ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
----------------------------------------------------------------------------------------------------
УТВЕРЖДАЮ:
Декан ИЭФ
__________Н.И. Гвоздев
« » ___________ 200_ г.
МАТЕМАТИКА
Рабочая программа для специальности
060800(080502) “Экономика и управление на предприятии (по отраслям)”
Факультет автоматики и вычислительной техники (АВТФ)
Обеспечивающая кафедра прикладной математики
Курс – 1,2
Семестр - 1,2,3
Учебный план набора 2005 года с изменениями ______ года
Распределение учебного времени
Лекции
Практические занятия
Всего аудиторных занятий
Самостоятельная (внеаудиторная) работа
Общая трудоемкость
Экзамен в 1,2 и 3 семестре
53 часа (ауд.)
159 часов (ауд.)
212 часов
318 часов
530 часов
2007 г.
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
Предисловие
1. Рабочая программа составлена на основе ГОС для специальности 080502 “Экономика и
управление на предприятии (по отраслям)”, утвержденного Госкомитетом РФ от 17 марта
2000г., регистрационный № 238 эк/сп и стандарта СТП ТПУ 2.4.01-02 “Система образовательных стандартов. Рабочая программа учебной дисциплины. Общие требования к содержанию и оформлению”.
РАССМОТРЕНА и ОДОБРЕНА на заседании обеспечивающей кафедры прикладной математики 30 августа 2007 г. протокол № 119.
2. Разработчик
доцент кафедры ПМ
____________ Д.Ю. Степанов
3.Зав. обеспечивающей кафедрой ПМ
профессор
___________ В.П.Григорьев
4. Рабочая программа СОГЛАСОВАНА с факультетом, выпускающими кафедрами специальности; СОООТВЕТСТВУЕТ действующему плану.
5. Зав. выпускающей кафедрой менеджмента
профессор
____________ И.Е. Никулина
Аннотация
Рабочая программа по курсу “Математика” для студентов специальности 0805002 “
Экономика и управление на предприятии (по отраслям) ”, содержит цели и задачи курса,
его место в учебном процессе, теоретические и практические разделы дисциплины, программу самостоятельной познавательной деятельности, текущий и итоговый контроль, а
также учебно-методическое обеспечение дисциплины.
Разработчик Д.Ю.Степанов, кафедра прикладной математики, АВТФ, e-mail:
sdu@am.tpu.ru.
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
2
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
1. Цели и задачи курса, его место в учебном процессе
Современный уровень требований, предъявляемых в экономической теории и
практике, обязывает специалистов этого профиля постоянно знакомиться с передовыми
идеями модельной структуризации и анализа.
Большую роль в экономическом моделировании играют методы математического
программирования и сетевого планирования, опирающиеся на линейную алгебру, анализ
функций одной и многих переменных. Кроме того, при исследовании динамических процессов в экономике, широко используются для их описания обыкновенные дифференциальные уравнения и некоторые другие разделы математики. По всем этим вопросам имеется много специальной литературы, изучение которой требует серьезной математической
подготовки.
Цель курса высшей математики - овладение студентами необходимым математическим аппаратом, помогающим анализировать, моделировать и решать прикладные экономические задачи.
Цели преподавания курса "Математика":
 Обучение применению предусмотренных программой определений, связей между ними, изучение общих свойств математических объектов, методов решения задач.
 Воспитание у студентов отношения к математике как к инструменту исследования и
решения прикладных задач, необходимому в их дальнейшей работе.
 Развитие у студентов логического мышления, математической культуры, воспитание
обстоятельной аргументации.
2. Содержание теоретического материала
Первый семестр (18 часов).
Модуль 1. Матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений (6
часов).
1. Матрицы. Частные виды матриц. Линейные операции над матрицами. Свойства линейных операций. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Определители 2-го и 3-го
порядков.
2. Определение определителя n-го порядка. Обратная матрица. Миноры и алгебраические
дополнения. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.
3. СЛАУ. Матричная запись уравнений. Теорема Кронекера. Матричный метод решения
СЛАУ. Формулы Крамера. Метод Гаусса.
Модуль 2. Векторная алгебра. (4 ч.)
4. Определение вектора. Линейные операции над векторами и их свойства. Коллинеарные
и компланарные вектора. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов и его свойства.
5. Смешанное произведение векторов. Проекция вектора на ось. Понятие базиса. Разложение вектора по базису. Декартова система координат. Выражение операций над векторами
в координатной форме.
Модуль 3. Аналитическая геометрия. (6 ч.)
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
3
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
6. Уравнение линии на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Каноническое
и параметрическое уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Уравнение прямой,
проходящей через 2 точки.
7. Каноническое и параметрическое уравнение плоскости. Уравнение плоскости проходящей через 3 точки. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола и их свойства.
Модуль 4. Комплексные числа (2 ч.)
9. Комплексные числа. Алгебраическая форма и действия над ними. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Возведение в степень комплексного числа. Формула Муавра. Корни n-й степени из комплексного числа.
Второй семестр (лекций 16 часов)
Модуль 1: Функции одной переменной. (4 ч.)
1. Функции. Основные понятия и определения. Свойства функций. Числовые последовательности. Общий член числовой последовательности и его предел.
2. Предел функции в точке по Коши. Односторонние пределы функций. Замечательные
пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых
величин и бесконечно больших величин. Непрерывность функции. Точки разрыва. Разрывы 1-го и 2-го рода.
Модуль 2: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. (6 ч.)
3.Производная. Геометрический, физический и экономический смысл производной. Основные правила дифференцирования функций. Дифференциал.
4.Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование параметрически заданной
функции. Дифференцирование неявно заданной функции.
5. Приложения производной: раскрытие неопределенностей по правилу ЛопиталяБернулли, признаки возрастания и убывания функций, экстремумы функций, направления
выпуклости функции. Полное исследование функции. Построение графиков.
Модуль 3: Неопределенный интеграл. (2 ч.)
6. Примеры задач, приводящих к понятию первообразной. Определение первообразной.
Неопределенный интеграл и его свойства. Непосредственное интегрирование. Интегрирование заменой переменной и по частям.
Модуль 4: Определенный интеграл. (4 ч.)
7. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла. Теорема Ньютона-Лейбница.
8. Методы вычисления определенного интеграла. Применение определенного интеграла к
вычислению площадей плоских фигур, длин дуг плоской кривой, объемов тел и площади
поверхностей вращения.
Третий семестр (лекций 18 часов)
Модуль 1: Функции многих переменных (4 ч.)
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
4
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
1. Задачи, приводящие к понятию функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функций N
переменных.
2. Частные производные функций N переменных. Полный дифференциал. Производная
сложной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Максимум
и минимум функций N переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное
условие максимума и минимума.
Модуль 2. Кратные интегралы. (4 ч.)
3. Задачи, приводящие к понятию двойного и тройного интегралов. Определение и свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла с помощью повторного интегрирования. Замена переменных в двойном интеграле.
4. Вычисление двойного интеграла в декартовой прямоугольной системе координат. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Модуль 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (6 ч.)
5. Основные понятия и определения. Интегральные кривые. Задача Коши. Уравнения с
разделяющимися переменными.
6. Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения в
полных дифференциалах. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого
порядка.
7. Системы дифференциальных уравнений. Сведение системы дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными множителями к одному дифференциальному уравнению более высокого порядка. Особые решения ОДУ.
Модуль 4. Ряды. (4 ч.)
8. Основные понятия теории числовых рядов. Признаки сходимости положительных рядов. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.
9. Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд. Радиус и интервал сходимости
ряда. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Ряды
Фурье.
4. Содержание практического материала
Целью практических занятий является умение применять теоретические сведения к
решению конкретных задач. На практических занятиях достаточно глубоко и всесторонне
обсуждаются теоретические понятия и положения, решаются типовые задачи с подробными комментариями и разъяснениями у доски, далее практикуется решение задач по
аналогии на формирование умений и навыков, далее самостоятельное решение с целью
проверки уровня усвоения нового материала.
Проводятся обзорные занятия, на которых систематизируется новая информация,
формируется структурно-логическая схема курса, выясняется использование математического аппарата предыдущих разделов для изучения последующих, например, приемов
векторной алгебры для изучения аналитической геометрии, использование теории систем
линейных уравнений для геометрической интерпретации взаимного расположения трех
плоскостей.
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
5
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
В конце каждого раздела изучаемой темы проводится практическое занятие по разбору наиболее трудных задач домашней работы с учетом накопленного практического
опыта.
Первый семестр (54 часа)
1. Матрицы и действия над ними.
2. Элементарные преобразования матриц. Ступенчатые матрицы.
3. Определители и их свойства.
4. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителей по строкам (столбцам).
5. Вычисление обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы.
6. Решение невырожденных систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера.
7. Исследование СЛАУ. Метод Гаусса.
8. Решение систем однородных уравнений.
9. Контрольная №1.
10. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису.
11. Скалярное произведение векторов.
12. Векторное произведение векторов.
13. Смешанное произведение векторов. Проекция вектора на оси. Направляющие косинусы.
14. Контрольная №2.
15. Системы координат на плоскости.
16. Прямая на плоскости. Виды уравнений.
17. Основные задачи для прямой на плоскости.
18. Смешанные задачи на прямую.
19. Кривые второго порядка.
20. Контрольная №3.
21. Уравнения поверхности и линии в пространстве. Плоскость. Виды уравнений.
22. Прямая в пространстве.
23. Прямая и плоскость в пространстве.
24. Поверхности второго порядка.
25. Контрольная работа №4
26. Формы записи комплексных чисел и отображение на плоскости.
27. Действия с комплексными числами.
Второй семестр (52 часа)
1. Основные элементарные функции. Их свойства и графики.
2. Функции. Области определения и значения функции. Четность, нечетность и периодичность функций.
3. Нахождение пределов числовой последовательности.
4. Предел функции. Виды неопределенностей.
5. Предел функции. Приведение к замечательному пределу.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Отыскание пределов заменой эквивалентных бесконечно малых функций.
7. Односторонние пределы функции.
8. Непрерывность функции. Точки разрыва.
9. Контрольная работа №1.
10. Дифференцирование элементарных функций.
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
6
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
11. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявно заданных функций.
12. Дифференцирование параметрически заданной функции. Производные высших порядков.
13. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя-Бернулли.
14. Исследование на возрастание и убывание функций. Экстремумы функции.
15. Участки выпуклости и вогнутости функции. Точки перегиба. Построение графика.
16. Асимптоты функции. Полное исследование функции.
17. Контрольная работа №2.
18. Вычисление табличных интегралов. Интегрирование заменой переменной.
19. Интегрирование и по частям.
20. Интегрирование рациональных дробей.
21. Интегрирование тригонометрических функций.
22. Интегрирование простейших алгебраических иррациональностей.
23. Вычисление определенного интеграла. Интегрирование заменой переменной и по частям.
24. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
25. Применение определенного интеграла к вычислению длин дуг, кривых, объемов поверхностей вращения.
26. Контрольная работа №3.
Третий семестр (54 часа).
1. Функции нескольких переменных. Область определения функций. Линии и поверхности уровня.
2. Предел функции нескольких переменных.
3. Вычисление частных производных. Дифференцирование сложной функции. Полный
дифференциал.
4. Производные неявно заданных функций. Производные по заданному направлению.
5. Производные высших порядков.
6. Экстремумы функций нескольких переменных.
7. Контрольная работа №1.
8. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной декартовой системе координат.
9. Вычисление тройного интеграла в прямоугольной декартовой системе координат.
10. Замена переменных в двойном интеграле. Приложение кратных интегралов.
11. Вычисление кратных интегралов в других системах координат.
12. Контрольная работа №2.
13. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.
14. Линейные уравнения 1-го порядка.
15. Уравнения в полных дифференциалах. Задача Коши.
16. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
17. Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
18. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
19. Контрольная работа №3.
20. Числовые ряды. Суммы ряда.
21. Исследование сходимости положительных рядов.
22. исследование сходимости знакопеременных рядов.
23. Функциональные ряды. Исследование сходимости.
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
7
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
24. Степенные ряды.
25. Разложение функций в ряд Тейлора.
26. Контрольная работа №4.
27. Ряды Фурье.
6. Программа самостоятельной познавательной деятельности (318 часов)
Самостоятельная работа студентов представлена в следующих формах:
- работа с учебной литературой и конспектом лекций с целью подготовки к практическим занятиям, составление конспектов тем, выносимых на самостоятельную проработку;
- систематическое выполнение домашних работ;
- выполнение индивидуальных заданий, направленных на формирование универсальных вычислительных навыков дисциплины.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
Первый семестр (106 часов)
Изучение теоретического материала по учебникам и конспектам
Выполнение домашних заданий
Выполнение индивидуальных заданий
3.1. Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических
уравнений
3.2. Векторная алгебра
3.3. Аналитическая геометрия на плоскости. Кривые 2-го порядка.
3.4. Аналитическая геометрия в пространстве
18 часов
48 часов
40 часов
10 часов
10 часов
10 часов
10 часов
Второй семестр (104 часов)
Изучение теоретического материала по учебникам и конспектам
Выполнение домашних заданий
Выполнение индивидуальных заданий
3.1. Пределы числовых последовательностей и функций.
3.2. Производные и дифференциалы элементарных функций
3.3. Неопределенное интегрирование
3.4. Определенное интегрирование
16 часов
48 часов
40 часов
10 часов
10 часов
10 часов
10 часов
Третий семестр (106 часа)
Изучение теоретического материала по учебникам и конспектам
Выполнение домашних заданий
Выполнение индивидуальных заданий
3.1. Функции нескольких переменных
3.2. Кратные интегралы
3.3. Однородные дифференциальные уравнения
3.4. Ряды
18 часов
48 часов
40 часов
10 часов
10 часов
10 часов
10 часов
7. Текущий и итоговый контроль результатов изучения дисциплины
Целью текущего и итогового контроля является выявление уровня знаний, умений
и навыков, приобретаемых и усваиваемых каждым студеном при изучении отдельных тем,
