Функции многих переменных

Векторное
произведение
векторов и его свойства.
Упорядоченная тройка векторов a, b, c называется
правой, если выполняется
одно из условий:
если кротчайший поворот
от 1-го направляющего вектора ко 2-му (от a к b), от 2го к 3-му (от b к c) и от c к a
происходит против часовой
стрелки.
Векторным произведением
двух векторов [a, b] = a × b
называется 3-й вектор c, который удовлетворяет следующим условиям:
1) вектор c  a и b;
2) модуль вектора с равен
площади паралл., построенного на векторах a и b, как
на ребрах;
3) a, b, с обр. правую тройку
векторов;
Sпар=|a||b|sin
Свойства векторного произведения:
1)[a,b]=-[b,a];
2)[a,b]= [a,b];
3)[a+b,d]=[a,d]+b,d];
a=axi+ayj+azk;

i

j

k
 
a  b  ax
ay



az  i (a ybz  azby )  j (azbx  axbz )  k (axby  a ybx );
bx
by
bz
[a,b]=0 – необходимое и достаточное условие коллинеарных векторов;
Смешанное произведение
3-х упорядоченных векторов:
Смешанным произведением
3-х векторов называется
число, модуль которого =
объёму параллелепипеда,
построенного на этих векторах, как на ребрах. И знак
числа “+” если 3-ка векторов правая, иначе “-“.
abc=[a,b] c=a[b,c] – первые 2 направляющих векто-
ра умножаются векторно,
полученный вектор скалярно умножается на 3-й.
abc=bca=cab 
acb=cba=bac (-)
Выражение
смешанного
произведения векторов, заданных своими координатами:
a(ax,ay,az);
b(bx,by,bz);
c(cx,cy,cz);
ax
V  bx
cx
ay
by
cy
az
  
bz  a  b  c ;
cz
az
a
c  z
bz x bz
ax
ax
 cy 
bx
bx
ax
ay
 c  bx
by z
cx
ay
by
cy
az
bz ;
cz
(a)bc=a(b)c=ab(c);
(a+a)bc=abc+abc;
Если векторы ненулевые (ни один), то равенство нулю смешанного произведения является необходимым и достаточным условием комплонарности 3-х
векторов ( т.е. все 3 вектора лежат в одной плоскости).
Линейные преобразования линейного пространства.
V– линейное пространство , в котором каждому элементу x в силу некоторого
закона поставлен элемент этого же пространства (причём ед.);
V;
xV;
yV;
 f 


x 
y  y  f (x);
x – прообраз линейного пространстваж
y – образ;
Преобразование y=f(x) называется линейным, если выполняется 2 условия:
1)f(x+y)=f(x)+f(y);
2)f(x)= f(x);
f(αx+βy)= αf(x)+βf(y);
Рассмотрим n-мерное линейное пространство и в нем (e): e1, e2, …, en.
x=x1e1+x2e2+…+xnen;
Для того, чтобы задать линейное преобразование в этом пространстве,
достаточно задать это преобразование для базисных векторов:
e1=f(e1); e2=f(e2); …; en=f(en);
y=f(x)=f(x1e1+x2e2+…+xnen)= x1f(e1)+x2f(e2)+…+xnf(en)= x1e1+x2e2+…+xnen;
Матрица линейного преобразования.
Пусть f–линейное преобразование линейного пространства, переводящее базис
(e) в базис (e), т.к. (e) – базис, то верны следующие соотношения:
(e) (e);
e1=a11e1+a21e2+…+an1en;
e2=a12e1+a22e2+…+an2en;
en=a1ne1+a2ne2+…+annen;
 a11 a12

a
a
A   21 22
 ... ...
a
 n1 an 2
 a11 a12 ...a1n   1 0 ...0   a11  
a12
...a1n 

 
 

A  E   a21 a22 ...a2n     0 1 ...0    a21 a22   ...a2n ;

