Обучение математике – это, в итоге обучение решению задач

«Решение нестандартных задач и решение задач нестандартными
способами»
Обучение математике – это, в итоге обучение решению задач
Обсудим вопрос: Что такое математическая задача? Математической
задачей называют требование осуществить некоторую математическую
деятельность в указанных условиях. Обычно в задаче речь идет о
нахождении некоторого числа (в частности, длины, площади, объема, меры
угла), построение фигуры, установлении рассматриваемой функции и т.п. По
характеру вопроса различают задачи на вычисление, на построение, на
доказательство, на исследование, на моделирование.
Иногда в условии оговариваются средства выполнения задания.
Например, требуется записать число 100 девятью различными цифрами,
соединенными знаками действий. Иногда дается дополнительное условие,
которое ограничивает пути выполнения предложенного задания.
Ограничение существенно влияет на направленность поиска решения задачи.
Например, не выполняя деления, докажите, что число 7920 делится на 60.
По роли, которую играют учебные задачи, их делят на стандартные,
задачи с известным алгоритмом и нестандартные.
Стандартные задачи ставят своей целью припомнить то, что узнали на
предыдущих занятиях. Есть задачи, предлагаемые в виде вопроса, например:
«Какую форму имеет график квадратной функции?». Они важны уже потому,
что без знания теоретического материала нельзя приступить к решению
поставленной задачи. Такие задачи помогают систематизировать пройденное.
Однако, укрепляя память, они совершенно не развивают мышление, поэтому
не могут считаться основными.
Большинство задач на уроках математики – задачи с известными
алгоритмами решения, где используются знания, полученные на уроках. В
них нужно вспомнить известные формулы, теоремы и т.д. Принципиальных
трудностей при решении таких задач не возникает – они стандартны. Такие
задачи конечно важны, нужны. Они приучают сравнивать возможные пути
решения, с помощью их возникают и закрепляются навыки рационального
решения задач. Однако задачи с известными алгоритмами не знакомят
учащихся с новыми математическими фактами, приемами математической
деятельности, не способствуют математическому развитию.
Нестандартные задачи отвечают всем перечисленным требованиям. Так
что же такое нестандартная задача? Самое главное: для хорошей
нестандартной задачи характерно отнюдь не лежащее на поверхности,
необычное, зачастую неожиданное решение. Сюда же следует отнести и
задачи с необычной формулировкой, порой с довольно простым решением,
но требующие значительных умственных усилий для того, чтобы понять их
условие. При решении таких задач применяются, кроме известных средств,
понятия и методы, которые не входят в программу по математике основной
школы. Главная задача учителя помочь научиться открывать способы
1
решения и научить убеждаться в его пригодности. Определить, является ли
данная задача нестандартной или нет, конечно, можно только относительно
конкретного школьника, только с учетом его знаний и умений в момент
постановки задачи. Так, например, если требуется найти площадь
треугольника, у которого длины сторон 5, 10, 13, то для того, кто привык
a)(p
b)(p
c) «неудобные»
применять только формулу Герона S = p(p
числовые данные превращают задачу в нестандартную, но для знающего
1 22 2 2 22
4

(


)
формулу S
это задача с известным алгоритмом.
в
а
в
с
4а
Работая в школе математиком, я заметил, что дети пасуют перед
решением нестандартных задач. Я поставил перед собой цель: обучать
решению нестандартных задач в урочное и в неурочное время. Поэтому
сейчас у меня много собрано нестандартных задач по различным темам
программным и не программным. Сегодня я хочу поделиться с вами
некоторыми из них.
Самое главное я заметил то что, решая нестандартные задачи, ученик
как бы удовлетворяет свои человеческие потребности. Да потребности! Ведь
именно эта потребность человеческого интеллекта заставляет людей
отгадывать головоломки, загадки, решать кроссворды, играть в шахматы и
другие интеллектуальные игры. Без решения задач («интеллектуальной
встряски») бессмысленно какое бы то ни было преподавание математики, без
решения задач математика превращается в «гуманитарный предмет».