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
8
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
а также дисциплины в целом. домашние задания (ИДЗ), контрольные работы, самостоятельные и домашние работы.
Первостепенное значение среди контролирующих материалов имеет ИДЗ, рассчитанные на обязательную систематическую работу по каждой теме курса. Выполненные в
отдельных тетрадях, работы сдаются на проверку преподавателю. Завершающим этапом
возможна защита ИДЗ. Студент должен уметь правильно ответить на теоретические вопросы, пояснить решение любой задачи, решить задачи аналогичного типа. Большинство
индивидуальных заданий снабжено методическими указаниями, перечислеными в разделе
“Методические указания и пособия, разработанные в ТПУ”.
Согласно положению о рейтинговой системе оценке знаний максимальное количество баллов за каждый семестр – 1000, из них 850 баллов равномерно распределяются в
течение семестра, а 150 баллов выносится на экзамен. Сдача экзамена обязательна.
Первый семестр
Для текущего контроля в семестре баллы распределяются следующим образом:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Лекции (посещение и активная работа)
Индивидуальные задания (4: 50, 50, 50, 50)
Контрольные работы (4: 80, 80, 80,80)
Выполнение домашних работ
Ответ у доски
Практические занятия
45 баллов
200 баллов
320 баллов
100 баллов
70 баллов
115 баллов
В течение семестра предусмотрен рубежный контроль на 8 неделе (300 баллов) и
на 16 неделе (800 баллов). В конце семестра студенты сдают и экзамен (150 баллов) –
итоговый контроль.
Второй семестр
Для текущего контроля в семестре баллы распределяются следующим образом:
1.
Лекции (посещение и активная работа)
45 баллов
2.
Индивидуальные задания (4: 50, 50, 50, 50)
200 баллов
3.
Контрольные работы (3: 110, 110, 110)
330 баллов
4.
Выполнение домашних работ
100 баллов
5.
Ответ у доски
65 баллов
6.
Практические занятия
110 баллов
В течение семестра предусмотрен рубежный контроль на 8 неделе (350 баллов) и
на 16 неделе (800 баллов). В конце семестра студенты сдают и экзамен (150 баллов) – итоговый контроль.
Третий семестр
Для текущего контроля в семестре баллы распределяются следующим образом:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Лекции (посещение и активная работа)
Индивидуальные задания (4: 50, 50, 50, 50)
Контрольные работы (4: 80, 80, 80, 80)
Выполнение домашних работ
Ответ у доски
Практические занятия
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
9
45 баллов
200 баллов
320 баллов
100 баллов
70 баллов
115 баллов
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
В течение семестра предусмотрен рубежный контроль на 8 неделе (300 баллов) и
на 16 неделе (800 баллов). В конце семестра студенты сдают и экзамен (150 баллов) –
итоговый контроль.
7.1. Банк данных теоретических вопросов
Первый семестр
Тема 1 Линейная алгебра.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Что называется матрицей? Как перемножить матрицы? Какие матрицы нельзя перемножать?
Дать определение определителя n-го порядка. Какие существуют методы вычисления определителей n-го порядка?
Какая разница между матрицей и определителем?
Сформулируйте свойства определителей, применение которых значительно облегчает вычисление определителей.
Что называется минором и алгебраическим дополнением какого-либо элемента этого определителя?
Какая матрица называется невырожденной (неособенной)? Для каких матриц существует обратная матрица?
Что называется рангом матрицы?
Какая существует связь между рангом матрицы и числом линейно независимых
строк матрицы?
Какая система уравнений называется совместной?
Сформулируйте теорему о совместности системы линейных уравнений.
Сформулируйте теорему об определенности системы линейных уравнений.
Что называется тривиальным решением системы линейных однородных уравнений?
Когда система линейных однородных уравнений имеет нетривиальные решения?
Тема 2. Векторная алгебра.
1. Что называется вектором?
2. Какие векторы называются равными?
3. Что получается в результате умножения вектора на скаляр?
4. Какие существуют правила сложения и вычитания векторов?
5. Что называется проекцией вектора на ось?
6. Какие векторы называются коллинеарными?
7. Какие векторы называются компланарными? Всякие ли компланарные векторы будут
линейно зависимыми?
8. Какое произведение векторов называется скалярным? Перечислите свойства скалярного
произведения.
9. Какое произведение векторов называется векторным? Перечислите свойства векторного
произведения.
10. Какое произведение векторов называется смешанным? Запишите формулу смешанного
произведения через координаты векторов.
11. Каков геометрический смысл смешанного произведения?
12. Как выразить условие компланарности трех векторов?
13. Каким образом определяется положение точки в полярной системе координат?
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
10
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
14. Какие полярные координаты имеет точка М1, симметричная точке М с декартовыми
координатами (x, y) относительно оси OX?
Тема 3. Аналитическая геометрия.
1. Какой геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой на плоскости?
2. Как расположена прямая на плоскости относительно системы координат, если в ее
уравнении отсутствует свободный член? Одна из координат? Одна из координат и
свободный член?
3. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?
4. Как убедиться в том, что данная точка лежит на данной прямой?
5. Как определить угол между прямыми, если:
а) прямая задана уравнениями в общем виде;
б) прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами.
6. Чем могут отличаться уравнения параллельных прямых?
7. По каким признакам можно установить, что прямые
A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0
будут параллельны?
8. Каков геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости?
9. Каково положение плоскости относительно осей координат, если в уравнении плоскости отсутствует свободный член?
10. Чем отличается формула определения угла между плоскостями от формулы угла
между прямыми на плоскости, заданными уравнениями в общем виде?
11. По какому признаку можно установить, что плоскости
A1 x + B1 y + C1 z+ D1= 0 и A2 x + B2 y + C2 z+ D2= 0
будут: а) параллельно, б) перпендикулярны?
12. Какому условию должны удовлетворять координаты четырех точек, чтобы они принадлежали одной плоскости?
13. Как привести общее уравнение прямой к каноническому виду?
14. Как определить угол между прямой и плоскостью в пространстве?
15. Как найти проекцию точки М(а, в, с) на плоскость Ax + By + Cx + D = 0?
16. Как записать условие расположения двух пространственных прямых в одной плоскости?
17. Какая линия называется эллипсом?
18. Какая линия называется гиперболой?
Тема 4. Комплексные числа.
1. Что называется комплексным числом?
2. Как связаны между собой алгебраическая и тригонометрическая формы комплексных
чисел? Как перейти от алгебраической к тригонометрической форме и обратно?
3. Какая плоскость называется комплексной? Как изобразить комплексное число на этой
плоскости?
4. Почему корень n-й степени из комплексного числа имеет ровно n - корней? Как они
расположены на комплексной плоскости?
5. Какие комплексные числа называются равными?
Второй семестр
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
11
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
Тема 1. Предел функции
1. Дать определение функции.
2. Что такое предел функции y = f(x) при xx0? Дать определение с помощью неравенств. Привести геометрическую иллюстрацию.
3. Что такое предел функции y = f(x) при x? Дать определение с помощью неравенств. Привести геометрическую иллюстрацию.
4. Определить предел последовательности (функции целочисленного аргумента).
5. Какая функция y = f(x) называется бесконечно большой величиной при xx0 и при
x? Дать определение с помощью неравенств. Привести геометрическую иллюстрацию.
6. Дать примеры функций, являющихся бесконечно большими при различных предельных поведениях аргумента.
7. Какая функция y = f(x) называется бесконечно малой величиной при xx0 и при
x? Привести геометрическую иллюстрацию.
8. Привести три основных замечательных предела.
9. Дать определение непрерывности функции y = f(x) в точке х0 и иллюстрировать его
геометрически.
10. Что называется точкой разрыва функции? Приведите примеры разрывных функций
разного характера.
11. Что значит сравнить две бесконечно малые величины? В каком случае одна из них будет более высокого порядка. Чем другая?
12. Какие две бесконечно малые величины называются эквивалентными? Приведите примеры.
log a (1  x)
a x 1
, lim
13. Чему равен lim
?
x 0
x 0
x
x
Тема 2. Производная и дифференциал
1. Дать определение производной данной функции.
2. Каков геометрический смысл производной от данной функции y = f(x)? Изобразите
геометрически в декартовой системе координат.
3. Сформулируйте правила дифференцирования результатов арифметических действий.
Привести пример.
4. Выведите формулу для производной функции y = x3.
5. В чем состоит прием логарифмического дифференцирования?
6. Как дифференцируют неявно заданные функции? Привести примеры.
7. Укажите способ дифференцирования параметрически заданной функции.
8. Что называется дифференциалом функции? Как выражается дифференциал функции
через ее производную?
9. Каков геометрический смысл дифференциала данной функции y = f(x)?
10. Что называется производной n-го порядка данной функции?
Тема 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
1. Сформулировать теоремы о связи между ростом функции и знаком ее производной.
Каков геометрический смысл этих теорем?
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
12
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
2. Определить точки экстремума (максимума и минимума) функции, экстремальные значения функции, абсолютные экстремумы.
3. Сформулировать необходимый признак экстремума. Привести примеры, показывающие, что он не является достаточным.
4. В чем состоит первый достаточный признак экстремума?
5. Изложите схему исследования функции на экстремумы.
6. Как отыскивается наибольшее и наименьшее значения функции на данном интервале?
7. Дать определение выпуклости и вогнутости линии y = f(x) и точки перегиба.
8. В чем состоит первый достаточный признак для точек перегиба?
9. Что называется асимптотой данной линии?
10. Как находятся вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты функции?
11. Описать общую схему исследования функции.
12. Изложить теорему Лопиталя-Бернулли. Привести различные примеры применения
правила Лопиталя-Бернулли.
Тема 4. Неопределенный интеграл
1. Что называется первообразной от данной функции? Привести примеры.
2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции, интегральной кривой данной функции?
3. Сформулировать правила интегрирования. Привести примеры.
4. В чем состоит метод интегрирования по частям и замены переменной в неопределенном интеграле? Привести примеры.
5. Какая рациональная дробь называется правильной? Какие дроби называются простейшими?
6. Как называется разложение правильной рациональной дроби на простейшие?
7. В чем состоит метод интегрирования рациональных функций?
8. Привести примеры интегрирования простейших иррациональных функций.
9. Описать метод вычисления интегралов вида  sin n xcos m xdx , где n и m – целое число.
Тема 5. Определенный интеграл
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Как определяется площадь криволинейной трапеции? Работа силы? Путь? Масса?
Что называется определенным интегралом от данной функции в данном интервале?
Сформулировать и доказать простейшие свойства определенного интеграла.
Каков геометрический смысл определенного интеграла от данной функции y = f(x) в
данном интервале [a,b]?
Сформулировать формулу Ньютона-Лейбница.
В чем состоит метод замены переменной в определенном интеграле?
Вывести упрощенную формулу интегрирования для интервала, взятого по симметричному интервалу [-a,а] от четной и нечетной функций.
Как вычисляется площадь плоской фигуры в декартовой системе координат? В полярной системе координат?
Третий семестр
Тема 1. Функции нескольких переменных
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
13
Рабочая программа учебной
дисциплины
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
Что называется функцией нескольких переменных? Двух переменных? Областью
определения такой функции?
Что называется графиком двух независимых переменных? Описать графическое задание такой функции.
Что называется пределом функции z = f(x,y) при xx0 и yy0?
Дать определение непрерывности функции двух независимых переменных в точке и
в области. Привести примеры разрывных функций.
Дать определение частной производной функции нескольких переменных и функции двух независимых переменных по одной из них.
Каков геометрический смысл частных производных функции z = f(x,y) в декартовой
системе координат?
Что называется полным приращением и полным дифференциалом функции z =
f(x,y)? Как выражается полный дифференциал через частные производные?
Каков геометрический смысл полного дифференциала функции z = f(x,y)?
Что называется частной производной n – го порядка функции двух независимых переменных?
Дать определение полного дифференциала второго порядка функции двух независимых переменных и указать формулы для его отыскания.
Дать определение точки экстремума (максимума и минимума) функции двух переменных.
В чем состоит необходимый признак экстремума функции двух независимых переменных? Каков его геометрический смысл?
Сформулировать достаточные условия экстремума для функции двух переменных.
Описать способ отыскания наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной замкнутой области.
Тема 2. Кратные интегралы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Как определяется объем цилиндрического тела?
Что называется двойным интегралом от данной функции по данной области?
Перечислить свойства двойного интеграла.
Как вычисляется двойной интеграл с помощью повторных в случае произвольной области интегрирования в декартовой системе координат?
Привести формулу преобразования двойного интеграла от декартовых координат к полярным?
Как вычисляется двойной интеграл в полярных координатах с помощью повторного
интегрирования?
Что называется тройным интегралом от данной функции по данной области?
Перечислить свойства тройного интеграла.
Как вычисляется тройной интеграл в декартовой системе координат?
Тема 3. Дифференциальные уравнения
1.
2.
3.
4.
Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?
Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?
Дать определение частного решения.
Дать геометрическую иллюстрацию частного и общего решений дифференциального
уравнения первого порядка.
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
14
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
5. Дать определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и
указать метод его интегрирования.
6. Какое уравнение первого порядка называется однородным? Как оно решается?
7. Какое уравнение первого порядка называется линейным? Как оно решается?
8. Какое уравнение первого порядка называется уравнением в полных дифференциалах?
Описать способы его решения.
9. Что называется дифференциальным уравнением второго порядка? Каков геометрический смысл начальных условий дифференциальных уравнений второго порядка?
10. Дать определение дифференциального уравнения n – го порядка и его общего решения. Указать, как задаются начальные условия для уравнения n – го порядка
11. Какой вид имеет общее решение линейного уравнения без правой части,
12. Описать способ решения линейного уравнения второго порядка без правой части с постоянными коэффициентами. Какое уравнение называется характеристическим? Как
оно составляется?
Тема 4. Ряды
1. Что называется числовым рядом? Что называется общим членом ряда?
2. Что называется суммой ряда? Дать определение сходящихся и расходящихся рядов.
Привести примеры.
3. В чем состоит необходимый признак сходимости ряда? Привести пример, показывающий, что он не является достаточным
4. Указать простейший достаточный признак расходимости ряда.
5. Сформулировать теорему о сравнении двух рядов с положительными членами.
6. В чем состоит признак Даламбера?

