Глава 3. Основы логики и логические основы компьютера

Глава 3. Основы логики и логические основы компьютера
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах древнего Востока (Китай, Индия),
но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы
формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления
(речи) от его содержания.
Логика – это наука о формах и способах мышления.
Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего
мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от
содержательной стороны.
Мышление всегда осуществляется в каких-то формах.
Основными формами мышления являются понятие, высказывание (суждение) и умозаключение.
Понятие. Понятие — это форма мышления, отражающая наиболее существенные признаки предмета,
отличающие его от других предметов. В структуре каждого понятия нужно различать две стороны:
содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков
предмета. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует выделить признаки, необходимые и
достаточные для выделения данного объекта по отношению к другим объектам.
Например, понятие €компьютер объединяет множество электронных устройств, которые
предназначены для обработки информации и обладают монитором и клавиатурой. даже по этому
короткому описанию компьютер трудно спутать с другими объектами, например с механизмами,
служащими для перемещения по дорогам и хранящимися в гаражах, которые объединяются понятием
«автомобиль».
Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую понятие распространяется. Объем
понятия «компьютер» выражает всю совокупность существовавших, существующих и могущих
существовать в будущем компьютеров.
Объем и содержание понятия связаны между собой, и эта связь выражается следующим законом: чем
больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот, чем больше содержание понятия, тем
меньше его объем. Иначе говоря, чем меньшее количество вещей мыслится в данном понятии, тем
больше оно сообщает об этих вещах. Например, понятие «карманный компьютер» охватывает меньший
объем, чем понятие «компьютер», но обладает большим содержанием.
Понятие — это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
Алгебра множеств, одна из основополагающих современных математических теорий, позволяет
исследовать отношения между множествами и, соответственно, объемами понятий.
Для наглядной геометрической иллюстрации объемов понятий и соотношений между Ними используются
диаграммы Эйлера—Венна. Если имеются какие-либо понятия А, В, С и т. д., то объем каждого понятия
(множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими объемами (множествами) — в виде
пересекающихся кругов.
Отобразим с помощью диаграммы Эйлера—Венна соотношение между объемами понятий
«натуральные числа» и «нечетные числа». Объем понятия «натуральные числа» включает в
себя множество целых положительных чисел А, а объем понятия «четные числа» включает в
себя множество отрицательных и положительных четных чисел В. Эти множества
пересекаются, так как оба включают в себя множество положительных четных чисел С (рис.
3.1).
Высказывание. Высказывание (суждение) — это форма мышления, выраженная с помощью понятий,
посредством которой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними.
О предметах можно судить верно или неверно, т. е. высказывание может быть истинным или ложным. Истинным
будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.
Ложным высказывание будет в том случае, когда связь понятий искажает объективные отношения, не
соответствует реальной действительности.
Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например,
истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180 градусам» устанавливается
геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского —
ложным.
На естественном языке высказывания выражаются повествовательными предложениями.
Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, потому что
невозможна оценка их истинности или ложности.
Высказывания могут быть выражены не только с помощью естественных языков, но и с помощью формальных
языков. Из двух числовых выражений можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или
неравенства. Например, высказывание на естественном языке имеет вид «Два умножить на два равно четырём»,
а на формальном, математическом языке оно записывается в виде «2х2=4».
Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах,
их свойствах и отношениях между ними. Высказывание может быть истинно, либо ложно.
Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Высказывание,
состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).
Высказывание состоит из понятий, и его можно сравнить с арифметическим выражением, в котором все числа
заданы. В математической логике рассматриваются предикаты, т. е. функциональные зависимости от
неопределенных понятий (терминов), которые можно сравнить с переменными в уравнении.
В предикатах первого порядка один из терминов является неопределенным понятием
(например, «x — человек»).
В предикатах второго порядка два термина не определены (например, «x любит y»).
В предикатах третьего порядка неопределенны три термина (например, «z — сын x и y»).
Преобразуем рассмотренные выше предикаты в высказывания путем подстановки вместо переменных
соответствующих понятий: x = «Сократ», y = «Ксантиппа», z= «Софрониск». Получим высказывания:
«Сократ — человек»;
«Ксантиппа любит Сократа»;
«Софрониск — сын Сократа и Ксантиппы».
Умозаключение. Умозаключение — это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких
высказываний, называемых посылками, по определенным правилам логического вывода получается новое
знание о предметах реального мира (вывод).
Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии. В дедуктивных умозаключениях рассуждения
ведутся от общего к частному. Например, из двух суждений: «Все металлы электропроводны» и «Ртуть является
металлом» — путем умозаключения можно сделать вывод: «Ртуть электропроводна».
В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от частного к общему. Например, установив, что отдельные
металлы — железо, медь, цинк, алюминий и т. д. — обладают свойством электропроводности, можно сделать
вывод, что все металлы электропроводны.
Умозаключение по аналогии представляет собой движение мысли от общности одних свойств и отношений у
сравниваемых предметов или процессов к общности других свойств и отношений. Например, химический состав
Солнца и Земли сходен по многим показателям, поэтому когда на Солнце обнаружили неизвестный еще на
Земле химический элемент гелий, то по аналогии заключили: такой элемент есть и на Земле.
Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний
(посылок) может быть получено новое высказывание (вывод).
Доказательство. Доказательство есть мыслительный процесс, направленный на подтверждение или
опровержение какого-либо положения посредством других несомненных, ранее обоснованных доводов.
Доказательство по своей логической форме не отличается от умозаключения. Однако, если в умозаключении
заранее исходят из истинности посылок и следят только за правильностью логического вывода, в доказательстве
подвергается логической проверке истинность самих посылок.
Примером умозаключений могут быть геометрические доказательства. Например, если мы имеем суждение
«Все углы треугольника равны», то мы можем путем умозаключения доказать, что в этом случае справедливо
суждение « Этот треугольник равносторонний».
Контрольные вопросы
1. В чем состоит разница между содержанием и объемом понятия? Связаны ли между собой содержание и
объем понятия? Приведите примеры.
2. Как определяется истинность или ложность простого высказывания?
Задания
3.1. Привести примеры понятий, высказываний, умозаключений и доказательств из различных наук: математики;
информатики; физики и химии.
3.2. Представить с использованием диаграммы Эйлера-Венна соотношение между объёмами понятий «чётные
числа» и «нечётные числа».
3.3. Построить высказывания на основе предиката второго порядка «x состоит из y».