Конспекты лекций по математической логике. 1. Теория алгоритмов

1
Конспекты лекций по математической логике.
1. Теория алгоритмов
1.1 Различные подходы к определению алгоритма:
10. Неформальное понятие алгоритма (последовательность инструкций для
выполнения действия).
20. Машина с неограниченными регистрами (МНР).
30 Машина Тьюринга – Поста (МТ-П).
40 Нормальные алгоритмы Маркова (НАМ).
1.1.1 Машина с неограниченными регистрами (МНР).
Имеется некое устройство, в котором счетное
число ячеек памяти (регистров), в которых
хранятся целые числа.
Допустимые команды:
Z(n) - обнуление регистра Rn.
S(n) - увеличение числа в регистре Rn на 1.
T(m,n) - копирует содержимое Rm в регистор Rn.
I(p,q,n) - если содержимое Rp = Rq то выполняется команда с номером n , если нет
следующая.
Программа для МНР должна быть последовательностью команд Z, S, T, I с определенным
порядком, выполняемые последовательно.
Тезис Черча (Churcha): Первое и второе определение алгоритма эквивалентны между собой.
Любой неформальный алгоритм может быть представлен в программе для МНР.
1.1.2 Машина Тьюринга - Поста.
Имеется устройство просматривающее бесконечную ленту,
где есть ячейки содержащие элементы алфавита:
A  a0 , a1 , a3 ,..., an  , где  - пустой символ (пустое слово),
который может принадлежать и не принадлежать А. Также
существует управляющая головка (устройство) (УУ)/(УГ), которая в начальный момент
расположена в определенном месте, в состоянии g 0 . Также существуют внутренние
состояния машины: Q  g 0 , g1 ,..., g n 
Слово в данном алфавите - любая конечная упорядоченная последовательность букв
данного алфавита, притом длина слова это количество букв в нем (у пустого слова длина
0).
Допустимые команды:
Последовательность команд называется
 R (вправо)


программой,
если
в
этой
1) ai g j  ai1 g j1  ,где    L (влево)  .
последовательности
не
встречается
 (ничего)
команд с одинаковыми левыми частями.


Машина останавливается если она не
2) ai g j  stop (остановка программы).
находит команды с левой частью
подобной текущей.
1.1.3 Нормальные алгоритмы Маркова.
Тип машины перерабатывающий слова, в которой существует некий алфавит
A  a0 , a1 , a3 ,..., an , для которого W - множество всех слов.
Допустимые команды: (Для машин этого типа важна последовательность команд.)
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
Пример: A  а, б, о U  баобаб
Программа: ба  аб
U (баобаб )  U (абобаб )  U (абоабб ).
u i & u i1  W


 (остановка )
u i   i u i1 где 



i

  (ничего)

1.1.4 Реализация функции натурального переменного. N  0,1,2,...
f : N  N но мы допускаем не всюду определенную функцию.
прогр.
 f прогр 
МНР
f : то это означает, что n 0 ………
N ? ??????…
релиз.
притом f (n)  N , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.
прогр.
1 1 … 1 1
1 1 … 1 1
 n  f прогр  N 
МТ  П
f :
релиз.
притом f (n)  N , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.
...
11 ,например 0  1; 3  1111 .)
( A  ,1 , а числа представляются в виде n  11

n 1 раз
1.2 Эквивалентность трех подходов к понятию алгоритм.
1.2.1 Теорема об эквивалентности понятия вычислимой функции.
f : N  N вычислима: ( 0  N )
1) Если существует программа МНР, которая вычисляет эту функцию.
2) Если существует программа МТ-П, которая вычисляет эту функцию.
3) Если существует программа НАМ, которая вычисляет эту функцию.
Использование НАМ: f  2n
A  ,1, ,  
 1  1
  1  11
4
1
2
2
1111 

1111 

1111 

11111 



2
2
3


111111 

1111111 

1111111
   1  
   
Теор.: Классы функций вычислимых на МТ-П, с помощью НАМ и с помощью МНР
совпадают.
Пусть  f (n) которая вычисляется на МТ-П, вычислим её на НАМ.
МТ-П:
AT  ,1,...

