План – конспект урока в 11 классе «Обобщение и

План – конспект урока в 11 классе «Обобщение и
систематизация знаний учащихся по изучению уравнений,
неравенств, методов их решения».
Тема урока: « Решение логарифмических уравнений ».
Цели урока: вспомнить и систематизировать виды логарифмических уравнений,
основные способы решений логарифмических уравнений.
Задачи урока: а) обучающая - формирование знаний о свойствах логарифмической
функции и применении их в решении логарифмических уравнений;
итоговая отработка способов и методов их решения;
б) развивающая - развитие навыков самоконтроля при решении заданий;
развитие навыков взаимоконтроля;
в) воспитательная - формирование грамотной устной и письменной
математической речи учащихся, воспитание ответственного отношения
к учебному труду; воспитание чувства коллективизма.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.
Ход урока:
1. Сообщение целей урока и его плана.
2. а) ответы на вопросы по домашней работе по предыдущей теме(6-7 минут);
б) устная работа по вопросам теории, заданным также на дом:
1. Определение логарифма, натуральный и десятичный логарифмы, примеры;
2. Основное логарифмическое свойство, примеры;
3. Формула логарифма произведения, примеры;
4. Формула логарифма частного, примеры;
5. Формула логарифма степени, примеры;
6. Формула перехода от одного основания логарифма к другому, примеры;
7. Об области определения и монотонности логарифмической функции.
3. Систематизация знаний и умений с использованием заранее заготовленных заданий
(30 минут).
Перед уроком класс разбивается на небольшие группы, в каждой из которой выбирается
ученик – консультант. Этот ученик, как правило, один из наиболее успешных.
Учитель проектирует на экран задание, учащиеся вместе с учителем обсуждают типы
уравнений и методы их решений. Затем решают в тетрадях. После чего, учитель
проектирует на экран решение и окончательный ответ. В ходе проверки комментируются
все применяемые свойства и определения.
Блок№1.
Простейшие уравнения.
1
а) log 1 (2x2 - 2x - 1) = .
2
9
По определению логарифма получаем уравнение 2х2 – 2х – 1 = (

х2 – х – 2 = 0. Ответ: -1; 2.
1
1
б) log25[ log3(2 – log0,5 x)] = - .
5
2
1
)
9
1
2
 2х2 – 2х -1 = 3
1
log3(2 – log0,5 x) = 25-0,5  log3(2 –
5
log0,5x) = 1. Вновь используем определение логарифма: 2 - log0,5 x = 31 , откуда log0,5 x = - 1
1
Получаем х = ( )-1 = 2. Ответ: 2.
2
в) log3 (x2 – 4) = log3 (4x – 7).
Особенностью логарифмических уравнений является появление посторонних корней. Это
связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразования. Поэтому полученные
корни необходимо проверять подстановкой.
 x 2  4 0
ОДЗ данного уравнения задаётся неравенствами 
. Решая эту систему неравенств
4 x  7 0
получаем ОДЗ уравнения х  (2; ∞).
Логарифмическое уравнение заменяем ему равносильным: х2 – 4х + 3 = 0, которое имеет
корни х1 = 1 и х2 = 3. После проверки выявляется посторонний корень х = 1. Ответ: 3.
По определению логарифма получаем уравнение
Блок № 2.
Уравнения, решаемые их преобразованиями.
28
а) 2log3(x – 2) – log3(x2 – 4x +
) = 2.
9
 x  2 0

ОДЗ:  2
28 . Сведём данное уравнение к простейшему:
 x  4 x  9  0
28
) = 2  log3
9
( x  2) 2
2
( x  2) 2
 9 . После
28
28
2
x  4x 
x  4x 
9
9
2
преобразований получим квадратное уравнение: х – 4х + 3 = 0, которое имеет корни
х1 = 1 и х2 = 3. После проверки выявляется посторонний корень х = 1. Ответ: 3.
б) log2 x + log4 x + log8 x = 5,5.
Одним из распространённых преобразований является переход к новому основанию в
log a b
логарифмах: logcb=
.
log a c
В логарифмах перейдём к одному основанию, например числу 2.
log 2 x log 2 x
1
1
log2 x +

