Математическая логика - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Абдубакова Л.В.
Математическая логика
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01 «Математика»,
профиль подготовки «Вещественный, комплексный
и функциональный анализ»
Форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Абдубакова Л.В. Математическая логика. Учебно-методический комплекс. Рабочая для
специальности 01.03.01 «Математика», профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», форма обучения – очная. Тюмень, 2014, 29 стр. Рабочая
программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и
ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки. Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: «Математическая логика» [электронный ресурс] /
Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Абдубакова Л.В., 2014.
3
1. Пояснительная записка
1.1.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Дисциплина "Математическая логика " обеспечивает приобретение знаний и
умений в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и
развитию логического мышления.
Цели дисциплины:
- овладение студентами математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в исследованиях;
- ознакомление студентов с понятиями, фактами и методами, составляющими
теоретические основы информатики;
- развитие логического мышления;
- обеспечение студентов знаниями по математической логике, необходимые для
понимания математики, теории вероятностей и других математических дисциплин.
Задачи изучения дисциплины:
- изучить материал дисциплины;
- усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения материала дисциплины;
- приобрести навыки самостоятельного решения задач различной степени
сложности;
- выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов
и результатов;
- обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Математическая логика» входит в базовую часть профессионального цикла и является частью дисциплины «Дискретная математика и математическая логика» в соответствии с Федеральным государственным образовательным
стандартом высшего образования (ФГОС ВО) по направлению «Математика».
Дисциплина «Математическая логика» базируется на знаниях, полученных в
рамках школьного курса математика или соответствующих дисциплин среднего
профессионального образования. Для ее успешного изучения необходимы также
знания и умения, приобретенные в результате освоения алгебры.
В ходе изучения дисциплины «Математическая логика» студенты должны
усвоить основные понятия и методы математической логики, получить основные
сведения о структурах, используемых в персональных компьютерах.
Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с соответствующими учебниками, учебными пособиями, монографиями, научными статьями.
На основе приобретенных знаний формируются умения применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, владеть методами построения математической модели профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов.
Знание математической логики может существенно помочь в научноисследовательской работе.
4
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
Наименование обес- Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваеп/п
печиваемых (послемых (последующих) дисциплин
дующих) дисциплин
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
1.
Алгебра
+
+
2.
Математический анализ
Дифференциальная
геометрия и топология
Численные методы
Дискретная математика
+
+
+
+
+
+
+
+
3.
4.
5.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
Выпускник, освоивший программу бакалавриата, должен обладать следующими
общепрофессиональными компетенциями (ОПК):
готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа,
комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики
и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных
процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной
деятельности (ОПК-1);
Выпускник, освоивший программу бакалавриата, должен обладать профессиональными
компетенциями (ПК), соответствующими виду (видам) профессиональной деятельности,
на который (которые) ориентирована программа бакалавриата:
научно-исследовательская деятельность:
способностью к определению общих форм и закономерностей отдельной предметной области (ПК-1);
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: основные понятия математической логики, определения и свойства
математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их приложений, основы компьютерного моделирования стохастических объектов и явлений.
 Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области математической логики, доказывать утверждения из этой области.
 Владеть: математическим аппаратом логики, методами решения задач и доказательства утверждений в этой области.
5
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр – четвертый. Форма промежуточной аттестации экзамен. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 академических часа, из
них 76,65 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 67,35 часа,
выделенных на самостоятельную работу.
Таблица 2.
Всего часов
Вид учебной работы
Контактная работа со студентами
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
76,65
72
36
36
4,65
67,35
экзамен
144
4
3. Тематический план
1
1.1
.
1.2
.
2.1
.
2.2
2
Модуль 1
Булевы функции и
логика высказываний.
Исчисление высказываний.
Всего
Модуль 2
Логика предикатов.
Фильтры, теорема
3
4
Самостоятельная работа*
ные работы
Семинарские
(практические) занятия*
Лаборатор-
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Лекции
Тема
недели семестра
№
Ито
го
часов
по
теме
5
7
8
Таблица 3.
Из
Итого
них
колив
чество
ин- баллов
терактивной
фор
ме
9
10
1–5
8
8
9
25
2
0 – 25
6–8
8
8
10
26
3
0 – 25
16
16
19
51
5
0 – 50
4
12
19
-
11
12
9 – 10 3
11
1
0–2
2
0–4
6
.
2.3
.
3.1
.
3.2
.
компактности.
Исчисление предикатов.
Всего
Модуль 3
Частично рекурсивные функции.
Машина Тьюринга.
12 –
13
14 –
16
17 –
18
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной форме
*с учетом иных видов работ
8
8
10
26
2
0 – 14
12
12
33
57
4
0 – 20
4
4
10
18
2
0 – 10
4
4
10
18
5
0 – 20
8
36
8
36
20
72
36
144
7
16
0 – 30
0 – 100
10
6
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Модуль 1
1.1.
1.2.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
-
Итого количество баллов
реферат
Компьютерное
моделирование
тест
Письменные работы
контрольная работа
ответ на
семинаре
дискуссии
Устный опрос
собеседование
№ темы
0-5
0-5
0-10
0-15
0-15
0-30
0-5
0-5
0-5
0-5
0 – 25
0 – 25
0 – 50
-
-
0–2
0–4
0 – 14
0 – 20
0-5
0-4
0-4
0-9
0 – 10
0 – 20
0 – 30
0 – 100
-
0-2
0-2
0-4
0-2
0-2
0-2
0-6
0-10
0-10
0-2
0-2
0-2
0-4
0-4
0-5
0-9
0-25
0-40
0-15
0-15
0-15
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.1.Булевы функции. Логика высказываний.
Предикаты, специальные бинарные отношения, связь фактор - множества по эквивалентности с разбиением множеств.
Булевы функции и их задания, основные тождества. КНФ и ДНФ, контактно - релейные схемы.
Описание предполных классов.
1.2. Исчисление высказываний.
Формулировка ИВ, аксиомы, правила вывода, секвенции и их доказательства. Теорема о полноте ИВ.
7
Модуль 2.
2.1. Логика предикатов.
Сигнатура (язык), системы и формулы данной сигнатуры, их истинность в системах. Эквивалентные формулы, их предварительный вид
2.2. Фильтры, теорема компактности.
Фильтры, вложение фильтров ультрафильтры и их описание. Определение фильтрованного произведения систем, теоремы об ультра произведениях и компактности, их
применение в арифметике и теории моделей.
2.3. Исчисление предикатов.
Непротиворечивые множества формул и доказательство существования моделей
для них. Исчисление предикатов. Теоремы о полноте ИВ и независимости аксиом.
Модуль 3.
3.1. Частично рекурсивные функции.
Машины Тьюринга и функции вычислимые на них. Частично – рекурсивные функции и тезис Черча. Универсальные функции.