 
 

an 2 ...ann   
 an1 an 2 ...ann   0 0 ..1   an1
det(A-E) представляет из себя многочлен степени n относительно ;
det(A-E)=( ) является многочленом степени n относительно , этот многочлен называется характеристическим многочленом линейного оператора. Если
характеристический многочлен линейного оператора приравнять 0, то получим характеристическое уравнение линейного оператора. Корни этого уравнения называются собственными числами или хар. числами оператора или
матрицы.
Собственные векторы линейного оператора или матрицы.
Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора,
если вектор ненулевой.
Свойства собственного вектора: каждый собственный вектор оператора имеет
единственное собственное число.
(x1–xn, a1–an, заглавные и греческие буквы везде не вектора, остальные буквы –
вектора!!! ©автор)
Прямая и плоскость в пространстве:
1)Каноническое уравнение прямой в пространстве:
Прямая в пространстве определяется однозначно, если задана точка, лежащая
на этой прямой M0(x0, y0, z0) и вектор q(m, n, p).

q

q
M0
M(x, y, z)
Если два вектора параллельны, то координаты пропорциональны:
M0M||q
M0M(x-x0, y-y0, z-z0);
x  x0
y  y0
z  z0


;
m
n
p
2)Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки:
c=(cx,cy,cz);
Скалярное
произведение
векторов – сумма произведения одноименных координат.
ay
by
Теорема: Если в базисе (e) линейный оператор имеет матрицу A, а в базисе (e)
этот же оператор имеет матрицу B, тогда det(A-E)=det(B-e), где –
произвольное число; E-единичная матрица порядка r.
det(B-E)=det(T-1AT-T-1ET)=det(T-1(A-E)T)=detT-1det(A-E)detT=det(A-E);
... a1n 

... a2 n  ;

... ... 
... ann 
Матрица A наз. матрицей линейного преобразования или линейным оператором пространства.
Связь между координатами образа и прообраза в одном базисе.
Пусть векторы x, y V, при этом y=f(x) и в базисе (e) пусть
x=x1e1+x2e2+…+xnen, а y= y1e1+y2e2+…+ynen;
y=f(x)=f(x1e1+x2e2+…+xnen)= x1f(e1)+ x2f(e2)+…+xnf(en)=x1(a11e1+ a21e2+…+an1en)+
x2(a12e1+ a22e2+…+an2en)+…+xn(a1ne1+ a2ne2+…+annen)= e1(a11x1+ a12x2+…+a1nxn)+
e2(a21x1+ a22x2+…+a2nxn)+…+en(an1x1+ a2nx2+…+annxn)=y1e1+y2e2+…+ynen.
y1=a11x1+a12x2+…+a1nxn;
y2=a21x1+a22x2+…+a2nxn;
yn=an1x1+an2x2+…+annxn;
 y1 
 x1 
 
 
y   ... ; X   ... ;
 yn 
 xn 
 
 
y=AX;
Каждому линейному преобразованию соответствует матрица линейного
преобразования или линейный оператор. Если имеется квадратная матрица, то
задано линейное преобразование в пространстве.
y=f(x)=Ax;
Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных
базисах.
Пусть в n-мерном пространстве от базиса e к базису e переход с помощью
матрицы T:
T
(e) 

(e) ;
Рассмотрим линейный оператор y=f(x) и пусть в базисе (e) этот оператор имеет
матрицу A:
y=AX – (e); (здесь y – не вектор)
y=BX – (e);
Тогда матрицы A и B связаны соотношением: B=T-1AT;
Т.к. T–матрица перехода от базиса (e) к базису (e), то X=TX-1, Y=TY-1;
AX=ATX;
Т.к. AX=Y и Y=TY, тогда TY=ATX;
Y=T-1ATX;
Y=BX B=T-1AT;
Следствие: если линейный оператор имеет в базисе (e) невырожденную
матрицу A, то матрица этого оператора в любом другом базисе также будет
невырожденной.
debt=detT-1detAdetT0, если detA0;
Характеристическое уравнение линейного оператора.
M
M0
M1
M0(x0, y0, z0);
M1(x1, y1, z1);
M0M(x-x0, y-y0, z-z0);
M0M1(x1-x0, y1-y0, z1-z0);
M0M||M0M1;
x  x0
y  y0
z  z0


