ВОПРОСЫ для подготовки к экзамену по математике за III семестр

ВОПРОСЫ
для подготовки к экзамену по математике
за III семестр
1. Первообразная
и
неопределенный
интеграл.
Геометрический
смысл
неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
2. Правила интегрирования. Интегрирование заменой переменных. Интегрирование
по частям.
3. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора о равномерной
непрерывности.
4. Интегральная сумма, определенный интеграл, интегрируемость. Суммы Дарбу.
Свойства сумм Дарбу. Условие существования интеграла.
5. Интегрируемость непрерывных, ограниченных и монотонных функций.
6. Арифметические свойства определенных интегралов, а также их свойства,
выражаемые неравенствами. Теорема о среднем.
7. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Связь определенного
интеграла с первообразной. Вычисление определенных интегралов с помощью
интегральных сумм.
8. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в
определенном интеграле.
9. Площади, кривые с нулевой площадью, аддитивность площади. Выражение
площади под графиком в декартовой и полярной системах координат.
10. Объемы, поверхности с нулевым объемом, аддитивность объема. Выражение
объема интегралом. Объем тела вращения. Объем сферы, конуса. Принцип Кавальери.
11. Кривая на плоскости, параметризация и спрямляемость. Спрямляемость гладкой
кривой. Вычисление длины кривой, заданной в параметрической форме, в декартовой и
полярной системах координат.
12. Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности шара.
13. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). Решение ОДУ.
Общее и частное решения ОДУ первого порядка, их геометрический смысл.
Геометрический смысл ОДУ первого порядка.
14. Задача Коши для ОДУ первого порядка. Теорема о существовании и
единственности решения задачи Коши.
15. ОДУ с разделяющимися переменными, однородные уравнения.
16. Линейные ОДУ первого порядка.
17. ОДУ высших порядков. Общее и частное решения ОДУ высших порядков. Задача
Коши для ОДУ высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения
задачи Коши для ОДУ высших порядков. Физические примеры.
18. Линейные ОДУ высших порядков с постоянными коэффициентами. Общее
решение однородного уравнения.
19. Линейные ОДУ высших порядков с постоянными коэффициентами. Частные
решения неоднородных уравнений со специальной правой частью.
20. Линейные ОДУ высших порядков с постоянными коэффициентами. Метод
вариации произвольных постоянных.
21. Геометрическое векторное пространство. Направленные отрезки и геометрические
векторы. Сложение геометрических векторов, обоснование корректности определения.
Свойства суммы векторов.
22. Длина (модуль) вектора и свойства длины. Координаты вектора на прямой. Лемма
Шáля. Умножение вектора на скаляр, свойства операции умножения вектора на скаляр.
23. Линейная зависимость. Коллинеарность. Признак коллинеарности векторов.
Компланарность. Признак компланарности векторов.
24. Базис в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о разложении вектора по
базису. Координаты вектора. Геометрическое и арифметическое векторное пространство,
их изоморфизм.
25. Декартова система координат на плоскости. Прямоугольная декартова система
координат (ПДСК) на плоскости. Длина вектора и расстояние между точками. Деление
отрезка в данном отношении. Правила треугольника для сложения и вычитания векторов.
26. Уравнение кривой, уравнение окружности. Задача Аполлония.
27. Скалярное произведение. Свойства скалярного произведения. Выражение
скалярного произведения векторов и угла между векторами через их координаты на
плоскости.
28. Уравнение прямой на плоскости. Нормаль и направляющий вектор. Задание
прямой в алгебраической, параметрической, векторной форме. Каноническое уравнение
прямой. Уравнение прямой в отрезках.
29. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Проекция точки на
прямую. Взаимное расположение прямых и угол между прямыми на плоскости.
30. Определитель второго порядка. Определитель Грама системы двух векторов,
вычисление площадей на плоскости с помощью векторного произведения и с помощью
определителя Грама.
31. Декартова система координат в пространстве. ПДСК в пространстве. Уравнение
поверхности, уравнение сферы.
32. Скалярное произведение, его свойства. Выражение скалярного произведения
векторов и угла между векторами через их координаты в пространстве.
33. Векторное произведение, определение и свойства. Определитель третьего порядка.
Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе. Вычисление
площадей с помощью векторного произведения.
34. Смешанное произведение векторов и объем параллелепипеда. Вычисление
смешанного произведения в ортонормированном базисе.
35. Уравнения плоскости: общее уравнение, уравнение в отрезках, нормальное
уравнение. Расстояние от точки до плоскости. Запись уравнения плоскости в виде
определителя.
36. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями.
37. Задание прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой. Взаимное
расположение прямых. Расстояние между прямыми. Угол между прямыми в пространстве.
38. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
39. Определитель Грама системы из трёх векторов, вычисление объемов с помощью
определителя Грама.
40. Кривые второго порядка и их классификация.
41. Поверхности второго порядка и их классификация.