Статистика переноса заряда в мезоскопических

Статистика переноса заряда в
мезоскопических проводниках
(Full counting statistics)
Дмитрий Иванов
ETH Zürich & University of Zurich
Научная школа
по нанофизике
и наноэлектронике
Черноголовка, июнь 2012
Зачем изучать статистику тока?
from Ferain, Colinge & Colinge, Nature 479, 310 (2011)
Закон Мура ⇒ через 15 лет транзисторы достигнут атомных размеров?
квантовые эффекты будут играть решающую роль в элетронике
● перенос сигналов будет осуществляться отдельными электронами
●
Зачем изучать статистику тока?
●
технологическая мотивация: миниатюризация электроники
●
научная мотивация: изучение квантовых эффектов
(фермионная статистика электронов, дробный заряд
в краевых состояниях квантового эффекта Холла и т.д.)
●
возможная реализация контролируемых квантовых
операций (квантовые вычисления), связь с квантовой
теорией информации
Полезные обзоры по теме:
●
●
●
●
L. S. Levitov, H.-W. Lee, and G. B. Lesovik,
Electron counting statistics and coherent states of electric
current, cond-mat/9607137 [J. Math. Phys. 37, 4845 (1996)]
Ya. M. Blanter and M. Büttiker,
Shot noise in mesoscopic conductors, cond-mat/9910158
[Phys. Rep. 336, 1 (2000)]
Quantum noise in mesoscopic physics, ed. Yu. V. Nazarov,
Kluwer (2003)
Г. Б. Лесовик и И. А. Садовский,
Описание квантового электронного транспорта с помощью
матриц рассеяния, УФН 181, 1041 (2011)
План лекции:
полная статистика дискретной наблюдаемой:
определения и основные свойства
● статистика переноса невзаимодействующих фермионов
○ детерминантная формула
○ примеры
− одноканальная проволока в равновесном состоянии
− одноканальная проволока при постоянном напряжении
− лоренцевы импульсы
− адиабатические насосы
○ разложение на одночастичные процессы
○ связь статистики с квантовой зацепленностью
● сингулярности производящей функции и “статистические
фазовые переходы”
○ в задачах о переносе заряда
○ в других классических и квантовых системах
●
−
Определение полной статистики
переноса заряда
перенос n частиц
L
R
производящая функция
статистики переноса
для независимых процессов:
слева направо
с вероятностью Pn
Шум, моменты и кумулянты
производящая функция полностью определяет
статистику перенесенного заряда
средний заряд:
n-й момент:
n-й кумулянт:
Квантовомеханическое определение
статистики переноса
(не вполне очевидное, т.к. в квантовых системах
измерение может влиять на поведение системы)
статистика заряда
в конечном объеме:
перенос заряда за
конечное время:
где оператор
эволюции системы:
!!! “Хорошее” определение только если в исходном
состоянии нет суперпозиции разного числа частиц !!!
“Физическая” схема квантового
измерителя статистики тока
[Левитов, Лесовик 1994]
спин-1/2 (или любая
двухуровневая система)
как измеритель тока
перенос каждого кванта заряда поворачивает
спин на λ: измерение прецессии спина дает
производящую функцию χ(λ)
Как измеряют статистику тока
экспериментально?
[Gershon, Bomze, Sukhorukov, Reznikov 2008]
измерен третий момент тока, и результат согласуется с
предсказанием теории невзаимодействующих фермионов
Нетривиально: аккуратный учет влияния измеряющей цепи
Какие задачи можно решать?
интерференция индивидуальных
волновых пакетов
S
V(t)
импульс(ы) напряжения,
приложенный к устройству
S
изменение во времени
параметров устройства
(“квантовый насос”)
S(t)
и т.д.
Как решать
(с учетом квантовых эффектов)?
●
●
●
методы матриц рассеяния (наиболее удобны
для модели невзаимодействующих фермионов:
антисимметризация интерферирующих процессов
рассеяния) [Левитов, Лесовик 1993]
методы келдышевских функций Грина (“теория цепей”
для многоконтактных систем) [Назаров 1994;
Назаров, Багрец 2001]
специальные методы для взаимодействующих систем
(Бете-анзац, бозонизация, и т.д.)
