Теоретический зачет, часть 1. Поверхностные интегралы и теория  поля.   Поверхность, касательная плоскость, площадь поверхности.  

Теоретический зачет, часть 1. Поверхностные интегралы и теория поля. Поверхность, касательная плоскость, площадь поверхности. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Сформулируйте определение двусторонней поверхности.
Приведите пример поверхности, не являющейся двусторонней.
Запишите уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной параметрически.
Запишите выражение для координат вектора нормали к поверхности, заданной
параметрически.
Запишите уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной в форме
z = f ( x, y ) , ( x , y ) ∈ D .
Запишите выражение для координат вектора нормали к поверхности, заданной в форме
z = f ( x, y ) , ( x , y ) ∈ D .
Сформулируйте определение площади поверхности.
Запишите формулу для площади поверхности, заданной в форме z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D .
Запишите формулу для площади поверхности, заданной параметрически.
Сформулируйте теорему о вычислении площади поверхности, заданной уравнением
z = f ( x, y ) , ( x , y ) ∈ D .
Поверхностные интегралы 11.
12.
13.
14.
15.
Сформулируйте определение поверхностного интеграла первого рода.
Сформулируйте теорему о существовании поверхностного интеграла первого рода.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода, если
поверхность задана в параметрической форме.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода, если
поверхность S задана в виде z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D .
Сформулируйте определение поверхностного интеграла второго рода
∫∫ P ( x, y, z ) dydz .
S
16.
Сформулируйте определение поверхностного интеграла второго рода
∫∫ Q ( x, y, z ) dzdx .
S
∫∫ R ( x, y, z ) dxdy .
17.
Сформулируйте определение поверхностного интеграла второго рода
18.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода
∫∫ P ( x, y, z ) dydz , если поверхность S задана в параметрической форме.
19.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода
∫∫ Q ( x, y, z ) dzdx , если поверхность S задана в параметрической форме.
S
S
S
20.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода
∫∫ R ( x, y, z ) dxdy , если поверхность S задана в параметрической форме.
S
21.
Запишите формулу для вычисления поверхностного интеграла второго рода
∫∫ R ( x, y, z ) cos γ dσ , если поверхность S задана в виде z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D γ – угол
S
между нормалью к верхней (нижней) стороне поверхности и осью Oz .
1
Вычисление поверхностных интегралов 22.
Вычислите площадь поверхности S: { z = 3x + 4y , x 2 + y 2 ≤ 1 }.
23.
Вычислите площадь поверхности S: { z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 }.
24.
25.
Вычислите площадь поверхности S: { 2z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 }.
Вычислите площадь поверхности S: { z = xy , x 2 + y 2 ≤ 1 }
26.
Найдите
27.
28.
29.
∫∫ dS , если S : x + y + z = 1 , x ∈ [−1;1] , y ∈ [−1;1] .
Найдите ∫∫ (x + y + z )dS , если S : x + y + z = 1 , x ∈ [−1;1] , y ∈ [−1;1] .
Найдите ∫∫ (x + y + z )dS , если S : x + y + z = 1 ∩ z ≥ 0 .
Найдите ∫∫ ( x + y )ds , если S – граница тела V ={(x, y,z ): x + y ≤ z ≤ 1} .
S
S
2
2
2
S
2
2
2
2
S
30.
Найдите
∫∫ dxdy , если Φ – часть конической поверхности
z 2 = x2 + y2 , 0 ≤ z ≤ 1 ,
Φ
31.
нормаль к которой образует острый угол с осью Oz .
Найдите ∫∫ dydz , если Φ – часть конической поверхности z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1 ,
Φ
32.
нормаль к которой образует острый угол с осью Oz .
Найдите ∫∫ dzdx , если Φ – часть конической поверхности z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1 , x ≥ 0 ,
33.
нормаль к которой образует острый угол с осью Oz .
Найдите ∫∫ dxdy , если Φ – поверхность x + y + z = 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , нормаль
34.
образует острый угол с осью Oz .
Найдите ∫∫ dydz , если Φ – поверхность x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , нормаль
35.
образует острый угол с осью Oz .
