Методичка Математическое моделирование

ГБОУ ВПО МО «Международный университет природы, общества и человека «Дубна»
Дмитровский институт непрерывного образования
С.Г.БОГДАНОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Контрольные задания для студентов
экономических факультетов высших учебных заведений
Дмитров
2014
1
Введение
Человек в процессе своей деятельности часто обращается к схемам, чертежам,
рисункам, формулам, которые являются моделями реально существующих предметов и
явлений. Бесспорно, что модель упрощает и облегчает процесс познания исследуемого
предмета. Модель может быть словесной, графической, информационной и т.д. Такие модели
в основном отражают качественные отношения и свойства изучаемых предметов.
Количественные отношения раскрываются с помощью математических моделей: функций,
формул, уравнений и т.д.
Математическая модель- это не только схематизированное или символическое
описание изучаемого объекта, это и метод теоретизации знаний. Причем область применения
математического
метода
не
ограничена:
« все
виды
движения
могут
изучаться
математически» (А.Н.Колмогоров).
Дисциплина,
предметом
изучения
которой
явлется
процесс
построения
количественных моделей, называют математическим моделированием.
Каждая модель применима лишь в определенных условиях, границах, областях. Нет
оснований доказывать, что модель математического маятника приемлема для периодически
повторяющихся физических процессов и она не может быть также эффективно применена в
экономике, менеджменте.
Поэтому задача курса «Математическое моделирование»- сформировать у студентов
умения построения экономико-математических
деятельности человека.
моделей различных сфер практической
На примере наиболее применяемых моделей в планировании
производства, в транспортных перевозках, в торговых отношениях,
при рациональном
обслуживании населения и взаимодействия человека с природой рассматриваются основные
методы математического моделирования.
Курс «математическое моделирование» базируется на основных разделах высшей
математики: теория функций, линейная алгебра, теория матриц, теория графов, теория
вероятностей и математическая статистика.
Рекомендуется
изучение дисциплины
«Математическое моделирование» как логическое продолжение курса высшей математики.
2
СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.
1 - 10.
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Для изготовления изделий А и В
используется три вида сырья. На производство единицы изделия А расходуется а1 кг сырья 1го вида, а2 кг сырья второго вида, а3 кг сырья третьего вида. На производство единицы
изделия В расходуется в1 кг сырья первого вида, в2 кг сырья 2-го вида, в3 кг сырья 3-го вида.
Производство обеспечено сырьем 1-го вида в количестве Р1 кг, сырьем 2-го вида Р2 кг,
сырьем 3-го вида в количестве Р3 кг.
Прибыль от реализации единицы изделия А составляет  тысяч рублей, а от
реализации изделия В равна  тысяч рублей. Спланировать производство изделий А и В так,
чтобы прибыль от реализации была максимальной.
Решить
задачу
геометрическим
способом. Исходные данные приведены в таблице.
Вариант
Количество сырья
Количество сырья
для изделия А, кг
для изделия В, кг
Общее количество
сырья каждого
вида, кг
Прибыль от
реализации
изделий,
тыс.руб.
а1
а2
а3
в1
в2
в3
Р1
Р2
Р3


1
1
1
2
4
2
1
10
6
9
1
2
2
1
1
2
4
1
2
12
6
10
3
2
3
1
1
2
2
2
1
12
6
9
1
2
4
1
1
2
2
1
1
12
8
14
3
4
5
1
1
2
2
2
1
14
6
9
1
2
6
1
1
2
2
1
1
16
10
16
4
5
7
1
1
2
2
2
1
18
6
9
1
2
8
1
1
5
2
1
1
20
12
20
5
6
9
3
1
2
5
2
1
30
6
9
1
2
10
2
4
3
4
2
5
30
16
45
3
6
3
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА. На базы А1, А2, А3 поступил одновременно груз в
11-20.
количестве а1, а2, а3 единиц запасов.
Этот груз требуется перевезти в пункты В1,В2,В3,В4 соответственно, в количестве в1, в2, в3, в4
единиц. Тарифы
перевозок единицы груза с каждого из пунктов отправления в
соответствующие пункты назначения указаны в таблице. Найти опорный план методом
минимального элемента, а также оптимальный план перевозок данной транспортной задачи
методом потенциалов.