3.2. Машины Тьюринга.
Классы рекурсивно – перечислимых множеств. Существование простых множеств
и теорема Поста, m – сводимость, универсальные и креативные, рекурсивно неотделимые
множества. Теорема Геделя о неполноте. Неразрешимость арифметики и логики предикатов.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
1.1. Булевы функции. Логика высказываний.
Построение по булевой функции, заданной формулой с использованием импликации и отрицания таблицы истинности, КНФ, ДНФ и их упрощение, составление контактно
– релейной схемы. Полнота классов, штрих Шеффера и стрелка Пирса. Проверка сохранений истинности секвенций правилами вывода, доказательство секвенций.
1.2. Исчисление высказываний.
Построение формул арифметики для определимых предикатов на натуральных
числах. Задачи на выяснение эквивалентны или нет данные формулы. Приведение предложений к предварённой форме.
Модуль 2.
2.1. Логика предикатов.
Центрированные семейства множеств и фильтры Фреме.
2.2. Фильтры, теорема компактности.
Главные фильтры, описания максимальных главных фильтров.
2.3. Исчисление предикатов.
Примеры теорий (частичных порядков, групп, колец и т.п.). Их аксиоматика, противоречивое множество формул ( конечных ), каждое собственное подмножество которых
непротиворечивое.
Модуль 3.
3.1. Частично рекурсивные функции.
Построение МТ для вычисления некоторых несложных функций, определение их с
помощью рекурсий и простейших функций.
3.2. Машины Тьюринга.
Замкнутость РПМ относительно операций пересечения и объединения, Равносильные определения рекурсивных и РПМ. Выделение классов РПМ в языке решетки РПМ.
Набросок доказательств разрешимости (метод элиминации кванторов) и неразрешимости
некоторых элементарных теорий.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
8
Не предусмотрены
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
4 семестр
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Булевы функции и логика
высказываний.
Исчисление высказываний.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Логика предикатов.
2.2 Фильтры, теорема компактности.
1.2
2.3
Исчисление предикатов.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Частично рекурсивные
функции.
3.2
Машина Тьюринга.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Виды СРС
обязательдополниные
тельные
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач
Подготовка
рефератов,
составление
задач
Неделя
семестра
Таблица 5.
Объ- Колем
во
часов баллов
1–5
9
0-25
6–8
10
0-25
19
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач
Написание
программы
9 – 10
11
12
11
0-2
0-4
12 – 13
10
0-14
33
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство
с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной
сложности.
Подготовка
рефератов
0-50
0-20
14 – 16
10
0-10
17 – 18
10
0-20
20
72
0-30
0-100
9
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в
процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
10
ОПК-1
ПК-1
+
+
+
+
+
+
+
+
Индекс
компетенции
+
+
+
+
+
+
+
+
Функциональный анализ
Теория вероятностей
4 семестр
Комплексный анализ
Дифференциальная геометрия и топология
Математический анализ
3 семестр
Математическая логика
+
Дифференциальные уравнения
+ +
Дифференциальная геометрия и топология
Теория числе
Дифференциальные уравнения
Дискретная математика
2 семестр
Математический анализ
Алгебра
+
Математический анализ
1 семестр
Алгебра
Аналитическая геометрия
Математический анализ
Алгебра
Аналитическая геометрия
Таблица 6.
5 семестр
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра
+
Численные методы
Случайные процессы
Численные методы
+
+
+
+
+
+
+
Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ООП бакалавра
8 семестр
7 семестр
Вариационное исчисление
Теоретическая механика
Методы оптимизации
Функциональный анализ
ОПК-1
ПК-1
Теоретическая механика
Индекс
компетенции
Комплексный анализ
6 семестр
+
+
12
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных
этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 7.
Карта критериев оценивания компетенций
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
ОПК-1
Знает: основные Знает: основные
понятия и утвер- понятия и утверждения
ждения, а также
методы
доказательства
стандартных
утверждений
Умеет:
решать Умеет: решать
простейшие задачи вычислительного и теоретического характера
Владеет: матема-
ПК-1
тическим аппаратом математической логики, аналитическими методами
исследования
Знает: простейшие утверждения
математической
логики
Умеет:
доказывать простейшие
утверждения
стандартные
задачи вычислительного
и
теоретического
характера, доказывать
стандартные утверждения
Владеет: математическим аппаратом, аналитическими методами исследования
Знает: основные
утверждения математической логики
Умеет: сформулировать результат, доказывать
основные утверждения математической логики,
получать
следствия из них
Виды занятий
(лекции, семинар
ские, практические, лабораторные)
Оценочные
средства (тесты, творческие работы,
проекты и
др.)
Знает: основные Лекции,
понятия и утвер- практические
ждения, а также занятия
методы
доказательства утверждений:
Контрольные
работы, коллоквиумы,
домашние
задания.
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
решать
задачи вычислительного
и
теоретического
характера, доказывать
утверждения
Умеет:
Владеет: матема-
тическим аппаратом, аналитическими методами исследования
Знает:
теоремы Лекции,
математической
практические
занятия
логики
Умеет: сформулировать результат, доказывать
утверждения математической логики,
получать
следствия из них
Контрольные
работы, коллоквиумы,
домашние
задания.
Владеет: методами доказательств
простейших
утверждений
Владеет: метода- Владеет: методами доказательств ми доказательств
стандартных
утверждений
утверждений
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Темы контрольных работ и варианты контрольных работ:
Контрольная работа №1.
1. Составьте таблицу истинности булевой функции, реализованную данной формулой. Составьте по таблице истинности СДНФ и СКНФ:
2. Проверьте, будут ли эквивалентны формулы, применяя следующие способы:
a) составлением таблиц истинности;
b) приведением формул к СДНФ или СКНФ с помощью эквивалентных преобразований.
и
3. С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу к ДНФ, КНФ,
СДНФ, СКНФ. Постройте полином Жегалкина.
4. Найдите сокращенную, все тупиковые и минимальные ДНФ булевой функции,
следующими способами:
a) методом Квайна;
b) с помощью карт Карно.
f(0, 1, 0)= f(1, 0, 0)= f(1, 0, 1)=0.
Выяснить, каким классам Поста принадлежит данная функция.
Контрольная работа №2.
Доказать секвенции:
1.
˥ (X→Y) ├ X,
2.
X, Y ├ ˥ (X→˥ Y),
3.
˥ X→Y├˥ Y→X,.
4.
X→Z, Y→Z ├ (˥ X→Y)→Z,
5.
X→Y, X→˥ Y├ X→Z.
Контрольная работа №3.
1. Предикатный символ D(x,y) интерпретируется на множестве натуральных чисел N
как «x делитель y», + интерпретируется стандартно. Записать формулами языка I-го порядка в сигнатуре {+, D} условия «x=0» и «x=2».
2. Привести к предваренному виду формулу
(x)((z)(z<x→P(z))→P(x))→(x)P(x).
Будет ли эта формула истинной на множестве натуральных чисел, когда < интерпретируется стандартно, а P(x) означает произвольное свойство натуральных чисел?
3. Проверить, что ПВ4 сохраняет тождественную истинность секвенций.
4. Показать, что (x)A(x)v(x)B(x)≡(x)(A(x)v(x)B(x)) не является тождеством.
14
Контрольная работа №4.
1. Построить стандартную машину Тьюринга, вычисляющую функцию x+y.
2. Пусть A={a0, a1,…,an} внешний алфавит машины Тьюринга. Построить машину
Тьюринга, которая меняет слово, записанное на ленте, на слово, состоящее из букв исходного, но записанных в обратном порядке.
Темы рефератов:
1. ________________________________________________________
Нейронные сети.
2. ________________________________________________________
ятностные вычисления.
3. ________________________________________________________