Найдите ∫∫ dxdz , если Φ – поверхность x 2 + y 2 = 1 − z , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , нормаль
Φ
Φ
Φ
Φ
образует острый угол с осью Oz .
Приложения поверхностных интегралов 36.
Запишите формулу для вычисления массы гладкой ограниченной поверхности S ,
заданной уравнением z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , с поверхностной плотностью ρ ( x, y, z ) .
37.
Запишите формулу для вычисления массы гладкой ограниченной поверхности S ,
заданной в параметрической форме, с поверхностной плотностью ρ ( x, y, z ) .
38.
Запишите формулу для вычисления x – координаты центра масс гладкой ограниченной
поверхности S , заданной уравнением z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , с поверхностной
плотностью ρ ( x, y, z ) .
39.
40.
Запишите формулу для вычисления x – координаты центра масс гладкой ограниченной
поверхности S , заданной в параметрической форме, с поверхностной плотностью
ρ ( x, y , z ) .
Найдите координаты центра масс части однородной сферы
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 , поверхностная плотность ρ 0 .
2
41.
Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси Ox гладкой
ограниченной поверхности S , заданной уравнением z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , с
поверхностной плотностью ρ ( x, y, z ) .
42.
Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси Ox гладкой
ограниченной поверхности S , заданной в параметрической форме, с поверхностной
плотностью ρ ( x, y, z ) .
43.
Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси Oy гладкой
ограниченной поверхности S , заданной уравнением z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , с
поверхностной плотностью ρ ( x, y, z ) .
44.
Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси Oy гладкой
ограниченной поверхности S , заданной в параметрической форме, с поверхностной
плотностью ρ ( x, y, z ) .
45.
Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси Oz гладкой
ограниченной поверхности S , заданной уравнением z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , с
поверхностной плотностью ρ ( x, y, z ) .
46.
Запишите формулу для вычисления момента инерции относительно оси Oz гладкой
ограниченной поверхности S , заданной в параметрической форме, с поверхностной
плотностью ρ ( x, y, z ) .
Связные множества 47.
48.
49.
Сформулируйте определение связного множества точек в пространстве.
Сформулируйте определение объемно–односвязной области в пространстве. Приведите
пример области, не являющейся объемно-односвязной.
Сформулируйте определение поверхностно–односвязной области в пространстве.
Приведите пример области, не являющейся поверхностно-односвязной.
Формулы Остроградского­Гаусса и Стокса 50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Сформулируйте теорему о формуле Стокса.
Запишите формулу Стокса в векторной форме.
Сформулируйте теорему об условиях независимости криволинейного интеграла второго
рода от пути интегрирования в пространстве.
Сформулируйте теорему о формуле Остроградского-Гаусса.
Запишите формулу Остроградского-Гаусса в векторной форме.
G
Докажите, что циркуляция постоянного векторного поля a вдоль любого замкнутого
кусочно-гладкого контура равна нулю.
G
Докажите, что поток постоянного векторного поля a через любую замкнутую кусочногладкую поверхность равен нулю.
Докажите, что объём V тела, ограниченного гладкой поверхностью S, равен
1
V = ∫∫ ( x cos α + y cos β + z cos γ ) ds , где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы
3 S
внешней нормали к поверхности S.
Используя формулу Остроградского-Гаусса, найдите интеграл
⎛ ⎛ ∂R ∂Q ⎞
⎞
⎛ ∂Q ∂P ⎞
⎛ ∂P ∂R ⎞
∫∫S ⎜⎝ ⎜⎝ ∂y − ∂z ⎟⎠ cos α + ⎜⎝ ∂z − ∂x ⎟⎠ cos β + ⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎠ cos γ ⎟⎠ ds , где S –гладкая поверхность,
ограничивающая область D, cos α , cos β cos γ – направляющие косинусы внешней
3
59.
60.
61.
62.
нормали к поверхности S, функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) имеют в области D
непрерывные частные производные второго порядка.
∂P
Докажите, что ∫∫ P cos α ds = ∫∫∫
dV , если P ( M ) – непрерывно дифференцируемое
∂x
S
G
скалярное поле в простой области G , ограниченной поверхностью S, α - угол между
внешней нормалью к поверхности и осью Ox .