Статистика переноса
невзаимодействующих фермионов:
детерминантная формула
Для невзаимодействующих фермионов статистика
многочастичного процесса может быть выражена
в терминах одночастичных величин
[Левитов, Лесовик 1993]
– фермионное число заполнения
– одночастичная матрица рассеяния (унитарная)
– одночастичный проектор на один из контактов
Детерминантная формула
Смысл: антисимметризация одночастичных процессов
L
R
S44
S12
L
R
S14
S42
применима к широкому классу задач
Примеры – примеры ...
Одноканальный контакт:
L
R
S
Матрица рассеяния может быть:
●
зависящей от энергии
– характерное время рассеяния
●
зависящей от времени
– адиабатическое (мгновенное) рассеяние
Пример 1: одноканальная проволока
без электрического напряжения
Измеряем шум за время t0
A и B – амплитуды прохождения и отражения,
– оператор локальный во временном представлении
– локален в частотном представлении
Пример 1: одноканальная проволока
без электрического напряжения
Асимптотика таких детерминантов при больших t0
изучалась (и изучается) математиками
[Wiener-Hopf operators, Toeplitz determinants,
Szegö formula, Fisher-Hartwig conjecture]
При нулевой температуре:
Можно легко вычислить несколько первых моментов:
Шум пропорционален логарифму времени измерения t0
Пример 1: одноканальная проволока
без электрического напряжения
Логарифмический вклад в шум связан с началом
и концом наблюдения
Эффекты аналогичного происхождения:
●
●
логарифмические флуктуации числа свободных
фермионов на отрезке одномерной прямой
логарифмическая зависимость квантовой запутанности
от размера подсистемы для одномерных систем с
бесщелевыми возбуждениями
В случае конечной температуры
T > 0 – экстенсивный (тепловой) шум
Пример 2: постоянное напряжение,
биномиальная статистика
Напряжение V(t) может быть включено в формализм
“детерминантной формулы” как дополнительная фаза
к амплитуде прохождения
В случае постоянного напряжения и нулевой температуры
вычисление дает (для экстенсивной части статистики):
(биномиальная статистика)
Пример 2: постоянное напряжение,
биномиальная статистика
Интерпретация: N – число электронов, которые пытаются
пройти через контакт. Каждая попытка – независимый
одночастичный процесс:
Средний ток
и шум:
шум слабее, чем пуассоновский, множителем
– из-за принципа Паули
Пример 2: постоянное напряжение,
биномиальная статистика
[Kumar, Saminadayar, Glattli, Jin, Etienne, PRL 76, 2778 (1996)]
Пример 2: постоянное напряжение,
биномиальная статистика
Третий кумулянт (асимметрия распределения):
– согласуется с экспериментально измеренным
Gershon, Bomze, Sukhorukov, Reznikov, PRL 101, 016803 (2008)
эксперимент сравнивался с обобщением теории на
конечные температуры (сравнимые с eV); предел eV >> T
не был экспериментально достигнут.
Пример 3: лоренцевы импульсы
Для произвольного сигнала V(t) или (в еще более общей
формулировке) для произвольной матрицы рассеяния S(t)
вычисление полной статистики переноса заряда –
сложная задача (функциональный = бесконечномерный
детерминант)
В некоторых специальных случаях она может быть решена
точно. Например: лоренцевы импульсы
V(t)
или их любые суперпозиции
[DI, Lee, Levitov 1995]
t''
t
t'
Пример 3: лоренцевы импульсы
Причина точной решаемости – хорошие аналитические
свойства:
Результат:
●
●
●
один импульс: одноэлектронный процесс
N импульсов одной полярности:
биномиальное распределение
импульсы разной полярности: полином по
и
(коэффициенты – нетривиальные функции от всех времен ti )
Пример 3: лоренцевы импульсы
Хорошее объяснение [Keeling, Klich, Levitov 2006]:
Такие импульсы создают всего лишь
конечное число электрон-дырочных
возбуждений, и задача о статистике
сводится к конечному числу волновых
пакетов (конечный детерминант)
E
EF
Пример 3: лоренцевы импульсы
Экспериментальная реализация: не лоренцевыми
импульсами, а квантовой точкой, которая испускает
электрон в краевое состояние квантового эффекта Холла
[Fève et al., Science 316, 1169 (2007)]
[Keeling, Shytov, Levitov, PRL 101, 196404 (2008)]
Теория [Keeling, Shytov, Levitov (2008)]: в предельном
случае медленного изменения параметра получается
лоренцев одночастичный волновой пакет!
