно увидеть, что
результаты идентичны.
Пример 6.
В этом примере для отыскания аналитического решения приняты значения
для номиналов источников питания: E=1B, J=0 A. Численное решение
найдено для трех случаев: а)E=1B, J=0 A , б) E=1B, J=1 A, в) E=5B, J=3 A
Если E=1B, J=0 A , тогда начальные условия - нулевые, искать решение
будем в виде:
𝑥 = (𝑒 𝐴𝑡 − 1)𝐴−1 𝐵𝑈
−0.5t
0
𝑒 𝐴𝑡 = �e
−5t �
0
e
−0.5 0
𝐴=�
�;
0
−5
1
𝑅1
⎡−
⎤
−
1
1
)
)
𝐶(𝑅
+
𝑅
𝐶(𝑅
+
𝑅
1
2
1
2
−
−
⎥=� 4
𝐵=⎢
4�
𝑅
𝑅
𝑅
2
1
2
⎢
⎥
2.5 −2.5
−
⎣ 𝐿(𝑅1 + 𝑅2 )
𝐿(𝑅1 +𝑅2 ) ⎦
𝑈 (0)
𝑈
𝐸
0
1
𝑈 = � � = � � ; 𝑋 = � 𝐶 � ; 𝑋(0) = � 𝐶 � = � �.
𝑖
𝐽
𝑖𝐿 (0)
0
0
𝐿
−1
Найдем 𝐴 :
86
𝐴−1 =
1
−5
�
(−0.5)(−5) 0
𝐴−1 = �
Решение:
−2
0
�
0 −0.2
0
�
−0.5
1
1
0
1
0 � �−2
−
−
�
�
�
�
�
4
4
0
e−5t − 1 0 −0.2
2.5 −2.5
−0.5t
0.5e
−
0.5
=�
�
0.5 − 0.5e−5t
Таким образом, 𝑈𝐶 = 0.5e−0.5t − 0.5 ; 𝑖𝐿 = 0.5 − 0.5e−5t , что совпадает с
решением, полученным операторным методом, если учесть, что
направление тока 𝑖𝐶 принято различным.
Теперь найдем выходные переменные:
𝑦 = 𝐶(𝑒 𝐴𝑡 − 1)𝐴−1 𝐵𝑈 + 𝐷𝑈
−0.5t
𝑈
−1
� 𝐶 � = �e
𝑖𝐿
0
𝑅1
⎡ 𝑅1+𝑅2
𝑈1
⎢ 𝑅2
𝑈2
⎢ 𝑅 +𝑅
𝑌 = � �; С = ⎢ 1 𝑅22
𝑈3
⎢− 𝑅1+𝑅2
𝑈4
⎢ 𝑅1
⎣ 𝑅1+𝑅2
1
3
1
⎡ 4
⎡4
4 ⎤
3
3
⎢3
⎢
− 4⎥
4
⎢4
⎥
С=⎢ 3
3 ; 𝐷 =
⎢0
⎢−
− 4⎥
4
⎢
⎢ 1
⎥
3
0
−
⎣
⎣ 4
4⎦
𝑅1 𝑅2
𝑅1
⎤
⎡𝑅1+𝑅2
⎥
⎢ 𝑅2
−
⎢𝑅1+𝑅2
𝑅1 +𝑅2 ⎥
;
𝐷
=
𝑅 𝑅 ⎥
⎢
− 1 2⎥
⎢ 0
𝑅1 +𝑅2
⎢ 0
𝑅 𝑅 ⎥
− 1 2⎦
⎣
𝑅1 +𝑅2
𝑅1 +𝑅2
𝑅1 𝑅2
0⎤
0⎥
⎥
3
− 4⎥
3⎥
− 4⎦
87
0
⎤
⎥
0 ⎥
𝑅1 𝑅2 ⎥ .