1
7. В чем состоит интегральный признак Коши? Доказать сходимость ряда  p, p  1 .
n 1 n
8. Какой ряд называется знакочередующимся? В чем состоит признак Лейбница для такого ряда?
9. Привести общий достаточный признак сходимости ряда с произвольными членами.
10. Что называется абсолютной сходимостью ряда? Условной сходимостью? Привести
пример абсолютно и не абсолютно сходящихся рядов.
11. Какой ряд называется функциональным? Что называется областью сходимости функционального ряда?
12. Сформулировать теорему Абеля. Определить радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
13. В чем заключается задача разложения функции в степенной ряд.
14. Что называется рядом Тейлора функции? Как определяются коэффициенты ряда Тейлора?
7.2. Вопросы для проверки остаточных знаний
Линейная алгебра
Задача 1.
Исследовать систему на совместность и определенность, найти решения.
Документ: Рабочая программа
15
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
2 x1  5 x2  8 x3  8
4 x  3x  9 x  9
 1
2
3
б) 
2 x1  3x2  5 x3  7
 x1  8 x2  7 x3  12
3x1  5 x2  2 x3  4 x4  2

а) 7 x1  4 x2  x3  3x4  5
5 x  7 x  4 x  6 x  3
2
3
4
 1
2 x1  3x2  5 x3  7 x4  1