 5,5  log2 x + log2 x + log2 x = 5,5 
2
3
log 2 4 log 2 8
6 log2 x + 3 log2 x + 2log2 x = 33  11∙ log2 x = 33  log2 x = 3  x = 23 = 8. Ответ: 8.
log3(x – 2)2 – log3(x2 – 4x +
2
Блок № 3.
Уравнения, решаемые разложением на множители.
Переносим все члены уравнения в левую часть, проводим группировку и раскладываем на
множители:
x  1 log2 (3х2 – 5) + 2 = log2 (3х2 – 5) + 2 x  1 ,
x  1 log2 (3х2 – 5) + 2 - log2 (3х2 – 5) - 2 x  1 = 0,
x  1 log2 (3х2 – 5) - log2 (3х2 – 5) + (2 - 2 x  1 ) = 0,
(log2 (3х2 – 5) – 2)( x  1 - 1) = 0.
Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю.
Получаем два уравнения, которые надо решать, не забывая об ОДЗ уравнения,
а именно
3x 2  5 0
.

 x  1 0
1) log2 (3х2 – 5) – 2 = 0  log2 (3х2 – 5) = 2  3х2 – 5 = 4  х2 = 3  х = 
В ОДЗ входит только х = 3 ;
2) x  1 - 1 = 0  х – 1 = 1  х = 2.
Ответ: 3 ; 2.
3.
Блок № 4.
Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
а) log22(2x – 1) + log2(2x -1) – 2 = 0.
Проведём замену у = log2(2x -1) и получим квадратное уравнение у2 + у – 2 = 0. Его корни
5

x1 
2

2 x  1  2
log 2 (2 x  1)  2
 y1  2
8

. Оба корня входят в ОДЗ
 y  1  log (2 x  1)  1  
x  3
 2
 2
2 x  1  2
2
2

5 3
уравнения. Ответ: ; .
8 2
б) 4 – lg x = 3 lg x .
Проведём замену lg x = у, тогда данное уравнение примет вид у2 + 3у – 4 = 0, корни
уравнения у1 = 1, у2 = -4(посторонний корень). Следовательно, lg x = 1, откуда х = 10.
Ответ: 10.
Блок № 5.
Уравнения, решаемые с помощью их специфики.
Встречаются задачи, решение которых основано на свойствах входящих в них функций.
log2 x = 8  x .
Исследуем монотонность функций, входящих в уравнение. Функция у1 = log2 x –
возрастающая, функция у2 = 8  x - убывающая. Корень уравнения – единственный, это
точка пересечения графиков этих функций. Корень уравнения подбираем (угадываем).
Ответ: 4.
а) приём логарифмирования:
2
3х = х log3 x , найдём логарифм по основанию 3 от обеих частей данного уравнения и
2
используем свойства логарифмов. Получаем: log3 (3x) = log3 (xlog 3 x ) 
log3 3 + log3 x = log3 x2 ∙ log3 x  1 + log3 x = 2log32x . Введём новую переменную
у = log3 x и получим квадратное уравнение 1 + у = 2у2  2у2 – у – 1 = 0, у1 = 1, у2 = -
 x1  3
log 3 x  1
1
 