11
Базы
Пункты назначения
Запасы
В1
В2
В3
В4
А1
2
4
3
5
180
А2
6
1
5
4
120
А3
7
2
8
3
150
Потребности
120
80
160
90
12
Базы
Пункты назначения
Запасы
В1
В2
В3
В4
А1
4
7
5
6
120
А2
9
3
1
7
140
А3
2
6
4
5
190
Потребности
90
160
80
120
13
Базы
Пункты назначения
Запасы
В1
В2
В3
В4
А1
6
8
4
5
80
А2
4
2
1
6
190
А3
3
7
5
4
130
Потребности
90
110
130
70
14
Базы
Пункты назначения
Запасы
4
В1
В2
В3
В4
А1
6
4
3
2
80
А2
5
8
1
4
190
А3
3
7
6
5
130
Потребности
90
110
120
80
15
Базы
Пункты назначения
Запасы
В1
В2
В3
В4
А1
7
6
3
5
150
А2
4
1
5
3
140
А3
2
5
6
8
210
Потребности
110
120
180
90
16
Базы
Пункты назначения
Запасы
В1
В2
В3
В4
А1
6
5
2
4
130
А2
3
1
5
6
230
А3
5
7
4
8
140
Потребности
190
80
140
90
17
Базы
Пункты назначения
Запасы
В1
В2
В3
В4
А1
7
6
4
3
150
А2
4
2
5
1
140
А3
6
5
8
7
110
Потребности
100
120
130
50
18
Базы
А1
Пункты назначения
Запасы
В1
В2
В3
В4
4
6
2
8
190
5
А2
5
4
6
1
120
А3
6
7
3
5
140
Потребности
80
130
90
150
19
Базы
Пункты назначения
Запасы
В1
В2
В3
В4
А1
6
4
5
3
160
А2
7
1
6
5
230
А3
2
4
8
7
110
Потребности
200
130
90
80
20
Базы
Пункты назначения
Запасы
В1
В2
В3
В4
А1
5
8
6
3
170
А2
4
6
7
5
130
А3
2
5
5
1
200
Потребности
220
120
90
70
21-30.
ЛИНЕЙНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ.
Доход фирмы Qt в зависимости от времени t представлен в таблице.
t (месяцев)
2
5
7
9
10
13
Qt,(млн.руб)
4
6
8
11
12
15
Используя линейное интерполирование и многочлен Лагранжа определить:
а) доход фирмы Qt после времени t, месяцев;
б) через сколько t доход фирмы достигнет Q?
№ задачи
а) t (месяцев)
б) Qt,(млн.руб)
21
3
14
22
4
13
23
6
10
24
8
9
25
11
7
26
6
14
6
27
8
13
28
3
5
29
4
9
30
11
10
31-40. ТЕОРИЯ ИГР. Найти оптимальные стратегии игроков, нижнею и верхнею цену игры,
если платежная матрица игры имеет вид:
3 N+1 2
5
А= 4
9 3
5
2
3 1 N+10
(N-соответствует последней цифре в номере зачетной книжки студента)
41-50. ТЕОРИЯ ГРАФОВ. Определите критический путь и ранние из возможных сроков
наступления завершающего события и событий под номерами 3 ,5 и 6 по заданному сетевому
графику:
N+1
3
20
1
2
7
3
5
2
7
2
6
8
8
9
N+1
7
3
2
5
9
4
10
2
(N-соответствует последней цифре в номере зачетной книжки студента)
ТЕОРИЯ
51-60.
МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ.
На
автозаправочной
станции
установлены m колонок для выдачи бензина.Около станции находится площадка на l машин
для их ожидания в очереди. На станцию прибывают f машин в минуту. Среднее время
заправки одной машины t =1мин. Требуется
определить вероятность отказа и среднюю
длину очереди. Исходные данные приведены в таблице.
N
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
m
3
2
3
2
1
4
3
2
1
4
l
3
3
2
2
3
3
4
3
4
1
f
2
1
2
1
2
1
2
3
2
2
7
61-70. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ. Предприятие выпускает продукцию
трех видов P 1, Р 2 , Р 3 и использует при этом сырье трех типов S 1 , S 2, S 3 .
Нормы расхода сырья при производстве продукции определяются следующей
матрицей
2 3 4
𝐴 = (3 2 𝑁 )
5 6 7
План выпуска продукции задан матрицей-строкой В = (100; 200; 300), а
стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицей-столбцом
20
𝐶 = (30)
40
Найти:
а) затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции;
б) общую стоимость сырья.
71-80. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГОТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ (БАЛАНСОВЫЙ
АНАЛИЗ)
В таблице приведены данные об исполнении баланса за год в двух от раслях (в млн.
руб.).
Таблица 3
Потребление
Конечный
Валовой
Отрасль
продукт
продукт
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
N
15
85-N
100
Машиностроение
12
17
71
100
Найти необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конеч ное
потребление в машиностроении увеличится вдвое, а в энергетике на 20%.