;
x1  x0
y1  y0
z1  z0
3)Параметрическое уравнение прямой:
x  x0
m

y  y0
n

z  z0
p
 t;
 x  x0  mt;  x  x0  mt;


 y  y0  n t;   y  y0  n t;
 z  z  p t;
 z  z  p t;
0
0


Если любую точку, заданную в декартовой системе координат соединить с
началом координат, то получим вектор, который называется радиус-вектором.
r=(x, y, z);
r0=(x0, y0, z0);
q=(m, n, p);
r-r0=qt – векторная форма параметрического уравнения прямой; !!!!(r, r0, q, n –
вектора)!!!!
4)Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно
заданному вектору:
Пусть в пространстве задан вектор n=(A, B, C) – нормальный;

M0(x0, y0, z0);
n
M(x, y, z);
M0
M
Условие перпендикулярности векторов: (N, M0M)=0 – векторная форма
уравнения плоскости;
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 – уравнение плоскости, проходящей через заданную
точку, перпендикулярной заданному вектору;
5)Общие уравнения плоскости:
Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)=0;
Ax+By+Cz+D=0; – общее уравнение плоскости;
6)Уравнение плоскости в отрезках:
D0;
Ax+By+Cz=-D;
x
y
z


 1;
D
D
D
A
B
C
D
D
D

 a;
 b;
 c;
A
B
C
x y z
   1;
a b c
a, b, с – точки пересечения плоскости с соответствующими осями координат;
Z
c
b
Y
a
X
7)Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
(M0MM0M1M0M2)=0 – векторная форма;
M1
x  x0
x1  x0
y  y0
y1  y0
z  z0
z1  z0  0;
x2  x0
y2  y0
z2  z0
M(x, y, z)
M0
8)Направляющие косинусы вектора:
M2
Напр. косинусом вектора называется координата
единичного вектора, лежащего на этом векторе:
a=(ax, ay, az);

a  ax2  a y2  az2 ;


 ax a y az
a
  a0    ,  , 
a
 a a a



  cos , cos  , cos ,


где α, β,  – углы, которые данный вектор составляет с соответствующими
осями координат.
cos2α+cos2β +cos2=1;
9)Нормальное уравнение плоскости:
r=OM;
прn0OM=p;
прn0r=p;
(r, n)=|n0| прn0r= прn0r;
(r, n0)-p=0, p0;
r=(x, y, z);
n0=( cosα, cosβ, cos);
cosαx+cosβy+cosz-p=0 – нормальное уравнение плоскости;
Ax+By+Cz+D=0;

n  A2  B 2  C 2 ;

