Методология оценки фондов ATF Exchange для

Методология оценки фондов ATF Exchange для
профессиональных управляющих
Working paper
Оценка эффективности фонда
Пусть Wi – величина портфеля и Bi - величина
бенчмарки в i-й момент наблюдения. Наша цель
определить показатель эффективности фонда
(Eff). Этот показатель мы хотим выразить в виде
некоторой функции эффективности
Eff = ϕ (W , B ) ,
где
W = (W0 , W1 ,..., WT ) –
вектор наблюдаемых величин портфеля,
B = (B0, B1, …, BT) –
вектор наблюдаемых значений B, T – период
наблюдения (количество месяцев, кварталов и т.
п. – в зависимости от частоты наблюдений: ∆t =
1 месяц или ∆t = 1 квартал и т. д.).
Рассмотрим
требования,
которым
должна
удовлетворять функция эффективности.
1)
Важнейшим показателем эффективности
является отношение эффективности:
α=
W
B
Предполагается, что единицы измерения W и B
таковы, что α 0 = 1
Анализ реальных данных показывает, что для
эффективных фондов α имеет тенденцию расти
со временем. Поэтому для оценки эффективности
важны, скорее, не сами значения α, а средняя
скорость роста этого показателя. Эта средняя
скорость роста есть не что иное, как slopeкоэффициент β в линейной регрессионной
модели
α = 1+ βt + ε ,
(1)
где ε - случайная составляющая α. Intercept в
модели (1) равен 1, т. к. предполагается, что W =
B в начале работы фонда. Удобно использовать
переменную
α* = α −1 =
W −B
,
B
т. е. относительную разность W и B, и выражать
её в процентах. Для α * регрессионная модель не
содержит интерсепта:
α* = βt + ε
,
(1*)
Если в качестве временной единицы выбран
месяц, то слоп-коэффициент β выражается в
%/месяц. Если данные фиксируются не
ежемесячно, а через промежутки времени ∆t
месяцев, то для того, чтобы получить значение β,
выраженное в %/месяц, нужно произвести
подгонку (fit) параметра регрессионной модели
(1*) так, будто ∆t является единицей времени;
получится некоторое значение β ′ , которое
является скоростью изменения α * , выраженной
в %/ ∆t . Затем нужно выразить эту скорость в
%/месяц, т. е. поделить на ∆t :
β=
β′
∆t
В частности, если данные фиксируются
ежеквартально, нужно поделить на 4 слопкоэффициент в регрессии α * по времени.
Естественно, что показатель эффективности Eff и
скорость роста отношения эффективности
должны
быть
сильно
положительно
коррелированны:
где µ = mean(α*).
6) Выражение для функции ψ должно быть, по
возможности, простым.
Мы предлагаем взять в качестве показателя
эффективности
среднюю
скорость
роста
отношения эффективности за вычетом некоторого
штрафа за вариабельность остатков и с бонусом
за высокое среднее значение отношения
эффективности:
ψ ( β , σ ) = β − p(σ ) + bµ ,
где b – некоторый положительный постоянный
множитель,
p (σ ), σ ≥ 0 – положительная
возрастающая
функция,
удовлетворяющая
условию p (0) = 0 и условию ограниченности
некоторой
достаточно
малой
константой.
Простейший вид такой функции p (σ ) –
следующий:
p (σ ) = c(1 − e − kσ ) ,
где c, k – положительные константы.
Итак, предлагается оценивать эффективность
фонда по формуле
Eff = β − c(1 − e − kσ ) + bµ ,
2)
Нежелательно,
чтобы
отношение
эффективности
обладало
большой
волатильностью. Потребуем, чтобы корреляция
между показателем эффективности Eff и
стандартным отклонением остатков (residuals) в
регрессионной модели (1) была отрицательной:
corr(Eff, std(α − β t )) < 0
3) Зависимость Eff от β должна быть
доминирующей. В частности если для двух
фондов A и B их показатели эффективности Eff(A),
Eff(B) и соответствующие slope-коэффициенты в
линейной регрессионной модели для отношения
эффективности – β(A), β (B), то из того, что
β ( A ) − std (α ( A ) − β ( A )t ) > β (B ) + std (α (B ) − β (B )t )
должно следовать, что Eff(A) > Eff(B).
4) Показатель эффективности должен быть
положительно коррелирован с отношением
эффективности.
5) Для простоты вычислений и интерпретации
будем предполагать, что функция эффективности
зависит только от slope-коэффициента β, среднего
значения α* и стандартного отклонения σ
остатков в модели (1) , т. е. может быть
представлена в виде
ϕ (W , β ) = ψ ( β , µ , σ )
(2)
где c, k , b – положительные параметры,
оптимальное
значение
которых
можно
определить с помощью экспертных оценок
значений
предложенного
показателя
эффективности, вычисленных для реальных
данных. Параметр c – предельный штраф за
вариабельность остатков в линейной регрессии
при σ → ∞ , k указывает на скорость (rate)
приближения штрафа к предельному значению, b
– удельный (specific) бонус за высокое среднее
отношение эффективности. Параметры c и b
должны быть небольшими для выполнения
требования 3).
Замечание
1.
Предложенный
показатель
эффективности
можно
использовать
для
сравнения эффективности разных фондов, даже,
если частота наблюдения данных для них не
совпадает, т. к. вариация некоторой величины на
некотором промежутке времени мало зависит от
количества моментов наблюдения. Поясним это
следующим образом. Пусть некоторая величина
(variable) X принимает по очереди значения +1 и
−1:
X 1 = 1, X 2 = −1, X 3 = 1,..., X N −1 = 1, X N = −1
(предполагаем, что N чётно). Тогда среднее
значение X равно 0 и
σ 2 = var( X ) =
n
≈1
n −1
независимо от количества наблюдений N.
Замечание 2. В формуле (1) предполагается, что
штраф за вариабельность не зависит от среднего
значения α. Можно предложить аналогичную
формулу, в которой штраф за вариабельность
пропорционален среднему значению α:
Eff = β (1 − c(1 − e− kσ )) + bµ
(3)
Замечание 3. Никаких специальных свойств
распределения α не предполагается.
Замечание 4. Штраф p (σ ) на самом деле
является не только штрафом за волатильность
отношения эффективности, но и штрафом за
нелинейность зависимости α от времени. Этот
эффект нежелателен для оценки эффективности
фондов, для которых скорость роста отношения
эффективности сама растёт со временем. Однако
численные эксперименты показывают, что при
оптимальных значениях параметра c этот эффект
невелик и не сказывается на сравнении
эффективностей фондов.