−
𝑅1 +𝑅2 ⎥
𝑅 𝑅 ⎥
− 1 2⎦
𝑅1 +𝑅2
1
3
1
0 ⎤
⎡
⎤
⎡
4
4
4
⎢ 3
⎢3
⎥
3⎥
𝑈1
⎢
⎢
− ⎥
0 ⎥
𝑈2
4
4
4⎥ 0.5e−0.5t − 0.5
⎢
⎢
⎥ �1� =
𝑌=� �= 3
�
�+
−5t
3
3
𝑈3
0.5 − 0.5e
⎢−
⎢ − ⎥ 0
− ⎥
𝑈4
⎢ 4
⎢0
4⎥
4⎥
3⎥
3⎥
⎢ 1
⎢0
−
−
⎣ 4
⎣
4⎦
4⎦
1
3
⎡ (0.5e−0.5t − 0.5) + (0.5 − 0.5e−5t ) ⎤
4
4
⎢ 3
⎥
3
−0.5t
−5t
⎢ (0.5e
− 0.5) − (0.5 − 0.5e ) ⎥ 0.25
4
⎥ + �0.75�
= ⎢ 43
3
0
⎢− (0.5e−0.5t − 0.5) − (0.5 − 0.5e−5t )⎥
0
⎢ 4
⎥
4
3
⎢ 1
⎥
(0.5e−0.5t − 0.5) − (0.5 − 0.5e−5t )
⎣ 4
⎦
4
𝑈1
0.5+0.125e−0.5t − 0.375e−5t
𝑈
−0.375e−0.5t + 0.375e−5t
� 2� = �
�
𝑈3
−0.375e−0.5t + 0.375e−5t )
𝑈4
−0.5+0.125e−0.5t + 0.375e−5t
Численные методы решения уравнений состояния.
При численном способе решения уравнений состояния используют
различные программы численного интегрирования на ЭВМ: метод Эйлера,
метод Рунге- Кутта, метод трапеций и др.
В пакете MathCad программа интегрирования уравнений по методу РунгеКутта носит имя rkfixed. Обращение к ней производится через операцию
присваивания какой - либо переменной (здесь z) имени программы:
z: = rkfixed(x, 0, tk, N, D),
где x - вектор переменных состояния. Длина этого вектора - n задается
предварительным описанием вектора начальных значений и соответствует
числу уравнений состояния; 0 и tk - начало и конец временного интервала
интегрирования; N - число точек на интервале интегрирования; z - матрица
(массив), имеющая размер (N+1, n+1), где первый столбец (он же нулевой)
соответствует дискретным значениям времени ti: zi0 = i.
Остальные столбцы - совокупность значений переменных состояния:
zi1, zi2,…, zin, где индекс i изменяется от 1 до N; D - функция
дифференцирования левой части системы уравнений, которая описывает
88
правую часть уравнений, разрешенных относительно первых производных.
Для линейных цепей эта функция имеет вид линейного матричного
преобразования D(t, x):=A·x+F, где A - квадратная матрица
коэффициентов, которые определяются структурой цепи и параметрами
элементов; F - вектор независимых переменных, параметры которого
определяются входными воздействиями, т.е. независимыми источниками
питания цепи, которые могут изменяться во времени.
Элементы матриц A и F должны быть определены перед обращением к
программе rkfixed. Для контроля правильности задания исходных данных
можно (но не обязательно) обратиться к программе определения
собственных чисел матрицы A: eigenvals(A). Эта программа выводит
информацию о собственных числах, которые совпадают с корнями
характеристического уравнения цепи. Необходимым (но недостаточным)
условием правильности ввода данных является набор отрицательных
собственных чисел, или комплексно-сопряженных с отрицательной
вещественной частью. Решение уравнений состояния для примеров 1-6
представлено в приложении.
89
Приложение.
Пример 1.
Программа для расчета на MATCAD
График напряжения на емкости.
Продолжение программы: вычисление выходных переменных. Здесь yi,1 –
напряжение U1, yi,2 – U2, yi,3 – i1, yi,4 – i2, yi,5 – i3.
90
Графики выходных переменных (величины токов нормированы):
91
Пример 2.