Вернёмся к х: 
. Ответ: 3;
.
 x2  1
log 3 x   1
3

2

3
б) применение основного логарифмического тождества:
1
.
2
3 х log5 2 + 2 log5 x = 64.
Запишем х в виде х = 5 log5 x =( 2 log2 5 ) log5 x = 2 log2 5 log5 x . Данное уравнение приведётся к виду
3∙ 2 log5 x + 2 log5 x = 64  4 ∙ 2 log5 x = 64  log5 x = 4. Ответ: 625.
Блок № 6.
Уравнения, решаемые графически.
Определить число корней и найти меньший из них log0,5 x = -x2 + 2x – 1.
Построим графики функций у1 = log0,5 x , у2 = -(х – 1)2. Графики пересекаются в точках А и
В. Следовательно, уравнение имеет два корня. Абсцисса точки А меньше абсциссы точки
В. Поэтому меньший корень уравнения х = 1. Ответ: 2 корня, меньший из них 1.
4. Подведение итогов урока. Выставление оценок наиболее активным ученикам,
консультанты тоже принимают участие в оценке работы членов своей группы.
5. Постановка домашнего задания: на экране – логарифмические уравнения:
№ 1. 2 + 6 log8 x = log2 ( 6x + 18).
№ 2. lg (x + 4) + lg (2x + 3) = lg ( 1 – 2x).
№ 3. log2 x + log4 x + log16 x = 7.
2
1
№ 4. х log 2 x  3 log 2 x  5 = .
x
1
Ответы: №1 (3); №2 (-1); №3 (16); №4 (1; ; 16).
2
Необходимо взять несколько заданий из учебника, подойдя к ним дифференцированно. В
домашнюю работу можно включить творческие задания, уравнения такого типа как,
2
а) log3 x ∙ log9 x ∙ log27 x ∙ log81 x = ;
3
б) log2 x + log4 x + log8 x = 11;
3
в) х lg x5 lg x = 0, 0001;
г) logх3 + log3 x = log 3 + log3 x + 0, 5.
x
1
Ответы: а) ; 9, б)64, в)10-2; 10-1; 10; 100, г)2.
9
Связь поддерживается с каждой группой через консультанта. Таким образом, на уроке
используется такая технология обучения, как обучение в сотрудничестве. Ученики
совместно работают над поставленной задачей. Общая оценка работы группы
складывается из оценки общения учащихся в группе наряду с результатами работы.
Каждый член группы, вместе с личной ответственностью за свои успехи, несёт
ответственность за успехи своих согруппников. После совместной работы, необходимо
обсудить, как она проходила в каждой группе, как оказывалась необходимая помощь,
нуждающимся в ней; ученики обсуждают своё поведение; анализируют, что удалось, что
нет, и намечают пути совершенствования своего сотрудничества.
На уроке используется проблемно-поисковый метод обучения: перед каждой группой
ставится задача и, чтобы её решить, надо определить тип уравнения и выбрать способ его
решения. Наряду с систематизацией уже известных знаний, постановка проблемы имеет и
элемент творческой деятельности. Ученикам нравятся такие уроки.
Что касается темы «Решение логарифмических уравнений», интерес учащихся к ней
проявляется в активности при обсуждении способов решения уравнений. Неплохо
усваиваются свойства логарифмов и их применение в решении уравнений. Одна из
проблем решения – проверка корней, ученики её просто забывают сделать. Поэтому,
первое, с чего необходимо начинать обсуждение, это – ОДЗ.
Следующий урок по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств» будет
посвещён решению логарифмических неравенств. В начале урока проводится проверочная
работа на 10-12 минут, в которую можно включить уравнения, которые решаются уже
известными методами, использованными на прошлом уроке и при выполнении домашней
работы.
Приведу пример одного варианта такой проверочной работы:
№ 1.
Решить уравнение: 2 log0,5 x = log0,5 (2x2 – x);
№ 2.
Решить уравнение: (х2 + х – 2) log 1 (3х – 2) = 0;
2
№ 3.
Решить уравнение: lоg4(lоg3(lоg2(х2 + 7х))) = 0;
№ 4.
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (х – а) log2 х = 0 имеет единственное решение.
№ 5.
Выберите наибольшее решение уравнения:
2 log32 х - 7 log3 х = - 3.
Дополнительно: log2x+1(5 + 8x – 4x2) + log5-2x(1 + 4x + 4x2) = 4.
Ответы: №1 (1); №2 (1); №3 (-8; 1); №4 ( (-∞; 0) 
1 );№5 (27);доп.( 1 ; 1).
2
Согласно тематическому планированию на тему «Решение логарифмических уравнений и неравенств»
отводится пять уроков, после которых можно провести тематическую контрольную работу по своей
структуре похожей на ЕГЭ, что является некоторым этапом подготовки к этому испытанию.
Приведу один вариант такой контрольной работы:
log 7
В1. Упростить выражение 2 2 + log575 - log53.
В2. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения log2 (х + 1) = 4.
В3. Решить неравенство log0,4(1,9х – 1, 3) ≥ - 1.
В4. Найти сумму корней уравнения log 1 4x + log5 (x2 + 75) = 1.
5
B5. Найти число целых решений неравенства log22х - log2х ≤ 6.
С1. Пусть (х0; у0) – решение системы
log 3 x  log 9 y  3,
y0

.
log 1 x  log 3 y  3. Найти отношение
x
0
 5
С2. Решите уравнение lg x2 + lg (x + 10)2 = 2 lg 11.
C3. Решите неравенство (х – 1) log 1
3
x+
1
1
2 log x
3
Ответы: В1.1. В2.2. В3.1. В4.20. В5.8. С1.27. С2
-11; 1; -5

14 . С3.(0,5; 1).
≥ 0.
Контрольная работа №2.
Решить уравнения (1-5):
1. 3sin2x – 3cos2x = 12sin x – 7.
Преобразуем уравнение, используя формулы тригонометрии:
3sin2x – 3(1 – 2sin2x) – 12sin x + 7 = 0  9sin2x – 12sin x + 4 = 0. Решением этого
2
уравнения является х = (-1)narksin + πn, n   .
3
2
Ответ: (-1)narksin + πn, n   .
3
2. 3 ∙ 4х + 2 ∙ 9х = 5 ∙ 6х.
Приведём степени, входящие в уравнение, к основаниям 2 и 3 , затем разделим обе части
2
3
уравнения на произведение 3х ∙ 2х. Получим 3 ∙ ( )х + 2 ∙ ( )х = 5. Введём другую
3
2
3
3
переменную ( )х =а, где а > 0, 2а2 – 5а + 3 = 0. Решения этого уравнения а = , а = 1.
2
2
 3 x 3
( 2 )  2 ,
 х  1,
.


