01.03.02 Б2.В.ОД.1 Уравнения математической физики

1.
Цели и задачи дисциплины
1.1. Цель, задачи дисциплины, ее место в подготовке бакалавра, (с учетом требований
ФГОС)
Дисциплина «Уравнения математической физики» является базовой дисциплиной общенаучного
цикла дисциплин ФГОС ВПО по направлению «Прикладная математика и информатика».
Дисциплина является общим и теоретическим основанием для решения научных и прикладных
задач в области информационных технологий для бакалавров по направлению «Прикладная
математика и информатика».
Цели: оснастить студентов математическим аппаратом, необходимым для применения
математических методов в практической деятельности и в исследованиях в области
моделирования естественнонаучных процессов; дать студентам базовые знания по теории
дифференциальных уравнений в частных производных и уравнений математической физики,
необходимые для решения научных и прикладных задач.
Задачи: теоретическое освоение студентами современных концепций и моделей математики;
приобретение практических навыков применения аппарата математики при решении естественно
научных задач.
1.2.Требования к уровню усвоения дисциплины
Студент должен знать: основные понятия и законы теории дифференциальных уравнений
в частных производных и уравнений математической физики.
Студент должен уметь: решать Уравнения математической физики в частных
производных, выявлять основные типы дифференциальных уравнений в частных
производных.
Студент должен иметь представление: о дифференциальных уравнениях в частных производных
и их приложениях в математической физике.
У студента должны быть сформированы следующие общекультурные компетенции (ОК) и
профессиональные компетенции (ПК) : ПК-1 способность демонстрации общенаучных
базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и
информатикой, ПК-3 способность понимать и применять в исследовательской и
прикладной деятельности современный математический аппарат, ПК-4 способность в
составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи
профессиональной деятельности, ПК-5 способностью критически переосмысливать
накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной
деятельности, ПК-11 способностью приобретать и использовать организационноуправленческие навыки в профессиональной и социальной деятельности, ПК-14
способностью владеть методикой преподавания учебных дисциплин, ПК-15 способностью
применять на практике современные методы педагогики и средства обучения .
1.3. Связь с другими дисциплинами Учебного плана
Перечень действующих и предшествующих
дисциплин
Математический анализ
Алгебра и геометрия
Дискретная математика
Уравнения математической физики
Функциональный анализ
Перечень последующих дисциплин, видов
работ
2. Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя
Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение
содержания образования, развитие способностей студентов, овладение ими средствами самообразования и
самообучения; обеспечивают цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и
студента; направлены на приобретение знаний, формирование умений, навыков, их закрепление и контроль.
Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога)
Показательный (изложение материала с приемами показа)
Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами)
Эвристический (частично поисковый) (под руководством преподавателя студенты
рассуждают, решают возникающие вопросы, анализируют, обобщают, делают выводы и
решают поставленную задачу)
Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказательно пути
ее решения)
Исследовательский (студенты самостоятельно добывают знания в процессе разрешения
проблемы, сравнивая различные варианты ее решения)
Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных технических средств)
Другой метод, используемый преподавателем (формируется самостоятельно), при этом в п.п.
2.1.-2.4. дается его наименование, необходимые пояснения
М
П
Д
Э
ПБ
И
ПГ
Приведенные в таблице сокращения обозначения педагогических методов используются
составителем Рабочей программы для заполнения п.п. 2.1., 2.2. и 2.3. в столбце «Методы».
Очная форма обучения
Седьмой семестр
Лекции
Модуль 1 «Классические уравнения математической
физики и методы и решения»
Реализуемыекомпетенции
Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание
Методы
в том числе винтерактивнойформе,час.
Кол. час
Недел
я
2.1. Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские)
1-12
12
2
1-2
2
-
Тема. «Вывод основных уравнений».
М,Д,И
ПК-1
ПК-3
ПК-4
ПК-5
ПК-3
2
Формула Остроградского. Уравнение колебаний струны,
мембраны, распространения тепла, звуковые волны.
Тема. «Постановка задачи математической физики».
М
ПК-1
М, Д
ПК-4
М,Д
ПК-5
М, Д
ПК-3
М,Д
ПК -1
М,Д,И,Э
ПК11
ПК13
ПК14
3-4
2
5-6
2
-
7-8
2
-
9-10
2
-
11-12
2
-
13-18
8
2
Начальные и краевые условия. Зависимость решения от
предельных условий. Пример Адамара.
Тема. «Классификация линейных уравнений второго
порядка»
Линейные уравнения и квадратичные формы. Канонический
вид уравнения. Характеристики
Тема. «Уравнение колебания струны»
Формула Даламбера. Неограниченная струна. Струна с
двумя закрепленными концами.
Тема. «Метод Римана»
Первая краевая задача для гиперболического уравнения.
Сопряженные дифференциальные операторы. Метод
Римана. Некоторые качественные следствия формулы
Римана.
Тема «Уравнение теплопроводности»
Фундаментальное решение. Решение задачи Коши
Модуль 2 «Потенциалы»
М,Д,И,Э
15-16
2
2
-
Тема. «Уравнения Лапласа и Пуассона».
М,Д
-
Теорема максимума. Фундаментальное решение. Формула
Грина. Потенциал объема, простого слоя и двойного слоя.
Тема. «Следствия из формулы Грина».
ПК11
М,Д
ПК13
И, Э,Д
ПК14
М,Д,И,Э
17-18
2
2
1-12
12
2
1-2
2
2
3-4
2
Теорема о среднем арифметическом. Поведение
гармонической функции вблизи особой точки и на
бесконечности.
Тема. «Уравнение Пуассона в неограниченной сфере»
Уравнение Пуассона в неограниченной сфере. Ньютонов
потенциал..