в) 4 x1  6 x2  2 x3  3x4  2
2 x  3x  11x  15 x  1
2
3
4
 1
Ответ:
а) не совместна,
б) система совместна и определена,
в) система совместна и неопределена.
Задача 2.
1.
Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:
а) разложить по какой-либо строке или столбцу;
б) преобразовать определитель, получив нули в какой-либо строке или столбце, используя свойства определителя, а затем разложить его по этой строке или столбцу.
2.
Записать систему линейных алгебраических уравнений АХ=В и решить ее тремя
способами:
а) с помощью обратной матрицы Х=А-1·В, предварительно вычислив А-1. Сделать
две проверки:
1) А-1·А=Е;
2) подставить полученную матрицу-столбец Х в исходное уравнение и убедиться, что А·Х=В;
б) по правилу Крамера;
в) методом Гаусса.
3.
Исследовать на совместимость и найти общее и какое-либо частное решение системы линейных алгебраических уравнений АХ=В. Сделать проверку по всем уравнениям, подставив частное решение в каждое уравнение системы.
4.
Найти нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических
уравнений АХ=0, если они существуют. Сделать проверку по всем уравнениям.
Вариант 1
1.
3.
1 2 1
1 1 2
2 1 3
2
1
2
1
1
2
1
1 3 2 0 1 
 3


 
A   2 3 7 14 1 , B   8 
 1 3 1 3 4 
 6


 
Вариант 2
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
16
2.
 1 2 1
 2 

,
 
A  2 1 1  B   2 
1 2 2 
 1 


 
4.
 9 4 2 10 


3 7 5 2 

A
 1 8 6 6 


 4 15 11 8 
Рабочая программа учебной
дисциплины
1.
3 1 1 2
1 2 1 1
5 1 2 1
1
3.
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
3
 2 5 3
 1

,
 
A  3 2 1 B   2 
 3 4 2
 2 


 
2.
1 2
 6 5 3 2 
 4

,
 
A   2 4 1 3  B   1 
 1 1 3 3
 3


 
4.
 3 8 9 7 


A   1 1 13 6 
1 4 5 1 


Вариант 3
1.
3 2 1 2
1 2 1 1
5 1 2 1
0
3.
3
 1 2 1
 2

,
 
A   2 3 2  B   2 
 4 5 3
 1


 
2.
1 2
 3 1 2 4 
 7 

,
 
A   2 2 3 3  B   3 
 1 5 6 2 
 2


 
4.
 5 5 1 3 


A   1 1 3 5 
 4 1 4 9 


Векторная алгебра
_
_
11-20. Параллелограмм построен на векторах b и a .
Найти: 1) длины диагоналей параллелограмма; 2) косинус угла между диагоналями; 3)
• р a b  a  b  ; 4) площадь параллелограмма.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
   
a  p  2q , b  3 p  q , p  1, q  2,  p , q   .

 3
   
a  3 p  q , b  p  2q , p  4, q  2,  p , q   .

 4

1

 
a  p  3q , b  p  2q , p  , q  1,  p , q   .
5

 2
1    2
a  3 p  2q , b  p  3q , p  4, q  ,  p , q    .
2 
 3


 3
a  p  2q , b  2 p  q , p  2, q  2,  p , q    .

 4
   
a  p  3q , b  p  2q , p  2, q  3,  p , q   .

 6
   
a  2 p  q , b  p  3q , p  3, q  2,  p , q   .

 2
   
a  4 p  q , b  p  q , p  7, q  2 2,  p , q   .

 4
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
17
Рабочая программа учебной
дисциплины
19.
20.
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
   
a  p  4q , b  3 p  q , p  1, q  2 3,  p , q   .

 6


 
a  p  4q , b  2 p  q , p  7, q  2,  p , q   .

 3
21-30. Пирамида задана координатами вершин A1 , A2 , A3 , A4 .



Найти: 1) координаты векторов A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 и модули этих векторов; 2) угол между


векторами A1 A2 и A1 A3 ; 3) площадь треугольника A1 A2 A3 ; 4) объем пирамиды A1 A2 A3 A4 ;
5) длину высоты, опущенной из вершины А4 на грань A1 A2 A3 .
21.
А1(1, 3, 6),
А2(2, 2, 1),
А3(-1, 0, 1), А4(-4, 6, -3).
22.
А1(-4, 2, 6),
А2(2, -3, 0), А3(-10, 5, 8), А4(-5, 2, -4).
23.
А1(7, 2, 4),
А2(7, -1, -2), А3(3, 3, 1),
А4(-4, 2, 1).
24.
А1(2, 1, 4),
А2(-1, 5, -2), А3(-7, -3, 2), А4(-6, -3, 6).
25.
А1(-1, -5, 2),
А2(-6, 0, -3), А3(3, 6, -3), А4(-10, 6, 7).
26.
А1(0, -1, -1),
А2(-2, 3, 5), А3(1, -5, -9), А4(5, -6, 3).
27.
А1(5, 2, 0),
А2(2, 5, 0),
А3(1, 2, 4),
А4(-1, 1, 1).
28.
А1(2, -1, -2),
А2(1, 2, 1),
А3(5, 0, -6), А4(-10, 9, -7).
29.
А1(-2, 0, 4),
А2(-1, 7, ),
А3(4, -8, -4), А4(1, -4, 6).
30.
А1(14, 4, 5),
А2(-5, -3, 2), А3(-2, -6, -3), А4(-2, 2, -1).
Аналитическая геометрия
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 , перпендикулярную вектору M1M 2 , если M 1 (3; -1; 2), M 2 (4; -2; -1).
Ответ: x  y  3z  2  0
2. Составить уравнения плоскости, проходящей через точку M 1 (3; 4; -5) параллельно
векторам a1  3;1; 1 и a2  1; 2;1 .
Ответ: x  4 y  7 z  16  0 .
3. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника А (5;-4),
B(-1;3), C(-1;2) параллельно противоположным сторонам.
Ответ: 5 x  2 y  33  0 , x  4 y  11  0 , 7 x  6 y  33  0 .
31-40. Даны вершины треугольника АВС (рис. 3).
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
18
Рабочая программа учебной
дисциплины
Найти:
1)
уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
2)
уравнение высоты АD, опущенной из вершины А на сторону
ВС;
3)
длину высоты AD, проведенной из вершины А;
4)
точку пересечения медиан треугольника двумя способами:
B
D
A
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
C
Рис. 3.
а) используя формулу деления отрезка в заданном отношении;
б) как точку пересечения прямых, заданных общими уравнениями.
31.
33.
35.
37.
39.
А (-5,9), В (7,0), С (5,14)
А (-1,5), В (6,-10), С (8,22)
А (-6,8), В (2,0), С (16,15)
А (10,-1), В (-2,-6), С (-6,-3)
А (3,6), В (15,-3), С (4,13)
32.
34.
36.
38.
40.
А (0,3), В (12,-6), С (10,8)
А (17,8), В (-2,6), С (7,1)
А (6,5), В (11,0), С (17,8)
А (-1,7), В (11,2), С (7,19)
А (-10,5), В (2,-4), С (0,10)
41-50. Даны координаты точек А1, А2, А3, А4 и уравнение прямой l.
Найти:
1)
уравнение плоскости, проходящей через точку А3, перпендикулярно

