Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии

Урок алгебры в 9-м классе
Тема: "Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии"
Цель урока:



Вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии и следствие из нее;
Применить полученные знания при решении задач;
Развивать интерес к предмету через применение различных способов доказательства теоремы.
Ход урока
Оформление:




Древняя индийская легенда;
Таблица степеней чисел 2 и 3;
Карточка - консультант;
Карточки для учащихся, мотивированных на обучение.
Организационная часть
Проверка домашнего задания
№397
а).
;
=
;
=
;
=-
= 125 ·
=-
, при
=
=-
;
=
, при
=
;
;
в).
= 100;
, при
№400
или
;
;
, при
;
№403
:
;
;
Актуализация ЗУНов
1). Вычислите:
;
2).
;
;
;
;
;
;
;
;
3).
;
;
4). Разложите на множители:
- геометрическая прогрессия - ?
5).
- геометрическая прогрессия
Мотивация учебно-познавательной деятельности
Зачитывает ученик: "Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за
свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски
положить одно зерно, на вторую в 2 раза больше, т.е. 2 зерна, на третью еще в 2 раза больше, т.е. 4 зерна, и
так далее до 64 клетки. Сколько зерен должен получить изобретатель шахмат?"
Как мы назовем данную последовательность чисел: 1; 2; 22; 23; : 262; 263 ?
То есть нам нужно найти сумму 64 членов геометрической прогрессии.
S = 1 + 2 + 22 + 23 + : + 262 + 263;
S = 1 + 2·(1 + 2 + 22 + 23 + : + 262);
S = 1 + 2·(S - 263);
S = 1 + 2S - 264;
S = 264 - 1 зерен
Постановка цели урока
Таким образом, перед нами встает задача, а нельзя ли, используя этот же прием, вывести формулу суммы n
членов геометрической прогрессии.
);
(I)
(II)
Осознание и осмысление вывода формулы, и ее применение.
Пример 1.
I способ
II способ
- геометрическая прогрессия
- геометрическая прогрессия
;
;
Найти
Найти
Решение:
Решение:
Пример 2.
Найти: S = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - 128 + 256 - 512
Решение:
Следствие из формулы суммы n членов геометрической прогрессии.
Вернемся к устному счету.
Если
, то
Диагностика первоначального усвоения
№409(а)
№409(в)
- геометрическая прогрессия
- геометрическая прогрессия
Найти
Найти
Решение:
Решение:
Самостоятельно.
Вариант 1 Вариант 2
№410(а)
№410(б)
Итог урока



Выставление оценок;
Домашнее задание: п.19, №408, №409(б, г);
Карточки с индивидуальным заданием для учащихся, мотивированных на обучение.
Индивидуальные задания для учащихся, мотивированных на обучение
РГГУ
Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 11 дают в остатке 9.
МПАЛП
В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных
220.
МГУ 2001г. географический факультет
Числа a, b, с в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, а числа a-c, c-d, 2a в указанном
порядке образуют геометрическую прогрессию. Какое минимальное значение может принимать выражение 2а24b2-c2+4bc+6a ?
МГУ 2003г.
Разность девятого и третьего членов знакочередующейся геометрической прогрессии равна шестому члену,
умноженному на
. Найти отношение
.
МГУ механико-математический факультет
Сумма первых 5 членов геометрической прогрессии равна её первому члену, умноженному на 5, а сумма
первых 15 членов равна 100. Найти сумму b1+b6+b11 членов этой прогрессии.
г) Вернемся к эпиграфу нашего урока. Древний автор был явно не лишен чувства юмора, предлагая складывать
"не складываемое". Посчитайте и вы, потомки.
Почему же эпиграфом нашего урока была задача, найденная на папирусе в египетской гробнице?
Любимый летописец фараона Раундоса, Ахмес от души рассмеялся, когда после нескольких попыток понял
смысл задачи, которую безымянный автор зашифровал в виде такой простой последовательности слов.
Последовательность стала понятной и превратилась в геометрическую прогрессию, когда между семерками
предметов встало несколько служебных слов.
"Есть семь домов, в каждом доме по семь кошек, каждая кошка съела семь мышей, каждая мышь съела семь
колосьев ячменя. Из каждого колоса может вырасти семь мер зерна. Сколько всего этих разных "предметов"? "
д) Посмотреть другой вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Используемая литература
Алгебра 9 под редакцией С.А.Теляковского п.19;