товые вычисления.
4. ________________________________________________________
лекулярные вычисления.
5. ________________________________________________________
числения над кольцом целых чисел.
6. ________________________________________________________
числения над кольцом действительных чисел.
7. ________________________________________________________
числения над кольцом комплексных чисел.
8. ________________________________________________________
турная сложность.
9. ________________________________________________________
муникационная сложность.
10. _______________________________________________________
скриптивная сложность.
11. _______________________________________________________
раическая сложность.
ВероКванБиомоВыВыВыСтрукКомДеАлгеб-
Вопросы к экзамену (коллоквиуму):
1. Булевы функции, КНФ и ДНФ, контактно-релейные схемы.
2. Теорема Поста о предполных классах.
3. Аксиоматика ИВ, вспомогательные леммы и теорема о полноте ИВ.
4. Формулы ЛП, их истинность в системах данной сигнатуры.
5. Предложения о конгруэнтных формулах и предваренной форме.
6. Основные эквивалентности.
7. Фильтры и ультрафильтры, две теоремы о них.
8. Теорема об ультрапроизведениях и компактности.
9. Предложения о нестандартной модели арифметики и бесконечных моделях.
10. ИП. Теорема о существовании модели.
11. Теоремы о полноте ИП и независимости аксиом.
12. ЧРФ и машины Тьюринга.
13. Рекурсивно перечислимые множества. Теорема Поста. Построение простого множества.
14. Неразрешимые проблемы. Элементарная теория арифметики. Тождественно истинные формулы ИП.
15
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).
Коллоквиумы;
Промежуточная аттестация:
Экзамен (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, контрольной работы и сдачи коллоквиумов. Эта
оценка характеризует уровень сформированности практических умений и навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие умения и навыки,
а также критерии их оценивания приведены в таблице 7.
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых представлен в п. 10.3, а также решения задач, примерный уровень которых сооответвует уровню
задач, приведенных в п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует уровень
знаний, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания
и критерии их оценивания приведены в таблице 7.
11. Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, проектная технология, а также современные информационные технологии обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1 Основная литература:
16
1. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: Учебное пособие. Тюмень:3-е издание Издательство
Тюменского государственного университета, . 2008. - 88 с.
2. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов3-е издание- М.Академия,2007.-304 с.
3. Игошин В.И. Математическая логика и теории алгоритмов- 2-е изданиеМ.Академия, 2008.- 448 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Аматова М. А. Математика: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по спец. "Педагогика и методика нач. образования" : в 2 кн. - Москва: Академия. - (Высшее профессиональное образование. Педагогические специальности). - Кн. 1. - 2008. - 256 с.
2. Дегтев А. Н. Алгебра. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб.-метод.
комплекс : сб. индивид. контр. заданий для студ. спец. "Математика", Тюм. гос. унт. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2010. - 38 с.
3. Дегтев А. Н. Избранные результаты по теории алгоритмов: моногр.; Тюм. гос. ун-т.
- Тюмень: Изд-во ТюмГУЧ. 1. - 2008. - 184 с.
4. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: учеб. пособие. - 4-е изд.,
стер. СПб: Лань, 2005. - 336 с.
5. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике
и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 2006-256 с.
6. Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. М.: Физматлит, 2007,128 с.
7. . Шипачев, В. С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для студентов
вузов. - 9-е изд., стер.. - Москва: Высшая школа, 2009. - 304 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Балюкевич, Э.Л. Математическая логика и теория алгоритмов : учебнопрактическое пособие / Э.Л. Балюкевич, Л.Ф. Ковалева. - М. : Евразийский открытый институт, 2009. - 189 с. - ISBN 978-5-374-00220-1 ; То же [Электронный ресурс]. URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=93166(05.11.2014).
2. Зарипова, Э.Р. Лекции по дискретной математике. Математическая логика : учебное пособие / Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова, Л.А. Севастьянов. - М. : Российский университет дружбы народов, 2014. - 118 с. - ISBN 978-5-209-05455-9 ; То же [Электронный ресурс]. -URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=226799 (05.11.2014).
3. Судоплатов, С.В. Математическая логика и теория алгоритмов : учебник /
С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. - 3-е изд. - Новосибирск : НГТУ, 2012. - 254 с. (Учебники НГТУ). - ISBN 978-5-7782-1838-3 ; То же [Электронный ресурс]. URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=135676 (05.11.2014).
4. Триумфгородских, М.В. Дискретная математика и математическая логика для информатиков, экономистов и менеджеров : учебное пособие / М.В. Триумфгородских ; под
ред. О.А. Голубев. - М. : Диалог-МИФИ, 2011. - 180 с. - ISBN 978-5-86404-238-0 ; То
17
же [Электронный ресурс]. URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=136106 (05.11.2014).
13. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю),
включая перечень программного обеспечения и информационных
справочных систем (при необходимости).
1.
2.
3.
4.
Microsoft Word.
Microsoft Excel.
Microsoft PowerPoint.
http://www.wolframalpha.com/
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности,
оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
Ниже следует краткое изложение материала, которое позволит учащимся
систематизировать знания, полученные на лекциях, восполнить возможные «пробелы» в
изучении предмета, а так же приведены примеры решений некоторых типовых задач для
подготовки к контрольным работам.
Конспекты лекций по математической логике.
1. Теория алгоритмов
1.1 Различные подходы к определению алгоритма:
10. Неформальное понятие алгоритма (последовательность инструкций для выполнения действия).
20. Машина с неограниченными регистрами (МНР).
30 Машина Тьюринга – Поста (МТ-П).
40 Нормальные алгоритмы Маркова (НАМ).
1.1.1 Машина с неограниченными регистрами (МНР).
Имеется некое устройство, в котором счетное
число ячеек памяти (регистров), в которых
хранятся целые числа.
Допустимые команды:
Z(n) - обнуление регистра Rn.
S(n) - увеличение числа в регистре Rn на 1.
T(m,n) - копирует содержимое Rm в регистор Rn.
I(p,q,n) - если содержимое Rp = Rq то выполняется команда с номером n , если нет
следующая.
18
Программа для МНР должна быть последовательностью команд Z, S, T, I с определенным порядком, выполняемые последовательно.
Тезис Черча (Churcha): Первое и второе определение алгоритма эквивалентны между собой. Любой неформальный алгоритм может быть представлен в программе для МНР.
1.1.2 Машина Тьюринга - Поста.
Имеется устройство просматривающее бесконечную ленту, где есть ячейки содержащие элементы алфавита:
A  a0 , a1 , a3 ,..., an  , где  - пустой символ (пустое слово), который может принадлежать и не принадлежать А.
Также существует управляющая головка (устройство) (УУ)/(УГ), которая в начальный
момент расположена в определенном месте, в состоянии g 0 . Также существуют внутренние состояния машины: Q  g 0 , g1 ,..., g n 
Слово в данном алфавите - любая конечная упорядоченная последовательность букв
данного алфавита, притом длина слова это количество букв в нем (у пустого слова длина 0).
Допустимые команды:
Последовательность команд называется
 R (вправо)


