ПРИМЕР. Вычислить интеграл

Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
"ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ"
По выполнению практических и зачетных работ
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
"Нижегородский автомеханический техникум"
г. Нижний Новгород
2014 г.
Разработал преподаватель
Романова И.Е.
Рассмотрено и утверждено на заседании ПЦК
«Математических и естественно научных дисциплин»
Протокол № ______ от «_____»__________________ 2014 г.
Председатель ПЦК
Кабалина Т.И.
Данная методическая разработка предназначена для организации
практической и самостоятельной работы студентов специальности
230115 «Программирование в компьютерных системах» при изучении
дисциплины «Элементы высшей математики». Также данная разработка
может применяться и для студентов других специальностей, изучающих
полностью или частично курс высшей математики.
Методическая
разработка
содержит
краткий
теоретический
материал с разобранными примерами, а так же предложены задания для
выполнения практических работ.
Методическая разработка составлена в соответствии с лекционным
материалом. Цель работы - помощь в усвоении материала и
закрепление изученных тем.
СОДЕРЖАНИЕ:
1. Решение систем линейных уравнений методами Гаусса-Жордана
и Крамера
1.1.СЛАУ
1.2.Метод Гаусса-Жордана решения СЛАУ
1.3.Метод Крамера решения СЛАУ
2. Производная функции. Интеграл.
2.1.Производные элементарных функций
2.2.Производные сложных функций
2.3.Неопределенный интеграл
2.4.Непосредственное интегрирование
2.5.Подведение под знак дифференциала
2.6.Метод замены переменной
2.7.Интегрирование по частям
3. Дифференциальные уравнения 1 порядка
3.1.Уравнения с разделяющимися переменными
3.2.Однородные уравнения
3.3.Линейные уравнения
4. Дифференциальные уравнения высших порядков
4.1.Уравнения допускающие понижение порядка
4.2.Линейные уравнения 2 порядка
1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ
ГАУССА-ЖОРДАНА И КРАМЕРА.
Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в
линейной алгебре — это система уравнений вида
(1)
Здесь
— количество уравнений, а
— количество неизвестных.
x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить.
a11, a12, …, amn — коэффициенты системы ,
b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными.
Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и
неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[2].
Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1
= b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.
Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n
неизвестных.
Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка
каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.
Система линейных уравнений (1) может быть представлена в матричной форме
как:
или:
Здесь A— это матрица системы, x — столбец неизвестных, а b— столбец
свободных членов. Если к матрице
приписать справа столбец свободных
членов, то получившаяся матрица называется расширенной.
Система линейных уравнений от трёх переменных
определяет набор плоскостей. Точка пересечения является
решением.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое
количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании
повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате
последовательных приближений.
1. Метод Гаусса — Жордана
Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) —
метод, который используется для решения квадратных систем линейных
алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения
координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод
является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого
геодезиста и математика Вильгельма Йордана.
Алгоритм метода будем разбирать на примере.
ПРИМЕР
Для решения следующей системы уравнений:
Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным
членом:
Проведём следующие действия:
1. Строку с наименьшим первым коэффициентом
поставим на первое место
2. Обнулим все элементы под главной диагональю,
начиная с последнего и двигаясь постепенно вверх
и влево
От Строки 3 отнимем
Пересчитаем 3 Строку по
Строку 1 умноженную на 9.
формуле (3)'=(3)-9*(1)
9-9*1=0
(3)'=(3)-9*(1)
3-9*1=-6
1-9*1=-8
3-9*0=3
Результат запишем в 3
Строке
Следующий элемент для
Пересчитаем 2 Строку по
обнуления это 4
формуле (2)'=(2)-4*(1)
От Строки 2 отнимем
4-4*1=0
Строку 1 умноженную на 4.
2-4*1=-2
(2)'=(2)-4*(1)
1-4*1=-3
1-4*0=1
Результат запишем в 2
Строке
 От Строки 3 отнимем
Строку 2 умноженную
После пересчета получим
новую Строку 3: (0, 0, 1,0)
на 3.