Подчеркиваю «гуманитарный предмет» в кавычках! В настоящем
гуманитарном предмете есть свои задачи – исторические, филологические и
прочие. Вот поэтому я решил в серьез в практику своей работы внедрять
задачи нестандартного характера или обычные задачи учить детей (в
определенных случаях) решать нестандартным способом.
Начиная работать с пятиклассниками на своих уроках во время
устных упражнений я обязательно включаю нестандартные задачи.
Например, по теме «Действие над числами»
1. а) Ученик переписал числовое выражение, значение которого равно 58, но
забыл поставить скобки. У него получилось: 6 · 8+20:4-2. Где в этом
выражении должны стоять скобки?
б) Расставляя в этом выражении скобки разными способами, можно
получить другие ответы. Какие?
2. Как нужно расставить скобки, чтобы получить верное равенство
а) 3248:16+3·315-156·2=600
б) 350-15·104-1428:14=320.
3.С помощью одинаковых цифр (кроме 0), знаков арифметических действий
и скобок запишите выражение, значение которого1000.
4. Как с помощью двух пустых бидонов емкостью 17л и5л отлить из
молочной цистерны ровно 13л молока?
5. Имеется три монеты, внешне неразличимые, из них две настоящие,
одинаковой массы, одна фальшивая, легче настоящих.
2
Можно ли найти фальшивую монету с помощью одного взвешивания на
правильных чашечных весах без гирь?
С помощью устных упражнений можно выявить детей с повышенным
интересом к математике, т.е. способных детей, которые очень быстро
решают такие задачи, умеют их решение объяснить, логически рассуждать.
Но на уроках нестандартных задач можно решить не много, а очень
хотелось бы развивать умения их решать, научить проявлять творческую
оригинальность и научить вырабатывать собственный метод решения
нестандартных задач.
Поэтому я практикую решение задач в течение всего учебного года.
Даю на месяц 5-6 задач. Дети дома решают их, а потом в классе предлагаю
заслушать лучшие решения, оригинальные способы и т.д. Оформляем все это
в тетрадях для нестандартных задач. Помогаю решить те задачи, с которыми
никто не мог справиться.
При подборе задач придерживаюсь таких принципов:
1) 2-3 задачи даю подобные тем, которые уже решались детьми и способ
решения уже им достаточно знаком.
2) 2-3 задачи- нового типа.
Перед тем как детям их предложить, конечно, я объясняю на какую они
тему, как их решают, разбираю возможные способы решения их.
Работая по теме «Решение нестандартных задач» я ставлю для себя
цель не только научить ребят решать конкретные задачи, но и помочь
школьникам приобрести необходимый опыт и выработать собственную
систему эвристических приемов, позволяющих решать незнакомые задачи.
Предлагаю вашему вниманию несколько нестандартных задач для
учащихся 5-8 классов.
Задача 1. «Бракованная монета»
Известно, что монеты в 1,2,3 и 5 копеек весят соответственно 1,2,3 и 5 грамм.
Среди четырех монет (по одной каждого достоинства) одна- бракованная:
отличается весом от настоящей. Как с помощью двух взвешиваний
определить бракованную монету?
Решение.
Достаточно произвести 2 взвешивания:
1) 1коп+2коп и 3коп 2) 2 коп+3коп и 5коп.
Если хотя бы в одном случае весы уравновесились, то фальшивой является
монета, не участвовавшая во взвешивании, давшем равновесие.
Предложим, что в результате первого взвешивания выяснилось, что монета в
3 копейки легче. Тогда если после второго взвешивания монета в 5 копеек
окажется тяжелее, то монета в 3 копейки фальшивая (она легче настоящих).
Если же нет (5 коп. легче), то фальшивая двухкопеечная монета (она
тяжелее). Если в результате первого взвешивания монета в 3 коп. оказалась
тяжелее, а по результатам второго 5 коп.- тяжелее, значит 2 коп. фальшивая
(легче), а если второе взвешивание дало обратный результат, то 3 коп. фальшивая (тяжелее).
3
Задача 2. Пример на сложение.
На восьми карточках записаны цифры и знаки «Плюс» и «равно»: 2,3,5,6,7,8,
«+», «-.» . Составьте верный пример на сложение, используя все указанные
карточки.
