ФИИТ, ПИ, 1 семестр, 2012

1.
Множества, булевы операции над ними, декартово произведение.
2.
Бинарные отношения и их свойства.
3.
Отношения эквивалентности и порядка. Теорема об отношениях эквивалентности и
разбиениях.
4.
Векторы и линейные операции над ними. Коллинеарность и компланарность.
5.
Базисы, единственность разложения по базису, координаты. Ортонормированный базис.
6.
Скалярное произведение векторов, его свойства.
7.
Векторное произведение векторов, его свойства.
8.
Смешанное произведение векторов, его свойства.
9.
Определители 2-го и 3-го порядков, формулы для векторного и смешанного произведения в
координатах через определители.
10.
Репер (система координат). Деление отрезка в данном отношении.
11.
Замена системы координат: общий случай и поворот ОНБ на плоскости.
12.
Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой. Теорема об общем уравнении.
13.
Взаимное расположение двух прямых, расположение точек относительно прямой.
14.
Прямая в ОНР: нормальный вектор, расстояние от точки до прямой, угол между прямыми.
15.
Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости. Теорема об общем уравнении.
16.
Взаимное расположение двух плоскостей, расположение точек относительно плоскости.
17.
Плоскость в ОНР: нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости, угол между
плоскостями.
18.
Прямая в пространстве. Виды уравнений. Расстояние от точки до прямой.
19.
Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
20.
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
21.
Операции и отношения. Алгебраическая система. Группоиды, полугруппы, моноиды,
группы: примеры и простейшие свойства.
22.
Кольца и поля. Примеры и простейшие свойства.
23.
Комплексные числа. Определение. Алгебраическая форма.
24.
Операции над комплексными числами, их свойства. Сопряженное число.
25.
Геометрическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра.
26.
Решение уравнения xn=z в комплексных числах. Корни из единицы.
27.
Многочлены над полем. Определение, операции, свойства операций, кольцо многочленов.
28.
Теорема о делении многочленов с остатком. Делимость многочленов.
29.
Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида.
30.
Неприводимые многочлены. Разложение многочлена на неприводимые множители.
31.
Производная многочлена, ее свойства. Отделение кратных множителей.
32.
Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема Гаусса (формулировка и идея рассуждения).
33.
Следствия из теорем Безу и Гаусса. Неприводимые многочлены над полями C и R.
34.
Многочлены над кольцом Z и над полем Q. Поиск рациональных корней.
35.
Лемма Гаусса. Эквивалентность неприводимости над Z и Q. Признак Эйзенштейна.
36.
Обобщенная теорема Виета.
37.
Матрицы. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матриц.
38.
Умножение матриц и его свойства. Кольцо квадратных матриц порядка n.
39.
Перестановки. Число беспорядков. Четность перестановки. Свойство транспозиции.
40.
Определители – определение, основные свойства и следствия.
41.
Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке.
Умножение элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.
42.
Определитель полураспавшейся матрицы. Теорема об определителе произведения матриц.
43.
Обратная матрица. Теорема об обратной матрице.
44.
Элементарные преобразования матриц. Элементарные матрицы.
45.
Вычисление обратной матрицы элементарными преобразованиями.
46.
Матричные уравнения.
47.
Системы линейных уравнений. Представление в матричном виде. Равносильные
преобразования систем. Метод Жордана–Гаусса.
48.
Крамеровские системы линейных уравнений. Теорема Крамера.