и PМТ  П
Q  q0 , q1 ,..., qn 
НАМ: AM  AT  q0 , q1 ,..., qn 
Команда МТП: ai q j  ai1 q j1  преобразуется по правилам:
   a v q j ai  a v q j ai 
1
1

  L av q j ai  q j av ai  av пробегает все a  AT
1
1

  R av q j ai  av ai q j 
1
1
   q0
Команда МТП: ai q j  stop

a v q j ai  a v ai  a  AT
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
2. Булевы функции.
2.1 Основные определения
2.1.1 Декартово произведение
def .
A  B  (a, b), a  B, b  B - мн-во всевозможных упорядоченных пар элементов из А и В.
Пример: A  0,1,2 B  1,3 A  B  B  A
A  B  (0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3) A  n
B  m A B  C
C  mn
A2  A  A;  2      (ri , r j ); ri , r j  
def
2.1.2 Декартова степень произвольного множества.


Опр: An  (a1 , a2 ,..., an ); a j  A - множество всевозможных упорядоченных наборов
An  A
длины n , элементов множества А.
n
2.1.3 Определение булевой функции от n переменных.
Любое отображение  : E n  E - называется булевой функцией от n переменных, притом
множество E  1 (истина),0 ( ложь)
0  E
( x1 , x 2 ,..., xn )  E n  (( x1 , x2 ,..., x n ))  
1  E
2.1.4 Примеры булевой функции.
x
0
0
1
1
y рез:
0 0
1 1
0 1
1 1
1)
x
0
0
1
1
x V y  логическая сумма (дизъюнкция).
2) x  y  xy  xy  x & y  логическое умножение (конъюнкция).
y рез:
0 0
x y рез: 3) x  y  сложение по модулю два.
1 0
0 0 0
x y рез: 4) x  y  логическое следствие
0 0
0 1 1
0 0 1
(импликация).
1 1
1 0 1
0 1 1
x рез: 5) x  x  отрицание.
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
2.1.5 Основные булевы тождества.
1) ( x1 V x2 ) V x3  x1 V( x2 V x3 ) (ассоциативность)
x1 V x2  x2 V x1 (коммутативность)
x1 V 0  0 V x1  x1 (свойство нуля)
1V x1  x1 V1  1 (закон поглощения для 1)
( x1 x2 ) x3  x1 ( x2 x3 ) (ассоциативность)
6) x1 x2  x2 x1 (коммутативность)
7) x1 0  0 x1  0 (свойство нуля по умножению)
8) x11  1x1  x1 (свойство нейтральности 1 по умножению)
9) x1 ( x2 V x3 )  x1 x2 V x1 x3 (дистрибутивность)
10) x1 V x2 x3  ( x1 V x3 )( x1 V x2 ) (дистрибутивность 2)
11) x1 V x1 x2  x1 (закон поглощения)
2)
3)
4)
5)
12) x1 V x 2  x1 x 2 ( Законы
13) x1 x 2  x1 V x 2 де Моргана)
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
14) (x1 )  x1 (закон снятия двойного отрицания)
15) x1 V x1  1 (tertium non datur – третьего не дано)
16) ( x1  x2 )  x3  x1  ( x2  x3 ) (ассоциативность)
x1  x2  x2  x1
x1  0  0  x1  x1
x1  1  1  x1  x1
x1  x1  0
x1 V x1  x1 (Свойства
идемпотентности)
x1 x1  x1
17)
18)
19)
20)
21)
22)
2.2 Дизъюнктивные нормальные формы.
2.2.1 Основные определения.
A  x1 , x2 ,..., xn  - конечный алфавит из переменных.
Рассмотрим слово: xi11 xi22 ...xiSS
1  i1  i2 ...  is  n
Экспоненциальные обозначения: xi0  xi
xi1  xi
0
1
i  
x10 x31 x 40  x1 x3 x 4 - элемент конъюнкции.
S – длина элемента конъюнкции.
ДНФ – дизъюнкция нескольких различных элементарных конъюнкций.
f ( x1 , x 2 ,..., x n )  u1 V u 2 V ... V u k  ДНФ
def
k
дл( ДНФ )   дл(u i )
i 1
Любая булева функция может быть представлена как ДНФ
2.2.2 Теорема о совершенной ДНФ.
Любая булева функция f ( x1 , x2 ,..., xn ) тождественно не равная 0 может быть разложена в
ДНФ следующего вида:
(1) f ( x1 , x2 ,..., xn ) 
 x11 x2 2 ...xn n
f (1 , 2 ,...,  n )
Опр: Носитель булевой функции f ( x1 , x2 ,..., xn )  1
T f  ( x1 , x2 ,..., xn )  E n ; f ( x1 , x2 ,..., xn )  1.
def
Лемма: f ( x1 , x 2 ,..., x n )  q ( x1 , x 2 ,..., x n )  T f  Tq
1)  это элементарно f  q  T f  Tq
2)  T f  Tq возьмем набор ( x1* , x 2* ,..., x n* )
а)
б)
f ( x1* , x 2* ,..., x n* )  1  ( x1* , x 2* ,..., x n* )  T f  Tq 
 q( x1* , x 2* ,..., x n* )  1  f  q на наборе ( x1* , x 2* ,..., x n* )
f ( x1* , x 2* ,..., xn* )  0  ( x1* , x 2* ,..., xn* )  T f  Tq  если бы она  Tq , то ссыл на (а) 
 ( x1* , x2* ,..., x n* )  Tq  q( x1* , x2* ,..., x n* )  0  f  q на наборе ( x1* , x 2* ,..., xn* )
def
Доказательство: (1)  q , будем доказывать, что Tq  T f .
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
1) Докажем, что T f  Tq . Возьмем ( x1* , x2* ,..., xn* )  T f  f (...)  1  он попадает в число
суммируемых наборов и по нему будет проводиться сумирование.
*
*
*
q( x1* , x2* ,..., xn* )  ... V x1x1 , x2x2 ,..., xnxn V ... 
*
*
*
 q( x1* , x2* ,..., xn* )  ... V x1*x1 , x2*x2 ,..., xn*xn V ...  q  1