(3)'=(3)-3*(2)

После деления получим
Строку 2 делим на −2
новую Строку 2: (0, 1, 3/2, -
(2)'=(2)/(-2)
1/2)
Теперь будем обнулять все элементы над главной диагональю, начиная с
правого верхнего и двигаясь постепенно вниз и вправо
Выполним действия
После пересчета получим
(1)'=(1) -(3)
новую Строку 1: (1, 1, 0, 0)
(2)'=(2)-(3)*3/2
После деления получим
новую Строку 2: (0, 1, 0, -1/2)
Выполним действия
(1)'=(1)-(2)
Получим
В правом столбце получаем решение:
.
ПРОВЕРКА: найденное решение подставим в систему (т.е. вместо a,b,c
подставляем 1/2, -1/2, 0). Если все уравнения системы обратились в верные
тождества, то найденное решение верно.
2. Метод Крамера
Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не
равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое
находится по формулам Крамера:
где Δ- определитель матрицы системы, Δi- определитель матрицы системы, где
вместо -го столбца стоит столбец правых частей.
ПРИМЕР. Решим предыдущую систему уравнений методом Крамера.
1. Вычислим определитель системы, раскрывая его по первому столбцу.
Определитель Δ≠0, значит по теореме Крамера система совместна и имеет
единственное решение, которое находится по формулам:
2. Вычислим определители Δa , Δb , Δc , заменяя соответствующий столбец a, b, c
столбцом правых частей системы.
3. По формулам Крамера найдем решение системы
ПРОВЕРКА: найденное решение подставим в систему (т.е. вместо a,b,c
подставляем 1/2, -1/2, 0). Если все уравнения системы обратились в верные
тождества, то найденное решение верно.
Замечание 1. Если Δ=0 и хотя бы один из Δa , Δb , Δc отличен от нуля, то система не
имеет решения (несовместна).
Замечание 2. Если Δ=0 и все Δa , Δb , Δc равны нулю, то система этим методом
решить нельзя.
Задания для учащихся.
Выполнить практические задания по теме из учебника [1].
2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛ.
2.1 ПРОИЗВОДНЫЕ.
Производные элементарных функций.
Произво́ дная (функции в точке) — основное
понятие дифференциального исчисления,
характеризующее скорость изменения функции (в
данной точке). Определяется как предел отношения
приращения функции к приращению ее аргумента при
стремлении приращения аргумента к нулю, если такой
предел существует. Функцию, имеющую конечную
производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной
точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́ рованием.
Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
Правила дифференцирования
Таблица производных элементарных функций
20. (x)' =1
Производная сложной функции.
Функция такого вида
(когда одна функция вложена в другую)
называется сложной функцией.
Например:
Функцию f будем называть внешней (основной) функцией, а функцию
g– внутренней (или вложенной) функцией.
Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной
сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция
является внутренней, а какая – внешней. Для этого можно использовать
следующий прием
"РАССТАНОВКА ПОРЯДКА ДЕЙСТВИЙ".
Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения
, например, при x=2. Расставим порядок действий.
1. В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие:
, поэтому многочлен
будет внутренней функцией
g:
2. Во вторую очередь нужно будет найти
, поэтому синус – будет
g
внешней функцией f:
f
В приведенных выше примерах будем иметь:
Функция
Внутренняя
Внешняя(основная)
После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями
применим правило дифференцирования сложной функции
Производная сложной функции равна
производной основной функции на
производную внутренней функции
Проиллюстрируем данное правило на приведенных выше примерах.
Функция
Внутренняя
Внешняя
Производная
(основна
я)
Задания для учащихся.
Выполнить практические задания по вариантам по теме из учебника [1].
2.2. ИНТЕГРАЛЫ.
Неопределенный интеграл.
Неопределённый интеграл для функции
— это совокупность всех
первообразных данной функции.
Если функция
определена и непрерывна на промежутке (a,b) и F
её первообразная, то есть
при
, то
где С — произвольная постоянная.
Правила интегрирования.
Таблица неопределенных интегралов
—
Некоторые Методы Интегрирования.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И СВОДЯЩИЕСЯ К НИМ
Н
епосредственное интегрирование
Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных
преобразований подынтегральной функции (или выражения) и
применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким
табличным интегралам, называется непосредственным
интегрированием. См. Таблица интегралов.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ И СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
П
одведение под знак дифференциала
Данный метод эквивалентен методу замены переменной (см. далее) и
применим только для сложных функций: вложенную функцию подводим
под знак дифференциала, не забыв разделить на производную, которая
должна быть ЧИСЛОМ. Иначе метод не применим!!!