1
A2  B 2  C 2
1
  ;
n
знак выбирается противоположно знаку D;
D<0;
Ax By Cz D
        0;
n
n
n
n
cosαx+cosβy+cosz-p=0;
10)Условие параллельности двух прямых:
30Общий вид ур-я второго порядка: ax2+cy2+2dx+2ey+f=0
преобразование: a(x2+2dx/a+d2/a2-d2/a2)+c(y2+2ey/c+e2/c2-e2/c2)+f=0
a(x+d/a)2+c(y+e/c)2=(d2/a2+d2/c2-f) - - K X=x+d/a Y=y+e/c
AX2+CY2=K
1)если A*C>0 – кривые элиптического типа а)K>0 – элипс
б)К<0 – мнимый элипс в)K=0 – (0,0)-нов. Начало координат
2)A*C<0 – гиперболического (A>0,C<0) a)гипербола с действ.осью X
б)гипербола с действ. Осью Y в)y=(√A/√C )*X – 2 пересек. Прямые,
проход. Черезначало коорд.
3)A*C=0 – параболического A>0 C=0 a(x+d/a)2+2ey-d2/a2+f=0
A(x+d/a)2+2ey=k A(x+d/a)2=(k-2ey) AX2= - 2e(y – k/2e) - - Y
X2=2pY p= - e/A парабола в нов. Системе коорд.OY-ось симметр.
Ветви вверх. Если e<0 и вниз если e>0
31Число a наз. Пределом функции f(x) при x→x0,если для любого ε>0
(сколь угодно малого, наперед выбранного) найдется такое δ зависящее
от ε и x0,что как только x будет удовл. неравенству │x-x0│< δ => функц.
F(x) будет удовл. неравенству │f(x)-a│<ε
δ - окрестность x0 , x0 – δ<x< x0+ δ существ. Проколотая окрестность x0:
U δ ( x0 )/ x0 = Ủ δ ( x0 ) если окрестность проколотая, то это значит, что
Предела в x0 может и не быть.Бесконечность явл. Пределом f(x) при
x→ x0 если для любого числа М>0 найдется такое δ зависящее от М, что
как только x попадет в проколотую окрестность точки x0 ,f(x) попадает в
окрестность бесконечности
1)lim(x→ x0 ) f(x)=∞ ¥ ε>0 Ξ δ>0: xЄ Ủ δ ( x0 ) => f(x) Є Uε (∞)
2)lim(x→ ∞ ) f(x)=a ¥ ε>0 Ξ δ>0: xЄ U δ ( ∞ ) => f(x) Є Uε (a)
3)lim(x→ ∞ ) f(x)=∞ ¥ ε>0 Ξ δ>0: xЄ U δ ( ∞ ) => f(x) Є Uε (∞)
Односторонние пределы:
Левая окрестность: x0 – δ<x< x0 Правая окрестность: x0 <x< x0+ δ
1)lim(x→ x0-0 ) f(x)=a ¥ ε>0 Ξ δ>0: x0 – δ<x< x0 =>│ f(x0-0)-a │<ε
1)lim(x→ x0+0 ) f(x)=b ¥ ε>0 Ξ δ>0: x0 <x< x0+ δ =>│ f(x0+0)-b │<ε
Свойства пределов:
1)фундаментальное: если lim(x→ x0) f(x)=a f(x)=a+α
д-во:
lim(x→ x0 ) f(x)=a ¥ ε>0 Ξ δ>0: │ x- x0│ < δ =>│ f(x)-a │<ε
│ f(x)-a │= α  f(x)-a = α f(x)=a+ α
2)Предел суммы конечн. числа функций =сумме пределов этих функций
д-во: lim(x→ x0 ) (f(x)+s(x))= lim(x→ x0 ) f(x)+ lim(x→ x0 ) s(x)=a+b
lim(x→ x0 ) f(x)=a f(x)=a+α
lim(x→ x0 ) s(x)=b  f(s)=b+β
lim(x→ x0 ) (f(x)+s(x))= :
lim(x→ x0 ) (a+α +
b+β)=a+b+ lim(x→ x0 )
(α+β)=a+b
3)Предел произведения
равен произведению
пределов
Константу можно выносить за знак предела
4) lim(x→ x0 )(f(x)/s(x))=
lim(x→ x0 )(f(x))/ lim(x→ x0
)(s(x))=a/b (lim(x→ x0 )
(s(x))≠0
д-во: lim(x→ x0
)(f(x)/s(x))=(a+α)/(b+β)=a
/b+(a+α)/(b+β)- a/b= a/b=
= lim(x→ x0 )(f(x))/ lim(x→
x0 )(s(x)) ч.т.д.
5)f(x)≥0 и lim(x→ x0
)(f(x))=a то а≥0
д-во: lim(x→ x0 ) f(x)=a
¥ ε>0 Ξ δ>0: │ x- x0│
< δ =>│ f(x)-a │<ε
пусть a<0 =>│ f(x)-a
│>a =>│ f(x)-a │≠<ε =>
f(x)≠a утвер.неверно
6)f(x)≤s(x) lim(x→ x0 )
f(x)=a lim(x→ x0 ) s(x)=b
=> a≤b
д-во g(x)=s(x)-f(x)≥0 =>
lim(x→ x0 )(s(x)-f(x))=ba≥0 =>a≤b ч.т.д.
7)Теорема о промежуточных значениях: если
s(x) ≤f(x)≤g(x)
lim(x→ x0 ) g(x)=a , lim(x→
x0 ) s(x)=a => lim(x→ x0 )
f(x)=a
д-во: lim(x→ x0 ) s(x)=a
¥ ε>0 Ξ δ>0: │ x- x0│
< δ1 =>│ s(x)-a │<ε
-ε<s(x)-a<ε ,lim(x→ x0 )
g(x)=a ¥ ε>0 Ξ δ>0: │
x- x0│ < δ2 =>│ g(x)-a
│<ε
-ε<g(x)-a<ε , -ε<s(x)-a
≤f(x)-a≤g(x)-a<ε