Решение.
1) 27+38=65
2) 37+28=65
3) 26+57=83
4) 56+27=83.
Задача 3. Похудеть к лету.
За весну Обломов похудел на 25%, а затем за лето поправился на 20%, затем
за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%.Похудел он в итоге или
поправился?
Решение. Пусть первоначальный вес Обломова х кг, тогда его вес через год
будет равен х·0,75·1,2·0,9·1,2= 0,972х, что меньше х. Таким образом
Обломов похудел.
Задача 4.
Известно, что 4 карандаша и 3 тетради стоят 9р.60коп., а 2 карандаша и 2
тетради стоят 5р.40коп. Сколько стоят 9 карандашей и 6 тетрадей?
Решение. Так как 3 тетради и 4 карандаша стоят 9р.60коп, а 2 карандаша и 2
тетради стоят 5р40коп, то 4 карандаша и 4 тетради будут стоить 10р.80коп.
Значит 1 тетрадь стоит (10р.80 коп.-9р.60коп) 1р 20коп. 3 тетради стоят 1р
20коп · 3 = 3р 60 коп. 4карандаша стоят 9р60коп -3р60коп = 6руб. 1 карандаш
6р.:4=1р50коп. 9карандаей стоят 1р50коп·9=13р 50коп, а 6 тетрадей6·1р20коп.=7р20коп.
Задача 5. Верно ли равенство 3100+7100=8100?
Решение. 3100= (34)25=8125; 7100=(74)25=240125
Сумма 8125+240125 будет оканчиваться на 2.
8100 =(84)25=4096 25 будет оканчиваться на 6.
Таким образом: 3100+7100 ≠ 8100
Задача 6. Какова 1997-я цифра в десятичном разложении дроби 1/70,142857….7
Решение. Если мы разделим 1 на 7 «Столбиком», можно убедиться, что 1/7 =
0,(142857). Мы видим, что после запятой 6 цифр повторяются. Сколько раз
по 6 в числе 1997, а главное - какой остаток. Остаток равен 5, следовательно,
на 1997-м месте стоит цифра 5.
Задача 7. У арбуза диаметром 20 см толщина корки 2 см. Какая часть
арбуза приходится на корку?
Решение.
Арбуз
Радиус
Объем
Без корки
R
V=3/4 ПR3
С коркой
R+h
V1= 3/4 П ( R+h)3
Арбуз- это шар, найдем Vшара по справочнику, тогда V/ V1= R3/( R+h)3 =
83/103=0,512.
Задача 8. упростить выражение: S= 1+3+32+….+31997
Решение. Найдем 3S=3+32+…+31998, откуда 2S=31998-1 и S= 31998 -1.
4
2
Задача 9. Если на круговом маршруте работают 2 автобуса, то
интервал движения 21 мин. Каков интервал движения, если на маршруте
работают три автобуса?
Решение. Так как интервал движения между автобусами 21 минута, то весь
маршрут автобусы проходят за 42 минуты. Если автобусов будет 3, то
интервалы между ними будут 14 минут (42:3=14).
Задача 10. Может быть в каком-либо месяце 5 понедельников и 5
четвергов?
Решение. Если в каком-либо месяце 5 понедельников, то первый
понедельник месяцев может прийтись только на 1-ое, 2-е или 3-е число
месяца, тогда первый четверг будет не ранее 4-го числа. Если это так, то в
этом месяце четверг будет 11-го,18-го 25-го, т.е. только 4 четверга.
Ответ: нет, не может.
Задача11. Решите систему уравнений.
1/х+1/y =1995
1/y+1/z=1996
1/z+1/x=1997
Сложим уравнение системы, получим 2/х+2/y +2/ z = 1995+1996+1997,
2 (1/х+1/y +1/ z)= 1995+1996+1997, 1/х+1/y +1/ z= 1995/2+1996/2+1997/2.
Вычитая последовательно каждое из уравнений, получим
{
1 = 1995+1997+-1996, 1 = 1995+1996-1997
х
2
y
2
Ответ: х= 1/998; y= 1/997, z= 1/998.