2)
3)
4)
5)
6)
7)
а) вектору A1 A2 ;
б) прямой l.
уравнение плоскости р, проходящей через три точки А1, А2, А3.
каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку А4 ,
перпендикулярно плоскости р.
расстояние от точки А4 до прямой l.
расстояние от точки А4 до плоскости р.
координаты точки пересечения прямой l и плоскости р.
угол между прямой l и плоскостью р.
А1 (-3, 4, -2), А2 (1, -3, -1),
А3 (-1, -2, -4), А4 (3, 2, -4);
x  7 y 1 z  3
l:


.
3
4
2
42.
А1 (1, 2, 4),
А2 (-5, 3, 7), А3 (4, -2, 6), А4 (-2, -2, -1);
x  2 y 1 z
l:

 .
4
3
2
43.
А1 (-2, 1, 3),
А2 (-4, 2, -6), А3 (3, 25, 1), А4 (6, 5, -7);
x 1 y  3 z
l:

 .
4
3
1
44.
А1 (-1, 4, 2),
А2 (3, -2, 4), А3 (5, -3, 7), А4 (-2, -5, 3);
x y 7 z 3
l: 

.
1
2
1
Документ: Рабочая программа
19
41.
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
Рабочая программа учебной
дисциплины
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
А1 (-5, 3, -7), А2 (1, 1, 3),
А3 (-1, 4, 2),
x 1 y  2 z  3
l:


.
2
4
5
А1 (1, 3, 5),
А2 (2, -1, 3), А3 (1, -4, -2),
x  7 y 1 z  3
l:


.
3
4
2
А1 (4, -7, 1),
А2 (3, -5, 1), А3 (2, 0, 4),
x  4 y 1 z  7
l:


.
8
3
3
А1 (7, 7, 3),
А2 (6, 5, 8), А3 (3, 5, 8),
x 2 y 5 z
l:

 .
2
1
6
А1 (1, 1, 0),
А2 (4, 1, 2), А3 (0, 0, 2),
x 1 y  2 z 1
l:


.
2
3
4
А1 (1, -1, 1),
А2 (0, 2, 4), А3 (1, 3, 3),
x  3 y 1 z  7
l:


.
2
4
5
А4 (3, 3, 3);
А4 (-4, 1, 3);
А4 (1, 2, 3);
А4 (8, 4, 1);
А4 (3, 0, 5);
А4 (4, 2, 3);
51-60. Определить вид кривой второго порядка, привести уравнение этой кривой к каноническому виду и построить ее в исходной системе координат.
51.
а). x 2  4 y 2  6 x  8 y  3  0
52.
a). 9 y 2  4 x 2  18 y  8 x  23  0
б). x 2  16 y 2  16
б). x 2  y 2  4 y
в). y 2  4 y  3x  0
в). y  2 x 2  x  1
г). y  3  9  x 2
г). x 2  y 2  20 y  104  0
53.
а). x 2  y 2  6 y  5  0
б). 4 x2  9 y 2  8x  32  0
в). x 2  2 y  4 x  2  0
г). 9 y 2  16 x 2  144
54.
a). x 2  y 2  4 x  0
б). 2 x 2  5 y 2  12 x  10 y  13  0
в). y   x 2  2 x  1
г). 3x 2  27 y 2  27
55.
а). 16 x 2  25 y 2  32 x  100 y  284  0
б). 3x2  4 y 2  16 y  36  0
56.
в). x 2  4  2 y
a). x 2  y 2  2 x  3 y  3  0
б). x 2  9 y 2  9
в). 16 y 2  9 x 2  32 y  72 x  272  0
г). y  3  16  x 2
г). y  2 x 2  12 x  4
57.
a).
б).
в).
г).
x2  y 2  6x  2  0
58.
9 x 2  4 y 2  18 x  8 y  23  0
3x  6  y 2
x 2  9 y 2  2 x  36 y  44  0
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
20
a). x 2  y 2  6 x  4 y  4  0
б). 16 x2  9 y 2  64 x  54 y  161  0
в). x 2  9  3 y
г). 4 x 2  4 x  y 2  0
Рабочая программа учебной
дисциплины
59.
a).
б).
в).
г).
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
x 2  y 2  12 x  y  24  0
60.
a).
б).
в).
г).
2 x2  y 2  4 x  6 y  10  0
4 x 2  36  9 y 2
y  6 x 2  18 x  4
x 2  y 2  3x  2 y  3  0
5 y 2  4 x 2  16 x  36  0
y 2  4 y 2  4 x2  0
y  8  7 x  x2 .
61-70. Линия задана уравнением r = r() в полярной системе координат.
Требуется:
1). Определить точки, лежащие на линии, придавая  значения через промежуток, равный

, начиная от  = 0 до  = 2, записав их в таблицу.
12
2). Построить линию, соединив полученные точки.
3). Найти уравнение линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой
начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью.
12

61.
62.
r
r
2  cos 
6  3cos 
6
r  2  sin 
63.
64.
r
1  2cos 
10
65.
66.
r  2sin 2 2
r
2  cos 
r  4(1  sin  )
67.
68.
r  3cos2 2
r  1  cos 2
r  3  sin 2 .
69.
70.
Комплексные числа
71-80. Выполнить действия над комплексными числами.
а) записать числа в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости;
б) возвести в степень, используя формулу Муавра;
в) найти все значения корня, изобразить их на комплексной плоскости, какую фигуру они образуют?
г) решить уравнение и изобразить корни на комплексной плоскости.
71.
а)
в)
г)
а)
2,1  i 3,  i
б)
 3 1
 i 

2
2

72.
a)
6
 2
2
i


2 
 2
1 i
3
x 8  0
б)
73.
6i,  2  2 3i, 4
6
в)
г)
3
3 
i 
 
2
2


4
1 i
3
x  125  0
a)
5, 1  i 3,  4i
б)
 1
3
   i

2 
 2
б)
74.
6
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
6, 2  2 3i,  6i
21
6
Рабочая программа учебной
дисциплины
75.
77.
в)
г)
а)
1  i
x  81  0
2  2i, 6, 3i
б)
1  i 
в)
3
1 i 3
в)
г)
x 1  0
г)
2  2i
x  27  0
а)
 3  i, 7, 8i
a)
1  i, 5, 14i
4
4
78.
8
а)
1  i 3, 2  2i, 4
б)
1  i 
г)
в)
1  i
6
x  64  0
г)
a)  2  i 2, 8, 3i
б)
в)
г)
в)
76.
12
 2 1 
 i 

2
2 

i
4
x  25  0
б)
79.
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
 1  i 3 


2


3
10
в)
г)
3
3 
i 
 
2
2


3
1
5
x  32  0
б)
a)
2  2i 3, 5i, 6
17
б)
1  i 
2  2 3i
в)
3
г)
x  6 x 2  36  0 .
80.
x  6 x  36  0
4
2
12
8i
4
Второй семестр
Задание 1
Найти пределы последовательностей:
3n3  n 2  n  2
lim
.
n 
n3  1
1  3n  2n 2
lim
.
n 
1  n2
7 n 2  2n  3
lim 2
.
n  5n  4n  4
3n3  n 2  n  1
lim
.
n  5n3  4n  17
1.1.
а)
1.2.
a)
1.3.
a)
1.4.
а)
1.5.
а) lim
1.6.
1.7.
3
5n 2  4n  2
.
n  n 3  4n  1
4n 2  4n  3
а) lim 3
.
n  2n  3n  4
n2  n  1
а) lim 2
.
n  3n  5n  2
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
б) lim( 5n  3  n  4) .
n 
б) lim( ( n  2)( n  3)  n) .
n 
б) lim n ( n  1  n ) .
n 
n
.
n 1  n
б) lim
n 
3
б) lim
n 
n 2  4n  n
.
2n  1
б) lim( n2  n  1  n2  n  1) .
n
б) lim( 2n  3  n  1) .
n 
22
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
2
1.8.
 2n 2  n  1 
а) lim  2
 .
n  5n  7 n  12


б) lim
3n  n 2  1
n 
2n 2  n
.
2
 3n 2  5n  4 
1.9. а) lim 
 .
2
n 
 2n

(n  1)(n  2)(n  1)
1.10. а) lim
.
n 
n 4  2n  3
б) lim( n2  4n  3  n2  n  1) .
n
б) lim n2 (n  n2  1) .
n
Задание 2
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
2 x2  5x  3
.
x 3
x3
2.1.
а) lim
2.2.
а) lim
2.3.
3 
 1