Программа для вычисления переменных состояния на MATCAD
Графики переменных состояния:
92
Продолжение программы: вычисление выходных переменных. Здесь yi,1 –
напряжение U2, yi,2 – U3, yi,3 – U4, yi,4 - i2, yi,5 – i3, yi,6 – i4.
Получившиеся графики:
93
Пример 3.
Программа для расчета переменных состояния на MATCAD
Графики переменных состояния:
94
Продолжение программы: вычисление выходных переменных. Здесь yi,1 –
напряжение U1, yi,2 – U2.
То же, увеличен масштаб по оси времени.
95
Пример 4.
Программа для вычисления переменных состояния на MATCAD
Графики переменных состояния:
Графики выходных переменных:
96
Пример 5.
Программа для вычисления переменных состояния на MATCAD:
Графики переменных состояния:
Графики выходных переменных:
97
Пример 6.1 (E=1, J=0).
Программа для расчета переменных состояния на MATCAD
Графики переменных состояния:
Графики выходных переменных:
98
Пример 6.2 (E=1, J=1).
Программа для расчета переменных состояния на MATCAD
Графики переменных состояния:
99
Пример 6.3 (E=5, J=3).
Программа для расчета переменных состояния на MATCAD
Графики переменных состояния:
Графики выходных переменных:
100
В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в
результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым
присвоена категория «Национальный исследовательский университет».
Министерством образования и науки Российской Федерации была
утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году
Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный
исследовательский университет информационных технологий, механики и
оптики»
КАФЕДРА ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ И ПРЕЦИЗИОННЫХ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В
ИНСТИТУТЕ ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
Ю.А. Климов, В.С. Томасов
В 1930 году техникум точной механики и оптики был реорганизован в
учебный комбинат, состоящий из института, техникума и ФЗУ в системе
Всесоюзного объединения оптико-механической промышленности.
В те годы электротехническую подготовку в нашем институте
проводили кафедры «Электротехники» и «Электроизмерительных
приборов». Кафедрой «Электротехники» руководил проф. Салтыков Л.Н., а
кафедрой «Электроизмерительных приборов» проф. Шишелов Л.П.
С сентября 1933 года исполнять обязанности заведующего кафедрой
«Электротехники» нашего института начинает Рукавишников Н. Н, а с
ноября 1937 года, на заведование кафедрой назначается Солодовников А. А.,
известный специалист в области электротехники, электроизмерительных
приборов и оборудования.
101
Во время войны при эвакуации ЛИТМО в г. Черепаново кафедрой
руководил доц., к.т.н. Березниковский С. Ф.; штатное расписание кафедры в
те годы насчитывало всего 4 человека.
После возвращения ЛИТМО из эвакуации в 1944 году кафедрой
заведует Березниковский С.Ф., которого 25 января 1945 года освобождают от
обязанностей заведующего кафедрой «Общей и специальной электротехники»
и назначают заведующим этой кафедрой профессора Зилитенкевича С.И.
В послевоенные годы в целом по стране и в Ленинграде ощущался
дефицит опытных преподавателей высшей школы и руководство институтом
пригласило в качестве заведующего кафедрой «Общей и специальной
электротехники» известного ученого, педагога и методиста Пиотровского Л.
М. Большинство учебников по электрическим машинам в ту пору было
написано либо лично Пиотровским Л.М., либо в соавторстве с другими
видными учеными.
В 1948 году на базе кафедры «Общей и специальной электротехники»
образуются кафедры: «Общей электротехники и электрических машин»
зав.каф. доц. Березниковский С.Ф., «Теоретических основ электротехники»
зав. каф. проф. Слепян Л.Б. и «Электроизмерительных приборов»
исполняющий обязанности зав. каф. проф. Слепян Л.Б
В 1951 году кафедры «Электротехники» и «ТОЭ» объединяют в единую
кафедру «Электротехники и ТОЭ» под руководством доц. Березниковского
С.Ф. в составе Радиотехнического факультета,
В 1956 году на Радиотехническом факультете вновь образуются две
кафедры – «ТОЭ» зав. каф. доц. Сочнев А.Я. и «Электрических машин» зав.
