несоразмерная фаза в двумерной модели кристалла с

НЕСОРАЗМЕРНАЯ ФАЗА В ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ КРИСТАЛЛА
С ЧАСТИЦАМИ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
А.В. Самсонов
Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова,
г. Барнаул, Россия
В рамках предложенной автором двумерной модели кристалла с частицами конечных размеров моделируется несоразмерная фаза, возникающая в модели под действием внешнего двухосного давления. Модель
содержит два нелинейных члена, которые, в
зависимости от соотношения параметров,
допускают устойчивость 1q, 2q или 3q модулированных фаз. Численно изучается переход между 1q и 3q фазами, характерный для
кристаллов с гексагональной симметрией.
Модель в деталях воспроизводит последовательность фазовых переходов, наблюдаемых
в кварце (SiO2) при охлаждении, и объясняет
экспериментально наблюдаемое увеличение
температурного интервала 1q фазы при одноосном внешнем давлении.
Для континуального уравнения
utt + Fxuxxxx + 2Fxyuxxyy + Fyuyyyy
2
3
+ Pu
x xx + Pu
y yy + u + Hu + u = 0
,
(1)
u( x, y, t) - неизвестная функция перемещений, Fx , Fxy , Fy - упругие константы анигде
Px , Py - компоненты внешнего давления, H - параметр нелинейной
зотропной среды,
части уравнения.
Пусть
векторы
a = (1,0)
и
b = (−1/ 2, 3 / 2) генерируют гексагональную
решетку с узлами ma+ nb , где m, n - целые
числа. Обратная решетка генерируется век*
*
Гамильтониан двумерной модели, основанной на гексагональной решетке, имеет вид
H=
1
1
um,n (um+1,n + um−1,n ) +
∑(u&m,n )2 + 2 (3Px − Py − 48F)∑
2 m,n
m,n
m,n
+8F ∑um,n (um+2,n+1 + um+1,n+2 + um−1,n+1 + um−2,n−1 + um−1,n−2 + um+1,n−1 ) +
m,n
1
H
1
+ (1− 6Px − 6Py +192F)∑um2 ,n + ∑um3 ,n + ∑um4 ,n .
2
3 m,n
4 m,n
m,n
Возможны различные физические интерпретации модели (2), (3). Мы рассматриваем двумерный слой абсолютно жестких
треугольных частиц (молекул), соединенных
упругими шарнирами. Если угол между осями
двух соседних молекул отличен от нуля, то в
упругом шарнире возникает момент сил,
стремящийся уменьшить абсолютное значение этого угла. Жесткость шарнира обозначена через F . Каждый шарнир имеет одну
степень свободы – перемещение перпендикулярное плоскости ( x, y) . Шарниры испытывают действие потенциала содержащего ангармонические члены третьего и четвертого
порядков. Потенциал призван описать влияние остальной части кристалла на рассматриваемый слой молекул. Модель подвержена
внешнему давлению с компонентами Px , Py ,
действующему вдоль плоскости ( x, y) .
Гармоническая часть уравнения (2) приводит к следующему дисперсионному соотношению
ϖ 2 (κ x ,κ y ) =
= 32F[CxCy (1+ 2Cx + 2Cy ) + Sx Sy (1− 2Cx − 2Cy ) − Cx − Cy ] + (4)
+ 2(3Px − Py − 48F)Cx + 2(2Py − 48F)(CxCy − Sx Sy + Cy ) +
торами a , b .
Дискретный аналог уравнения (1), построенный на гексагональной решетке, имеет вид
где
u&&m,n + (3Px − Py − 48F )(um+1,n + um−1,n ) +
S x = sin(2πκ x )
+ 2(Py − 24F )(um+1,n+1 + um,n+1 + um−1,n−1 + um,n−1 ) +
(2)
+ 16F (um+2,n+1 + um+1,n+2 + um−1,n+1 + um−2,n−1 + um−1,n−2 + um+1,n−1 ) +
+ (1 − 6Px − 6Py + 192F )um,n + Hum2 ,n + um3 ,n = 0,
где мы ограничились случаем изотропной
среды, Fx = Fxy = Fy = F .
ПОЛЗУНОВСКИЙ АЛЬМАНАХ №3 2008
(3)
+( Py − 24F )∑um,n (um+1,n+1 + um,n+1 + um−1,n−1 + um,n−1 ) +
+1− 6Px − 6Py +192F,
Cx = cos(2πκ x )
,
,
Cy = cos(2πκ y )
S y = sin(2πκ y )
,
,
κ = κ x a* + κ y b* .
Мы полагаем упругую константу F и параметр H температурно зависящими. Изменение температуры и/или внешнего давления
Px , Py приводит к движению точки в четы-
153
А.В. САМСОНОВ
рехмерном фазовом пространстве модели и к
возможности фазовых переходов.
Уравнение (2) имеет очевидное тривиальное решение um,n = 0 (нормальная фаза). Это
решение устойчиво, если функция ϖ
2
(κ x , κ y ) ,
заданная уравнением (4), строго положительна.
При изменении параметров модели, функция
(4) изменяется и возможно ее обращение в
нуль в некоторой точке (κ x , κ y ) , что приводит к
появлению мягкой моды
u m , n = Q1 cos[2π ( m κ x + nκ y ) + ϕ 1 ]
(5)
+ Q 2 cos[2π ( m κ x − nκ y ) + ϕ 2 ],
где по крайней мере один из коэффициентов
Q1 ,Q2 отличен от нуля. Если точка (κ x , κ y )
154
лежит на одном из высокосимметричных на*
*
*
*
правлений a , b , или b − a , то уравнение
(5) описывает 1q модулированную фазу, в
противном случае, это может быть 1q или 2q
фаза (в зависимости от значения коэффициентов Q1 и Q2 ). Если структура, определяемая уравнением (5), имеет наименьшую
энергию при обоих Q1 и Q2 отличных от нуля, то это соответствует 2q фазе, если же
один из коэффициентов оказывается равным нулю, то 1q фазе. Если функция (5) обращается в нуль одновременно в нескольких
точках зоны Бриллюэна, то перемещения в
модулированной фазе представляются линейной суперпозицией всех мягких мод (5).
ПОЛЗУНОВСКИЙ АЛЬМАНАХ №3 2008