программой, если в этой последователь1) ai g j  ai1 g j1  ,где    L (влево)  .
ности не встречается команд с одинако (ничего)
выми левыми частями. Машина останав

ливается если она не находит команды с
2) ai g j  stop (остановка программы).
левой частью подобной текущей.
1.1.3 Нормальные алгоритмы Маркова.
Тип машины перерабатывающий слова, в которой существует некий алфавит
A  a0 , a1 , a3 ,..., an , для которого W - множество всех слов.
Допустимые команды: (Для машин этого типа важна последовательность команд.)
Пример: A  а, б, о U  баобаб
u i & u i1  W


Программа: ба  аб
u i   i u i1 где 
 (остановка )



i
U (баобаб )  U (абобаб )  U (абоабб ).

  (ничего)

1.1.4 Реализация функции натурального переменного. N  0,1,2,...
f : N  N но мы допускаем не всюду определенную функцию.
прогр.
N ? ??????…
 f прогр 
МНР
f : то это означает, что n 0 … … …
релиз.
притом f (n)  N , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.
прогр.
1 1 … 1 1
1 1 … 1 1
 n  f прогр  N 
МТ  П
f :
релиз.
притом f (n)  N , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.
...
11 ,например 0  1; 3  1111 .)
( A  ,1 , а числа представляются в виде n  11

n 1 раз
1.2 Эквивалентность трех подходов к понятию алгоритм.
1.2.1 Теорема об эквивалентности понятия вычислимой функции.
f : N  N вычислима: ( 0  N )
19
1) Если существует программа МНР, которая вычисляет эту функцию.
2) Если существует программа МТ-П, которая вычисляет эту функцию.
3) Если существует программа НАМ, которая вычисляет эту функцию.
Использование НАМ: f  2n
A  ,1, ,  
 1  1
  1  11
4
1
2
2
1111 

1111 

1111 

11111 



2
2
3


111111 

1111111 

1111111
   1  
   
Теор.: Классы функций вычислимых на МТ-П, с помощью НАМ и с помощью МНР
совпадают.
Пусть  f (n) которая вычисляется на МТ-П, вычислим её на
НАМ.
МТ-П:
AT  ,1,...