∂Q
Докажите, что ∫∫ Q cos β ds = ∫∫∫
dV , если Q ( M ) – непрерывно дифференцируемое
∂x
S
G
скалярное поле в простой области G , ограниченной поверхностью S, β - угол между
внешней нормалью к поверхности и осью Oy .
∂R
Докажите, что ∫∫ R cos γ ds = ∫∫∫
dV , если R ( M ) – непрерывно дифференцируемое
z
∂
S
G
скалярное поле в простой области G, γ - угол между внешней нормалью к поверхности и
осью Oz .
Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая замкнутую область V , и
u(x,y,z) имеет в V непрерывные частные производные второго порядка, то
∂u
∂u
Δudxdydz , где
- производная по направлению внешней нормали к
∫∫S ∂n ds = ∫∫∫
∂n
V
∂2
∂2
∂2
поверхности S, Δ = 2 + 2 + 2 - оператор Лапласа.
∂x
∂y
∂z
63.
Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая замкнутую область V , и
u(x,y,z) имеет в V непрерывные частные производные второго порядка, .то
⎛ ⎛ ∂u ⎞2 ⎛ ∂u ⎞2 ⎛ ∂u ⎞2 ⎞
∂u
- производная
⎜⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟⎟dxdydz + ∫∫∫ u Δudxdydz , где
∫∫∫
x
y
z
∂
∂
∂
∂
n
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
S
V ⎝
V
⎠
по направлению внешней нормали к поверхности S, Δ − оператор Лапласа.
∫∫ u
64.
∂u
ds =
∂n
Докажите, что если S – гладкая поверхность, ограничивающая замкнутую область V и
функции u(x,y,z) и v(x,y,z) имеют в V непрерывные частные производные второго
∂u
∂u
ds = ∫∫∫ ( grad u ⋅ grad v )dxdydz + ∫∫∫ v Δudxdydz , где
порядка, .то ∫∫ v
∂n
∂n
S
V
V
производная по направлению внешней нормали к поверхности S, Δ − оператор
Лапласа.
Элементы теории поля 65.
66.
67.
68.
69.
70.
Сформулируйте определение градиента скалярного поля в декартовой системе
координат.
Сформулируйте определение дивергенции векторного поля в декартовой системе
координат.
Сформулируйте определение ротора векторного поля в декартовой системе координат.
Сформулируйте определение потенциального поля.
Сформулируйте определение циркуляции векторного поля вдоль кривой.
Сформулируйте необходимое и достаточное условие потенциальности поля,
использующее понятие циркуляции.
4
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
Сформулируйте необходимое и достаточное условие потенциальности поля,
использующее понятие ротора.
G
G
Пусть a – потенциальное поле. Докажите, что rot a = 0 .
G
G
Пусть rot a = 0 в поверхностно–односвязной области. Докажите, что поле a –
потенциальное.
Сформулируйте определение соленоидального векторного поля.
Сформулируйте необходимое и достаточное условие соленоидальности векторного
поля.
Сформулируйте определение потока векторного поля через заданную сторону
поверхности.
Сформулируйте инвариантное определение дивергенции.
Сформулируйте инвариантное определение ротора.
Запишите формулу для grad u в полярных координатах.
Запишите формулу для grad u в цилиндрических координатах.
Запишите формулу для grad u в сферических координатах.
G
Запишите формулу для div a в цилиндрических координатах.
G
Запишите формулу для div a в сферических координатах.
G
Запишите формулу для rot a в сферических координатах.
G
Запишите формулу для rot a в цилиндрических координатах.
Сформулируйте определение оператора Лапласа Δ и запишите его в декартовых
координатах.
Сформулируйте определение оператора Лапласа Δ, используя оператор Гамильтона ∇ .
Запишите формулу для оператора Лапласа в цилиндрических координатах.
Запишите формулу для оператора Лапласа в сферических координатах.
Запишите формулу для оператора Лапласа в полярных координатах.
G
G G G
G G
Используя оператор ∇ , докажите, что div[a , b ] = b rot a − a rot b .
G
G
G
Используя оператор ∇ , докажите, что rot(ua ) = [grad u ⋅ a ] + u rot a .
G
G
G
Используя оператор ∇ , докажите, что div(ua ) = (grad u ⋅ a ) + u div a .