1
2) Докажем, что Tq  T f . Возьмем другой набор из Tq
(t1 , t 2 ,..., t n )  q(t1 , t 2 ,..., t n )  1   слог t11 t 2 2 ...t n n  1  t1   1 ,.... 
 t1t1 t 2t2 ...t ntn  1  f (t1 , t 2 ,..., t n )  1  T f  Tq
Следовательно Tq  T f & T f  Tq  Tq  T f
2.2.3 Некоторые другие виды ДНФ.
Опр: u1Vu2V ....Vu s - называется минимальной ДНФ, если она имеет S  min( si ...s n ) наименьшую возможную длину из всех ДНФ данной функции.
Опр: u1Vu2V ....Vu s - называется тупиковой ДНФ, если из неё нельзя выбросить ни одного
слагаемого с сохранением булевой функции.
(Легко понять, что любая минимальная ДНФ является тупиковой, а обратное не верно.)
Опр: К-мерной гранью называется такое подмножество E n , которая является носителем
некоторой элементарной конъюнкции длины: n-k.
Опр: Предположим дана функция f ( E n ) и есть T f  T . Грань называется отмеченной,
если она целиком содержится в носителе Т.
Опр: Максимальная грань – это такая грань, которая не содержится ни в какой грани более
высокой размерности.
Предложение: Любую отмеченную грань можно вложить в максимальную грань.
Предложение: T f V q  T f  Tq
f  u1 V u 2 V ... V u n  T f  Tu1  Tu2  ...  Tun
(Носитель любой функции можно разложить в объединение нескольких граней разной
размерностей)
Предложение: Носитель любой функции разлагается в объединение всех своих
максимальных граней. T f  Q1  Q2  ...  Qt
Опр: Элементарная конъюнкция называется минимальной, если её носитель является
максимальной гранью. Следовательно всякая булева функция разлагается в дизъюнкцию
всех своих элементарных конъюнкций.
Опр: Сокращенная ДНФ – разложение данной булевой функции в соответствующие ДНФ,
которые соответствуют объединению её максимальных граней.
Теор: Минимальная ДНФ может быть получена из сокращенной отбрасыванием
некоторого количества слагаемых, возможно пустого.
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
3 Логические Исчисления.
3.1 Исчисления высказывания (ИВ).
3.1.1 Определения.
ИВ  L ( язык ИВ), Ax (аксиомы ИВ), Re g (правила вывода ИВ)
L  A (алфовит), V (слова), F (формулы)
сим волы

