(07)Мусин - НБ КарГУ им. Е.А.Букетова

29
Список литературы
1. Нурсултанов Е.Д. Сетевые пространства и некоторые задачи анализа: Дис. … д-ра физ.-мат. наук. — Караганда, 1998.
— С. 169, 173, 173–180, 119–140.
2. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977. — 202 с.
3. Кокилашвили В.М. О приближении периодических функций. // Тр. Тбилисского матем. ин-та. — 1968. — № 34. —
С. 51–81.
4. Смаилов Е.С., Акишев Г.А., Есмаганбетов М.Г. Теория приближения и вложения функций многих переменных: Пособие по спецкурсу. — Караганда: Изд. КарГУ, 1986. — С. 29, 46–48.
5. Nursultanov E.D. Interpolation properties of some anisotropic spaces and Hardy Littlewood type inequalities // East J. on Approx. — 1998. — Vol. 4. — № 2. — Р. 243–275.
УДК 514.753.224
А.Т.Мусин
Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова
ПОЛУКАНОНИЧЕСКИЙ РЕПЕР КОМПЛЕКСА ПРЯМЫХ ФЛАГОВОГО ПРОСТРАНСТВА F3
Мақалада 3-өлшемді жалау кеңістігіндегі үшпараметрлік түзусызықты геометриялық кескін
түзусызықты кешен ретінде қарастырылады.
A three-parametric linear geometrical image consisting of straight lines of three-dimensional flag
spaces is considered in the paper.
Рассмотрим строение полуканонического репера комплекса прямых.
Возьмем в качестве элемента неизотропную прямую
R  A  te1 ,
(1)
где A и e1 — вектор-функции трех параметров. Локально (1) определяет комплекс прямых. Включение элемента в репер выделяет главные формы
2  2 , 3  3 , 12  12 , 13  13 ,
зависящие линейно от трех дифференциалов du1 , du 2 , du 3 основных параметров. Исключение последних приводит к соотношению
(2)
3  12  13  2  0
Тогда главная корреляция примет вид
A  te1  ( R  A,(t   )e2  (  t )e3 , e1 )  0 .
В этой корреляции изотропной плоскости, проходящей через луч, соответствует точка

