Тема: Системы логарифмических и показательных уравнений и

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2
Тема: Системы логарифмических и показательных уравнений и
неравенств.
I. Актуализация теоретического материала.
При решении систем показательных и логарифмических уравнений и
неравенств применяются те же способы и приемы, что и при решении систем
алгебраических уравнений и неравенств. Следует лишь подчеркнуть, что во
многих случаях, прежде чем применить тот или иной метод решения систем,
следует преобразовать каждое уравнение системы к возможно более
простому виду.
252 х  252 у  30,
.
25х  у  5 5
Пример 1. Решим систему уравнений: 
Решение.
Положив
и=25х,
v=25у, получим
и  v  30,
, имеющую четыре решения:

uv  5 5
2
2
u1  5, u2  5,


v1  5; v2  5;
систему
уравнений
u3  5, u4   5,

;


v3   5 v4  5.
Но и=25х, v=25у, значит и>0, v>0, т.е. из найденных четырех решений
надо взять только первые два.
Таким образом, задача сводится к решению следующей совокупности
25х  5,
 у
25  5;
1
1
у1  , из второй: х2  ,
4
4
1 1
 , .
 4 2
систем уравнений:
1
х1  ,
2
1 1
 ; ,
 2 4
25х  5 ,
Из первой системы находим
 у
25  5.
1
у2  . Итак, система имеет два решения:
2
5
 logy x
2
х

y

x
,
Пример 2. Решим систему уравнений: 

log 4 y  log y  y  3x   1.
(1)
Решение. Приведем первое уравнение системы (1) к более простому
виду. Для этого возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию


5
5
2
5
2
у: log y xlog x  y  log y x 2 , и далее log y xlog x  log y y  log y x , log 2y x  1  log y x.
y
Положив
u  log y x ,
y
получим
квадратное
относительно
и
уравнение
5
1
2
u 2  u  1  0 , корни которого u1  2, u2  . Значит, либо log y x  2 , тогда х=у ,
2
2
1
либо log y x  , тогда х  у , т.е. у=х2.
2
Итак, следствием первого уравнения системы (1) является
совокупность уравнений: х=у2; у=х2.
Приведем теперь второе уравнение системы (1) к более простому виду.
Для этого перейдем от логарифма по основанию у к логарифму по основанию
4: log 4 y 
log 4 ( y  3x)
 1, и далее log 4 ( y  3x)  1, откуда у-3х=4. Таким образом,
log 4 y
решение системы (1) мы свели к следующей совокупности систем уравнений:
x  y 2 ,
 y  x2 ,


 y  3x  4;  y  3x  4.
Первая система не имеет решений, вторая система имеет два решения:
(4;16) и
(-1;-1).
Проверка. Решение системы (1) должны удовлетворять следующим
 х  0,
 у  0,
условиям: 
Пара (4;16) этой системе удовлетворяет, а пара (-1;1) –
 у  3х  0,
 у  1.
нет. Значит, (4;16) – единственное решение системы.
II. Закрепление теоретического материала.
Решить системы уравнений:
 3  х  у  2  х  у 65
 х у 1  27,
2х
2у
х
у

64

64

12
,

2

2

12
,


,
 


 
а)  2 
в)  х  у
г )  2 у 5 1
36 б ) 
 3
 ;
64  4 2 ;
 х  у  5;
 ху  х  у  118;
х
3


1

log 5 x  3log3 y  7,
lg x  lg y  lg 2,
log 0.5  y  x   log 2 y  2,
д)  2
е)  y
ж) 
2
 x  512;
 x  y  5;
 х 2  у 2  25.

Решить системы неравенств:
9 x  10  3x  9  0,  x  2
x 1
log 2 2 x  log 2 x  2  0,
3  9  810  0,

б
)
в
)
а)  2


3
.
log 32 x  4 log 3 x  3  0; 4 x  3  2 x  4.
  2
x 1
x
III. Домашнее задание.
Решить системы уравнений:
х
у

2  3  12,
б)
а)  у х

2  3  18.
х
у
у 5 у  6
 х 2 у 9 у  9  8,

 4,
2  9  648, х
х  0 в)  х у
г)  2
 у 2 5 у  6
2 у 9 у  9

 х
 4.
 64.
3  4  432. х
2
2
Решить системы неравенств:
 2  х  8  х 27
 х2  4


,
 0,
   

а)  3   9 
64 б )  х 2  16х  64
 х 2 6 х 3,5
lg x  7  lg x  5  2 lg 2.
 8 2.

2
Литература:
1. Виленкин Н.Я., Кочева А.А., Стеллецкий И.В. Задачник-практикум по
элементарной математике. - М.: Просвещение, 1969.
2. Завало С.Т. Элементарная алгебра. - М.: Просвещение, 1964.
3. Сборник конкурсных задач для поступающих во втузы. Под ред.
М.И.Сканави. - М.: Высшая школа, 1977.