 спец


 

  
A   A, B, C ,..., Z , A1 , B1 , C1 ,..., Z1 ,...., An , Bn , C n ,..., Z n    V,&,

,
(,
 ) 





сим волы перем енных
  логич связи скобки 
Опр: V – словом в алфавите А, называется любая конечная упорядоченная
последовательность его букв.
Опр: Формативная последовательность слов – конечная последовательность слов и
высказываний u1 , u 2 ,..., u n , если они имеют формат вида:
vi  символ переменной

 v  (u V u ), где u  подслова i, j  k
i
j
i, j
 i
v k   vi  (u i & u j ), где u i , j  подслова i, j  k
 v  (u ), где u  подслова i, j  k
i
i, j
 i
vi  (u i  u j ), где u i , j  подслова i, j  k
Опр: F – формулой ИВ, называется любое слово, входящее в какую-нибудь формативную
последовательность.
Пример: ((( A1999  A)))  F
u1  A1999
u 4  (( A1999  A))
u2  A
u  ((( A1999  A)))
u 3  ( A1999  A) 5
Опр: Аксиомы – специально выделенное подмножество формул. Ax  F
( A  ( B  A))
1)
(( A  ( B  C )  (( A  B)  ( A  C )))
2)
(( AB)  A)
3)
(( AB)  B)
4)
(( A  B)  (( A  C )  ( A  ( BC ))))
5)
( A  ( A V B ))
6)
( B  ( A V B ))
7)
(( A  C )  (( B  C )  (( A V B)  C )))
8)
( A  ((A)))
9)
10) (((A))  A)
11) (( A  B)  ((B)  (A)))
Reg – правила вывода ИВ (некоторые правила преобразования первого слова в другое).
a – символ переменной a  A
 - произвольное слово ИВ (формула)
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
( F  F если   А) действует так, что на место каждого
вхождения символа а , пишется слово  .
Пример: a  B;   AB  Sa ( A
B B AC )  ( A 
AB AB AC )
Отображение Sa : V  V
Правило modus ponens: V 2  V
m. p ( , (  x))  x
3.1.2 Формальный вывод.(простейшая модель доказательства теоремы)
Опр: Последовательность формул ИВ, называется формальным выводом, если каждая
формула этой последовательности имеет следующий вид:
  Ax (аксиома )

u k   Sa (u i ), i  k
m. p (u , u ), i, j  k
i
j

Опр: Выводимый формулой (теоремой) ИВ называется любая формула входящая в какойнибудь формальный вывод.   - выводимая формула ИВ.
Пример:  ( A  A)
( A  ( B  A))
1)
( A  ( B  C ))  (( A  B)  ( A  C )))
2)
( A  ( B  A))  (( A  B)  ( A  A)))
3)
 Ax(1)
 Ax( 2)
 S AC (( 2))
 m.p((1), (3))
4)
5)
(( A  B )  ( A  A))
(( A  ( B  A))  ( A  A))
 S (BB A) ((4))
6)
( A  B)
 m.p((1), (5))
Правило одновременной подстановки.
Замечание: Если формула  выводима, то выводима и Sa ( )
Возьмем формативную последовательность вывода  u1 , u 2 ,..., u n и добавим в неё
u n1  Sa ( ) , получившаяся последовательность является формальным выводом.
(Если выводима   то если  (   ) , то выводима   )
an
Теор: Если выводимая формула  , то Sa11 ,,a22,...,
,..., n ( ) ( a1 , a 2 ,..., a n - различные символы
переменных) выводима
Выберем b1 , b2 ,..., bn - символы переменных которые различны между собой и не входят
не в одну из формул  , 1 , 2 ,..., n , сделаем подстановку S ba11 ( ) и последовательно
применим S bann ....S ba22 S ba11 ( ) и в новом слове делаем последовательную подстановку:


