ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММЫ MATHCAD ПРИ

Преподавание ТММ
УДК 621.01
В. М. ТРЕТЬЯКОВ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММЫ MATHCAD ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ
СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ
Графические и графоаналитические методы широко используются при изучении теории механизмов и машин не только в силу их наглядности, но и вследствие того, что они
развивают у студентов инженерную интуицию, позволяющую оценивать кинематические
возможности механизма по его кинематической схеме.
Для контроля результатов, полученных при использовании планов скоростей и ускорений, целесообразно иметь средства, позволяющие быстро провести аналитический расчет
кинематических параметров. В [1] предложен аналитический метод решения задачи определения скоростей и ускорений, при котором сохраняется последовательность действий, используемая при графоаналитическом решении. Это приводит к применению отличающихся
по форме систем уравнений, отражающих разные свойства и отношения исследуемых векторов, требует привлечения дополнительных знаний из аналитической геометрии, что в итоге усложняет расчет.
В статье рассмотрен векторный способ решения задач кинематического анализа механизмов, основанный на использовании метода векторных многоугольников и теоремах о
скоростях и ускорениях точек твердого тела. При расчете сначала определяются положения
звеньев, затем характеристики их вращательного движения, а по ним скорости и ускорения
точек.
В качестве примера рассмотрен кинематический анализ механизма, данные о котором
приведены в [1]. Его кинематическая схема показана на рис. 1.
Рис. 1. Кинематическая схема шарнирного четырехзвенника
Исходные данные [1]: 1  10 с-1, l AB  0,1 м,
lBC  0,3 м, lCD  0, 25 м, l AD  0, 2 м,
0  0 , значение обобщенной координаты 1  30 .


Звеньям механизма сопоставим соответствующие вектора l0 , l1 , l2 и l3 (рис. 2). Модули векторов равны длинам звеньев l1  l AB , l2  lBC , l3  lCD , l0  l AD .
40
http://tmm.spbstu.ru
Использование программы Mathcad при определении скоростей …
Рис. 2. Векторный многоугольник шарнирного четырехзвенника
Векторы l0 и l1 , модули и ориентация которых известны, необходимо представить в
виде:
l1  cos 1 
l0  cos  0 


l0   l 0  sin  0  , l1   l1 sin 1  .
 0 


0
(1)
Аналогично это будет выглядеть и в программе MathCAD. Здесь и далее запись вида
 lx 
 
l   ly 
l 
 z
следует понимать как вектор l  l x i  l y j  l z k , где i, j, k – орты осей координат.
Вектор угловой скорости кривошипа в проекциях на оси координат
 0 


1   0  .
  
 1
Скорость точки B найдем по формуле:
VB  1  l1 .
В программе MathCAD это будет выглядеть следующим образом:
 0 
 0.5 




1   0  Vb : 1  l1 Vb   0.866  Vb  1 .
 10 
 0 




Для определения скоростей других точек звеньев механизма необходимо найти положения векторов l 2 и l3 . Воспользуемся уравнением замкнутости векторного многоугольника, показанного на рис. 2.
Теория Механизмов и Машин. 2009. №2. Том 7.
41
Преподавание ТММ
l1  l2  l0  l3 , l 2  l BC , l3  lCD .
(2)
Это векторное уравнение может быть решено с помощью вычислительного блока
Given/Find [2], для чего необходимо задать начальные значения проекций векторов l2 и l3
на оси координат (3). Кроме того, уравнение замкнутости векторного многоугольника необходимо дополнить уравнениями, определяющими длины данных векторов (2):
1
1
 
 
l2   1  , l3   1  .
0
0
 
 
(3)
В программе MathCAD определение векторов l 2 и l3 будет выглядеть следующим образом:
1
1
 
 
l2 :  1  , l3 :  1 
0
 0
 
 
Given
l1  l2 = l0  l3
l2 = lBC
l3 = lCD
 : Find(l2 , l3 )
 3.1 

l :  0 l3 : 1
 3.1  2


 0.087 
 0.257 
 0.144 
 0.2 






 
l1   0.05  l2   0.155  l3 :  0.205  l0 :  0  .
 0 
 0 
 0 
 0 






 
Векторы l0 и l1 найдены по формулам (1).
Скорость точки С определяется из векторного уравнения:
VC  VB  VCB .
(4)
Выразив скорости, входящие в (4), через заменяющие векторы звеньев и угловые скорости, получим уравнение

3  l3  VB  2  l2 .