и PМТ  П
Q  q0 , q1 ,..., qn 
НАМ: AM  AT  q0 , q1 ,..., qn 
Команда МТП: ai q j  ai1 q j1  преобразуется по правилам:
   a v q j ai  a v q j ai 
1
1

  L av q j ai  q j av ai  av пробегает все a  AT
1
1

  R av q j ai  av ai q j 
1
1
   q0
Команда МТП: ai q j  stop

a v q j ai  a v ai  a  AT
2. Булевы функции.
2.1 Основные определения
2.1.1 Декартово произведение
def .
A  B  (a, b), a  B, b  B - мн-во всевозможных упорядоченных пар элементов из А и
В.
Пример: A  0,1,2 B  1,3 A  B  B  A
A  B  (0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3) A  n
B  m A B  C
C  mn
A2  A  A;  2      (ri , r j ); ri , r j  
def
2.1.2 Декартова степень произвольного множества.
Опр: An  (a1 , a2 ,..., an ); a j  A - множество всевозможных упорядоченных наборов


длины n , элементов множества А.
An  A
n
2.1.3 Определение булевой функции от n переменных.
20
Любое отображение  : E n  E - называется булевой функцией от n переменных, притом множество E  1 (истина),0 ( ложь)
0  E
( x1 , x 2 ,..., x n )  E n  (( x1 , x2 ,..., xn ))  
1  E
x
0
0
1
1
y рез:
0 0
1 1
0 1
1 1
2.1.4 Примеры булевой функции.
1) x V y  логическая сумма (дизъюнкция).
2) x  y  xy  xy  x & y  логическое умножение (конъюнкx y рез:
ция).
0 0 0
0 1 0
x y рез: 3) x  y  сложение по модулю два.
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
x
0
0
1
1
y рез:
0 1
1 1
0 0
1 1
4) x  y  логическое следствие (импликация).
x рез: 5) x  x  отрицание.
0
1
1
0
2.1.5 Основные булевы тождества.
1) ( x1 V x2 ) V x3  x1 V( x2 V x3 ) (ассоциативность)
x1 V x2  x2 V x1 (коммутативность)
x1 V 0  0 V x1  x1 (свойство нуля)
1V x1  x1 V1  1 (закон поглощения для 1)
( x1 x2 ) x3  x1 ( x2 x3 ) (ассоциативность)
6) x1 x2  x2 x1 (коммутативность)
7) x1 0  0 x1  0 (свойство нуля по умножению)
8) x11  1x1  x1 (свойство нейтральности 1 по умножению)
9) x1 ( x2 V x3 )  x1 x2 V x1 x3 (дистрибутивность)
10) x1 V x2 x3  ( x1 V x3 )( x1 V x2 ) (дистрибутивность 2)
11) x1 V x1 x2  x1 (закон поглощения)
2)
3)
4)
5)
12) x1 V x 2  x1 x 2 ( Законы
13)
14)
15)
16)
x1 x 2  x1 V x 2 де Моргана)
(x1 )  x1 (закон снятия двойного отрицания)
x1 V x1  1 (tertium non datur – третьего не дано)
( x1  x2 )  x3  x1  ( x2  x3 ) (ассоциативность)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
x1  x2  x2  x1
x1  0  0  x1  x1
x1  1  1  x1  x1
x1  x1  0
x1 V x1  x1 (Свойства
идемпотентности)
x1 x1  x1
2.2 Дизъюнктивные нормальные формы.
2.2.1 Основные определения.
A  x1 , x2 ,..., xn  - конечный алфавит из переменных.
21
Рассмотрим слово: xi11 xi22 ...xiSS
1  i1  i2 ...  is  n
Экспоненциальные обозначения: xi0  xi
xi1  xi
0
1
i  
x10 x31 x 40  x1 x3 x 4 - элемент конъюнкции.
S – длина элемента конъюнкции.
ДНФ – дизъюнкция нескольких различных элементарных конъюнкций.
def
k
f ( x1 , x 2 ,..., x n )  u1 V u 2 V ... V u k  ДНФ дл( ДНФ )   дл(u i )
i 1
Любая булева функция может быть представлена как ДНФ
2.2.2 Теорема о совершенной ДНФ.
Любая булева функция f ( x1 , x2 ,..., xn ) тождественно не равная 0 может быть разложена
в ДНФ следующего вида:
(1) f ( x1 , x2 ,..., xn ) 
 x11 x2 2 ...xn n
f (1 , 2 ,...,  n )
Опр: Носитель булевой функции f ( x1 , x2 ,..., xn )  1
def


T f  ( x1 , x2 ,..., xn )  E n ; f ( x1 , x2 ,..., xn )  1 .
Лемма: f ( x1 , x 2 ,..., x n )  q ( x1 , x 2 ,..., x n )  T f  Tq
1)  это элементарно f  q  T f  Tq
2)  T f  Tq возьмем набор ( x1* , x 2* ,..., x n* )
а)
б)
f ( x1* , x 2* ,..., x n* )  1  ( x1* , x 2* ,..., x n* )  T f  Tq 
 q( x1* , x 2* ,..., x n* )  1  f  q на наборе ( x1* , x 2* ,..., x n* )
f ( x1* , x2* ,..., x n* )  0  ( x1* , x 2* ,..., x n* )  T f  Tq  если бы она  Tq , то ссыл на (а) 
 ( x1* , x2* ,..., xn* )  Tq  q( x1* , x 2* ,..., x n* )  0  f  q на наборе ( x1* , x2* ,..., x n* )
def
Доказательство: (1)  q , будем доказывать, что Tq  T f .
1) Докажем, что T f  Tq . Возьмем ( x1* , x2* ,..., xn* )  T f  f (...)  1  он попадает в число суммируемых наборов и по нему будет проводиться сумирование.
*
*
*
q( x1* , x2* ,..., xn* )  ... V x1x1 , x2x2 ,..., xnxn V ... 
*
*
*
 q( x1* , x2* ,..., xn* )  ... V x1*x1 , x2*x2 ,..., xn*xn V ...  q  1