х  0
( 3 ) х  ( 3 ) 0
2
 2
Ответ: 1; 0.
3.
1 cos 2 x = sin 2x.
1  cos 2 x  sin 2 2 x,
sin 2 2 x  cos 2 x  1  0,

Данное уравнение равносильно системе: 
0  sin 2 x  1
2n  2 x    2n
sin x  0





n

x



n
,
n



2
πn, где n   .
Ответ: πn, где n   .
 x  n, n  

.Решением уравнения является х =



n

x



n
,
n



2
4. log6 (x -1) + log6 (5x + 3) = 2.
 x1,

3

Данное уравнение равносильно системе:  x  ,
.
5

log 6 ( x  1)(5 x  3)  log 6 36
Решая уравнение 5х2 – 2х – 39 = 0 и учитывая ОДЗ, получаем х = 3 (х = -2,6 – посторон.).
Ответ: 3.
5. sin(2 arcsin x ) = 1.
ОДЗ уравнения: -1 ≤ х ≤ 1.
Решая уравнение вида sint =1, получаем 2 arcsin x =
arcsin x =

4
  , учитывая, что -

2
 arcsin x 

2

2
 2 , где    , откуда
, рассмотрим два случая:
2


  
1) пусть arcsin x   ;0 , тогда - arcsin x =
,  arcsin x = ;х=;
2
4
4
 2 

 
2) пусть arcsin x  0;  , тогда arcsin x =
, х=
4
 2
2
2
Ответ: ;
.
2
2
2
;
2
lg x  lg y  lg 2,
6.  2
2
 x  y  5.
 x 0,
ОДЗ уравнений системы: 
. Используя свойства логарифмов, заменим данную
 y 0
2

x ,

 xy  2,
y

систему ей равносильной:  2

. Второе уравнение системы после

2
4
x

y

5
2

  y 5
 y 2
преобразований переходит в биквадратное y4 – 5y2 + 4 = 0, решая которое получаем корни
у = 2, у = -2(посторонний), у = 1, у = -1(посторонний). Найдём соответствующие значения
 x  1,

 y  2,
переменной х: 
.
 x  2,

 y  1
Ответ: (1; 2), (2; 1).
5 sin x  sin y,
7. 
3 cos x  cos y  2.
5 sin x  sin y,
Перепишем систему в виде: 
. Следствием исходной системы является
2  3 cos x  cos y
уравнение 25sin2x + (2 -3cos x)2 = sin2y + cos2y. Упростим его и получим квадратное
7

cos x  
2

уравнение 4cos x + 3cos x – 7 = 0, решив которое имеем совокупность
4 , первое

cos x  1
уравнение совокупности не имеет решений. Вернёмся к исходной системе
cos x  1,
cos x  1,


 cos y  1, . Необходимо провести отбор корней. Заметим, что
5 sin x  sin y,
3 cos x  cos y  2
5 sin x  sin y


cos x  1,
sin x  0,
если 
то 
. Условию 5sin x = sin y удовлетворяют серии
cos y  1, sin y  0,
cos x  1,

 x  2,   ,
sin x  0


 y    2,   .
cos y  1,

 sin y  0

Ответ: 2πк, к   , π + 2πк, к  
решений:
3 x  2 y  576,
8. 
log 2 ( y  x)  4.
ОДЗ: у-х  0
Используя свойства степеней и логарифмов, преобразуем уравнения системы, (( 2 )4=4):
3 x  2 y  32  2 6 ,
 x  2,
.


y  6
y  x  4
Ответ: (2; 6).
Решите неравенства (9 – 12):
9. log2 log3
x2
0 .
x2
x2
x2
 0 и log3
 0  x  (-∞; -2)  (2; +  ).
x2
x2
Используя свойства логарифмической функции (её возрастание), свойства логарифмов
x2
x2
log 2 1  log 3
log 3 3 
получим неравенство, равносильное данному: log 2 log 3
x2
x2
ОДЗ:
x2
4x
3 
 0 . Применяя метод интервалов, получим решение неравенства
x2
x2
х   ;2  4; . Но учитывая ОДЗ, область верных решений сужается.
Ответ: (-  ; -2)  (4; +  ).
10. 12cos 3x + sin( x 

