АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ И ИХ СЛОЖНОСТЬ в.н.с. Е.В. Панкратьев Что такое компьютерная алгебра? Примеры задач. Системы компьютерной алгебры. Проблема представления данных. Целые числа. Проблема представления данных. Кольца вычетов и конечные поля. Проблема представления данных. Рациональные числа. Проблема представления данных. Алгебраические числа. Проблема представления данных. Многочлены. Проблема представления данных. Рациональные функции. Арифметические операции с целыми числами. Быстрое умножение и деление. НОД целых чисел. Определение и алгоритмы вычисления. Расширенный алгоритм Евклида. Расширенный бинарный алгоритм вычисления НОД натуральных чисел. Многомодульная арифметика, системы вычетов по смешанному основанию, китайская теорема об остатках. p-адические числа. Многочлены от одной переменной над полем и кольцом целых чисел. Основные свойства, арифметические операции. Лемма Гаусса. Содержание многочлена, примитивные многочлены. Оценки для модуля корней многочлена. Оценки для коэффициентов делителей многочлена. НОД многочленов с целыми коэффициентами. Алгоритмы вычисления, основанные на последовательностях полиномиальных остатков. Модулярный алгоритм вычисления НОД многочленов с целыми коэффициентами. Китайская теорема об остатках для многочленов. Отношение редукции для многочленов. Условия слияния. Базисы Гребнера. Определение и основные свойства. Алгоритм построения базисов Гребнера. Авторедуцированные множества многочленов. Авторедуцированные базисы Гребнера. Многочлены Гильберта. Определение, алгоритм включения-исключения. Рекурсивный алгоритм вычисления многочленов Гильберта. Интегрирование в конечном виде. Постановка задачи. Элементарные функции. Теорема Лиувилля (формулировка). Регулярные мономы. Структурная теорема (формулировка и примеры применения). Алгоритм Риша. Литература 1. Кнут Д. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. 3-е издание. М.-СПб.-Киев, Вильяме, 2000. 2. Латышев В.Н. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы. М., изд-во МГУ, 1987. 3. Латышев В.Н. Комбинаторная теория колец. Сложность алгебраических алгоритмов. М., изд-во МГУ, 1988. 4. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. Под редакцией Бухбергера, Лооса, Коллинза. М., Мир, 1986. 5. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М., Мир, 1991. 6. Акритас А. Компьютерная алгебра с приложениями. М., Мир, 1994. 7. Панкратьев Е.В. Компьютерная алгебра. http://shade.msu.ru/~pankrat/BOOK.PS