Пример 4: квантовые насосы
Квантовый насос: перенос заряда в результате
адиабатического изменения параметров системы
●
●
уже рассмотренный пример: изменение фазы амплитуды
прохождения
⇒ перенос заряда
общий случай мгновенной матрицы рассеяния
[Büttiker, Thomas, Prêtre 1994; Brouwer 1998]:
– “площадь”, заметаемая
матрицей рассеяния
(аналогичная фазе Берри)
Минимизация шума: [Махлин, Мирлин 2001]
Полная статистика не является “геометрической”
и не имеет точного решения (см. вторую часть лекции)
Перенос невзаимодействующих
фермионов в терминах одночастичных
процессов
Если мы не можем посчитать полную статистику
для конкретной задачи, то что можно о ней сказать?
[DI, Abanov 2007, 2009; Hassler et al 2008]:
В модели невзаимодействующих фермионов
статистика всегда дается суперпозицией одночастичных
процессов (“обобщенная биномиальная”):
“Обобщенная биномиальная” статистика
Дискретный (возможно, бесконечный) набор процессов:
или непрерывный спектр “эффективных прозрачностей”
– полностью детерминистичекий
“фоновый” перенос заряда
Вероятности
или плотность их распределения
зависят от полной эволюции системы
:
“Обобщенная биномиальная” статистика
Утверждение верно при конечных температурах и для
произвольного (квадратичного) оператора эволюции
Условия (применимость детерминантной формулы):
●
●
●
●
оператор “числа частиц” квадратичен:
оператор эволюции
– экспонента от
квадратичного оператора (гамильтониана)
= невзаимодействующие частицы
начальная матрица плотности
– экспонента от
квадратичного оператора (необязательно того же самого,
который определяет эволюцию системы)
операторы
и
коммутируют
(Вывод факторизации)
где
Аналитические свойства производящей
функции и простой пример
“Обобщенная биномиальная” статистика означает, что
как функция
может иметь сингулярности
только при действительных (отрицательных)
(“no-go theorem”)
Пример: из невзаимодействующих фермионов нельзя
создать устройство, которое переносит
0 электронов с вероятностью 1/3
● 1 электрон с вероятностью 1/3
● 2 электрона с вероятностью 1/3
●
Примеры распределений одночастичных
вероятностей
При нулевой температуре и в случае “квантового насоса”
с непрерывной зависимостью
– дискретный спектр
стационарный контакт с постоянным напряжением
● лоренцевы импульсы одинаковой полярности
●
При конечной температуре или для более сложных
– непрерывный спектр
стационарный контакт V=0, T>0
● периодическое открывание-закрывание контакта
●
– в этих двух задачах статистика оказывается одинаковой!
[Klich, Levitov 2008]
Пример непрерывного распределения
одночастичных вероятностей
стационарный контакт V=0, T>0 :
● периодическое открывание-закрывание контакта
[Klich, Levitov 2008]:
●
– доля времени, когда контакт открыт
– прозрачность контакта
(одноканального)
Связь “обобщенной биномиальной”
статистики с квантовой зацепленностью
В процессе когерентного транспорта возникает
квантовая зацепленность между контактами
В случае невзаимодействующих фермионов
статистика переноса заряда полностью определяет
квантовую зацепленность! [Klich, Levitov 2008]
Энтропия зацепленности (между левым и правым
контактами) в терминах одночастичных процессов:
(Энтропия зацепленности: определение)
Система, поделенная на две подсистемы (A и B),
при нулевой температуре. Матрица плотности:
Тогда:
Доказательство: разложим
для любой степени n – а значит и для любой функции
(Энтропия зацепленности: случай
невзаимодействующих фермионов)
Общее выражение для энтропии зацепленности:
(2N слагаемых)
в случае невзаимодействующих фермионов
(с независимыми числами заполнения), ту же энтропию
можно переписать:
(N слагаемых)
Классификация статистики переноса в
терминах аналитических свойств
производящей функции
В случае невзаимодействующих фермионов
нули (или сингулярности) производящей функции
определяют спектр “эффективных прозрачностей”
– полную характеристику переноса
В более общем контексте (также для взаимодействующих
систем) полезно изучать сингулярности
в комплексной плоскости
⇒ новый способ классификации статистических
процессов (“статистические фазовые переходы”)
Статистика дискретных событий в
термодинамическом пределе
Изучаем перенос заряда в системе с трансляционной
инвариатностью во времени (например: периодический
сигнал, поданный на контакт, или квантовый насос
с периодически изменяющимися параметрами)
можно выделить “экстенсивную часть” статистики
извлекая ее из асимптотики за N периодов:
и характеризовать статистику аналитическими свойствами
“экстенсивной части”
“Статистические фазовые переходы”
Ограничимся пока изучением сингулярностей
действительных
при
при том, что
аналитична по , экстенсивная
часть может и не быть аналитичной:
развитие сингулярности
в пределе
можно считать
“фазовым переходом”
во временнóм
пространстве
1
0
χ(λ)
π
λ
2π
“Статистические фазовые переходы”
Для невзаимодействующих
фермионов сингулярность
может появиться только в
точке
.
