О НЕКОТРЫХ СИММЕТРИЧНЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ

О НЕКОТРЫХ СИММЕТРИЧНЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ
ТИПА ГАУССА-КРОНРОДА
Нигматулин Р.М., Кудряшова Е.В.
Челябинский государственный педагогический университет
Вычисление определённых интегралов находит широкое применение как в
математических, так и в прикладных задачах. На практике, как правило, используют
приближённые квадратурные формулы. Одной из наиболее известных и востребованных при
разработке
пакетов
компьютерной
математики
(MATLAB,
Mathematica)
является
квадратурная формула Гаусса-Кронрода [1-6].
При построении квадратурных формул
различные
системы
ортогональных
многочленов
P
( , )
n
ортогональных многочленов Якоби
типа Гаусса-Кронрода используются
[1-4,
6].
Рассмотрим
систему

( x) . Нетрудно доказать следующее свойство
симметрии этих многочленов.
ТЕОРЕМА. Для многочленов Якоби Pn( , ) ( x), ортогональных на (1; 1) с весовой
функцией h( x)  (1  x)  (1  x)  (   1 ,   1 ), выполняется Pn( , ) ( x)  (1) n  Pn(  , ) ( x) .
Для весовой функции вида h( x)  (1  x)  (1  x)  при    эта теорема обобщает
доказанное в [7] утверждение (Теорема 1.3).
В настоящей работе показано, что для базовой формулы типа Гаусса (построенной с
помощью многочленов Якоби), используя указанное свойство симметрии, можно построить
две парные симметричные квадратурные формулы типа Гаусса-Кронрода.
Не теряя общности, будем рассматривать промежуток интегрирования [1; 1] . Пусть
построена базовая квадратурная формула типа Гаусса
1
n
1
k 1
( ,  )
 h( x)  f ( x)dx   Ak  f ( xk ) ,
( , )
k
где весовые коэффициенты A
(1)
~
h( x)  Pn( , ) ( x)

dx , xk – нули многочлена Якоби с
~ ( , )
1 ( x  x )  P
(
x
)
k
n
k
1
n!2n  (    n  1) ( ,  )
~ ( ,  )
единичным старшим коэффициентом Pn
( x) 
 Pn ( x) . Тогда по
(    2n  1)
найденным значениям весовых коэффициентов Wk( ,  ) и узлам  k (k  1, 2,, 2n  1) можно
построить
две
парные
симметричные
формулы
типа
Гаусса-Кронрода
(равного
алгебраического порядка точности):
1
 h( x)  f ( x)dx 
1
2 n1
W  
k 1
( , )
k
 f (k ) ,
(2)
1
 h( x)  f ( x)dx 
1
2 n 1
W  
k 1
( , )
n k
 f (   n k ) ,
(3)
~
где  k – нули полинома Кронрода K2(n,1 ) ( x)  Qn1 ( x)  Pn( , ) ( x) , который строится по
аналогии с методом, изложенным в [4]. Коэффициенты многочлена Qn1 ( x) определяются с
1
~
помощью взвешенных степенных моментов M n(, s,  )   h( x)  Pn( ,  ) ( x)  x s dx по формулам
1
pn1  1, pn  
M n(,n,1)
, pn1  
( ,  )
M n ,n
M n(,n,2) pn1  M n(,n,1) pn
M n(,n,k)1 pn1  ...  M n(,n,1) pnk 1
…
,
,
p


n k
M n(,n, )
M n(,n, )
а весовые коэффициенты вычисляются по формуле
Wk( , ) 
h( x)  K 2(n,1 ) ( x)
dx
1
( , )
( x   k )  K 2 n1 (  k )
1
(k  1, 2,, 2n  1) .
Заметим, что правые части в формулах (2) и (3) в общем случае при    дают
различные приближенные значения интеграла, а при    – равные. Получение двух
приближенных значений интеграла с помощью одного набора весовых коэффициентов
Wk( ,  ) и узлов  k (k  1, 2,, 2n  1) дает определенные вычислительные и алгоритмические
преимущества при использовании формул (2) и (3).
В [4] указано, что формулы (1) и (2)–(3) при некоторых ограничениях на весовую
1
функцию можно применять при вычислении интегралов вида
  ( x)dx ,
предварительно
1
выделив весовую функцию и положив f ( x) 
 ( x)
h( x )
.
Литература
[1]. Calvetti, D. Computation of Gauss-Kronrod Quadrature Rules [Текст] / D. Calvetti, G.H. Golub, W.B. Gragg,
L. Reichel // Mathematics of Computation. – 2000. – V. 69. – No 231. – P.P. 1035-1052.
[2]. Gander, W. Adaptive Quadrature – revisited [Текст] / W. Gander, W. Gautschi // BIT Numerical Mathematics. –
2000. – V.40. – No 1. – P.P. 84-101.
[3]. Shampine, L.F. Vectorized Adaptive Quadrature in MATLAB [Текст] / L.F. Shampine // Journal of
Computational and Applied Mathematics. – 2008. – V. 211. – P.P. 131–140.
[4]. Бахвалов, Н. С. Численные методы [Текст] / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М.: Бином.
Лаборатория знаний. – 2003.
[5]. Кронрод, А.С. Узлы и веса квадратурных формул: Шестнадцатизначные таблицы [Текст] / А.С. Кронрод. –
М.: Наука. – 1964.
[6]. Крылов, В.И. Приближённое вычисление интегралов [Текст] / В.И. Крылов. – М.: Наука. – 1967.
[7]. Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены [Текст] / П.К. Суетин. – М.: Наука. – 1979.