а) lim 
.
x 1 1  x
1  x3 

x2  2 x  3
.
x 3 x 3  4 x 2  3 x
 x3
x2 
б) lim  2

.
x  2 x  1
2
x

1


2x  7  5
б) lim
.
x 9
3 x
2x  x
.
x2
б) lim
x 2


1
1
x 1
2.4.а) lim 
. б) lim 4
.
 2

2
x 2 x( x  2)
x 1
x  3x  2 
x 1

3
в) lim
x 0
sin x  tgx
.
x3
ln(1  x 2  x3 )
.
x 0
x2
в) lim
cos 3 x  cos x
.
x 0
x2
в) lim
 x  x 1 
в) lim  2

x  3 x  2 x  7


2
2.5.
x3  x  2
а) lim 3
.
x 1 x  x 2  x  1
x2
б) lim
.
x  10  x x
 x 1 
в) lim 
 .
x  2 x  3


2.6.
x3  3x  2
а) lim
.
x 2
x2
2.7.
x3  2 x  1
а) lim 4
.
x 1 x  2 x  1
x2  x
б) lim
.
x 1
x 1
1 
 1
 2
б) lim  2
.
x 3 x  9
x  3x 

 2 x  3  x2
в) lim 
 .
x  5 x  7


tgx  sin x
в) lim
.
x 0
x3
2.8.
x2 1
а) lim 2
.
x 1 2 x  x  1
 x3
3x 2 
б) lim  2

.
x  5 x  1 15 x  1


ln(1  x  x 2 )
в) lim
.
x 0
x
x2 1
1 2x  3
.
б) lim
.
2
x 1 x  3 x  2
x 4
x 2
1
1 
(3x  5)30 (4 x  70)20


2.10. а) lim  2
.
б)
.
lim

x2 x  5 x  6
x 
x2
(4 x  9)50

2.9.
а) lim
2 x2 5
x 2 1
.
x
2 x 1
e4 x  1
.
x 0 tgx
2 arcsin x
в) lim
.
x 0
3x
в) lim
Задание 3
Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции х выражается функцией y  y ( x ) (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки производства при объеме продукции х = а ед., если
1
3.1. y  10 x  0,04 x3 ,а = 5. 3.2. y  200 x  x3 ,а = 10.
30
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
23
Рабочая программа учебной
дисциплины
3.3. y  20 x  0, 02 x3 ,
3.5. y  100 x  0,02 x3 ,
1
3.7. y  400 x  x3 ,
30
3.9. y  30 x  0, 08 x3 ,
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
а = 20.
а = 40.
3.4. y  50 x  0,01x3 ,
3.6. y  90 x  0, 03x3 ,
а = 50.
а = 10.
а = 50.
3.8. y  10 x  0,05x3 ,
а = 10.
а = 5.
3.10. y  300 x  0, 04 x3 ,
а = 10.
Задание 4
3.1.
Найти производные функций:
x
а) y  ln
.
1  x2
б) y  sin[cos 2 (tg 3 x)] .
в) y  x x .
г) x 2 sin y  y 3 cos x  2 x  3 y  1  0 .
2
 1 x 
а) y  ln 
 .
 1 x 
в) y  xsin x .
2
3.2.
3.3.
а) y  ln
в) y  x
3.4.
1
ln x
б) y  sin(cos2 x)  cos(sin 2 x) .
г) y 2 cos x  a 2 sin 3x .
x2  2
(6  2 x )
2 3
.
г) x 4  y 4  x 2  y 2 .
.
1 x
.
1 x
а) y  1  x 2 ln
а) y  sin(e
x 2 3 x  2
).
в) y  xln x .
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
1 x2  1
а) y  ln 2
.
4 x 1
в) y  (ln x) x .
а) y  ln
б) y  x  x  x .
г) 2 x  2 y  2 x  y .
в) y  (cos x)sin x .
3.5.
б) y  arctg ( x  1  x 2 ) .
1 x
.
1 x
x 2 (2 x  4)7
б) y  ln
.
(6  7 x  2 x 2 ) (2 x  3)7
г) sin( x  y )  cos( x  y )  tg ( x  y ) .
б) y  asin x .
3
г) y  sin x  cos( x  y )  0 .
б) y 
1 
1  x  x2
x 3 
3
ln
 2arctg

.
2
1 x  x
1  x 2 
4 3
в) y  x arcsin x .
г) x  sin x  cos x  cos 2 y  0 .

3x
1
а) y  (1  3 x ) 1  3  3
.
x 
x

б) y 
в) y  x ( x  1) 2 .
г) y  x  arctgy .
а) y  x  arcsin x  1  x 2 .
б) y 
в) y  x x .
г) y  1  xe y .
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
24
1
2 2
ln
2  2 x2  x
2  2x  x
2
 ln( x  1  x 2 ) .
1  1  x 2  x2
x 2 
 2arctg
 ln
.
2
1  x 2 
4 2  1 x 2  x
Рабочая программа учебной
дисциплины
3.10. а) y 
e x  sin x
.
xe x
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
б) y 
2
1 x4  x2  1
1
3
.
ln 2

arctg 2
2
12
( x  1)
2x 1
2 3
г) x  y  arcsin x  arcsin y .
в) y  ( x  1) x .
Задание 5
Найти производную y x' от функции, заданной параметрически:
t 1 
;
t 

t 1 
y
.
t 
1 t3 
x  2 ;
t 1 

1 
y 2 .
t  1 
x
4.1.
4.3.
4.2.
x  ln(1  t 2 ); 

y  t  arctgt.
4.4.
x  1  t 2 ;

y  t  t 3 . 
4.5.
x  a cos  ;

y  b sin . 
4.6.
4.7.
x  et sin t ; 

y  et cos t.
4.8.
4.9.
x  a cos3  ; 

y  b sin 3  . 
x   (1  sin  );

y   cos  .

1 t 
;
1  t 

2t 
y
.
1  t 
x
x  a(t  sin t ); 

y  a(1  cos t ).
4.10.
Задание 6
Найти дифференциал функции:
5x4
.
x
cos x  sin x
.
1  cos x
5.2.
y
5.4.
y  3x 2 3 x  4 x 4 x3 
5.1.
y  5x2 x  x 3 x2 
5.3.
y
5.5.
y  ( x  1) arctgx .
5.6.
5.7.
y  ( x 2  1) (3x  2) (1  x3 ) .
5.8.
1  3 x2
y  e ln x .
5.9.
y  e x  sin x  ln x  tgx .
5.10.
y  x  1  ln 1  x  1 .
x x
.
x  23 x
2
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
25
y
1  3 x2
4
7 x2 3 x
.


.
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
Задание 7
Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы функций:
3
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
x2
.
x  4 x
1  cos x
а) lim
.
x 0
x2


1
1
а) lim 

.
3
x 1 2(1 
x
)
3(1

x
)


2
ln( x  3)
а) lim 2
.
x  2 x  3 x  10
 1

а) lim  2  ctg 2 x  .
x 0 x


tgx  x
а) lim
.
x  0 x  sin x
а) lim
6.7.
а) lim x  e x .
6.8.
а) lim
6.9.
ex 1
а) lim
.
x  0 cos x  1
x 
x 0
1  cos  x
.
1  cos  x
2
x 1
.
x 1 x 20  1
x  2 ln x
б) lim
.
x 
x
x  sin x
б) lim
.
x 0
x3
б) lim
1 
 x

б) lim 
.
x 1 x  1
ln x 

e x  e x  2 x
б) lim
.
x 0
x  sin x
5
 1

 2
б) lim 
.
x 3 x  3
x  x6

1 
1
б) lim   x  .
x 0 x
e 1 

ln sin 2 x
б) lim
.
x  0 ln sin x
4 
 3

б) lim 
.
x 1 1  x 3
1  x4 

etgx  e x
б) lim
.
x 0 tgx  x
1

6.10. а) lim  ctgx   .
x 0
x

Задание 8
Провести полное исследование и построить график функции:
7.1.
x4  3
y
.
x
7.2.
7.4.
y  x3  3x 2 .
7.5.
7.7.
y  x 2  ln( x  2) .
7.8.
7.10.
y
4x
.
4  x2
x2 1
y 4 .
x
1  x3
y 2 .
x
y
7.3.
x3
y
.
3  x2
7.6.
y  x  ln( x 2  1) .
7.9.
y  x 2  e1 x .
2x
.
1  x2
Неопределенный интеграл
Задание 1
Найти неопределенные интегралы:
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
26
Рабочая программа учебной
дисциплины
1.1.
1.2.
x cos x
sin x
dx .
а) 
б) 
dx .
3
sin x
x
dx
г) 
.д)  sin 2 x  sin 5 xdx .
4
( x  1)3 ( x  2)5
2 x 2  3x  3
в)  3
dx .
x  2 x2  x
dx
е) 
.
x  x2  x  1
xdx
а)  2 .
sin x
x3dx
в)  2
.
x  2x  3
г)
1.3.
1.4.
Ф ТПУ 7.1 – 21/01

dx
б) 
.
x x 1
2 x  3dx
.
2x  3 1
3
а)
 xarctgxdx .
г)
 (1  x)
dx
1  x2
д)  sin 2 x  cos 5 x  sin 9 xdx . е)
x2  4
б) 
dx .
x
sin 5 x
д) 
dx .
cos 4 x
.
а)  ( x3  1) cos xdx . б)
г)

dx
( x  1) ( x  1)
2
3
4
x
3
1.6.
x  1dx .
. д)  tg 7 xdx .
1.7.
x
г)

а)
x e
г)
1.8.
x2 3
dx .
x2 4
д)  sin x  cos 2 x  cos 3 xdx . е)
б)
dx .
dx
3
(3  2 x) 2  3  2 x
а)  e x sin xdx .
dx
г)  3
.
x x 8
1.9.
а)  e cos xdx .
x
г)
x 1
dx .
x 1
б)
2 x


sin xdx .
2
 x
dx
.
3
3x  2
б)
д)
б)
3
sin 2 xdx
д)
sin 2 x
 cos6 x dx .
dx
 (arccos x)

sin 3 xdx

5
1  x2
.
3
cos x
3
1  ln x
dx .
x
2
dx
.
в)
x5  2 x 2  3
 ( x  2)2 dx .
е)

dx
(2 x  x 2 )3
.
x 4 dx
в)  3
.
x  2x2  x  2
д)  cos 3 x  cos 9 xdx .
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.