(δ=min(δ1; δ2) =>│ f(x)a │<ε,когда
│ x- x0│ < δ => lim(x→ x0 )
f(x)=a ч.т.д.
8)y=f(x), lim(x→ x0 ) f(x)=a
¥ ε>0 Ξ δ1>0:│ x- x0│
< δ1 и Ξ δ2>0:│ x- x0│<
δ2
=>ρ(x1,x2)= │ x1- x2│ <
δ =>│ f(x1)-f(x2)│<ε
,где δ=min(δ1; δ2)
Это условие необходимо и достаточно
32Замечательные пределы 1) lim(x→ ∞ )
(sinx/x)=1
2) => lim(x→ ∞ )
(1+1/x)x=e xn= (1+1/n)n
неравенство Бернули:
xn= (1+1/n)n≥1+n/n=2 =>
yn= xn* (1+1/n)>2
yn= ((n+1)/n)n+1 , yn-1=
(n/(n-1))n yn-1/ yn=…..
((n1)/n)*(1+1/(n2+1))n+1>((n1)/n)*(1+(n+1)/(n2+1))=
….=1 => yn-1/ yn>1,
yn-1>yn
=>последовательность
строго убывающая ,
ограниченая =>
имеет предел : lim(n→ ∞
)yn= lim(n→ ∞ ) xn*
(1+1/n)= lim(n→ ∞ ) xn*
lim(n→ ∞ )(1+1/n)=
lim(n→ ∞ ) xn= lim(n→ ∞ )
(1+1/n)n=e
(неопределенность 1∞)
33Непрерывные функции: y=f(x)
наз.непрерывной в т.
x0,если
вып.след.условия:
1) y=f(x) сущ.в т. x0,
2)Сущ.левый и правый
предел т. x0 3)все эти
пределы равны
между собой Св-ва:
если функция непрерывна ,то символы
функции и предела
можно менять местами
1)если f(x) непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке достигает своего
наибольшего и наименьшего значений
2) если f(x) непрерывна на отрезке,f(x1)=A и f(x2)=B, и мы возьмем число
A<C<B,то обязательно найдется 1 точка ,такая, что x1<x<x2 f(x)=C
3)если ф-я на концах отрезка принимает значения разных знаков,то
внутри этого отрезка найдется хотя бы 1 т.z такая что,f(z)=0
4)если ф-и непрерывны на [a;b],то сумма , разность и произведение этих ф-й
есть ф-я, непрерывная на этом отрезке,и также частное,если ф-я,стоящ.в
знаменателе нигде на отрезке не=0
5)ф-я U=f(y) наз.сложной функцией (y=s(x)) U=f(y)=f(s(x))=g(x)
y=s(x) –промеж.аргумент g(x) –композиция 2-х функций
Функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
Если композиция состоит из непрерывных функций на одном отрезке,
То композиция также явл.непрерывной.Непрерывная функция от непрерывных
Промежуточных аргументов всегда непрерывна.
Точки разрыва и их классификация: 1)Если в т.x0 y=f(x) не сущ.или =
∞,тогда
Т.разрыва наз.точкой разрыва 2-го рода
2)Если либо левый либо правый предел не сущ.или =∞,или не равны друг
другу,
тогда x0 – точка разрыва 1-го рода,или точка конечного скачка.
3)Если конечные равные односторонние пределы не= значению функции в т
x0,
то т.x0 наз.устранимой точкой разрыва.
34Производной от непрерывной ф-и в точке наз. Предел приращения ф-и к
приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к 0
произвольным образом (когда предел сущ.) Физич.смысл: мнгновенная
скорость в точке, Геометр.смысл: tg угла наклона касательной, проведенной
к графику в этой точке.
Ф-я наз.дифференцируемой в точке,если она в этой точке имеет производную.
Ф-я наз.дифференцируемой на отрезке ,если она в каждой внутренней точке
отрезка имеет производную,в левом конце отрезка имеет правый предел, а
в правом – левый.Если ф-я имеет произв.в точке,то она непрерывна в этой
точке,но если ф-я непрерывна, то это не значит что она имеет производную.
Δy/Δx=a+α Δy=ỳ *Δx+ α *Δx (α-бесконечно малая)
Дифференциал: dy=ỳ(x) Δx - главная линейная часть приращения.
Поверхность имеет 3 координатные плоскости
симметрии. 3 2оси симметрии
и один центр.
2
2
Однополосный гиперболоид: x  y  z  1
a 2 b2 c2
Двуполостный гиперболоид:------ x 2 y 2 z 2


