Путилова 2015 Молодежь и наукаx

УДК 530.12:531.51
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЯГОТЕНИЯ ДЛЯ ТЁМНОЙ ЭНЕРГИИ
И ЧИСТОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Путилова А. Е.,
научный руководитель канд. физ.-мат. наук Паклин Н. Н.
Сибирский федеральный университет
Изучаются уравнения Эйнштейна для нестационарного сферически симметричного
распределения идеальной жидкости и радиального потока лучистой энергии [1]. В
работе используется геометрическая система единиц, то есть гравитационная
постоянная Ньютона и скорость света выбраны равными единице ( GN  c  1 ).
Постоянная Эйнштейна   8 GN / c 4 принимается равной 8 . Результирующий тензор
энергии-импульса (ТЭИ) складывается из ТЭИ идеальной жидкости и ТЭИ чистого
излучения
(1)
Tik    p  uiuk  pgik   li lk ,
здесь  – плотность энергии, p – давление идеальной жидкости, 4-скорость
ui  dxi / ds ,  – плотность энергии чистого излучения, а li – светоподобный
(волновой) вектор ( li l i  0 ). В дальнейшем будем использовать уравнение состояния
физического вакуума
(2)
p   .
Метрический тензор соответствует квадрату интервала
ds 2  y dt 2  2 z dtdr  x 2  d 2  sin 2  d 2  ,
(3)
где функции x, y , z зависят от переменных t, r . Компоненты волнового вектора с
учётом метрики суть
(4)
l 0  l1  0, l0  zl , l1  l ,
тогда из условия геодезичности для светоподобного вектора вытекает следствие:
l i;k l k  0  l   (t ) / z .
(5)
Рассмотрим уравнения тяготения. Компонента G11   T11 имеет явный вид
   p  z 2
2 x zx
.


x
xz
y  2 zv
(6)
С учётом (2) правая сторона (6) должна обратиться в ноль, если только справедливо
y  2 zv  0 . Заметим, что 4-скорость определяется как
ui 
dx i
 i  v1i
,
 0
ds
y  2 zv
(7)
где введена радиальная 3-скорость v  dr / dt . Условие y  2 zv  0 означает ds  0 , то
есть обращение в ноль собственного времени, иначе это условие соответствует
горизонту событий. В плоском пространстве-времени ds  0 отвечает интервалу,
лежащему на световом конусе, то есть движению со скоростью света. В искривлённом
пространстве-времени появление горизонта событий зависит от скорости и
гравитационного поля в данной точке.
Пусть выполняется (2) и y  2 zv  0 , но так, чтобы оставался конечным предел
отношения
lim
p  
ds 0
   p 
y  2 zv
k.
(8)
В результате имеем
k
2
y
z x  zx  , v   .
3 
xz
2z
(9)
Решение уравнений Эйнштейна с учётом (8) и (9) будем называть особыми.
Из уравнений G01   T01 , G22   T22 , G00   T00 можно выразить  ,  и получить
уравнение для метрических коэффициентов x, y, z :
 yz  2 zz  zy  2 zz  x 2  2 z  z 2  2 zxx  yx2   0 .
(10)
Это нелинейное уравнение в частных производных. Для замыкания требуется задать
два условия.
Первое особое решение. Пусть y  1, x  r , тогда
 
z
1
1
 2 2 2,
3
rz
r
r z
 
2z
z
,

2
rz
2rz 3
(11)
а (10) сводится к
1
2w
 2sh(w) ; w  ln z ,   .
r
 t
Известны два точных решения для (12):
 2a t

z  r, t    tg 2 

 2c  ,
 r 4a

 a t

f  exp  8  
 c  .

  r 4a
z  r, t   exp( 2 f )  coth 2 ( f 2);
(12)
(13)
(14)
Второе особое решение. Пусть y  b(t ), x  a(t ) , тогда
 
1
2
,  
 az  a  ,
a (t )
a(t )
(15)
2
а (10) сводится к уравнению Лиувилля


2w
.
 exp( w) , w  ln z , a 2 (t ) 
t 
r
(16)
Для уравнения (16) известно общее решение
z  exp( w) 
g ( ) f ( r )
 g ( ) 
f (r) 
2
.
(17)
Установлено, что существует область допустимых значений для параметров и
переменных, которая обеспечивает приемлемый физический смысл для данного
решения.
Литература
[1] Паклин Н.Н., Путилова А.Е., Якубович А.В. Уравнения Эйнштейна для
физического вакуума и чистого излучения // Материалы XV-й Российской
гравитационной конференции – «Международной конференции по гравитации,
космологии и астрофизике» и Международной школы по гравитации и
космологии «GRACOS-2014». 30.06 – 5.07 2014, Казань. / Под общей редакцией
заслуженного деятеля науки РТ, доктора физ.-мат. наук, проф. Ю.Г. Игнатьева
— Казань: Казанский университет, 2014. – С. 52–53.