ПРИМЕР. Вычислить интеграл
служная
функция
.
и
таблицей
интегралов
сразу
воспользоваться нельзя. Однако можно подвести вложенную функцию
под знак дифференциала и вычислить интеграл от внешней
функции с помощью таблицы:
М
етод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой
переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный
интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным
или к нему сводящимся.
Общих методов подбора подстановок не существует. Умение
правильно определить подстановку приобретается ПРАКТИКОЙ.
Пусть требуется вычислить интеграл от сложной функции
или интеграл от произведения двух функций
Для этого будем использовать метод замены переменной. Сделаем это
в четыре этапа.
1. Сделаем замену: вложенную функцию обозначим за новую
переменную (или одну из двух функций) и выполним стандартную
процедуру замены:
2. В исходном интеграле заменим
на
.
3. Получим новый интеграл ТОЛЬКО от ременной t
4. Воспользуемся таблицей интегралов и вычислим новый интеграл
5. Вернемся обратной заменой к переменной x
ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл
.
служная функция и таблицей интегралов сразу воспользоваться
нельзя. Вычислим интеграл методом замены переменной.
Вложенную функцию
обозначим за t. Выполним процедуру
замены и получим новый интеграл ТОЛЬКО от ременной t, который
вычислим по таблице интегралов и вернемся обратно к переменной x.
=
ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл
.
Посмотрим в таблицу и не найдем более-менее подходящей формулы.
Подъинтегральная функция - это произведение двух функций. Такие
интегралы вычисляют методом замены переменной. Необходимо выбрать
функцию для замены (обычно это самая "неудобная часть"): в данном
случае это
Выполним процедуру замены и получим новый интеграл ТОЛЬКО от
ременной t, который вычислим по таблице интегралов и вернемся обратно
к переменной x.
=
=
2x dx=dt
И
нтегрирование по частям
Метод не применим для сложных функций. Интегрирование по частям —
применение следующей формулы для интегрирования:
С помощью применения этой формулы находится интегралы от функций вида:
(n-раз
интегрировать)
(
составить рекурсивное уравнение относительно исходного интеграла)
Применение метода состоит в прохождении следующих шагов:
1. Определить, что "взять" за u и dv
2. Найти v и du:
3. Применить к интегралу формулу интегрирования по частям
, где вычислить интеграл
любым из
известных методов.
ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл
.
Посмотрим в таблицу и не найдем более-менее подходящей формулы.
Подъинтегральная функция - это произведение двух функций. Будем
вычислять интеграл методом интегрирования по частям.
1. "Возьмем" за
2. Найдем
3. Применим к интегралу формулу интегрирования по частям
=
=
ПРИМЕР 2. Вычислить интеграл
.
Подъинтегральная функция - это произведение двух функций. Будем
вычислять интеграл методом интегрирования по частям.
1. "Возьмем" за
2. Найдем
3. Применим к интегралу два раза формулу интегрирования по
частям
=
=
И второй раз интеграл
ПРИМЕР 3. Вычислить интеграл
=
.
Подъинтегральная функция - это произведение двух функций. Будем
вычислять интеграл методом интегрирования по частям, составляя
рекурсивное уравнение.
1. "Возьмем" за
2. Найдем
3. Применим к интегралу формулу интегрирования по частям
=
=
=
И второй раз
=
интеграл
Обозначив интеграл
, составим уравнение и решим его.
Таким образом, исходный интеграл равен
.
Задания для учащихся.
Выполнить практические задания по вариантам по теме из учебника [1].
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
–
ЭТО
ПРОСТО
И
ДАЖЕ
УВЛЕКАТЕЛЬНО. Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать
дифференциальные уравнения? Для их успешного изучения вы должны хорошо
уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы
Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл, тем
будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях.
Дифференциальные уравнения уравнения, содержащие
ПРОИЗВОДНУЮ!!!
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит ПЕРВУЮ
ПРОИЗВОДНУЮ функции
( или
).
Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить
дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций
,
которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций
называется ОБЩИМ РЕШЕНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ.
С чего начать решение любого дифференциального уравнения первого
порядка? Определить ВИД дифференциального уравнения. Как это
сделать?