В этом уравнении неизвестны модули векторов 2 и 3 , которые также можно найти
с помощью вычислительного блока Given/Find.
42
http://tmm.spbstu.ru
Использование программы Mathcad при определении скоростей …


Перед решающим блоком заданы начальные значения проекций векторов 2 и 3
на оси координат. Используя векторные выражения, найдем требуемые скорости точек звеньев:
VС  3  l3 , VСB  2  l2 .
В программе MathCAD это будет выглядеть следующим образом:
Зная проекции векторов на оси координат, легко определить углы между найденными
векторами и осями.
Перейдем к определению ускорений точек. Ускорение точки B находим по формуле:
аB  1  VB .
Соответствующий фрагмент в MathCAD имеет вид:
Теория Механизмов и Машин. 2009. №2. Том 7.
43
Преподавание ТММ
Для определения ускорения точки C используем векторные уравнения
n

aC  aB  aCB
 aCB
,
n

aC  a D  aCD
 aCD
.
(5)
Приравняв правые части, заменим (5) одним уравнением. Выразив ускорения через
заменяющие векторы звеньев, угловые скорости и угловые ускорения получим уравнение
для определения кинематических характеристик вращательного движения звеньев:
n

n

aCD
 aCD
 aB  aCB
 aCB
.
После замены получим

3  VC  3  l3  aB  2  VCB  2  l2 .
Опять используем вычислительный блок Given/Find, чтобы найти модули угловых
ускорений:
Перед решающим блоком заданы начальные значения проекций векторов 2 и 3 на
оси координат. Используя векторные выражения, найдем требуемые ускорения. Ускорения
точки С :
aC  3  l3 , aCn  3  VC , a C  aCn  aC .
44
http://tmm.spbstu.ru
Использование программы Mathcad при определении скоростей …
В программе MathCAD это будет выглядеть следующим образом:
Ускорения точки С относительно B :

n
n

aCB
 2  l2 , aCB
 2  VCB , aCB  aCB
.
 aCB
Соответствующий фрагмент в MathCAD имеет вид:
Задавая различные значения обобщенной координаты 1 механизма, можно получить
полную картину изменения кинематических параметров за один оборот начального (входного) звена.
Таким образом, решение задач кинематического анализа механизмов на основе использования метода векторных многоугольников и угловых скоростей позволяет осуществить проверку результатов, полученных методом планов скоростей и ускорений, использующим классические формулы теоретической механики и теории механизмов и машин.
Предложенный метод прост и использует единообразные по форме математические выражения.
Используя графические возможности программы MathCAD, можно построить кинематическую схему механизма в заданном положении, план скоростей и план ускорений. На
рис. 3 и рис. 4 показан один из двух возможных вариантов сборки рассматриваемого механизма. Полюсы плана скоростей и плана ускорений, приведенных на рисунках, совмещены с
Теория Механизмов и Машин. 2009. №2. Том 7.
45
Преподавание ТММ
входной кинематической парой начального (входного) звена механизма. Векторы скоростей
показаны линиями, состоящими из точек, а векторы ускорений – штрихпунктирными линиями. Звено, векторы скорости и ускорения его точек имеют один цвет.
Рис. 3. Кинематическая схема, планы скоростей и ускорений шарнирного четырехзвенника
при
1  30
Для получения второго варианта сборки механизма необходимо изменить в (3)
начальные значения проекций векторов l 2 и l3 на оси координат. В программе MathCAD
определение векторов l 2 и l3 будет выглядеть следующим образом:
1
 1
 
 
l2 :  1 , l3 :  1
0
0
 
 
Given
l1  l2 = l0  l3
l2 = lBC
l3 = lCD
 : Find(l2 , l3 )
 3.1 

l :  0 l3 : 1
 3.1  2


 0.087 
 0.059 
 0.054 
 0.2 






 
l1   0.05  l2   0.294  l3 :  0.244  l0 :  0  .
 0 
 0 
 0 
 0 






 
46
http://tmm.spbstu.ru
Использование программы Mathcad при определении скоростей …
Рис. 4. Кинематическая схема, планы скоростей и ускорений шарнирного четырехзвенника
при
1  310
На рис. 5 и рис. 6 показаны результаты решения задачи о положениях, скоростях и
ускорениях для второго варианта сборки механизма, показанного на рис. 1.
Рис. 5. Кинематическая схема, планы скоростей и ускорений второго варианта сборки
шарнирного четырехзвенника при
Теория Механизмов и Машин. 2009. №2. Том 7.
1  30
47
Преподавание ТММ
Рис. 6. Кинематическая схема, планы скоростей и ускорений второго варианта сборки
шарнирного четырехзвенника при
1  310
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
Зиборов К.А. Решение векторных уравнений кинематики механизмов с помощью
программы Mathcad / К.А. Зиборов, И.Н. Мацюк, Э.М. Шляхов // Теория механизмов
и машин. 2008. №1(11). С. 64-70.
Кирьянов Д.В. Mathcad 14 / Д.В. Кирьянов. – СПб.: БХВ – Петербург, 2007. – 704 с.
Поступила в редакцию 29.04.2009
48
http://tmm.spbstu.ru