Общее равновесие в экономике c двумя потребителями, двумя

Ю.В.Автономов
НИУ ВШЭ, факультет экономики, 2014
Общее равновесие в экономике c двумя
потребителями, двумя потребительскими
благами и производством: граница
производственных возможностей
Описание модели. Граница производственных
возможностей для двухтоварной/двухфакторной
экономики.
Парето-оптимальность и равновесие в экономике с
двумя конечными благами и производством.
Графическая иллюстрация.
Предпосылки модели
• Два конечных потребительских блага (1 и 2), два
потребителя (A и B) с функциями полезности UA(x1A,x2A),
UB(x1B,x2B). Запасов этих благ в экономике нет.
• Два фактора производства (K, L), запасы которых
принадлежат потребителям: ωKA, ωLA, ωKB, ωLB
• Две фирмы-ценополучательницы: одна производит
благо 1 по технологии y1 = f1(K1, L1), другая – благо 2 по
технологии y2 = f2(K2, L2).
• Прибыли фирм распределяются между потребителями
в долях Θ1A, Θ1B ,Θ2A, Θ2B.
2
Допустимые состояния
• Состояние экономики («распределение»):
(x1A, x2A, x1B, x2B, y1, y2, K1, L1, K2, L2)
• Будем называть допустимыми те состояния,
для которых:  A
B
x1  x1  y1
 A
B
 x2  x2  y2
 y  f (K , L )
 1
1
1
1

 y2  f 2 ( K 2 , L 2 )
L  L   A   B
L
L
 1 2
A
B
 K1  K 2  K  K
3
Парето-оптимальные состояния
Будем называть состояние
A
A
B
B




( x1 , x2 , x1 , x2 , y 1 , y 2 , K 1 , L1 , K 2 , L2 )
Парето-оптимальным, если не существует
другого допустимого состояния
A
A
B
B
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( x1 , x2 , x1 , x2 , yˆ 1 , yˆ 2 , Kˆ 1 , Lˆ1 , Kˆ 2 , Lˆ2 )
такого, что:
B
B
B
B
B
B
A
A
A
A
A
ˆ
ˆ


ˆ
ˆ


U ( x1 , x2 )  U ( x1 , x2 ) , U ( x1 , x2 )  U ( x1 , x2 )
A
и хотя бы одно из этих неравенств строгое.
4
Парето-оптимальность:
производство и потребление
Для рассматриваемой модели, удобно разложить понятие
Парето-эффективности состояния экономики на две
составляющие:
• Эффективность производства: факторы должны
распределяться между производством благ 1 и 2 так,
чтобы не было возможности увеличить выпуск одного
товара, не сократив выпуск другого.
• Эффективность потребления: произведенный набор благ
1 и 2 должен распределяться между потребителями А и B
так, чтобы не было возможности увеличить полезность
одного, не снизив полезность другого
Если и производство, и потребление эффективны –
состояние экономики оптимально по Парето.
5
Эффективность производства
Чтобы найти способы распределения факторов,
обеспечивающие эффективность производства, нужно
решить задачу:
Обозначим множество решений этой задачи как Ω.
6
Кривая производственных
возможностей
• Будем называть кривой производственных
возможностей экономики (КПВ, PPF) множество
 , L ) 

y 1  f1 (K
1
1




PPF   y 1 , y 2 : y 2  f 2 (K 2 , L 2 ) 

 , L , K
 , L )   
(K
1
1
2
2


• Т.е., PPF состоит из всех допустимых комбинаций
y1 и y2, в которых нельзя увеличить выпуск
одного блага, не сократив выпуск другого.
7
КПВ для однофакторной
экономики: пример
• Пусть технологии заданы производственными
функциями
и
, а общие
запасы труда в экономике составляют
.
8
КПВ для двухфакторной
экономики: пример
Пусть технологии заданы производственными
0 , 25 0 , 25
функциями y1  K1 L1 и y2  K 2 L2 , а общие
запасы труда и капитала в экономике составляют
L  5 и K  10 .
Проиллюстрируем изокванты обеих
производственных функций в т.н. ящике
Эджворта-Баули 
9
Т.к. обе производственные функции строго квазивогнуты, и
|MRTSKL| стремится к нулю (бесконечности) при
приближении к соответствующим горизонтальным
(вертикальным) осям, любое производственно
эффективное распределение L и K должно удовлетворять
условию ...
10
В сочетании с ограничениями на количество доступного
труда и капитала, получаем систему уравнений:
Если приравнять L1 к некому параметру 0  а  5, то мы получим следующую
систему, описывающую оптимальное распределение факторов производства на
КПВ:
 K1  2 a
L  a
 1

 K 2  10  2a
 L2  5  a
Подставив эти выражения в производственные функции X и Y,
получим систему, решением которой и является уравнение КПВ:
 X 1  20, 25 a
2

X

5
2

2
X

2
1
 X 2  10  2a (5  a )  (5  a) 2
11
КПВ: графическая иллюстрация
Тангенс угла наклона
касательной к КПВ
= альтернативные
издержки производства
товара 1. В экономической
теории это соотношение
называется предельной
нормой трансформации
блага 1 в благо 2 (marginal
rate of transformation, MRT12)
x2 MPL 2 MPK 2
MRT12 


x1 MPL1 MPK 1
12
Парето-оптимальные
распределения
Утверждение:
Если функции полезности и кривая
производственных возможностей непрерывные
и гладкие, а предпочтения строго монотонны,
необходимым условием Парето-оптимальности
внутренних состояний экономики является:
MRS
A
12
 MRS
B
12
 MRT12
13
Равновесие
Вектор цен
 и состояние
 r)
( p1 , p 2 , w,
 , L , K
 , L )
(x 1A , x 2A , x 1B , x 2 B , y 1 , y 2 , K
1
1
2
2
составляют равновесие по Вальрасу в экономике с 2
потребителями, 2 товарами, 2 факторами и 2 фирмами, если:
(x 1k , x 2k ) является решением задачи потребителя k∈{A,B}:
k
k
k
maxU
(
x
,
x
1
2 )
k
k
x ,x
1 2
p 1 x1k  p 2 x 2k  w Lk  rKk  1k 1  2k 2
 , L ) является решением задачи фирмы j ∈{1,2}
 j,K
Комбинация ( y
j
j
Набор
 j L j  rj K j
 max p j y j  w
y j ,K j ,Lj

 y j  f j (K j , L j )
Рынки обоих товаров и обоих факторов уравновешены.
14
Внутренние равновесия:
условие касания
 p1 MP  w

1
p
MP
 1 K r

2
p
MP
 2 L w
 p MP 2  r
 2 K
1
L
• последняя единица любого фактора,
используемого любой фирмой, должна
приносить доход, равный своей
стоимости. Иначе либо владельцы
ресурсов не максимизируют свою
полезность, либо фирмы не
максимизируют прибыль – ни того, ни
другого в равновесии быть НЕ МОЖЕТ.
• Попарно разделив эти уравнения одно
на другое, получим:
p1 MPL 2 MPK 2 X 2 / K 2 X 2 / L2
X 2 / L2
X 2







| MRT12 |
1
1
p2 MPL
X 1 / K1
X 1 / L1 X 1 / (L2 )
X 1
MPK
15