каф. доц. Березниковский С.Ф.
В июле 1958 года доц Сочнева А.Я. освобождают от обязанностей зав.
каф. «ТОЭ» , а доц. Фунтова Н.М. назначают в.и.о. зав. каф. и избирают по
конкурсу на должность заведующего в 1960 году.
В 1961 году в ЛИТМО на должность заведующего кафедрой
«Электрических машин» приглашают профессора Сахарова А.П.
В 1965 году на должность заведующего кафедрой «Электрических
машин» избирается доц., к.т.н. Глазенко Т.А.
В 1968 году кафедры «ТОЭ» и «Электрических машин» объединяются в
единую кафедру «Электротехники» под руководством Т.А. Глазенко.
Татьяна Анатольевна Глазенко в 1948 году с отличием закончила
энергетический
факультет
Ленинградского
института
инженеров
железнодорожного транспорта. В 1953 году она защитила кандидатскую
диссертацию и в 1966 году докторскую диссертацию. Заслуженный деятель
науки и техники Российской Федерации, почетный член Электротехнической
академии России проф. Глазенко Т.А. двадцать пять лет возглавляла кафедру.
Она являлась видным, творчески активным ученым, автором более 200
опубликованных научных работ.
В 1990 году на должность заведующего кафедрой избирается проф.,
д.т.н. Герман - Галкин С.Г.
102
В 1996 году кафедра «Электротехники» была переименована в кафедру
«Электротехники и прецизионных электромеханических систем».
С 1991 года кафедрой руководит доцент кандидат технических наук
Томасов Валентин Сергеевич.
Сегодня в составе кафедры: проф., д.т.н. Дроздов В. Н., доц., к.т.н.
Толмачев В.А., доц., к.т.н. Осипов Ю.М., доц., к.т.н. Петров Е.А., доц., к.т.н.
Усольцев А.А., доц., к.т.н. Никитина М.В., доц., к.т.н. Борисов П.А., доц.,
к.т.н. Денисова А.В., доц., к.т.н. Лукичев Д.В., доц., к.т.н. Ильина А.Г., ст.
преп., к.т.н. Махин И.Е., ст.преп. Гурьянов В.А., ст.преп. Денисов К.М., асс.
Демидова Г.Л., асс. Жданов И.Н., асс. Цветкова М.Х., асс. Серебряков С.А.,
асс. Сергеева М.Е., асс. Шеф А.Н.
Литература.
1. Усольцев А.А. Общая электротехника/Учебное пособие. СПб: СПбГУ
ИТМО – de.ifmo.ru
2. Прянишников В.А., Петров Е.А., Осипов Ю.М. Электротехника и ТОЭ
в примерах и задачах: Практическое пособие – СПб.: КОРОНА принт,
2001. – 336 с., ил.
3. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники.
Т. 1; т. 2.— Л.: Энергоиздат, 1981. — 536 с.; 416 с.
4. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. — М.: Радио и
связь, 1986. — 544 с.
5. Новгородцев А.Б. 30 лекций по теории электрических цепей. — СПб.
"Политехника", 1995. — 520 с.
6. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические
цепи. М.: Гардарики. Вып.10. 1999.
103
Денисова Анна Валерьевна
Применение операторного метода и метода
уравнений состояния для расчета переходных
процессов
Учебное пособие
В авторской редакции
Дизайн
А.В. Денисова
Верстка
А.В. Денисова
Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного
университета информационных технологий, механики и оптики
Зав. РИО
Н.Ф. Гусарова
Лицензия ИД № 00408 от 05.11.99
Подписано к печати
Заказ №
Тираж
Отпечатано на ризографе.
104
Редакционно-издательский отдел
Санкт-Петербургского национального
исследовательского университета
информационных технологий, механики
и оптики
197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49
105