1
2) Докажем, что Tq  T f . Возьмем другой набор из Tq
(t1 , t 2 ,..., t n )  q(t1 , t 2 ,..., t n )  1   слог t11 t 2 2 ...t n n  1  t1   1 ,.... 
 t1t1 t 2t2 ...t ntn  1  f (t1 , t 2 ,..., t n )  1  T f  Tq
Следовательно Tq  T f & T f  Tq  Tq  T f
2.2.3 Некоторые другие виды ДНФ.
Опр: u1Vu2V ....Vu s - называется минимальной ДНФ, если она имеет S  min( si ...s n ) наименьшую возможную длину из всех ДНФ данной функции.
22
Опр: u1Vu2V ....Vu s - называется тупиковой ДНФ, если из неё нельзя выбросить ни одного слагаемого с сохранением булевой функции.
(Легко понять, что любая минимальная ДНФ является тупиковой, а обратное не верно.)
Опр: К-мерной гранью называется такое подмножество E n , которая является носителем некоторой элементарной конъюнкции длины: n-k.
Опр: Предположим дана функция f ( E n ) и есть T f  T . Грань называется отмеченной,
если она целиком содержится в носителе Т.
Опр: Максимальная грань – это такая грань, которая не содержится ни в какой грани
более высокой размерности.
Предложение: Любую отмеченную грань можно вложить в максимальную грань.
Предложение: T f V q  T f  Tq
f  u1 V u 2 V ... V u n  T f  Tu1  Tu2  ...  Tun
(Носитель любой функции можно разложить в объединение нескольких граней разной
размерностей)
Предложение: Носитель любой функции разлагается в объединение всех своих максимальных граней. T f  Q1  Q2  ...  Qt
Опр: Элементарная конъюнкция называется минимальной, если её носитель является
максимальной гранью. Следовательно всякая булева функция разлагается в дизъюнкцию всех своих элементарных конъюнкций.
Опр: Сокращенная ДНФ – разложение данной булевой функции в соответствующие
ДНФ, которые соответствуют объединению её максимальных граней.
Теор: Минимальная ДНФ может быть получена из сокращенной отбрасыванием некоторого количества слагаемых, возможно пустого.
3 Логические Исчисления.
3.1 Исчисления высказывания (ИВ).
3.1.1 Определения.
ИВ  L ( язык ИВ), Ax (аксиомы ИВ), Re g (правила вывода ИВ)
L  A (алфовит), V (слова), F (формулы)
сим волы

 спец




  

A   A, B, C ,..., Z , A1 , B1 , C1 ,..., Z1 ,...., An , Bn , C n ,..., Z n    V,&,
 , (,

) 




сим волы перем енных

 
 логич связи скобки 

Опр: V – словом в алфавите А, называется любая конечная упорядоченная последовательность его букв.
23
Опр: Формативная последовательность слов – конечная последовательность слов и
высказываний u1 , u 2 ,..., u n , если они имеют формат вида:
vi  символ переменной

 v  (u V u ), где u  подслова i, j  k
i
j
i, j
 i
v k   vi  (u i & u j ), где u i , j  подслова i, j  k
 v  (u ), где u  подслова i, j  k
i
i, j
 i
vi  (u i  u j ), где u i , j  подслова i, j  k
Опр: F – формулой ИВ, называется любое слово, входящее в какую-нибудь формативную последовательность.
Пример: ((( A1999  A)))  F
u1  A1999
u 4  (( A1999  A))
u2  A
u  ((( A1999  A)))
u 3  ( A1999  A) 5
Опр: Аксиомы – специально выделенное подмножество формул. Ax  F
( A  ( B  A))
1)
(( A  ( B  C )  (( A  B)  ( A  C )))
2)
(( AB)  A)
3)
(( AB)  B)
4)
(( A  B)  (( A  C )  ( A  ( BC ))))
5)
( A  ( A V B ))
6)
( B  ( A V B ))
7)
(( A  C )  (( B  C )  (( A V B)  C )))
8)
( A  ((A)))
9)
10) (((A))  A)
11) (( A  B)  ((B)  (A)))
Reg – правила вывода ИВ (некоторые правила преобразования первого слова в другое).
a – символ переменной a  A
 - произвольное слово ИВ (формула)
( F  F если   А) действует так, что на место каждого
вхождения символа а , пишется слово  .
Пример: a  B;   AB  Sa ( A
B B AC )  ( A
AB AB AC )
Отображение Sa : V  V
Правило modus ponens: V 2  V
m. p( , (  x))  x
3.1.2 Формальный вывод.(простейшая модель доказательства теоремы)
Опр: Последовательность формул ИВ, называется формальным выводом, если каждая
формула этой последовательности имеет следующий вид:
  Ax (аксиома )

u k   Sa (u i ), i  k
m. p (u , u ), i, j  k
i
j

24
Опр: Выводимый формулой (теоремой) ИВ называется любая формула входящая в какой-нибудь формальный вывод.   - выводимая формула ИВ.
Пример:  ( A  A)
( A  ( B  A))
1)
( A  ( B  C ))  (( A  B)  ( A  C )))
2)
( A  ( B  A))  (( A  B)  ( A  A)))
3)
 Ax(1)
 Ax( 2)
 S AC (( 2))
 m.p((1), (3))
4)
5)
(( A  B)  ( A  A))
(( A  ( B  A))  ( A  A))
 S (BB A) ((4))
6)
( A  B)
 m.p((1), (5))
Правило одновременной подстановки.
Замечание: Если формула  выводима, то выводима и Sa ( )
Возьмем формативную последовательность вывода  u1 , u 2 ,..., u n и добавим в неё
u n1  Sa ( ) , получившаяся последовательность является формальным выводом.
(Если выводима   то если  (   ) , то выводима   )
an
Теор: Если выводимая формула  , то Sa11 ,,a22,...,
,..., n ( ) ( a1 , a 2 ,..., a n - различные символы
переменных) выводима
Выберем b1 , b2 ,..., bn - символы переменных которые различны между собой и не вхо-
дят не в одну из формул  , 1 , 2 ,..., n , сделаем подстановку S ba11 ( ) и последовательно применим S bann ....S ba22 S ba11 ( ) и в новом слове делаем последовательную подста-