.
1  x  x2
dx
в)  2
.
x  x 1
dx
е) 
.
4  2 x  x2
 1  cos 2 x .
.
1  x  x2
x 4  3x3  1
в) 
dx .
( x  1)2
dx
е) 
.
4 x2  2 x  1
xdx
в)  2
.
x  3x  2
x 1
а)  x ln xdx .
б) 
dx .
x
cos 4 x
x 2 dx
dx .
г) 
. д) 
sin 2 x
(5 x  2) 5 x  2
2
а)
dx
( x 2  3)dx
в)  3
x  x2  6x
dx
е) 
.
2
x x  2x  4
xdx
в)  2
.
2x  x 1
dx
е) 
.
2
x  x  2x  4
3
1.5.
 (1  x)
27
е)

x 2  x  1dx .
.
Рабочая программа учебной
дисциплины
1.10. а)
г)

1  x 2 dx .
б)

Ф ТПУ 7.1 – 21/01
3
1  3sin x  cos xdx .
x  3 x2  6 x
dx . д)  sin 6 x  cos 7 xdx .
x(1  3 x )
в)
( x 2  2)dx
 ( x  1)2 ( x 1) .
е)

x 2  2 x  1 dx .
Задание 2
Найти среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от х1 до х2 изделий при условии, что функция изменения затрат времени на изготовление изделий имеет вид: t  ax  b , если:
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
х1 = 120,
х1 = 50,
х1 = 210,
х1 = 300,
х1 = 20,
х1 = 35,
х1 = 120,
х1 = 100,
х1 = 140,
х1 = 120,
х2 = 130,
х2 = 80,
х2 = 230,
х2 = 320,
х2 = 40,
х2 = 55,
х2 = 130,
х2 = 110,
х2 = 150,
х2 = 150,
а = 300 (мин.),
а = 360 (мин.),
а = 120 (мин.),
а = 240 (мин.),
а = 270 (мин.),
а = 600 (мин.),
а = 390 (мин.),
а = 300 (мин.),
а = 180 (мин.),
а = 360 (мин.),
b = 0,1.
b = 0,4.
b = 0,2.
b = 0,25.
b = 0,5.
b = 0,25.
b = 0,1.
b = 0,5.
b = 0,5.
b = 0,2.
Задание 3
Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

4
2
3.1.
2
 sin x  cos xdx .
3.2.
0
0

3.3.

0


3.4.
2
3.6.

x2
0 x 2  1 dx .
16

0
2 x4  5x2  3
2 x2  1 dx .
4
4
3.9.
 x  ln xdx .
1
3
3x  3x  1
dx .
x2  1
4

3.7.
dx
.
2x 1
2
x sin xdx .

3.5.
 1
3.8.
 sin

1
dx
.
x9  x
3.10.
 (x
0
2
x
dx .
2
xdx
.
 1) 2
2
Задание 4
Вычислить определенные интегралы, используя: а) формулу замены переменной
под знаком определенного интеграла; б) формулу интегрирования по частям.
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
28
Рабочая программа учебной
дисциплины
4
4.1. а)

2
Ф ТПУ 7.1 – 21/01

x2  4
dx . б)  e x sin xdx .
4
x
0
3
2
cos xdx
0 6  5sin x  sin 2 x . б)
e 1

(1  x 2 )3
1

4.3. а)
dx

4.2. а)
ln( x  1) dx .
4.4. а)
0
1
. б)
 xarctgxdx .
0


2
3
dx
0 2  cos x . б)
xdx
.
2
x

 sin
4

2
sin xdx
4.5. а) 
.
1  cos 2 x
0
1
4.7. а)

0
1
4.9. а)

0
xdx
1  x2
1
4
б)  ( x  1)e dx .
0
1
б)
.
4
2
 x ln(1  x )dx .
4.8. а)
0
1 x
dx .
1 x
2
 x x  9dx . б)
0
x
1
arcsin xdx
.
1 x
0



б)
e
dx
4.6. а) 
. б)  ln 3 xdx .
1

x
0
1
x
1
3
4.10. а)
sin xdx .
0
xdx
.
x 1

0
2
б)  e 2 x  cos xdx .
0
Задание 5
Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной
линиями (линией):
5.1.
5.3.
5.5.
5.7.
5.9.
y   x  2 ,
2
y  4  x,
y 0.
y
y  x3 ,
5.4.
y  4  x2 ,
5.6.
5.8.
y  2x ,
2
x
, y2.
9
y  x 2  1, x  y  3 .
x  2 y 2 , x  1  3 y 2 .
3
y  x2 , y  1  x2 .
4
y  4x2 ,
5.2.
5.10.
y  x2 ,
1
y  x2 ,
3
y  2x .
y  x2  2x .
y  2 x  x 2 , x  0, x  2 .
y  2x  3 .
y  0, x  2, x  4 .
Задание 6
Вычислить длину дуги кривой:
6.1.
6.2.
y 2  x3 , отсеченной прямой x 
4
.
3
t6
t4
, y  2
между теми ее точками, которые соответствуют значениям па6
4
раметра t1  0 и t2  4 8 .
x
6.5.
x  4 2 sin t , y  sin 2t .
x  a(t  sin t ) 
 - одной арки циклоиды.
y  a(1  cos t ) 
  a (0    2 ) .
6.6.
y  ln cos x , заключенной между точками с абсциссами x  0, x 
6.3.
6.4.
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
29

4
.
Рабочая программа учебной
дисциплины
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
1 2 1
y  ln y , заключенной между точками с ординатами у=1 и у=2.
4
2
2
9 y  4(3  x)3 между точками пересечения с осью ОУ.
x
y 2  ( x  1)3 между точками А (2, –1) и В (5, -8).
y  ln sin x , заключенную между ее точками, абсциссы которых x1 

3
, x2 
2
.
3
Задание 7
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
y 2  4 x, x  2 вокруг оси ОХ.
x2 y 2

 1 вокруг оси ОУ.
4 9
вокруг оси ОХ.
2 y  x2 , 2 x  2 y  3  0
2
2
вокруг оси ОУ.
y  x , 8x  y
y  sin x (одной волной), у = 0
вокруг оси ОХ.
y 2  x  4  0, x  0 вокруг оси ОУ.
  a(1  cos  ) кардиоиды вокруг полярной оси.
x  a cos3 t 
 - астроиды вокруг оси ОХ.
y  a sin 3 t 
x  t 2  1
 вокруг оси ОХ.
y  t 3  t 
xy  4, x  1, x  4, y  0 вокруг оси ОХ.
Третий семестр
Дифференциальные уравнения
1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения, особые решения, а также
частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.
2. Найти общие решения дифференциальных уравнений первого порядка.
3. Решить уравнения Лагранжа и Клеро.
4. Найти частное решение дифференциального уравнения при указанных начальных
условиях.
5. Найти общие решения неоднородных дифференциальных уравнений, находя их
частные решения либо подбором, либо методом вариации произвольных постоянных.
6. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Вариант 1
1.
x 1  y 2 dx  y 1  x 2 dy  0; y ( 3)  0.
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
30
Рабочая программа учебной
дисциплины
2.1
2.2
2.3
2.4
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
y(1  x 2 ) y  1  y 2 .
(3 y 2  3xy  x 2 )dx  ( x 2  2 xy)dy.
1 2x
y  2 y  1.
x
dy
x2 y 2
 xy 3  a 2 .
dx
( x 2  y)dx  x, dy  0.
y  y( x  1)  y2 .
2.5
3.
4.
5.1
1  yy  y2  0; y(1)  0; y(1)  1.
2 y  y  y  2e x .
5.2
5.3
y  2 y  5 y  e x cos 2 x.
y  4 y  2sin 2 x  3cos 2 x  1.
6.
 dx
 dt  6 x  3 y,

