Решения задач. 10 класс 2007–2008

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИНТЕРНЕТ-ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ 2007/2008 УЧ.
ГОД.
10 КЛАСС
1. РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ
РЕШЕНИЕ.
 x  1
 x  1
x  5  0.
  x  1  0,

x  5  0    x  5  0,  x  5.
 x5

ОТВЕТ: 5.
2. АБСЦИССА ВЕРШИНЫ ПАРАБОЛЫ y  x  4ax  5a РАВНА 4 . НАЙДИТЕ
ОРДИНАТУ ВЕРШИНЫ.
РЕШЕНИЕ. ВЫДЕЛИМ В ЗАДАНИИ ФУНКЦИИ ПОЛНЫЙ КВАДРАТ:
2
y   x  2a   4a 2  5a .
2
ТОГДА КООРДИНАТЫ ВЕРШИНЫ ПАРАБОЛЫ ОПРЕДЕЛИМ ИЗ СООТНОШЕНИЙ
 x0  2a,
 4  2a,
 a  2,





2
2
 y0  4a  5a
 y0  6.
 y0  4a  5a
ОТВЕТ: -6.
3. ЧИСЛО x
УВЕЛИЧИЛИ НА 44%. НА СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ УВЕЛИЧИЛОСЬ
x
?
3
РЕШЕНИЕ. УВЕЛИЧЕННОЕ ЧИСЛО СОСТАВИТ 1,44x , ТОГДА ИЗ ПРОПОРЦИИ
ЧИСЛО
x
3
 100%
1,44 x
3

ОПРЕДЕЛИМ
y%
y
1,2 
x
 100
3
 120% , А, ЗНАЧИТ,
x
3
РАЗНОСТЬ БУДЕТ РАВНА 20%.
ОТВЕТ: 20%.
4. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА a , ПРИ КОТОРЫХ СУММА КВАДРАТОВ
2
КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ x  ax  2  0 РАВНА 13.
РЕШЕНИЕ. ПО ТЕОРЕМЕ ВИЕТА КОРНИ УРАВНЕНИЯ x1 И x2 УДОВЛЕТВОРЯЮТ
 x1  x2  a,
СИСТЕМЕ 
. ВОЗВЕДЕМ ПЕРВОЕ УРАВНЕНИЕ В КВАДРАТ И
x

x


2
 1 2
ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ВТОРЫМ УРАВНЕНИЕМ, ТОГДА ПОЛУЧИМ:
x12  2 x1x2  x22  a 2  x12  x22  a 2  4  a 2  4  13  a  3.
ОТВЕТ: a  3.
5. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ a
ЧИСЛА
3a  a ,
9
a , 3a  9
2
ЯВЛЯЮТСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ?
РЕШЕНИЕ. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ СВОЙСТВОМ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ И
НАЙДЕМ:
 a  1,
9
3a  a  3a  9
a
 3a  a  1  9  a  1  0   a  1  3a  9   0  
2
2
 a  2.
ОТВЕТ:-1;2.
1
 1

6. НАЙДИТЕ f  5  , ЕСЛИ f   3x   9 x 2   9 x 2  .
 3x

1
РЕШЕНИЕ. ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ
 3x  5 , ТОГДА, ВОЗВЕДЯ ЭТО
3x
1
1
2
СООТНОШЕНИЕ В КВАДРАТ, НАЙДЕМ:

2

9
x

25

 9 x 2  27.
2
2
9x
9x
ОТВЕТ: 27.
7. НАЙДИТЕ cos 2

2
,
ЕСЛИ
sin 2

2
 3,5  cos  1,5 .
РЕШЕНИЕ. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ СООТНОШЕНИЯМИ
cos  2cos 2

2
 1, sin 2
1  cos 2

2

2
 1  cos 2
 7cos 2

2

2
. ТОГДА ПОЛУЧИМ:
 3,5  1,5  8cos 2

2
 3  cos 2

3
 .
2 8
3
ОТВЕТ: .
8
8. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА a ИЗ ОТРЕЗКОВ С ДЛИНАМИ
a
1, a  3,  5 МОЖНО СОСТАВИТЬ ТРЕУГОЛЬНИК?
2
РЕШЕНИЕ. ЗАМЕТИМ, ЧТО ДЛИНЫ СТОРОН ТРЕУГОЛЬНИКА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫ,
a  3  0,