Такая сингулярность
соответствует ненулевой
плотности “одночастичной
вероятности” при
Im u
Re u
z = −∞
p=0
λ=π
u = −1
p = 1/2
u=0
p=1
Для взаимодействующих систем возможны разные
положения сингулярностей (см. последующие примеры)
λ=0
u=1
“Статистические фазовые переходы”
для невзаимодействующих фермионов
Пример: напряжение, приложенное к одноканальному
контакту с прозрачностью g при температуре T
[DI, Abanov 2010]
µ
(a) T=0, V=const
p
g or (1-g)
0
1
µ
(b) T=0, любое V(t)
p
g and (1-g)
0
“аналитическая”
фаза
1
µ
(c) T>0, V=0
p
(1±√1-g)/2
0
1
µ
(d) T>0, V=const
g
0
(1+√1-g)/2
p
“аналитическая”
при g<1/2 и
“неаналитическая”
при g>1/2
“Статистические фазовые переходы”
для невзаимодействующих фермионов
Общий случай Т>0 и произвольная периодическая эволюция
мгновенной матрицы рассеяния S(t) допускает переходы
между аналитической и неаналитической фазами в
зависимости от геометрии траектории S(t) [DI, Abanov 2010]
Физическая разница между “аналитической” и
“неаналитической” фазами (в случае сингулярности типа
скачка при
): поведение “коррелятора четности”
●
●
аналитическая фаза: экспоненциальное убывание
неналитическая фаза: убывание с несоизмеримыми
осцилляциями
“Теорема об аналитической фазе”
→
[DI, Abanov 2010]
Для одноканального контакта с
произвольной адиабатической
эволюцией S(t). Аналитичность
или неаналитичность фазы
зависит от геометрии
траектории единичного вектора
ez
→
M
→
N(t)
2g0
Система находится в аналитической фазе, если траекторию
можно покрыть полусферой (включая северный полюс,
если Т>0). Щель (вокруг p=1/2) не менее
От статистики переноса заряда
к статистическим методам описания
корреляций
Можно ли описывать термодинамические фазы в терминах
статистики некоторой дискретной наблюдаемой?
● Будут ли “статистические фазовые переходы”
соответствовать настоящим термодинамическим
переходам? [DI, Abanov 2012]
●




Пример 1: одномерная модель Изинга

“статистический” фазовый
переход не соответствует
термодинамическому переходу,
но отвечает сингулярности
(бифуркации) в корреляционной
длине наблюдаемой
“Джордана-Вигнера”
Пример 2: квантовая XY цепочка в
перпендикулярном магнитном поле
воспроизводится ранее известная фазовая диаграмма
[Barouch, McCoy 1971]
Заключение (содержание)
полная статистика дискретной наблюдаемой:
определения и основные свойства
● статистика переноса невзаимодействующих фермионов
○ детерминантная формула
○ примеры
− одноканальная проволока в равновесном состоянии
− одноканальная проволока при постоянном напряжении
− лоренцевы импульсы
− адиабатические насосы
○ разложение на одночастичные процессы
○ связь статистики с квантовой зацепленностью
● сингулярности производящей функции и “статистические
фазовые переходы”
○ в задачах о переносе заряда
○ в других классических и квантовых системах
●
−