Sbnn ....Sb22 Sb11 S bann ....Sba22 Sba11 ( )  Sa11a22......ann ( ) , где u1 ,..., (u n   ), S ba11 ,..., Sbnn ,..... - является
формальным выводом.
3.1.3 Формальный вывод из гипотез.
Опр: Формальным выводом из гипотез  1 , 2 ,..., n (формулы), называется такая
последовательность слов u1 , u 2 ,..., u N , каждая из которых удовлетворяет условию:
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
  выводима ( u k )

u k     l , l  1,2,..., n.
 m. p (u , u ), i, j  k
i
j

 1 , 2 ,..., n   если формулу  можно включить в некоторый формальный вывод из
гипотез  1 , 2 ,..., n .
Лемма:  1 , 2 ,..., n   ;  1 , 2 ,..., n  (   ) : то тогда  1 , 2 ,..., n  
Напишем список:
W1 ...
W2 ...
u1

u N   WS  (   )

  m. p( , (   )) 
 m. p (u N , WS )
0 
Лемма: 1 , 2 ,..., n  (   );  1 , 2 ,..., n  (  (   ))   1 , 2 ,..., n  (   )
u1
S A,,B,,C ( Ax2)  (  (   ))  ...  A
W1
m. p (Ws , A)  ((   )  (   ))  B

Док: 
u N  (   ) WS  (  (   )) m. p (u N , B )  (   )
3.1.4 Теорема Дедукции.
Если из
 1 ,  2 ,...,  n  
то, тогда
1)  





, где   2а)    i , i  n

 2б )   
u N   
n

 ( 1  ( 2  (... n 1  ( n   )...)
1) и 2а) ( A  ( B  A)) , где A   B   n (  ( n   )) по правилу m.p. ( n   ) ,
ч.т.д.
2б)    n , ( A  A) - уже выводили  ( n   n ) , ч.т.д.
 1 ,  2 ,...,  ( n   )
u1
Базис индукции: N=1  - формальный вывод из длинного списка  
    i (только что доказано), осуществим переход по индукции:
     i   m. p. u1 ,..., u i   ...u j  (   )...u N  
1 ,  2 ,...,  n1  ( n   ) по индукции
1 ,  2 ,...,  n1  ( n  (   )) и по лемме 2
1 ,  2 ,...,  n1  ( n   )
Пример: ( A  ( B  C )), A, B,  C
1) ( A  ( B  C ))
2) A
( A  ( B  C )), B  ( A  B)
3) B
по теореме дедукции ( A  ( B  C ))  ( B  ( A  C ))
 (( A  ( B  C ))  ( B  ( A  C )))
4) ( B  C )
 m. p (1,2)
5) C
 m. p (4,3)
3.2 Критерий выводимости в ИВ.
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
3.2.1 Формулировка теоремы.
     1 - тавтология
при любой интерпретации алфавита (символов переменных)
    ( )  1
3.2.2 Понятие интерпретации.
( A  ( B  A))  ( x1  ( x2  x3 ))