ТОГДА  a
 a  3. ТАК КАК СУММА ДЛИН ДВУХ СТОРОН

5

0
 2
ТРЕУГОЛЬНИКА БОЛЬШЕ ДЛИНЫ ТРЕТЬЕЙ СТОРОНЫ, ТО СОСТАВИМ СИСТЕМУ
НЕРАВЕНСТВ

1  a  3  0,5a  5,  a  14,


1  0,5a  5  a  3,   a  18,  14  a  18.
 a  3  0,5a  5  1

2

a  
3

ОТВЕТ: 14;18  .
9. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ 2 x  3 , ЕСЛИ x 4  6 x3  13x 2  12 x 
15
 0.
4
РЕШЕНИЕ. ПЕРЕГРУППИРУЕМ В УРАВНЕНИИ СЛАГАЕМЫЕ И ПОЛУЧИМ:
2
 x4  6x3  9x2    4x2  12x   154  0   x2  3x   4  x2  3x   154  0.
РЕШИВ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ, НАЙДЕМ, ЧТО
x 

 x 2  3 x  2,5,


 2 x  3   3.
 2
 x  3  3
 x  3 x  1,5
 1,2
2
ОТВЕТ:  3 .
 xy 3  x3 y  1080
10.РЕШИТЕ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ 
.
x

y

4

xy

12

 x  0,
 x  0,
РЕШЕНИЕ. ОДЗ СИСТЕМЫ: xy  0  
ИЛИ 
. ПЕРЕПИШЕМ
y

0
y

0


СИСТЕМУ В ВИДЕ
 y xy  x xy  1080,
. ЕСЛИ

x

y

4
xy

12

 x  0,
, ТО

y0
 y  x  xy  1080,
. ИЗ ПЕРВОГО УРАВНЕНИЯ СЛЕДУЕТ, ЧТО y  x  0 , А ИЗ

y

x


12

4
xy

ВТОРОГО, ЧТО y  x  0 . ЗНАЧИТ, РЕШЕНИЙ В СИСТЕМЕ НЕТ.
 x  y  xy  1080,
 x  y  a,
.
О
БОЗНАЧИМ
, ТОГДА


xy

b
,
b

0
x

y

12

4
xy


 xy  225,
a  12  4b,

 x  y  72,
a  72
 x  3,
 2

4
b

12
b

1080

0



.




b

15
x

0,
y


75




b0

 y  0
ОТВЕТ:  3; 75.
11.ЕСЛИ ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО РАЗДЕЛИТЬ НА СУММУ ЕГО ЦИФР, ТО В ЧАСТНОМ
ПОЛУЧИТСЯ 3, А В ОСТАТКЕ 7. ЕСЛИ ИЗ СУММЫ КВАДРАТОВ ЦИФР ЭТОГО
ЧИСЛА ВЫЧЕСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЕГО ЦИФР, ТО В РЕЗУЛЬТАТЕ ПОЛУЧИТСЯ
ДАННОЕ ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО. НАЙТИ ЭТО ЧИСЛО.
РЕШЕНИЕ. ПУСТЬ a  ЦИФРА ДЕСЯТКОВ, b  ЦИФРА ЕДИНИЦ В ЧИСЛЕ, ТОГДА
ЧИСЛО ЗАПИШЕМ КАК 10a  b . СОСТАВИМ ПО УСЛОВИЯМ ЗАДАЧИ СИСТЕМУ
 x  0,
ЕСЛИ 
, ТО
y

0

УРАВНЕНИЙ
10a  b  3  a  b   7,
.
 2
2
a

b

ab

10
a

b

2
ИЗ ПЕРВОГО УРАВНЕНИЯ СЛЕДУЕТ, ЧТО a  1  b . ТАК КАК a  ЦИФРА, ТО b
7
ДЕЛИТСЯ НА 7 БЕЗ ОСТАТКА И МОЖЕТ ПРИНИМАТЬ ДВА ЗНАЧЕНИЯ: 0 ИЛИ 7. В
ПЕРВОМ СЛУЧАЕ a  1 , А ЧИСЛО 10 ДЕЛИТСЯ НА 1 БЕЗ ОСТАТКА. ВО ВТОРОМ
СЛУЧАЕ a  3 , А ЧИСЛО 37 ЯВЛЯЕТСЯ РЕШЕНИЕМ ВТОРОГО УРАВНЕНИЯ, ТО ЕСТЬ
ЯВЛЯЕТСЯ И РЕШЕНИЕМ ЗАДАЧИ.
ОТВЕТ: 37.
12.НАЙДИТЕ МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ y  8 x  6  4  x 2 .
РЕШЕНИЕ. ОДЗ ФУНКЦИИ: 4  x 2  0   2  x  2 . ОЧЕВИДНО, ЧТО
НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИЯ ПРИНИМАЕТ НА ПРОМЕЖУТКЕ  2;0  , ТОГДА
ЗДЕСЬ y  0 , ПОЭТОМУ ФУНКЦИЯ ДОСТИГАЕТ НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ПРИ ТЕХ
ЖЕ
x , ЧТО И y 2 . НАЙДЕМ


y 2  36  4  x 2   96 4  x 2  64 x 2  4 4 4  x 2  3x  400  400 .
2
ТОГДА НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ y  400  20 ПРИ 4 4  x 2  3x  0  x  1,6 .
НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИЯ ПРИНИМАЕТ НА 0;2 ПРИ x  2 . ОНО
СОСТАВЛЯЕТ y  16.
ОТВЕТ:  16;20.