Задача 12. Является ли число
1991
1 = 1996+1997-1995.
z
2
-
9 80
2
Корнем уравнения 5 -1=0 ?
Решение. Так как 9± 80 =(2±
- 1991 1990
. =
1990
.
9 80
2
2
9 80
2
9 80
2
5 )2 ,
то
1991
2+ 5 -2
-
1990
.= 1 .
5 -2 +2
5
Является корнем уравнения.
Задача 13. Докажите, что уравнение ах2+вх+с=0 имеет корни, если
9а+3в+с>0.
Решение. Пусть f(x)= ах2+вх+с, тогда, так как f(3)= 9а+3в+с>0, а f(2)=
4а+2в+с<0, то на интервале (2;3) уравнение имеет корень.
Задача 14. Встретились 2 математика. Вот их диалог:
- У тебя два сына? - Да, маленькие, в школу не ходят. Кстати, произведение
их лет равно числу голубей возле нас. – Этих данных недостаточно. – А
старшего я назвал своим именем. – Теперь я знаю, сколько им лет. Сколько
лет сыновьям?
Решение. Заметим, что: 1) сыновьям не более 6 лет, 2) информации о
произведении возрастов недостаточно, значит, его можно разложить на
множители по-разному. 3) возраст сыновей мог быть равный, следовательно,
5
произведение – полный квадрат и раскладывается на множители равно2-мя
способами:
4)рассматривая случаи:1х1; 2х2;… 6х6 находим ответ: 1год и4 года.
Начиная изучать геометрию, я уже с 7 класса начинаю предлагать задачи
нестандартного характера своим ученикам.
Задача15. Можно ли любой прямоугольный треугольник разделить на 2
треугольника один из которых равносторонний, а другой равнобедренный.
(Эта задача предлагалась семиклассникам, которых собирали на олимпиаду в
одной из школ города).
Решение. Чтобы треугольник разделить на два треугольника, нужно провести
всего одну линию. Эта линия обязательно должна проходить через вершину
треугольника, что бы получилось 2 треугольника. Так как по условию задачи
у нас должны получиться один равносторонний треугольник, а один
равнобедренный, то линия должна проходить через вершину прямого угла. У
равностороннего треугольника все углы по 60°, а это значит, что исходный
треугольник должен иметь угол в 60°. Отсюда вытекает способ построения.
С
А
Д
В
равнобедренный
АДСВСД- равносторонний.
Ответ: Любой нельзя, а если прямоугольный треугольник имеет углол в 60°,
то можно.
Задача16. Внутри выпуклого четырехугольника найти точку, сумма
расстояний от которой до вершины четырехугольника наименьшая.
Решение. Пусть дан четырехугольник АВСД. Проведем АС и ВД- диагонали;
докажем, что точка О- искомая точка. Возьмем точку М отличную от точки О
и докажем, что (ОС +ОА+ОВ+ОД)<(МС+МА+МВ+МД).
В
А
О
С
М
Д
Рассмотрим  АСМ. В нем ОС+ОА< СМ+АМ. Рассмотрим ВДМ. В нем
ОВ+ОД<ВМ+МД сложим почленно полученные неравенства:
6
ОС+ОА+ОВ+ОД <МС+МА+МВ+МД. Отсюда следует, что О- искомая точка
Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений.
В условиях сдачи экзамена девятиклассниками в новой форме я
считаю, что выпускникам необходимо знать прием решение систем
уравнений с помощью рассуждения с числовыми значениями. Этот прием
нужно применять тогда, когда не видно, какой из известных методов
решения надо применять.
Пусть надо решить систему уравнений
f (x; y)=0
g (x; y)=0
(I)
Предложим, что она имеет решение, т.е. что существует пара чисел (х о; уо)
такая, что для нее справедливы числовые равенства
f (хо; уо)=0 и g(хо; уо)=0 (II)
Отметим, что из этого предложения вытекает, в частности, что все
выражения, входящие и в f (хо; уо) и в g(хо; уо), определены для этого пары
чисел (хо; уо).