81-90. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА (МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ)
Три торгующих между собой страны S 1 , S 2, S 3 , бюджет каждой из которых равен
соответственно x 1 , x 2, x 3 , имеют следующую структурную матрицу торговли:
1
0,3
0
𝑁
0
0,5
𝐴 = 0,4
1
0,3 (1 − ) 0,5
(
)
𝑁
При этом весь бюджет каждой страны тратится на закупку товаров либо
внутри страны, либо на импорт из других стран. Найти бюджет стран для
сбалансированной торговли.
91-100.МОДЕЛЬ РАВНОВЕСНЫХ ЦЕН (БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ)
Три отрасли S 1 , S 2, S 3 образуют экономическую систему с валовым выпуском,
8
соответственно, x 1 , x 2, x 3 , и вектором цен 𝑝̅ = (𝑝1, 𝑝2, 𝑝3 ), где р 1 цена единицы продукции i-й отрасли. Часть своего дохода i-я отрасль тратит
на закупку продукции других отраслей. Оставшаяся часть дохода V i , (добавленная
стоимость), идет на выплату зарплаты, налогов и инвестиции. V i , норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу
выпускаемой продукции).
Пусть матрица прямых затрат при товарообмене между отраслями следующая:
0,1 0,2 0,3
𝐴 = (0,2 0,3 0,3)
0,3 0,2 0,3
Вектор норм добавленной стоимости равен 𝑉̅ = (7; 5; 𝑁).
Необходимо выполнить следующее:
а) доказать, что матрицы А, А m - продуктивные, где А m - транспонированная
матрица прямых затрат;
б) найти транспонированную матрицу полных затрат Cm = (E − Am ) −1 ,вектор
равновесных цен для заданной матрицы А и вектора 𝑉̅. При решении использовать
балансовую модель равновесных цен, двойственную к модели Леонтьева;
в) допустим теперь, что в отрасли S 1, произошло увеличение нормы добавленной
стоимости на 25%. Определить новые равновесные цены в этом случае, используя
транспонированную матрицу полных затрат Cm из п. б).
101-110.ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ
Стоимость подачи одного заказа партии деталей на предприятии равна С1=1000
руб., стоимость хранения (издержки) одной детали в запасе за год равна C 2=(100+N)
руб., объем необходимого ежегодного запаса деталей на предприятии составит D
=500 шт.
Найти:
а) оптимальное значение объема заказа q 0 , общую стоимость запасов за год Q 0 и
интервал повторного заказа в днях;
б) экономический размер заказа q 1 если стоимость заказа снижается до С2=900
руб. при объеме заказа более 110 деталей. Изобразить графически общую стоимость
от размера заказа с учетом скидки.
111-120.ПРАВИЛА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Продавец реализует пирожные по цене 13 руб., которые приобретает по оптовой
цене 7 руб. При наличии остатка пирожные продаются в конце дня по 3 руб. за
штуку. Спрос на пирожные в день может составить до 7 шт. Используя правила
принятия решений без использования численных знач ений вероятностей исходов,
найти следующие решения:
а) максимальное (максимизация максимума доходов);
б) максиминное (максимизация минимума доходов);
в) минимаксное (минимизация максимума возможных потерь).
9
121-130.МЕТОДЫ ТЕОРИИ ИГР
Платежная матрица, представляющая результаты сочетаний стратегий A i, Вk парной
игры с нулевой суммой двух игроков А и В, имеет вид:
Ai
Вi
В1
В2
В3
В4
В5
В6
αi
A1
2
-3
4
-5
6
7
A2
-3
4
-5
2
6
5
A3
4
-5
-1
N
7
9
A4
2
-3
-2
5
1
-N
A5
1
4
6
1
-N
2
βk
β
α
Определить максимальную и минимальную стратегии, нижнюю и верхнюю цену
игры.
131-140. Рассчитать величину функции выигрыша 𝑓(𝑥̅ , 𝑦̅)при смешанной стратегии в
парной игре со следующей платежной матрицей и векторами частно стей чистых
стратегий:
4 5
𝐴 = (6 𝑁
5 2
3
1 1 1
1 1
4); 𝑋̅ = (3 ; 3 ; 3); 𝑌̅ = (0; 2 ; 2)
3
Контрольные вопросы для самоподготовки
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Предмет математики. Методы в математике.
Связь математики с реальной действительностью и другими науками.
Принципы математического моделирования.
Функции в математическом моделировании.
Задачи линейного программирования. Опорный и оптимальный планы
задачи линейного программирования.
Геометрическая интерпретация опорного и оптимального планов.
Транспортная задача. Основные методы решения транспортной задачи.