В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде.
Вспоминаем второе обозначение производной:
.
На втором этапе смотрим, нельзя ли РАЗДЕЛИТЬ ПЕРЕМЕННЫЕ? Что это
значит? Грубо говоря, в левой части уравнения нам нужно оставить только
«y», а в правой части организовать только «x». Разделение переменных
выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки,
перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из
части в часть по правилу пропорции и т.п. Причем, дифференциалы dy и dx–
это полноправные участники этих манипуляций.
В третьих, если переменные разделить не удалось, нужно проверить, а не
является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам
алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение: вместо «x» подставляем «λx», вместо «y»
подставляем «λy», производную «y'» не трогаем. Буква λ– это некоторый
абстрактный числовой параметр, дело не в нем, и не в его значениях, а дело
вот в чём:
Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «λ» (т.е.
получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение
является однородным.
И в четвертых, если переменные разделить не удалось, и уравнение
однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное
неоднородное уравнение первого порядка. Линейное уравнение первого
порядка в стандартной записи имеет вид:
Следующий этап – применить метод решения согласно виду данного
уравнения!
Уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:
Определяем вид уравнения. Смотрим, нельзя ли разделить переменные? В
рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием
множителей по правилу пропорции:
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части –
только «иксы».
Далее интегрируем дифференциальное уравнение. Всё просто,
"навешиваем" интегралы на обе части:
С помощью таблицы вычисляем интегралы и получаем общий интеграл
дифференциаль-ного уравнения.
Так как «y» не выражен через «х» , то решение представлено в неявном виде.
Пожалуйста, запомните технический приём, он очень распространен и
часто применяется в практических заданиях. Когда в правой части после
интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда
целесообразно записать тоже под логарифмом. То есть, обычно пишут
.
Максимально «упаковываем» логарифмы. Упаковка проводится с помощью
трёх свойств:
Получаем
.
Ответ: общее решение дифференциального уравнения
Иногда общее решение называют семейством функций. Придавая константе
С различные значения, можно получить бесконечно много частных
решений дифференциального уравнения.
Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
I Этап Переписываем производную в нужном виде:
Сначала определим вид уравнения. Пробуем разделить переменные. Переменные
легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
Находим общее решение, интегрируя левую и правую части уравнения, после
чего общий интеграл преобразуем в общее решение, "упаковав" логарифмы:
Итак, общее решение:
Такое вот симпатичное
семейство экспоненциальных функций.
II Этап
Нужно НАЙТИ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ, удовлетворяющее заданному
начальному
условию
. Это тоже просто.
В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы C,
чтобы выполнялось заданное начальное условие.
В общее решение вместо «x» подставляем ноль, а вместо «y» 2:
То есть,
В общее решение
подставляем найденное значение константы
:
– это и есть нужное нам частное решение.
Ответ: частное решение
Однородные уравнения
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
1) Это уравнение первого порядка. Определяем вид уравнения. Смотрим,
нельзя ли разделить переменные? Нельзя.
2) Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным?
Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение:
вместо x подставляем λx, вместо y подставляем λy, производную не
трогаем:
Буква λ– это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в нем, и
не в его значениях, а дело вот в чём:
Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «λ» (т.е. получить
исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является
однородным.
Очевидно, что λ сразу сокращаются в показателе степени. Теперь в
правой части выносим лямбду за скобки:
Обе части уравнения можно сократить на λ и мы получим исходное
уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным
3) Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью однойединственной (!) стандартной замены.
Подставляем замену в исходное уравнение
Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы
гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. После
подстановки проводим максимальные упрощения уравнения:
Последнее уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными. Решим
его, учитывая что
Согласно моему первому техническому совету константу «оформляем» в виде
логарифма.
После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену,
она тоже стандартна и единственна: если
, то
Получаем
Ответ: общий интеграл
Линейные уравнения.
Решить дифференциальное уравнение
Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид:
.
Если уравнение точно не является уравнением с разделяющимися
переменными и однородным, а на линейное не похоже, то можно попробовать
привести его к общему линейному виду стандартными математическими
операциями (См. пример 2 метода ниже)
Как решить линейное уравнение?
Существуют два способа решения:
1.замена переменной и подстановка, иногда его называют методом
Бернулли.
