новый вариант 242663

1.
ВАРИАНТ 24
Решить систему линейных уравнений методом Крамера, методом Гаусса, мат-
 x  2 y  3z  5
ричным методом 4 x  5 y  6 z  8
7 x  8 y  2

2. Даны точки в полярной системе координат А(1; 1) и В(2;2). Найти расстояние между ними.
3. В треугольнике АВС прямая АМ является биссектрисой угла ВАС, причем
точка М лежит на стороне ВС. Найти AM , если AB  b и AC  c .
4. Раскрыть скобки и упростить выражения: i  (  k )    i  k   k  i    k 
5. Даны три точки: А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2). С(х3, у3, z3). Найти: 1) координаты, модули, направляющие косинусы векторов АВ = а и АС = b ; 2) скалярное произведение а b ; 3) угол между векторами а и b ; 4) векторное произведение а  b ; 5) площадь треугольника, построенного на векторах a и b , если А(-2;-3;-1;), В(3;-1;2),
С(2;1;3).
6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых
2х-3у-1=0 и Зх-у-2=0 перпендикулярно прямой у=х+1.
7. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(5;-4) и составляющей с
осью Ох тот же угол, что и прямая 5х+2у-3=0.
8.
a) Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы у2=2рх и
касающейся ее директрисы. Найти точки пересечения параболы и окружности.
b) Установить тип кривой второго порядка, привести её уравнение к каноническому виду и построить эскиз графика Зх2 + Зу2 - 6х - 12у + 3 = 0.
9. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало
координат перпендикулярно плоскостям 2х-у+3z-1=0 и х+2у+z=0.
10. Доказать перпендикулярность прямых:
3x  y  5 z  1  0
x y 1 z

 и 
1
2
3
2 x  3 y  8 z  3  0
11. Найти угол между прямой и плоскостью
x 1 y 1 z  3


и x+y+2z-4=0.
1
2
1
12. Найти корни z1 , z2 квадратного уравнения, b) вычислить z1  z2 и z1 z2 , с)
записать числа z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах, 12 z  6z  1  0 .
13. Вычислить пределы функций
 x  5
3 x
3x  x  6
x
а ) lim
; б ) lim
; в) lim
; г) lim xctg 7 x; д) lim 
 .
x  27
2x  x  2
1  3x  1
x   x  2 
2
x 2
4
x 3
3
x
2
4
x 0
x 0
14. Найти производную функции
a) y  x sin
4. y 

log 2 ( x  x )
x 
x
x2 1

d ) y  log 3 arcsin 
 sin 2 x; b) y  arctg ( x  2)  ln
; c) y 

2
3
2
cos x
x
x

1


3  6x
3 - 4x  5x 2
;
y  sinx - x  cosx;
y  x 5 ln x;
y  x -tgx ;
y
x
 arctg .
x
y
15.Найти производную функции: a)используя логарифмическое дифференцирование; b) заданную неявно; c) заданную параметрически
а) y  х arctgx; b) y 5  xy3  x 2 y  0.
 x  t  sin x,
c) 
 y  1  cos t.
16.Вычислить предел, используя правило Лопиталля
a) lim
x 1
1
x 3  3x 2  2
; b) lim e  x  x 3 ; c) lim cos x  x ;
3
2
x 
x 0
x  4x  3
17.Исследовать функцию у на экстремум, найти промежутки возрастания и убывания,
18.Найти
наибольшее
y
и
у
x2 1
x
наименьшее значение функции у на
1 4 2 3 3 2
x  x  x 2
4
3
2
, -2; 4.
x 1
отрезке,
19.Исследовать
функцию и построить ее график.
x 2 1
2. y 
4. y 
2
x2
x 1
x2 1  x2 1
,y=
4x 3  5
20.Составить
уравнение касательной и нормали к графику функции у=х3-4х-1/х в
x
точке
с абсциссой х0=2.
4
21. Найти
неопределенный интеграл
x
8. y 
6. y 
a)
10. y 
b)
c)
d)
9
3
8
 ctgx  53 x 8  7  )dx
2
x
x  49 7
x 3 1
(
2 - 4x 2
1  4x 2

x  x  5x
3
3
4
3
x4
2
7
dx
dx
 9x 2  1
dx
 3x 1
xdx
2
5
e)
x
f)
 (2 x  1) dx
g)
 e sin xdx
 xe dx
 xarctgxdx
 e sin 2 xdx
h)
i)
j)
13
cos x
3x
x
22.Вычислить определенный интеграл
2
a)
 x(3  x)dx
0
1
d)
 x arcsin xdx
0
8
b)
(
2 x  3 x )dx
0
0
c)
 (2  5 x)
4
dx
1
23.Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми х=-1, х=3, у=2+х, осью ОХ.
24.Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится
1

0
xdx
1 x2
.