 1
a2 b2 c2
Эллиптический параболоид:-----------x2 y2
 2 z
2
a
b2
Гиперболический параболоид:__________
x
y2

z
a 2 b2
Конической поверхностью называется поверхность образованная вращением прямой закреплённой в одной точке и перемещающейся вдоль некоторой
пространственной кривой.
Конусом второго порядка называется поверхность которая состоит из геометрического места точек, удовлетворяющих уравнению:
Поверхность имеет 3 плоскости симметрии, 3 оси симметрии
x2 y2 z 2

  0 и точку симметрии M(x,y,z)
a 2 b2 c2
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямой параллельно самой себе вдоль некоторой линии.
 x2 y2
 x2 y2
 2  2  1 уравнение эллиптического
 2  2  1 гиперболический
b
b
a
a
цилиндра
цилиндр
z  0
z  0


y2=2px, при z=0 - уравнение параболического цилиндра.
–две прямые, заданные в каноническом виде, параллельны тогда и только
тогда, когда их направляющие векторы параллельны;
x  x1
y  y1
z  z1


 t; (l1)
m1
n1
p1
x  x2
m2

(l1)||(l2)
y  y2
n2
m1
m2

z  z2

n1
n2
p2

p1
p2
 t; (l2)
;
Общее уравнение прямой в пространстве:
Прямая в пространстве может быть задана, как линия пересечения двух
плоскостей:
{(p1): A1x+B1y+C1z+D1=0;
{(p2): A2x+B2y+C2z+D2=0;
A1/A2B1/B2=C1/C2;
Для того, чтобы две плоскости пересеклись, в условии параллельности должно
нарушиться хотя бы одно равенство.
Условие параллельности прямой и плоскости:
пусть прямая задана в каноническом виде, а плоскость в общем виде
(Ax+By+Cz+D=0), тогда условие параллельности имеет вид: Am+Bn+Cp=0;
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
Прямая на плоскости. Если прямую в пространстве спроектировать на одну из
плоскостей, то мы получим прямую на плоскости.
x  x0 y  y 0
1) Каноническое уравнение прямой:

m
n
2) Уравнение прямой через 2 точки:
x  x1
y  y1

x2  x1 y 2  y1
3) Параметрические уравнения прямой:
x=x0+mt
y=y0+nt
4) Нормальное уравнение прямой:
xcos+ycos-p=0 -----------------------------5) Общее уравнение прямой на плоскости:
 
Ax+By+C=0
n=(A,B)
Если А, В, С – не равны нулю, то общее уравнение называется полным
Исследование не полного уравнения прямой на плоскости:
а) С=0, Ax+By =0 => прямая проходит через начало координат.
б) А=0, By+C=0, y=-C/В - прямая параллельна ОХ.
в) В=0, Ах+C=0, y=-C/А - прямая параллельна ОY.
г) А=0, С=0 - By=0, y=0 - ось ОХ.
д) В=0, С=0 - Ах=0, х=0 - ось ОY.
6) Уравнение прямой через 2 точки: x  x
y  y1
1
y  y1

y  y1  2
( x  x1 )
x2  x1 y 2  y1
x x
2
A B C


 ( p)  (l );
m
n
p
k
уравнение прямой проходящей через заданную точку с
угловым коэффициентом k=tgα
N2
M1
α y2-y1
y-y0=n/m(x-x0), k=n/m
x  x0 y  y 0

y1
x2-x1
N1
m
n , y-y0=k(x-x0), q=(m,n)
Угол между прямой и плоскостью:
(p) Ax+By+Cz+D=0;
y2
x  x0
y  y0
z  z0


;
m
n
p

q
n
M0

n


q

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её
пр-ей на плоскость.
cos=sin;

n=(A, B, C);
nq
cos     sin  ; q=(m, n, p);
nq
Am  Bm  Cp
sin 
A2  B 2  C 2 
1
y 2  y1
=> y-y1=k(x-x1)
x2  x1
;
m2  n 2  p 2
Расстояние от точки до плоскости:
Для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно в нормальное
уравнение плоскости подставить координаты этой точки и взять модуль
полученного числа:
  x0 cos  y0 cos   z0 cos  p 
Ax0  By0  Cz0
A  B C
2
2
2
p ,
где
D
p  ;
n
Ax+By+Cz+D=0;
1
  ;
n
D
A
B
C
D  =p0;
  x0    y0    z0    0n;
n
n
n
n
Ax0  By0  Cz0  D