(3)
С  A  e1 ,

которая названа в [1] флаговым центром луча. Откажемся от рассмотрения комплексов с несобственным флаговым центром. Тогда основное соотношение (2) можно записать в виде
(4)
3  12  13  2 .
Случай линейной зависимости базисных форм 12 и 13 , т.е. цилиндрический комплекс, исключен из рассмотрения.
Обычным путем из соотношения (4) получаем
  32  1 ,
  1 ,
   .
3
2
(5)
30
Так как число полувторичных форм равно двум, получаем полуканонический репер комплекса, являющийся каноническим для некоторого подмногообразия  2 . Формулы (5) позволяют получить
инвариант      комплекса.
Положив
3  12  13  2 ,
1  112  113  12 ,
32  212  213   22 ,
запишем деривационные формулы полуканонического репера в виде
dA  (112  113  12 )e1  2e2  (12  13  2 )e3 ,
de1  12e2  13e3 ,
(6)
de2  (212  213  22 )e3 ,
de3  0.
Уравнения структуры пространства F3 приводят выражения для внешних дифференциалов базисных форм к виду
D12  0,
D13  212  13   212  2 ,
D2  112  13  112  2 ,
а основную систему внешних дифференциальных уравнений к виду
d  12  d   13  d   2  (1  2  1 )12  13  (1  2 )2  13 
(1  2   2 )12  2 ,
d 1  12  d 1  13  d 1  2  (12  11 )12  13  (12  1 2 )12  2 ,
(7)
d 2    d 2    d 2    (   21 )    ( 21  2 2 )   .
Система (7) является стандартной [2]. Произвол ее решения — три функции трех аргументов.
Отнесем комплекс к нецилиндрической неголономной конгруэнции 2  0. Найдем фокальные элементы этой конгруэнции. Фокусы определяются из условия dF // e1 , которое в подробной записи дает
2
1
3
1
2
2
2
2
1
3
1
2
1
2
12  0,
12  (  )13  0.
Отсюда видно, что начало A репера есть один из фокусов координатной конгруэнции, а соответствующий торс имеет уравнения 2  3  0.( F1  A).
Второй фокус, как это видно из (3), находится во флаговом центре луча, а соответствующий торс
имеет уравнения 2  12  0.( F2  A  e1 ).
Фокальные плоскости определяются бивекторами
d ( A  e1 )  0, e1  , (dA)  0, e1 ,
e2  e3 , e1 , e1 , e3. Отсюда следует, что изотропная плоскость e1 , e3 
2
3
2
2
1
т.е. бивекторами
полуканонического репера есть локальная плоскость в начале репера. Для окончательной характеристики
строения полуканонического репера выясним направление вектора e2 . Это позволит геометрически
oписать и плоскости e1 , e2  , e2 , e3  полуканонического репера. С этой целью найдем диаметр
особого касательного параболоида основного цилиндроида комплекса. Как известно, основным цилиндроидом комплекса является цилиндроид, направляющая плоскость которого совпадает с касательной плоскостью цилиндра. Касательная плоскость цилиндра определяется бивектором
dA, e12 3 0 , т.е. бивектором e1 , e2  e3 . Уравнение ее имеет вид
1
1
( R  A, e1 , e2  e3 )  0 .
Направляющая плоскость цилиндроида определяется бивектором e1 , de1 и имеет уравнение
( R  A, e1 , 12e2  13e3 )  0 .
31
Указанные плоскости совпадают лишь при 13  12 . Все цилиндроиды, проходящие через дан-
ный луч, определяются уравнением  e1 , de1 , d 2 e1   0, т.е. уравнением
12 (1232  d 13 )  13d 12  0 .
Отсюда при 13  12 получается уравнение основного цилиндроида
(8)
13  12 , d   32  0 .
Деривационные формулы канонического репера основного цилиндроида получаются из (6) при
ограничениях (8). В локальных координатах уравнение особого касательного параболоида к цилиндроиду (8) можно искать в виде [3]
 R * R   2  NR   a00  0, где R  x1e1  x2e2  x3e3 ,  ei * e j   aij ,  Nei   a0i .
Требование принадлежности точки r  A  ve1 луча этой квадрике дает
( A  ve1 )*( A  ve1 ) +2  N , A  ve1   a00  0 или
a11v2  2a01v  a00  0,
выполняющееся для любых v , поэтому
a00  a01  a11  0 .
Произведем соприкосновение первого порядка:
 dr * r    N , dr   0 ,
(9)
(10)
где
r  A  ve1 ,
dr  1e1  2e2  3e3  3e3  dve1  v(12e2  13e3 ) 
 e1  (2  v12 )e2  (3  v13 )e3 



 
1  d
  d
  v   2  2  2   e2   v       2   2  2   e3  12  e1 .
 2  1
 2  1

  


Распишем левую часть (10), обозначив

1  d
B   2  2  2   ,
 2  1

C      B.
Получим тождество
v2 (a12  a13 )  v(Ba12  Ca13  a02  a03 )  Ca03  Ba02  0 .
Отсюда
a12  a13 ,
a02  Ca13 ,
a03   Ba13 .
(11)
Потребуем теперь, чтобы касательный параболоид был особым, это означает, что его уравнение
обращается в тождество координатами точек флаговой прямой, т.е. имеем
a22  a23  a33  0 .
(12)
Соотношения (9), (11), (12) позволяют записать уравнение особого касательного параболоида к
основному цилиндроиду (8) в виде
x1 x2  x1 x3  Cx2  Bx3  0 .
(13)
Диаметром особого касательного параболоида (13) является вектор
e2  e3 ,
(14)
лежащий в сильноизотропной плоскости. Инвариант  имеет тот геометрический смысл, что является флаговым угловым коэффициентом диаметра особого касательного параболоида (13) к основному
цилиндроиду комплекса. Найдем теперь касательные линейные комплексы (т.е. имеющие соприкосновение 1-го порядка с лучом) и запишем уравнение пучка таких комплексов. Для определения коэффициентов уравнения пучка присоединим к уравнению a  r * e1   0 линейного комплекса, содержащего луч, уравнение, полученное из данного дифференцированием, т.е. решим систему
a  r * e1   0,
(15)