 dy  8 x  5 y.
 dt
Вариант 2
2.1
x 2 ( y 3  5)dx  ( x3  5) y 2 dy  0; y(0)  1.
xy(1  x 2 ) y  1  y 2 .
2.2
xdy  ydx  x 2  y 2 dx.
2.3
2.4
2.5
3.
4.
5.1
5.2
5.3
y  2 xy  2 xe x .
xy  y 2 ln x  y  0.
( x 2  y 2  2 x)dx  2 ydy  0.
y  x(1  y)  y2 .
(1  yy) y  (1  y2 ) y; y(0)  1; y(0)  1.
y  a 2 y  e x .
y  y  2 y  8sin 2 x.
y  2 y  3 y  2 xe3 x  ( x  1)e x .
6.
 dx
 dt   x  5 y,

 dy  x  3 y.
 dt
1.
2
Вариант 3
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
31
Рабочая программа учебной
дисциплины
1.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.
4.
5.1
5.2
5.3
6.
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
1  y 2 dx  1  x 2 dy  0; y (0)  1.
xy  y  y 2 .
( x 2  2 xy  y 2 ) dx  ( y 2  2 xy  x 2 ) dy  0.
y
y 
 x 2  0.
1 x
1
y  y  y 2  0.
x
y
dx  ( y 3  ln x) dy  0.
x
2 yy  x( y2  4).
2 yy  y 2  y2  0; y(0)  1; y(0)  1.
y  3 y  2 y  10e x .
y  2 y  2 y  e x sin x.
5 y  6 y  5 y  e2 x  2 x3  x  2.
 dx
 dt  3 x  2 y,

 dy  2 x  8 y.
 dt
Вариант 1
Дано :
Показать, что
y
.
(x  y 2 )5
1z 1z z
.


x  x y  y y2
z
2
Вариант 2
Дано :
Показать, что
y2
 arcsin (xy) .
3x
z
z 2
x2
 xy
y 0.
x
y
z
Вариант 3
Дано :
z  ln(x 2  y2  2 x  1) .
Показать, что
2z 2z

 0.
 x 2  y2
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
Варианты задачи № 2
32
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
Даны функция z = f (x, y) и две точки A (x0, y0) и B (x1, y1).
Требуется:
1) вычислить значение z1 функции в точке B;
2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0
функции в точке A, заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B
дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при
замене приращения функции ее дифференциалом;
3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке C
(x0, y0, z0). z0 - значение f (x0, y0), т. е. в точке A (x0, y0).
1. z  x 2  xy y 2 ;
2. z  3x 2  xy x  y ;
3. z  x 2  3xy 6 x ;
4. z  x 2  y2  6 x  3 y ;
5. z  x 2  2 xy 3 y2 ;
6. z  x 2  y2  2 x  y 1 ;
7. z  3x 2  2 y2  xy ;
8. z  x 2  y2  5 x  4 y ;
9. z  2 xy 3 y2  5 x ;
10. z  xy 2 y3  2 x ;
A (1, 2);
A (1, 3);
B (1.02, 1.96).
B (1.06, 2.92).
A (4, 1);
A (2, 3);
A (2, 1);
A (2, 4);
A (-1, 3);
A (3, 2);
A (3, 4);
A (1, 2);
B (3.96, 1.03).
B (2.02, 2.97).
B (1.96, 1.04).
B (1.98, 3.91).
B (-0.98, 2.97).
B (3.02, 1.98).
B (3.04, 3.95).
B (0.97, 2.03).
Варианты задачи № 3
Найти наименьшее и наибольшее значение функции z = f (x, y) в замкнутой области
D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
0  y  3.
1. z  x 2  y2  9 xy 27 ;
0  x  3;
2
2
x  0; y  0 ;
x y  3 .
2. z  x  2 y  1 ;
2
2
x  1; y  0 ;
3. z  3  2 x  xy y ;
yx.
2
2
x  1; y  1 ;
x y  1 .
4. z  x  3 y  x  y ;
2
2
1  x  1 ;
0 y2.
5. z  x  2 xy 2 y ;
2
2
x  1; y  1 ;
x y  1 .
6. z  5 x  3xy y  4 ;
2
2
7. z  10  2 xy x ;
0  y  4x .
2
2
x  0; y  0 ;
x  y 2  0 .
8. z  x  2 xy y  4 x ;
9. z  x 2  xy 2 ;
10. z  x 2  xy ;
4 x2  4  y  0 .
1  x  1 ;
0  y  3.
Варианты задачи № 4
Даны: функция z = f (x, y), точка A(x 0 , y0 ) и вектор a .
Найти: grad z в точке A; производную в точке A по направлению вектора a .
a = 2i - j .
1. z  x 2  xy y 2 ;
A (1, 1) ;
2
2
a = 3i - 4j .
2. z  2 x  3xy y ;
A (2, 1) ;
2
2
a = 3i +2 j .
3. z  ln(x  3 y ) ;
A (1, 1) ;
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
33
Рабочая программа учебной
дисциплины
4. z  ln(5 x 2  4 y2 ) ;
5. z  5 x 2  6 xy ;
6. z  arctg(xy2 ) ;
A (1, 1) ;
A (2, 1) ;
A (2, 3) ;
a = 2i - j .
A (1, 2) ;
a = 5i -12 j .
A (1, 3) ;
A (-1, 2) ;
A (1, 1) ;
a = 2i - j .
a = i +2 j .
a = 4i -3 j .
2
x
);
y
8. z  ln(3x 2  4 y 2 ) ;
9. z  3x 4  2 x 2  y3 ;
10. z  3x 2  y2  5 y2  x ;
7. z  arcsin(
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
a = 4i -3 j .
a = 2i + j .
8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
8.1. Обязательная литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Гусак А.А. Высшая математика: учебник для вузов: в 2 томах. — 3-е изд., стер. —
Минск: ТетраСистемс, 2001.
Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — Минск: ТетраСистемс, 1998. — 285 с.
Костриков А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. - М.: МГУ, 1980.
Беклемишев Д.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1990.
Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: математический анализ и дифференциальные уравнения / А. А. Гусак. — Минск : ТетраСистемс, 1998. — 416 с.
Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. – М.:
Высшая школа, 1985.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. -М,, Наука, 1975, т.1.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика - Дифференциальное и интегральное исчисление. -М., Наука, 1980.
Берман А.Р., Абрамова И.Т. Краткий курс математического анализа. - М., Наука,
1966.
Никольский С.М. Курс математического анализа. -М., Наука, 1975, т.1.
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. -М, Наука, 1971, ч.I.
Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 частях / П. Е. Данко, А.
Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. — 6-е изд. — М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование,
2003.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебное пособие / Л.
С. Понтрягин. — 5-е изд. — М. : Наука, 1982. — 331 с.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1976.
Беклемишева Л.А., Петрова А.Ю. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и
линейной алгебре. - М.: Наука, 1987.
Берман Г.И. Сборник задач по курсу математического анализа. -М., 1966.
8.2. Дополнительная литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элемента линейной алгебра и аналитической геометрии.
– М.: Наука, 1984.
2. Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. – М.: Высш.
шк., 1985.
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
34
Рабочая программа учебной
дисциплины
Ф ТПУ 7.1 – 21/01
3. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического
анализа/ Под ред. А.А.Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1975.
5. Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1980.
6. Костриков А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: МГУ, 1980
8.3. Методические указания и пособия, разработанные в ТПУ
Кабанова Л.И. Высшая математика. Часть I. - Томск: ТПУ, 1997.
Самочернова Л.И. Высшая математика. Часть II. - Томск: ТПУ, 1999
Козловских А.В. Высшая математика. Часть III. - Томск: ТПУ, 1999
Григорьев В.П. Высшая математика. Часть IV. - Томск: ТПУ, 1999
Кабанова Л.И. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. - Томск:
ТПУ, 1997.
6. Кабанова Л.И. Действия с комплексными числами. Методические указания для проведения практических занятий. Томск: изд. ТПУ, 1997. – 32с.
7. Кабанова Л.И. Определители n-го порядка. Использование определителей для систем nлинейных уравнений с n-неизвестными. Методические указания для проведения практических занятий. Томск: изд. ТПУ, 1989. – 16с.
8. Кабанова Л.И. Матрицы. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Методические указания для проведения практических занятий. Томск: изд. ТПУ, 1989. –
20с.
9. Кабанова Л.И. Система линейных уравнений. Методические указания для проведения
практических занятий. Томск: изд. ТПУ, 1989. –20с.
10.Кабанова Л.И. Векторная алгебра. Методические указания для проведения практических занятий. Томск: изд. ТПУ, 1990. – 23с.
11.Кабанова Л.И. Прямая и плоскость. Методические указания для проведения практических занятий. Томск: изд. ТПУ, 1989. – 22с.
12.Кабанова Л.И. Геометрические свойства кривых второго порядка и их канонические
уравнения. Методические указания для проведения практических занятий. Томск: изд.
ТПУ, 1997. – 32с.
13.Кабанова Л.И. Линейные пространства. Методические указания для проведения практических занятий. Томск: изд. ТПУ, 1989. – 24с.
1.
2.
3.
4.
5.
Документ: Рабочая программа
Дата разработки: «01» сентября 2007г.
35