) ≥ 13.
6
Оценим левую часть неравенства: -12 ≤ 12cos 3x ≤ 12, максимальное значение первого

слагаемого 12. Второе слагаемое может принимать значения -1 ≤ sin( x + ) ≤ 1, а так как
6
оно стоит под знаком модуля, то его максимальное значение 1. Из этих рассуждений
делаем вывод, что левая часть неравенства не может принимать значения большие 13.
Решение неравенства сводится к решению уравнения 12cos 3x + sin( x 
12 cos 3 x  12,

Полученное уравнение равносильно системе: 


sin( x  6 )  1
Ответ:
2

 ;  ,    .
3
3

6
) = 13.
2

 x  3  ,   ,
.


 x   ,   

3
11. (arcsin 2x)2≥ (arcos 2x)2.


, то неравенство можно записать в виде (arcsin 2x)2 ≥ ( 2
2
2
- arcsin 2x) . После возведения в квадрат и преобразований получим неравенство
Так как arcsin 2x + arcos 2x =

2

2
x
,

2
2
1

2 x 

4


x .
arcsin 2x ≥
 arcsin 2x ≥ arcsin

2
2
4
2
4
 1  2 x  1  1  x  1

 2
2
2 1
Ответ: (
; ).
4 2
2x  2x
12.
≥ 0.
x5  x 3
2
Применяя правило раскрытия модуля, рассмотрим три случая:
2x  2x
≥ 0.
2
2
Дробь будет больше нуля, если 2 x -2х ≥ 0, решаем, используя метод интервалов, и
получаем множество решений, входящих в рассматриваемый интервал
х   ;0  1;3.
2
1) х  (-  ; 3), тогда данное неравенство равносильно неравенству
2x  2x
2) х  3;5 , тогда данное неравенство равносильно неравенству
≥ 0.
8  2x
Применяем метод интервалов , получаем множество решений, входящих в
рассматриваемый интервал х  3;4 .
2
2x  2x
3) х  (5; +∞), тогда данное неравенство равносильно неравенству
≥ 0.
2
Дробь будет больше нуля, если числитель будет отрицательным. Решения неравенства
2
2
2 x ≤ 2х не входят в рассматриваемый интервал.
Ответ:  ;0  1;4 .
Решите задачи с параметром:
14. При каких значениях параметра а имеет корни уравнение sin6 x + cos6 x = a sin 4x ?
Так как левая часть уравнения не больше единицы, то левая также аsin 4x ≤ 1, откуда
1
1
, следовательно -1 ≤ ≤1 , откуда -1 ≤ а ≤ 1.
a
a
Ответ: -1 ≤ а ≤ 1.
sin 4x ≤
В.1
1. Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не существует и
почему?
2. Сформулируйте и докажите теорему синусов?
3. Даны векторы р
⃗ {х; −4} и 𝑞 {2; 3}. Найти значение х если р
⃗ ⊥ 𝑞.
В.2
1. Напишите формулы приведения.
2. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
3. Найти скалярное произведение векторов а⃗{−5; 7} и в
⃗ {2; 1}.
В.3
1. Что такое скалярное произведение векторов?
2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника по двум
сторонам и углу между ними.
3. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если АВ = 8 м, АС = 6 м, ВС = 12 м.
В.4
1. Какие два вектора называются перпендикулярными?
2. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их
координаты.
3. Найдите синус угла В треугольника АВС, если АВ = 5 см, АС = 8 см, ∠С = 30∘ .
В.1
1. Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не существует и
почему?
2. Сформулируйте и докажите теорему синусов?
3. Даны векторы р
⃗ {х; −4} и 𝑞 {2; 3}. Найти значение х если р
⃗ ⊥ 𝑞.
В.2
1. Напишите формулы приведения.
2. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
3. Найти скалярное произведение векторов а⃗{−5; 7} и в
⃗ {2; 1}.
В.3
1. Что такое скалярное произведение векторов?
2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника по двум
сторонам и углу между ними.
3. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если АВ = 8 м, АС = 6 м, ВС = 12 м.
В.4
1. Какие два вектора называются перпендикулярными?
2. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их
координаты.
3. Найдите синус угла В треугольника АВС, если АВ = 5 см, АС = 8 см, ∠С = 30∘ .