слово
булева функция
символ переменной  x1 , x2 ,..., xn  переменную поставим в соответствие.
A  x1 ( 11 ( x1 )) , где  32 ( x1 , x 2 , x3 )  x 2 - проекция на x 2 .
 : A   ni ( x1 ,..., x n )
u1   (u1 )
; u1 - только символ
переменных, т.к.
это заглавное слово
формативной последовательности вида:
u2   (u2 )

un   (un )
def
Где:
символ переменной
  (u  u ), i, j  n
i
j


(
u
V
u
un  
i
j ), i , j  n
  (u ), i  n
i


(
u
&
u

i
j ), i , j  n
 (u i  u j )   (u i )   (u j )
def
;  (u i V u j )   (u i ) V  (u j )
def
 (u i & u j )   (u i ) &  (u j )
def
;  (u i )   (u i )
3.2.3 Доказательство теоремы.
1 
 2 


 N 
 k  Ax,  ( k )  1, k  N
формальный
вывод 

 Ax
 N  Sa ( i ),  ( i )  1   ( Sa ( i )  1)

a
 k    S ( i ), i  k
  m. p.( i ,  j ), i, j  N
 m. p.( ,  ), i, j  k N
i
j

продолжение см. (1)
 ( N )( x1* ,..., x n* )  0
(1)
 i   ( i )  1
 j   ( j )  1
 j  ( i   N )
?
 N   ( N ) 1
 ( i   N )  1,  ( i )  1
 ( i )( x1* ,..., x n* )  0  1
 ( i )( x1* ,..., x n* )  1 
пришли


*
*
 ( i )( x1 ,..., x n )  0
 к противоречию
ч.т.д.
def
 ( i   N )   ( i )   ( N )  1   ( N )  1
3.3 Непротиворечивость ИВ.
3.3.1 Определение.
1) ИВ противоречиво, если формула А выводима в нем. A  алфавиту .
2)   F :  ( формула выводима в ИВ)  ИВ противоречиво.
3)   F ::  ,  ( )  ИВ противоречиво.
ИВ непротиворечиво, если оно не является противоречивым.
Теорема: ИВ является непротиворечивым исчислением по отношению к любому из трех
определений.
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
Док-во: (1) Если  A , то соответствующая ей булева функция будет тождественно равна
1. ( A)  1  : A   i ( x1 , x2 ,..., xn ) f ( x1 )  x1 при x1  0 f (0)  0  1  противоречие
(2) Если любая формула выводима, то выводима и А, что соответствует пункту 1.
(3) Пусть   и  ( ) ( )  ( x1 , x2 ,..., xn )  1 - булева функция
def
 (( ))   ( )   ( x1 , x 2 ,..., x n )  0, но  (( ))  1, т.к.  ( ) - противоречие.
3.4 Формальные исчисления.
Алфавит – конечное или счетное множество символов, возможно, разбитых на группы.
Алфавит должен быть упорядоченным множеством.
Слово – конечная упорядоченная последовательность символов алфавита, в т.ч. пустое
слово.
V – множество всех слов.
Вычислимая функция от нескольких натуральных переменных f ( x1 , x2 ,..., xn )
( f – может быть не всюду определенной )
f – называется вычислимой, если  такая машина Тьюринга, которая её вычисляет.
M  N - разрешимое множество, если характеристическая функция
def 1, x  M

X M ( x)  
- является вычислимой.
0, x  M
Множество M  N называется перечислимым, если  такая вычислимая функция
f ( x1 ) : f ( N )  M
М - разрешимо  М и N \M перечислимы.
М – перечислимо  М – область определения некоторой вычислимой функции.
Множество всех формул F – некоторое разрешимое подмножество V.
Т – счетное множество, если  его биективное отображение на V.
T  K 0 - обозначение счетного множества. ( K 0 - алеф-нуль)
11
Если  и зафиксировано биективное и вычислимое отображение f : L 
N (вычис.),
то L – ансамбль.
V – ансамбль (слова лексикографически упорядочены и занумерованы)
Определение: В произвольном формальном исчислении: Ax  F - множество всех аксиом
– разрешимое подмножество множества всех формул.