Метод «северо-западного угла». Метод минимального элемента. Метод
потенциалов.
Интерполирование опытных данных. Линейное интерполирование.
Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Эмпирические функции. Метод наименьших квадратов.
Системы массового обслуживания и их классификация.
Сетевые графики.
Элементы теории графов. Критический путь и его вычисление.
Задача коммивояжера.
Основные формулы теории вероятностей.
Стохастические модели.
Линейные модели временных рядов.
Игровые модели. Платежная матрица.
Чистые и смешанные стратегии в матричных играх.
Теорема Неймана теории игр.
Имитационные модели.
Динамические модели.
10
Примерные задачи к зачету(экзамену).
1.Для изготовления изделий А и В имеется 100кг металла. На изготовление одного изделия А
расходуется 2кг металла, а изделия В-4кг. Составить план производства, обеспечивающий
получения наибольшей выручки от продажи изделий, если отпускная стоимость одного
изделия А равна300руб., а изделия В- 200руб, причем изделий А требуется изготовить не
более 40 единиц, а изделий В не более 20 ед. Задачу решить симплекс-методом.
2.На двух складах А и В находится по 90т горючего. Перевозка одной тонны горючего со
склада А в пункты №1,2,3 соответственно стоит 10 ,30 и 50руб., а перевозка одной тонны со
склада В в те же пункты - соответственно 20,50 и 40руб. В каждый пункт надо доставить по
одинаковому количеству тонн горючего. Составить оптимальный план перевозки горючего.
3.Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы
затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей.
2 1 3
А=
1 3 4
Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей В=(10;15). Каковы
общие затраты предприятия на производство 100ед. продукции первого вида,
200ед. продукции второго вида и 150ед. продукции третьего вида?
4. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид
1/3 1/4 1/2
А = 1/3 1/ 2 1/2
1/3 1/4 0
Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.
5. Расход бензина автомобиля m (литров на 100км пути) в зависимости от скорости
v (км/ч) описывается функцией m = 18 - 0,3v+0,003v2 .Оценить относительную
погрешность вычисления расхода бензина при скорости v =90км/ч с точностью
до 5%.
0,2 0,6
6. Исследовать матрицу
А=
0,9 0,3
на продуктивность и выяснить запас продуктивности.
7.В таблице приведены данные об использовании баланса за год в двух отраслях в
млн. руб.
Потребление
Конечный
Валовый
Отрасль
продукт
продукт
Энергетика
Машиностроение
Энергетика
15
14
71
100
Машиностроение
13
17
70
100
Найти необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное
потребление в машиностроении увеличится вдвое, а в энергетике на 20%.
8. Преподаватель и студент института договорились о времени проведения
консультации. Если студент придет рано, то свои потери он оценивает числом
11
-1.Если же преподаватель придет рано, то свои потери студент оценивает
числом – 4.В том случае, когда оба приходят одновременно, то потери для
обоих будут равны нулю. Определить оптимальное поведение преподавателя и
студента.
9. Капитал в 1млрд. руб. может быть размещен в банке под 50% годовых или
инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в
размере100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль
облагается налогом в р %. При каких значениях р вложения в производство
являются более эффективными, нежели чистое размещение капитала в банке.
10.Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в
среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10мин. Определить
абсолютную пропускную способность наладки рабочим станков.
11. Определить вид эмпирической формулы, описывающей соотношения данных из
следующей таблицы:
Х
2
3
4
5
6
7
8
9
10
У
12
35
75
125
210
315
445
600
800
12. Построить многочлен Лагранжа наименьшей степени по данным из таблицы:
Х
У
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

1
10
3
16
6
4
Литература.
Данко П.Е. и Попов А.Б.. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая
школа.
Высшая математика для экономистов. Под редакцией проф. Н.Ш.Кремера. М. Банки
и биржи. ЮНИТИ.
Солодовников А.С. , Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.
Учебник в 2-х частях. Ч 1.Ч 2.М. Финансы истатистика.
Исследование операций в экономике. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М. «Банки и
биржи» ЮНИТИ,
Орлова И.В.Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по
решению задач. М. Вузовский учебник.Инфра-М.2013г.
Панюков А.В. Математическое моделирование экономических процессов. Учебное
пособие.- М.:Книжный дом ЛИБРОКОМ», 2010.
БережнаяЕ.В,, Бережной В.И. Математическое моделирование экономических
систем: Учебное пособие. -2-е изд. .М.: Финансы и статистика, 2005.
Зайцев М.Г. Методы оптимизации управления для менеджеров: Компьютерноориентированный подход: Учеб. Пособие.-М.: Дело, 2002.
12