2.метод вариации произвольной постоянной
Сначала будем рассматривать первый метод, он алгоритмически прост и
понятен, и решение уравнения принимает чёткий трафаретный характер.
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ.
Линейное дифференциальное уравнение можно
решить одной-
единственной заменой:
, где u и v – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «x».
Выполнив эту подстановку в исходное уравнение, будем искать неизвестные
функции u и v.
После подстановки смотрим на два слагаемых, которые выделены рамкой. У них
нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:
Теперь нужно составить систему 2 уравнений. Система составляется стандартно:
1. Ур-ие : Приравниваем к нулю то, что находится в скобках
2. Ур-ие : Переписываем полученное уравнение с учетом первого
действия
Уравнения записываем в систему:
Решим ее. Сначала из первого уравнения находим функцию v. Это простейшее
уравнение с разделяющимися переменными:
Функция v найдена. Обратите внимание, что константу C на данном этапе мы не
приписываем.
Далее подставляем найденную функцию v во второе уравнение системы. Из
второго уравнения находим функцию u. А вот здесь уже добавляем константу
C.
Записываем общее решение:
Ответ: общее решение
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПОСТОЯННОЙ
Решить дифференциальное уравнение
Это уравнение точно не является уравнением с разделяющимися
переменными и однородным, а на линейное не похоже, попробуем привести его к
общему линейному виду стандартными математическими операциями.
Решение: Приведем уравнение
к виду
с
помощью раскрытия скобок и переноса слагаемых из одной части уравнения в
другую
1)
Обнулим правую часть и решим уравнение с разделяющимися
переменными:
2)
В исходном уравнении проведём замену:
Получим уравнение, из которого необходимо найти константу С.
здесь присутствует производная от сложной функции
если в уравнении возможно сокращение, то решение верно (иначе ищи ошибку
выше)
получили уравнение с разделяющимися переменными, решаем его
этот интеграл можно вычислить методом интегрирования по частям (см выше п.
2.7)
Теперь вспоминаем проведённую замену и записываем общее решение
уравнения :
Ответ: общее решение:
Дифференциальные уравнения высших порядков порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков - это уравнения, содержащие
производные порядка выше первого.
Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в
практических задачах, можно разделить на две основные группы:
1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение
порядка.
2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными
у
коэффициентами.
равнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
где
– производная «энного» порядка, а правая часть f(x) зависит только от
«икс» или число.
Данное дифференциальное уравнение решается последовательным
интегрированием правой части. Причём интегрировать придется ровно n раз.
На практике наиболее популярной разновидность. является уравнение
второго порядка:
. Дважды интегрируем правую часть и получаем
общее решение.
Пример Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение:
1) Понижаем степень уравнения до первого порядка:
2) Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:
Ответ: общее решение:
л
инейные уравнения второго порядка
В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное
уравнение и неоднородное уравнение.
Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет
следующий вид:
где p и q– константы (числа), а в правой части – строго ноль.
Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет
вид:
где p и q – константы, а f(x) – функция, зависящая только
от «икс» или число, отличное от нуля.
Решение любого из них сводится к составлению так называемого
характеристического уравнения. Это уравнение составляется по следующему
принципу:
1. вместо
записываем
;
2. вместо
записываем просто λ;
3. вместо функции y ничего не записываем.
Это обычное квадратное уравнение, решив которое сразу получаем решение
ОДНОРОДНОГО линейного уравнения 2 порядка. Существуют три варианта
развития событий.
Таблица 1
Корни Хар-ого Ур-ия
Общее решение ОДНОРОДНОГО линейного ур-ия
Общее решение
Общее решение
Общее решение
Пример 1 Решить дифференциальное уравнение
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Получены два различных действительных корня. Всё, что осталось сделать –
записать ответ, руководствуясь соответствующей формулой из таблицы
выше.
Ответ: общее решение:
Пример 2 Решить дифференциальное уравнение
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Получены два одинаковых (кратных) действительных корня. Запишем ответ,
руководствуясь соответствующей формулой из таблицы выше.
Ответ: общее решение:
Пример 3 Решить дифференциальное уравнение
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
Получены сопряженные комплексные корни, где
Запишем ответ, руководствуясь соответствующей формулой из таблицы
выше.