d  a  r * e1   0.
Из первого уравнения (15) обычным способом получим
32
a23  0 .
Второе уравнение примет вид
(16)
a  dr * e1   a  r * de1   0 ,
т.е.
a023  a032  a1213  a3112  0 .
Отсюда в силу линейной независимости базисных форм и того, что 3  12  13  2 , получим
для коэффициентов уравнения пучка соотношения
a02   a03  0,
a02   a12  0,
a02  a31  0 .
Полагая а02  1 , с учетом (16), придем к уравнению пучка касательных линейных комплексов в
виде
p23  p31  p12  p03  p02  0 .
Изотропный линейный комплекс ([3]), т.е. комплекс, содержащий абсолютную прямую, получается при   0. Его флаговой осью ([2]) является вектор
e2  e3 .
(17)
Таким образом, (17) дает еще одну геометрическую характеристику инварианта  , заключающуюся в том, что он равен углу между вектором е2 и ортом (17) флаговой оси изотропного линейного
комплекса. Геометрическое значение вектора е2 состоит в том, что он имеет направление флаговой
биссектрисы векторов (14) и (17), т.е. ортов диаметра особого касательного параболоида (13) и флаговой оси изотропного линейного комплекса. Главная корреляция точке M  A  te1 относит плоскость
( R  A, (t   )e2  (  t )e3 , e1 )  0,
а корреляция Шаля той же точке — плоскость
( R  A,(2  t12 )e2  (3  t13 )e3 , e1 )  0 .
B  C
Эти плоскости совпадают при t   и при t 
, т.е. в аффинном центре луча. Диаметральные
2(   )
плоскости параболоида (13), проходящие через прямолинейные образующие в аффинном центре луча, имеют уравнения
B  C
(18)
x1 
,
x3  x2  0 .
2(  )
Следовательно, плоскость e2 , e3  репера параллельна первой из плоскостей (18). Луч комплекса
вместе с флаговой биссектрисой ортов (14) и (17) параллельны плоскости e1 , e2  репера. Этим завершена геометрическая характеристика строения полуканонического репера комплекса.
Рассмотрим теперь связь с каноническим репером.
Если векторы и главные формы Пфаффа канонического репера с началом С обозначить через
2
i , 1 , 13 , 2 и записать его деривационные формулы в виде
c
c
c2
c
dC  (1 12  1 13  1  2 )1   2 2  1 3 ,
c
c
c
d 1  12  2  133 , d  2  ( 2 12  2 13   2  2 )3 , d 3  0 ,
тогда имеют место следующие формулы перехода:
A  C  1 , e1  1 , e2   2  3 , e3  3 ,
c
12  12 , 13  12  13 , 2  12   2 ,      ,
c
c
c
d   (1  1  1  1 )12  (1  1 )13  (1  1 )v 2 ,
c
c
c
d   (2   2  2   2  )12  (2  2 )v13  ( 2   2 ) 2 .
Отсюда  есть абсцисса начала полуканонического репера, а  — угловой коэффициент вектора
e2 в каноническом репере, или, что то же,  — угловой коэффициент вектора  2 в полуканоническом репере.
Рассмотрим теперь неголономные конгруэнции и ассоциированные регулюсы. Регулюсы
33
12 : 13 : 2  x1 : x2 : x3
(19)
и неголономные конгруэнции
(20)
a12  b13  c2  0
удобно изображать точками ( x1 : x2 : x3 ) и прямыми (a : b : c) вспомогательной проективной плоскости Р. Торсы выделяются соотношением
(dA, e1 , de1 )  0 ,
т.е. уравнением
213  312  0 .
которое, пользуясь обозначением 3  12  13  2 , можно записать в виде
  (12 )2  (12  2 )13  212  0 .
Приравнивая нулю полярную к  билинейную формулу, получим аналитическое условие
(21)
212 w12  (12 w13  13 w12 )  2 w13  13 w2  (12 w2  2 w12 )  0 ,
которому удовлетворяют два регулюса комплекса, заданные соответственно отношениями форм
(12 : 13 : 2 ) и (w12 : w13 : w2 ) . Если задать семейство регулюсов комплекса уравнением (19), то уравнение (21) определит совокупность регулюсов (w12 : w13 : w2 ) , сопряженных с (19), причем через каждый
луч комплекса будет проходить один регулюс (19) и бесконечное множество с ним сопряженных. Совокупность всех регулюсов комплекса, сопряженных с регулюсами семейства (19), задается одним
уравнением Пфаффа (21), линейным относительно форм w12 , w13 , w2 и в общем случае не вполне интегрируемым. Следовательно, эта совокупность есть неголономная конгруэнция комплекса.
Совокупность всех торсов комплекса изобразится на плоскости Р кривой второго порядка Г:
x12  (x1  x3 ) x2  x1 x3  0 ,
а условие сопряженности двух регулюсов (12 : 13 : 2 ) и (w12 : w13 : w2 ) в виде (21) представляет собою
условие полярной сопряженности соответствующих точек плоскости Р относительно кривой Г. Неголономная конгруэнция, сопряженная некоторому регулюсу, изобразится на плоскости Р полярой соответствующей точки.
В следующей теореме устанавливается связь между неголономной конгруэнцией и сопряженным ей регулюсом.
Теорема 1. Фокусы луча неголономной конгруэнции комплекса совпадают с точками прикосновения сопряженного регулюса, проходящего через тот же луч.
Доказательство. Координаты f i фокусов A  f i e1 луча r  A  e1 неголономной конгруэнции
(20) находятся из квадратного уравнения
cf 2  (c  b  a) f  (b  a)  0 .
Точки прикосновения A  te1 регулюса 12 : 13 : 2  x1 : x2 : x3 на луче комплекса определяются уравнением
( x2  x1 )t 2  2(x1  x2 )t  (x1  x2 )  (  ) x3  0 .
Условие совпадения фокусов и точек прикосновения имеют вид
c
c  b  a
b  a
.
(22)