новку: Sbnn ....Sb22 Sb11 Sbann ....Sba22 Sba11 ( )  Sa11a22......ann ( ) , где u1 ,..., (u n   ), S ba11 ,..., Sbnn ,..... - является формальным выводом.
3.1.3 Формальный вывод из гипотез.
Опр: Формальным выводом из гипотез  1 , 2 ,..., n (формулы), называется такая последовательность слов u1 , u 2 ,..., u N , каждая из которых удовлетворяет условию:
  выводима ( u k )

u k     l , l  1,2,..., n.
 m. p (u , u ), i, j  k
i
j

 1 , 2 ,..., n   если формулу  можно включить в некоторый формальный вывод
из гипотез  1 , 2 ,..., n .
Лемма:  1 , 2 ,..., n   ;  1 , 2 ,..., n  (   ) : то тогда  1 , 2 ,..., n  
Напишем список:
W1 ...
u1
W2 ...


u N   WS  (   )
  m. p( , (   )) 
 m. p(u N , WS )
0 
Лемма: 1 , 2 ,..., n  (   );  1 , 2 ,..., n  (  (   ))   1 , 2 ,..., n  (   )
25
u1
S A,,B,,C ( Ax2)  (  (   ))  ...  A
W1
Док: 
m. p (Ws , A)  ((   )  (   ))  B

u N  (   ) WS  (  (   )) m. p (u N , B)  (   )
3.1.4 Теорема Дедукции.
Если из
 1 ,  2 ,...,  n   то, тогда
1)  





, где   2а)    i , i  n

 2б )   
u N   
n

 ( 1  ( 2  (... n 1  ( n   )...)
1) и 2а) ( A  ( B  A)) , где A   B   n (  ( n   )) по правилу m.p.
( n   ) , ч.т.д.
2б)    n , ( A  A) - уже выводили  ( n   n ) , ч.т.д.
 1 ,  2 ,...,  ( n   )
u1
Базис индукции: N=1  - формальный вывод из длинного списка  
    i (только что доказано), осуществим переход по индукции:
     i   m. p. u1 ,..., u i   ...u j  (   )...u N  
1 ,  2 ,...,  n1  ( n   ) по индукции
1 ,  2 ,...,  n1  ( n  (   )) и по лемме 2
1 ,  2 ,...,  n1  ( n   )
Пример: ( A  ( B  C )), A, B,  C
1) ( A  ( B  C ))
2) A
3) B
по теореме дедукции
4) ( B  C )
 m. p (1,2)
5) C
 m. p (4,3)
( A  ( B  C )), B  ( A  B )
( A  ( B  C ))  ( B  ( A  C ))
 (( A  ( B  C ))  ( B  ( A  C )))
3.2 Критерий выводимости в ИВ.
3.2.1 Формулировка теоремы.
     1 - тавтология
при любой интерпретации алфавита (символов переменных)
    ( )  1
3.2.2 Понятие интерпретации.
( A  ( B  A))  ( x1  ( x2  x3 ))




слово
булева функция
символ переменной  x1 , x2 ,..., xn  переменную поставим в соответствие.
A  x1 ( 11 ( x1 )) , где  32 ( x1 , x 2 , x3 )  x 2 - проекция на x 2 .
26
 : A   ni ( x1 ,..., x n )
u1   (u1 )
u2   (u2 )

un   (un )
def
Где:
символ переменной
  (u  u ), i, j  n
i
j

un    (ui V u j ), i, j  n
  (u ), i  n
i

  (ui & u j ), i, j  n
; u1 - только символ
переменных, т.к.
это заглавное слово
формативной последовательности вида:
 (u i  u j )   (u i )   (u j )
def
 (u i & u j )   (u i ) &  (u j )
def
;  (u i V u j )   (u i ) V  (u j )
def
;  (u i )   (u i )
3.2.3 Доказательство теоремы.
1 
 2 


 N 
 k  Ax,  ( k )  1, k  N
формальный

 Ax
 N  Sa ( i ),  ( i )  1   ( Sa ( i )  1)
вывод 

 k    Sa ( i ), i  k
  m. p.( i ,  j ), i, j  N
 m. p.( ,  ), i, j  k N
i
j

продолжение см. (1)
 ( N )( x1* ,..., x n* )  0
(1)
 i   ( i )  1
 j   ( j )  1
?
 j  ( i   N )
 N   ( N ) 1
 ( i   N )  1,  ( i )  1
 ( i )( x1* ,..., x n* )  0  1
 ( i )( x1* ,..., x n* )  1 
пришли