Используя оператор ∇ , докажите, что div(u ⋅ grad v) = (grad u ⋅ grad v) + uΔv .
G
G
G
Используя оператор ∇ , докажите тождество rot(rot a ) = grad div a − Δa .
Используя оператор ∇ , докажите тождество
G
G G
G G
G G
G G
G
rot ⎡⎣ a , b ⎤⎦ = b , ∇ a − ( a , ∇ ) b + a div b − b div a .
(
)
Используя оператор ∇ , докажите тождество
G G
G
G
G G
G
G G
G
grad a , b = ( a , ∇ ) b + b , ∇ a + ⎡⎣ a , rot b ⎤⎦ + ⎡⎣b , rot a ⎤⎦ .
G G G
G
G
G
G
G
G
G
G
Найдите b , ∇ r , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , b = b1i + b2 j + b3k -
( )
( )
(
)
постоянный вектор.
G G
G
G G
G
G
G
G G
Найдите grad(c , r ) , если r = xi + yj + zk , c = c1i + c2 j + c3 k – постоянный вектор.
G G
G
G G
G
G
G
G G
Найдите rot [ c , r ] , если r = xi + yj + zk , c = c1i + c2 j + c3 k – постоянный вектор.
G G G
G
G G
G
G
G
G
G
Найдите div(b (r , c )) , если b = b1i + b2 j + b3 k , c = c1i + c2 j + c3 k – постоянные векторы,
G
G G
G
r = xi + yj + zk .
G G
G
G G
G
G
G
G G
Найдите div [ c , r ] , если r = xi + yj + zk ; c = c1i + c2 j + c3 k – постоянный вектор.
G
G
G
G
G
Найдите div(rc ) , если; r = x 2 + y 2 + z 2 , c = c1i + c2 j + c3 k – постоянный вектор.
5
G G
104. Найдите grad ( r ⋅ ( a , r ) ) , если
G
G
G G
G
G
G
G
r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a3 k − постоянный вектор.
105. Преобразуйте выражение grad(uv) , где u , v – дифференцируемые скалярные поля.
106. Преобразуйте выражение div ( u grad v ) , где u , v – дважды дифференцируемые
скалярные поля.
107. Преобразуйте выражение rot ( u grad v ) , где u , v – дважды дифференцируемые скалярные
поля.
108. Преобразуйте выражение div ( u grad v ) , где u , v – дважды дифференцируемые
скалярные поля.
109. Найдите div ( grad f ( r ) ) , где r = x 2 + y 2 + z 2 и f – дважды дифференцируемая функция.
G
G
G
G
G
G
G
G
G G G
110. Найдите div (r 5 (a , r ) r ) , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a 3k постоянный вектор.
G
G
G
G
G
G
G
G
G G G
111. Найдите rot (r 5 (a , r ) r ) , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a 3k постоянный вектор.
G
G
G
G
G
G
G
G
G G G
112. Найдите rot (r (a , r ) r ) , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a 3k постоянный вектор.
G
G
G
G
G
G
G
G
G G 7
113. Найдите grad r ⋅ (a , r ) , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a 3k -
(
)
постоянный вектор.
G
G
G
G
G
G
G
G
G G
114. Найдите grad (r 7 (a , r ) ) , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a 3k постоянный вектор.
G
G
G
G
115. Найдите div grad (r 4 ) , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 .
G
G
G
G
G
G
G
G
G G 5
116. Найдите div grad (a , r ) , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a 3k -
(
)
постоянный вектор.
G
G
G
G
G
G
G G 4
G
G
117. Найдите grad r ⋅ (a , r ) , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a 3k -
(
)
постоянный вектор.
G
G
G
G
G
G
G
G
G G
118. Найдите div grad (r 2 (a , r ) ) , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a 3k
- постоянный вектор.
G
G
G
G
G
G
G G G
G
G
119. Найдите div (r 2 (a , r ) ⋅ r ) , где r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2 , a = a1i + a2 j + a 3k постоянный вектор.
G
120. При каком значении n верно равенство div ( r ⋅ r n ) = 0 , где
G
G G
G
r = xi + yj + zk , r = x 2 + y 2 + z 2
6