x2  x1 2(x1  x2 )  (x1  x2 )  (   ) x3
Из первого уравнения (22) получаем
(2c  (c  b  a)) x1  (c  b  a) x2 .
(23)
Далее, второе уравнение (22) можно записать так:
(c  b  a)
2(b  a )
,

2(x1  x2 ) 2(x1  x2 )  2(   ) x3
отсюда
2(b  a)  (c  b  a)
c  b  a  2c
c  b  a


2(  ) x3
2(x1  x2 )  2( x2  x1 )
2(   ) x1
Сравнивая начало и конец последнего соотношения, получим:
34
x1
c  b  a
.
(24)

x3 2b  a  c 2  b
Таким образом, совпадение указанных точек возможно лишь для регулюса, заданного отношениями форм (23), (24), т.е. для регулюса, сопряженного неголономной конгруэнции (20). Теорема доказана.
Теорема 2. Флаговый центр луча неголономной конгруэнции (20) совпадает с центром прикосновения сопряженного регулюса.
Неголономную конгруэнцию, сопряженную с цилиндром комплекса, будем называть бицилиндрической неголономной конгруэнцией.
Теорема 3. Неголономная конгруэнция 12  13  0 — бицилиндрическая.
Доказательство. Регулюс, сопряженный неголономной конгруэнции (28), определяется отношениями форм
(w12 : w13 : w2 )  (c  b  a : (c  b)  2c  a : 2b  (c  b)  a .
Указанный регулюс станет цилиндром, если w12  w13  0, т.е. при  a : b : c     :1: 0  . Теорема
доказана.
Очевидно, что оба фокуса бицилиндрической конгруэнции совпадают с несобственной точкой
луча.
Все цилиндрические неголономные конгруэнции комплекса задаются уравнениями вида
(25)
a12  b13  0 ,
где a : b — любая функция главных параметров. Они изображаются на плоскости Р пучком прямых с
центром в точке  0 : 0 :1 , соответствующей цилиндрам комплекса. Бицилиндрическая конгруэнция
12  13  0 выделяется среди них тем, что содержит основной цилиндроид 12  13  0 ,
d  32  0. На плоскости Р она изображается касательной к кривой Г в точке  0 : 0 :1 .
Собственный фокус цилиндрической конгруэнции (25) находится в точке
b  a 
f  A
e1 .
b  a
Для неголономной поверхности, описываемой этой точкой и определяемой уравнением (25), касательной плоскостью является плоскость e1 , e2  e3  , т.е. касательная плоскость цилиндра.
Список литературы
1. Лыжина Т.В., Мандрикова Н.А., Щербаков Р.Н. Неметрическая флаговая теория кривых и ее приложения к теории
комплексов // Геометрический сборник. — Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1977. — Вып. 18. — С. 79–92.
2. Щербаков Р.Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. — Томск: Изд-во Томск.
ун-та, 1973. — 236 с.
3. Лыжина Т.В. Регулюсы в трехмерном флаговом пространстве // Геометрический сборник. — Томск: Изд-во Томск. унта, 1973. — Вып. 11. — С. 75–91.