*
*
 ( i )( x1 ,..., x n )  0
 к противоречию
ч.т.д.
def
 ( i   N )   ( i )   ( N )  1   ( N )  1
3.3 Непротиворечивость ИВ.
3.3.1 Определение.
1) ИВ противоречиво, если формула А выводима в нем. A  алфавиту .
2)   F :  ( формула выводима в ИВ)  ИВ противоречиво.
3)   F ::  ,  ( )  ИВ противоречиво.
ИВ непротиворечиво, если оно не является противоречивым.
Теорема: ИВ является непротиворечивым исчислением по отношению к любому из
трех определений.
Док-во: (1) Если  A , то соответствующая ей булева функция будет тождественно
равна 1.
( A)  1  : A   i ( x1 , x2 ,..., xn ) f ( x1 )  x1 при x1  0 f (0)  0  1  противоречие
(2) Если любая формула выводима, то выводима и А, что соответствует пункту 1.
(3) Пусть   и  ( ) ( )  ( x1 , x2 ,..., xn )  1 - булева функция
def
 (( ))   ( )   ( x1 , x 2 ,..., x n )  0, но  (( ))  1, т.к.  ( ) - противоречие.
3.4 Формальные исчисления.
Алфавит – конечное или счетное множество символов, возможно, разбитых на группы.
Алфавит должен быть упорядоченным множеством.
27
Слово – конечная упорядоченная последовательность символов алфавита, в т.ч. пустое
слово.
V – множество всех слов.
Вычислимая функция от нескольких натуральных переменных f ( x1 , x2 ,..., xn )
( f – может быть не всюду определенной )
f – называется вычислимой, если  такая машина Тьюринга, которая её вычисляет.
M  N - разрешимое множество, если характеристическая функция
def 1, x  M

- является вычислимой.
X M ( x)  
0, x  M
Множество M  N называется перечислимым, если  такая вычислимая функция
f ( x1 ) : f ( N )  M
М - разрешимо  М и N \M перечислимы.
М – перечислимо  М – область определения некоторой вычислимой функции.
Множество всех формул F – некоторое разрешимое подмножество V.
Т – счетное множество, если  его биективное отображение на V.
T  K 0 - обозначение счетного множества. ( K 0 - алеф-нуль)
11
Если  и зафиксировано биективное и вычислимое отображение f : L 
N (вычис.),
то L – ансамбль.
V – ансамбль (слова лексикографически упорядочены и занумерованы)
Определение: В произвольном формальном исчислении: Ax  F - множество всех аксиом – разрешимое подмножество множества всех формул.

  
;F2  F
Sa : F  F
a

S ( )
Правило вывода:
r ( 1 ,  2 ,...,  n )   , F n  F ,при n  N разрешимо. Для ИВ N=2.
Пример:
L : A  a j ; V ; F  V
Ax   (пустое слово) , Ax  1
Re g  r1 , r1 (u)  uaa
 

 



1 :  aa 2 :  3 : aaaa
aaaa





1 и 2 – формальные выводы.
3 – не является формальным выводом.
4 Предикаты и кванторы.
4.1 Определение предиката.
P  1055  1999
P( x)  x  1999 - высказывание, содержащее переменную.
x  N - предметная область предиката.
x1 , x2  N P( x1 )  1 P( x2 )  0 P : N  E  0,1
28
Пусть А – множество объектов произвольной природы (предметная область предиката).
n -местный предикат – произвольное отображение P : A n  E
P( x1 ,..., xn )  E, xi  A i


Множество истинности данного предиката P : T p  ( x1 ,..., xn )  An : P( x1 ,..., xn )  1
P  X A (x) - характеристическая
функция от x на множестве
А - совпадает
с предикатами
P( x) V Q( x, y)  R1 ( x, y)
P( x)Q( x, y)  R2
TPVQ  TP  TQ
TP &Q  TP  TQ
P  Q  R3
 ( P, Q)  R4 ( x, y)
4.2 Понятие квантора.
k – связанная переменная
n
n
a

a
 k  S n – свободная переменная
S 1
S 1
t
t
0
0
 f ( x)dx   f (s)ds
t – свободная, x – связанная.
b
 F ( x, y)dx , a,b,y – свободные переменные, x – связанная.
a
P( x) " x  1999" ,
(x) P( x)  1
xN
(x) P( x)  0
Q(m, n) " m делит n", A  N \ 0
(m)Q(m, n)  R(n) (m)Q(m, n)  T (n)  1
(n)Q(m, n)  S (m) (n)Q(m, n)  T (m)  1
(x) R( y, z )  R( y, z )
(x) R( y, z )  R( y, z )
1, m  1
S ( m)  
0, m  1
4.3 Геометрическая интерпретация навешивания кванторов.
(y ) P( x, y )
x, y  R
x  T( y ) P  (y ) P( x, y )  1 
 (y )( x, y )  TP
T( x ) P ( x , y ) - ортогональная
проекция на ось x
(y ) P( x, y )
29
Пронесение отрицания через кванторы
(x) P( x, y )  (x) P( x, y )
(y ) P( x, y )  (y ) P( x, y )
(x) P( x, y )  (x) P( x, y )
def
Q( x, y )  P( x, y )
(x)Q( x, y )  (x)Q( x, y )
(x)Q( x, y )  ((x) P( x, y ))  (x)Q( x, y )  ((x) P( x, y ))
(y ) P( x, y )  (y ) P( x, y )
Геометрическое 'доказательство':
* : x0  T(y ) P  R \ T(y ) P A \ TP  TP ; x0 не обладает свойством, что прямая x  x0 целиком лежит в TP
( x0 , y 0 )  TP y 0  R; ( x0 , y 0 )  R 2 \ TP
( x0 , y 0 )  TP , y 0  R : ( x0 , y 0 )  TP
(y ) P ( x, y )  1
(y ) P( x, y )
x0  T( y ) P ч.т.д.
y  A,
y1 , y 2 ,....
(y ) P( x, y )  P( x, y1 ) V P( x, y 2 ) V ...
(y ) P( x, y )  P( x, y1 ) & P( x, y 2 ) & ...
(x)( P ( x, y ) V( y )Q ( x, y )) 


 (y )( P ( x, y ) V Q ( x, y )) 
 (x)( P ( x, y ) V( z )Q ( x, z )) 
 (x)(( z ) P( x, y ) V( z )Q ( x, z )) 
 (x)(z )( P( x, y ) V Q ( x, z )) 
 (x)(z )( P ( x, y ) V Q ( x, z )) 
 (x)(z )( P ( x, y ) V Q ( x, z ) ).

предикат от ( x , y , z ) зав от y
30