Решения задач. 11 класс 2007–2008

Решения задач интернет-олимпиады по математике 2007/2008 уч. год.
11 класс
1. Решите уравнение  x  1 x  5  0 .
Решение. См. задачу №1 10 класса.
2. Абсцисса вершины параболы y  x 2  4ax  5a равна 4 . Найдите ординату
вершины.
Решение. См. задачу №2 10 класса.
3. Дано: log8 7  a, log 1 5  b . Найдите log 2 35 .
2
Решение.
Приведем
заданные
логарифмы
к
основанию
2
1
log8 7  log 2 7, log 1 5   log 2 5 , откуда log2 7  3a, log2 5  b . Тогда иско3
2
мый логарифм равен log2 35  log 2 7  log 2 5  3a  b .
Ответ: 3a  b .
4. Число x увеличили на 44%. На сколько процентов увеличилось число
x
?
3
Решение. См. задачу №3 10 класса.
5. Найдите
sin   10cos 
, если tg  3 .
2sin   cos 
Решение. Разделим и числитель, и знаменатель дроби на cos  . Получим
sin   10cos  tg  10 3  10


 1 .
2sin   cos  2tg  1 2  3  1
Ответ: 1 .
6. При каких значениях a числа 3a  a ,
членами арифметической прогрессии?
Решение. См. задачу №5 10 класса.
9
a , 3a  9 являются последовательными
2
7. Сколько различных корней имеет уравнение cos(4 x)  x  x 2  0 ?
Решение. ОДЗ уравнения: x  0;1 . Решение уравнения определится из сово-
1 n

x

 , n

cos
4

x

0
8
4


купности уравнений 
с
учетом
ОДЗ.
Откуда
. Пер2
x

0
x

x

0



x 1
вая совокупность дает значения x из ОДЗ только при n  0;1; 2; 3 .
Ответ: 6 решений.
4
x 3
 2 8
.
x 1
2 x 2
8

3

x
8. Решите систему неравенств 
x
7

2

2
22 x  23 x  43  2 
 x  7
x
Решение. Преобразуем систему 
.




8 8
x 1
x 1
x

1
8

9



 
 9  9
Ответ: x   7;1 .
9. Два автохозяйства отправили несколько машин для перевозки грузов. Число
машин, отправленных из второго автохозяйства, меньше удвоенного числа машин, отправленных из первого. Если бы первое автохозяйство послало на две
машины больше, а второе – на две меньше, то машин из второго автохозяйства
было бы не меньше, чем машин из первого. Сколько машин отправлено из каждого автохозяйства, если всего было отправлено меньше 16 автомашин?
Решение. Пусть x и y - количества машин, посланных соответственно из пер-
 y  2x

вого и второго автохозяйств. Составим систему неравенств  y  2  x  2 . Вычи x  y  16

тая из первого неравенства второе, а затем – из третьего неравенства второе, полу-
 2 x2
x  4
. Откуда 
. Этим неравенствам удовлетворяет единx

2

14

x
x

6


ственное натуральное значение x  5 . Подставляя это значение в первое и второе
 y  10
неравенства системы, получаем систему неравенств для y : 
. Откуда y  9 .
y

9

чаем 
Ответ: 5 и 9 автомашин.
10.Известно, что f  2 x  
x 1
. Найдите корни уравнения f ( x)  1  0 .
2x  3
y
1
y2
2
Решение. Сделаем замену переменной y  2 x . Тогда f  y  
. Вид

y  3 2y  6
функции не зависит от переменной, принятой для обозначения аргумента. Поэтому
f  x 
x2
x2
 1 дает x  4 .
. Решение уравнения
2x  6
2x  6
11. Решите неравенство
Ответ: 4 .
2x  8  x
 0.
x3
Решение. Решим неравенство обобщенным методом интервалов, предварительно установив область определения неравенства x  4, x  3 . Корень знаменателя: x  3 .
Корни числителя определяются из решения иррационального уравнения
 x0
 x0

2x  8  x  
   x  4  x  4 . Отложим корни на числовой оси
2
2 x  8  x
  x  2

и применим метод интервалов (см. Рис.1).
В результате получим: x  (3; 4] .
Ответ: x  (3; 4] .
12. Решите неравенство
log3  x  1  2log3  x 2  3x  2   log3  x  2   log3  x  1  2  0 .
Решение.
Область определения неравенства x  1 . Введем обозначения
a  log3 ( x  1); b  log3 ( x  2) и преобразуем исходное неравенство, разложив
3
второе
слагаемое
на
сумму
логарифмов
3a  2a  2b  ab  2  0  a  2b  ab  2  0  (a  2)(b  1)  0 . Возвратимся к
переменной x и решим методом интервалов полученное неравенство
 log3 ( x  1)  2  log3 ( x  2)  1  0 . Корни левой части
x
8
и x  1 . Откуда с
9
учетом области определения неравенства получаем ответ (см. Рис.2).
Ответ: x   1;  8 

9
1;   .