Ответ: общее решение:
Алгоритм решения НЕОДНОРОДНОГО линейного уравнения:
1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного
уравнения. Взять уравнение
правую часть:
,
откинуть
– и найти общее решение как
показано выше.
2) Наиболее трудный этап. Необходимо найти какое-либо частное
решение неоднородного уравнения. Искать частное решение будем
способом подбора частного решения с применением метода
неопределенных коэффициентов.
3) Ответ: складываем найденное частное решение с общим решением
однородного уравнения, найденного на шаге 1
Подбор частного решения полностью зависит от вида корней Харак-ого Ур-ия и
функции f(x). Возможные варианты собраны в таблицах 2-5.
Таблица 2.
I.
Правая часть f(x).
Частное решение искать в виде
f(x) - многочлен
Примечание: в подборе частного решения всегда должен присутствовать и
синус и косинус, даже если в самой функции f(x) один из них отсутствует!
И если в функции f(x) присутствуют многочлены разной степени, то при подборе
частного решения составляют многочлен наибольшей степени!!
Таблица 3.
II.
Правая часть f(x).
Частное решение искать в виде
f(x) - многочлен
Примечание: в подборе частного решения всегда должен присутствовать и
синус и косинус, даже если в самой функции f(x) один из них отсутствует!
И если в функции f(x) присутствуют многочлены разной степени, то при подборе
частного решения составляют многочлен наибольшей степени!!
Таблица 4.
III.
Правая часть f(x).
Частное решение искать в виде
f(x) - многочлен
Примечание: в подборе частного решения всегда должен присутствовать и
синус и косинус, даже если в самой функции f(x) один из них отсутствует!
И если в функции f(x) присутствуют многочлены разной степени, то при подборе
частного решения составляют многочлен наибольшей степени!!
Таблица 5.
IV.
Правая часть f(x).
Частное решение искать в виде
f(x) - многочлен
Примечание: в подборе частного решения всегда должен присутствовать и
синус и косинус, даже если в самой функции f(x) один из них отсутствует!
И если в функции f(x) присутствуют многочлены разной степени, то при подборе
частного решения составляют многочлен наибольшей степени!!
Если
Если
После выбора вида частного решения его будем подставлять в данное нам
изначально уравнение и, приравнивая коэффициенты при соответствующих
степенях "Х", составим линейную систему уравнений, решив которую найдем
неизвестные коэффициенты A, B, C, D и т.д.
В заключении подставим найденные числа A, B, C, D и т.д. в частное
решение и сложим его с общим решением однородного уравнения. Все - это
ответ.
Пример
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение:
1) Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.
Обнуляем правую часть:
Составим и решим характеристическое уравнение:
получены различные действительные корни, поэтому общее решение (см
табл.1):
2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение исходного неоднородного
уравнения.
И вопрос, который вызывает затруднения чаще всего: В каком виде нужно
искать частное решение?
Для этого надо воспользоваться таблицами 2-5. Прежде всего, смотрим
на корни характеристического уравнения
и на нашу правую
часть:
-многочлен третьей степени. Из того, что мы имеем,
получается, что частное решение надо искать в виде
,
где A,B,C,D - пока ещё неизвестные коэффициенты (см таблицу 2).
После правильно подобранного вида частного решения будем искать
неизвестные
коэффициенты.
Используем
метод
неопределенных
коэффициентов.
Подставим частное решение в данное первоначально уравнение и распишем в
нем все производные.
Раскрываем скобки.
Далее необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих
степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс
выглядит так:
Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно
сгруппировать подобные слагаемые.
Подставляем найденные значения A,B,C,D в наше подобранное частное
решение
3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:
Всё!
Ответ: общее решение:
Используемая литература.
[1] Наливайко Л.В., Ивашина Н.В., Шмидт Ю.Д. Математика для экономистов,
сборник. заданий, учеб. пособие. Спб. изд. "Лань", 2011г, 432с.
[2] Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. /Учебник для вузов 11-е изд. стер. – М.: Лань, 2008.-480с.
[3] Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре/ Л.А.
Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров.-Учебник для вузов/ под ред. Д.В.
Беклемишева.-3-е изд., испр.-М.: Лань, 2008.-496с.
[4] Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов.-9е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2009.-304с.:ил.