;

 n
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ. Углом между прямыми в пространстве
будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным
Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями
x2
x1
7) Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y-y0=k(x-x0)=> y=kx+(y0-kx0)
b y
tgα=k
y=kx+b
α
x
8) Полное общее уравнение прямой:
x
y
Ax+By+C=0, А≠0, В≠0, С≠0

1
C C
-С/A=a; -C/B=b;
A
B
x/a+y/b=1
9) Угол φ между двумя прямыми l1 и l2:
k1=tga1 k2=tgα2 φ=α2-α1
l1||l2 => k1=k2
l1l2 => tg=0 =>k1= -1/k2 - обратны по величине и знаку.
Кривые второго порядка.
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от
которых до двух заданных точек называется фокусами есть величина постоянная равная 2a. M(x,y); F1(-c,0); F2(c,0); F1F2=2c
r1=MF2; r2=MF2; - фокальные радиусы.
r1+r2=2a - уравнение эллипса.
Для того, что бы получить каноническое ур-ие распишем его в координатах:
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a
( x  c ) 2  y 2  2a  ( x  c ) 2  y 2
( x  c ) 2  y 2  4a 2  ( x  c ) 2  y 2  4a ( x  c ) 2  y 2
4cx  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2
a2((x-c) 2+y2)=(a2-cx) 2
a2(x2-2cx+c 2+y2)=a4-2a2cx+c2x2
a2x2-c2x2=a4-a2c2-a2y2
x2 (a2-c2)+a2y2= a2(a2-c2) Обозначим a2-c2=b2
x2b2+a2y2= a2b2
x2 y2

 1 - каноническое уравнение эллипса.
a2 b2
Гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности
расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная
равная 2a. Заданные точки называются фокусами.
r1=MF2; r2=MF2; |r1-r2|=2a
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2a
( x  c ) 2  y 2  2a  ( x  c ) 2  y 2
4cx  4a 2 4a ( x  c) 2  y 2
cx  a 2  a ( x  c) 2  y 2
c2x2-2cxa2+a4=a2(x2-2cx+c2+y2)
c2x2+a4=a2x2+a2c2+a2y2
x2(c2+a2)=a2(-a2+c2)+a2y2
x2b2=a2b2+a2y2
x2 y2

1 a2 b2
c2-a2=b2
каноническое уравнение эллипса.
Параболой называется геометрическое место точек, расстояния от
которых до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой,
называемой директрисой, равно.
Используя формулу расстояния между двумя точками, получим:
r  (x 
Согласно определению:
p 2
)  y2
2
(x 
,
d
p
x
2
p 2
p
)  y2   x ,
2
2
p2
p2
x  px 
 y2 
 px  x 2
4
4
и окончательно получим:
y2=2px – каноническое уравнение параболы.
Если вершина параболы находиться в точке M0(x0,y0,), тогда
(y-y0)2=2p(x-x0)
Поверхности вращения.
Эллипсоид вращения.
Вокруг оси OY:
Вокруг оси OX:
2
y 2 x2 z 2
  1
a 2 b2 b2
x2 y2 z2


1
a2 b2 b2
Однополосный гиперболоид.
Вращение вокруг оси OZ:
Вращение вокруг OY:
x2 y2 z 2
x2 y 2 z 2
 2  2  2 1
 2  2 1
2
a
b
a
b
b
a
В случае вращения вокруг OZ, там где минус будет главная ось
(т.е. –z2/a2 => z – является главной осью гиперболического параболоида).
Параболоид вращения. Вокруг оси OY: x2+z2=2py
Поверхности второго порядка.
Если в совокупности переменные не превосходят второй степени, то поверхность называется поверхностью второго порядка. Выпишем канонические
уравнения поверхностей второго порядка.
Эллипсоид в отличии от эллипсоида вращения имеет такое уравнение:
x2 y2 z 2


1
a 2 b2 c2