Из числовых равенств (II) можно сделать какие-то выводы о том, какими
могут быть эти числа хо и уо, одна ли такая пара или их несколько, и часто
можно выписывать все такие пары чисел. Иными словами, можно найти
такие пары (хо; уо), которые могли бы быть решениями данной системы (I).
Отметим, что для решения системы надо найти все такие пары и
показать, что других «претендентов» на роль решения системы (II) нет.
После этого остается сделать последний шаг: проверить, какие же из
найденных пар действительно являются решениями системы (II), а какие нет.
Примеры:
№1 Решить систему уравнений
2 2
2
x у – 2х+ у =0
2
3
2х – 4х+ 3+у =0
Решение. Пусть пара чисел (хо; уо) есть решение системы (1), т.е. пусть
справедливы числовые равенства
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
х о у о – 2хо +у =0 (1.1)  х о у о +у о = 2хо ; у о (х о + 1)= 2хо  у о = 2хо /(х о +
1)
2
3
2х о – 4хо +3 + у о =0 (1.2)
2
2
Равенство (1.1) можно переписать в виде у о = 2хо /(х о + 1), но для любых
2
точек хо справедливо неравенство 2хо /(х о + 1) ≤1  | уо|≤ 1.
2
3
2
3
2
3
2х о – 4хо +3 + у о =0 (1.2) 2х о – 4хо +2+1+ у о =0  2(х о – 2хо +1)+(1+ у о )=0
2
3
3
2(хо -1) + (1 + у о )=0 (1.3) Так как | уо|≤ 1, то 1+ у о≥ 0. Кроме того,
очевидно, что (хо -1) ≥ 0. Таким образом, левая часть равенства (1.3) есть
сумма двух неотрицательных чисел, поэтому равенство (1.3) справедливо
лишь тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю, т.е. если х о =1 и уо = -1.
Следовательно, если система (1) имеет решение, то это может быть лишь
{
{
7
пара чисел (1; -1). Проверка показывает, что эта пара удовлетворяет каждому
уравнению системы (1).
Следовательно, система (1) имеет единственное решение (1; -1).
Ответ: (1; -1).
Пример №2 Решить систему уравнений.
3
2
У - 9х +27х – 27 =0
3
2
z - 9y +27y – 27 =0
(2)
3
2
x – 9z +27z – 27 =0
Решение. Пусть тройка чисел (хо ;уо; zо) есть решение системы (2), т.е. пусть
справедливы числовые равенства
3
2
у о – 9(х о – 3хо +3) =0
3
2
z о – 9(y о – 3yо +3) =0 (2.1)
3
2
x о – 9(z о – 3zо +3) =0
Складывая равенства (2.1) получим, что справедливо равенство
(хо-3)3+(уо-3)3 + (zo-3)3=0. (2.2)
Так как t2-3t+3= (t-2/3)2+3/4 >0 V t, то равенство (2.1) означает, что
у3о > 0; z3о >0; x3о >0, т.е. уо > 0; zо >0; xо >0
Если xо ≥3, то из равенства (2.1) получим
Отсюда, при условии zo>0 следует, что zo ≥3.
Из второго равенства получим, что уo ≥3;  что левая часть равенства (2.2)
есть сумма трех неотрицательных чисел. Следовательно, равенство (2.2)
возможно лишь тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю, т.е. для
хо=уо=zо=3.
Если же хо<3, то рассуждая так же мы приедем к выводу, что уо<3 и zо<3.
Тогда в равенстве (2.2) слева сумма трех отрицательных чисел, а справа нуль,
что невозможно. Итак, система (2) имеет решение (хо;уо;zо), то это может
быть только в случае хо=уо=zо=3.
Проверка показывает, что эта тройка чисел обращает каждое уравнение в
верное равенство. Следовательно, система (4) имеет единственное решение
(3;3;3)
Ответ: (3;3;3).
В чем же мне помогает вся проделанная мной работа сегодня?
Помогает сильным учащимся готовиться к экзаменам в новой
форме,
успешно проходить конкурсный отбор в классы физико – математического и
технико- технологического профилей, участвовать одаренным обучающимся
в математических олимпиадах различных уровней.
{
8