  
;F2  F
Sa : F  F
a

S ( )
Правило вывода:
r ( 1 ,  2 ,...,  n )   , F n  F ,при n  N разрешимо. Для ИВ N=2.
Пример:
L : A  a j ; V ; F  V
Ax   (пустое слово) , Ax  1
Re g  r1 , r1 (u)  uaa
 

 



1 :  aa 2 :  3 : aaaa
aaaa





1 и 2 – формальные выводы.
3 – не является формальным выводом.
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
4 Предикаты и кванторы.
4.1 Определение предиката.
P  1055  1999
P( x)  x  1999 - высказывание, содержащее переменную.
x  N - предметная область предиката.
x1 , x2  N P( x1 )  1 P( x2 )  0 P : N  E  0,1
Пусть А – множество объектов произвольной природы (предметная область предиката).
n -местный предикат – произвольное отображение P : A n  E
P( x1 ,..., xn )  E, xi  A i


Множество истинности данного предиката P : T p  ( x1 ,..., xn )  An : P( x1 ,..., xn )  1
P  X A (x) - характеристическая
функция от x на множестве
А - совпадает
с предикатами
P( x) V Q( x, y)  R1 ( x, y)
P( x)Q( x, y)  R2
TPVQ  TP  TQ
TP &Q  TP  TQ
P  Q  R3
 ( P, Q)  R4 ( x, y)
4.2 Понятие квантора.
n
n
a  a
S 1
k
S 1
t
t
0
0
S
k – связанная переменная
n – свободная переменная
 f ( x)dx   f (s)ds
t – свободная, x – связанная.
b
 F ( x, y)dx , a,b,y – свободные переменные, x – связанная.
a
P( x) " x  1999" ,
(x) P( x)  1
xN
(x) P( x)  0
Q(m, n) " m делит n", A  N \ 0
(m)Q(m, n)  R(n) (m)Q(m, n)  T (n)  1
(n)Q(m, n)  S (m) (n)Q(m, n)  T (m)  1
(x) R( y, z )  R( y, z )
(x) R( y, z )  R( y, z )
1, m  1
S ( m)  
0, m  1
4.3 Геометрическая интерпретация навешивания кванторов.
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)
1
(y ) P( x, y )
x, y  R
x  T( y ) P  (y ) P( x, y )  1 
 (y )( x, y )  TP
T( x ) P ( x , y ) - ортогональная
проекция на ось x
(y ) P ( x, y )
Пронесение отрицания через кванторы
(x) P( x, y )  (x) P( x, y )
(y ) P( x, y )  (y ) P( x, y )
(x) P( x, y )  (x) P( x, y )
def
Q ( x, y )  P ( x, y )
(x)Q( x, y )  (x)Q( x, y )
(x)Q( x, y )  ((x) P( x, y ))  (x)Q( x, y )  ((x) P( x, y ))
(y ) P( x, y )  (y ) P( x, y )
Геометрическое 'доказательство':
* : x0  T(y ) P  R \ T(y ) P A \ TP  TP ; x0 не обладает свойством, что прямая x  x0 целиком
лежит в TP
( x0 , y 0 )  TP y 0  R; ( x0 , y 0 )  R 2 \ TP
( x0 , y 0 )  TP , y 0  R : ( x0 , y 0 )  TP
(y ) P ( x, y )  1
(y ) P( x, y )
x0  T( y ) P ч.т.д.
y  A,
y1 , y 2 ,....
(y ) P( x, y )  P( x, y1 ) V P( x, y 2 ) V ...
(y ) P( x, y )  P( x, y1 ) & P( x, y 2 ) & ...
(x)( P( x, y ) V( y )Q( x, y )) 


 (y )( P( x, y ) V Q( x, y )) 
 (x)( P( x, y ) V( z )Q( x, z )) 
 (x)(( z ) P( x, y ) V( z )Q( x, z )) 
 (x)(z )( P( x, y ) V Q( x, z )) 
 (x)(z )( P( x, y ) V Q( x, z )) 
 (x)(z )( P( x, y ) V Q( x, z ) ).

предикат от ( x , y , z ) зав от y
Курс лекций по математической логике, читаемый Андреевым Кириллом Кирилловичем
Создал Томашевич Максим Сергеевич (info@tommax.bizland.com)