Очная форма обучения
Седьмой семестр
Практические занятия
Модуль 1 «Классические уравнения математической
физики и методы и решения»
Тема. «Вывод основных уравнений».
М,Д,И
ПК-1
ПК-3
ПК-4
ПК-5
ПК-3
Формула Остроградского. Уравнение колебаний струны,
мембраны, распространения тепла, звуковые волны.
Тема. «Постановка задачи математической физики».
М
ПК-1
М, Д
ПК-4
М,Д
ПК-5
М, Д
ПК-3
М,Д
ПК-1
Модуль 2 «Потенциалы»
М,Д,И,Э
ПК11
ПК13
ПК14
ПК11
Начальные и краевые условия. Зависимость решения от
предельных условий. Пример Адамара.
Тема. «Классификация линейных уравнений второго
порядка»
Линейные уравнения и квадратичные формы. Канонический
вид уравнения. Характеристики
Тема. «Уравнение колебания струны»
Формула Даламбера. Неограниченная струна. Струна с
двумя закрепленными концами.
Тема. «Метод Римана»
Первая краевая задача для гиперболического уравнения.
Сопряженные дифференциальные операторы. Метод
Римана. Некоторые качественные следствия формулы
Римана.
Тема «Уравнение теплопроводности»
Фундаментальное решение. Решение задачи Коши
5-6
2
7-8
2
9-10
2
11-12
2
13-18
6
13-14
2
Тема. «Уравнения Лапласа и Пуассона».
М,Д
2
Теорема максимума. Фундаментальное решение. Формула
Грина. Потенциал объема, простого слоя и двойного слоя.
Тема. «Следствия из формулы Грина».
М,Д
ПК13
И, Э,Д
ПК14
15-16
17-18
2
-
2
2
Теорема о среднем арифметическом. Поведение
гармонической функции вблизи особой точки и на
бесконечности.
Тема. «Уравнение Пуассона в неограниченной сфере»
Уравнение Пуассона в неограниченной сфере. Ньютонов
потенциал..
ч
а
с
о
л
.
2.2.Самостоятельная работа студента
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к практическим и
лабораторным занятиям; тематика рефератной работы, контрольных работ,
рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и др.
Реализуем
ыекомпе
тенции
К
13-14
Нед
ел
я
Очная форма обучения
Седьмой семестр
1-18
66
Усвоение текущего материала
1-18
6
Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента.
"Уравнение теплопроводности"
ПК13
ПК14
2.3. Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в образовательном
процессе
Основаны на использовании современных достижений науки и информационных технологий.
Направлены на повышение качества подготовки путем развития у студентов творческих
способностей и самостоятельности (методы проблемного обучения, исследовательские
методы, тренинговые формы, рейтинговые системы обучения и контроля знаний и др.).
Нацелены на активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и могут
реализовываться на базе инновационных структур (научных лабораторий, центов,
предприятий и организаций и др.).
№
Наименование основных форм
Применение электронных мультимедийных
учебников и учебных пособий
Разбор конкретных ситуаций
Использование проблемно-ориентированного
междисциплинарного подхода к изучению
наук
Ориентация содержания на лучшие
отечественные аналоги образовательных
программ
Краткое описание и примеры,
использования в модулях темах, место
проведения
Находятся в электронном читальном зале
РГЭУ (РИНХ)
Тема «Вывод основных уравнений» в
модуле 1 на лекции; тема «Классификация
линейных уравнений второго порядка» в
модуле 1 на лекции; тема «Метод Римана»
в модуле 1 на лекции; тема «Уравнения
Лапласа и Пуассона» в модуле 2 на лекции;
тема «Уравнения Пуассона в
неограниченной сфере» в модуле 2 на
лекции.
Тема «Уравнения Лапласа и Пуассона»
в модуле 2 на практическом занятии; тема
«Метод Римана» в модуле 1 на
практическом занятии
Содержание дисциплины ориентируется на
образовательную программу Финансового
университета при правительстве
Российской Федерации
Часы
6
2
3. Средства обучения
3.1.Информационно-методические
№
Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок; с
указанием наличия в библиотеке
Основная литература:
3
1. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. Москва* Наука.1966, 444 с
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. Москва,
2.
Наука.1966, 742 с.
3
В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. Москва. Наука. 1981,
512 с.
Дополнительная литература
1.
A.V. Bitsadze. Equations of mathematical physics. Mir Publisher. Moscow, 1988.
2
3.2. Материально-технические
№
ауд.
Основное оборудование, стенды, макеты, компьютерная
техника, наглядные пособия и другие дидактические
материалы, обеспечивающие проведение лабораторных и
практических занятий, научно-исследовательской работы
студентов с указанием наличия
Компьютерная техника.
315а,
Основное назначение (опытное,
обучающее, контролирующее) и
краткая характеристика использования
при изучении явлений и процессов,
выполнении расчетов.
PowerPoint, AdobeAcrobat
4. Текущий, промежуточный контроль знаний студентов
№
Тесты, темы курсовых работ/проектов, вопросы для текущего контроля, для подготовки
к зачету, экзамену
1.
4.1. Задания для текущего контроля
2. Найти характеристики уравнения Бельтрама.
3.
Найти характеристики уравнения Трикоми.
Найти условие эллиптичности уравнения Чаплыгина.
Проверить на корректность задачу Коши.
Построить функцию Грина и решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в
полупространстве z≥0. Исследовать решение на единственность.
4.2.Темы контрольных работ
1
2
Модуль 1. Характеристик. Приведение к каноническому виду.
1.
Найти условие эллиптичности систамы дифференциальных уравнений в частных
производных.
2.
Написать уравнение характеристик.
3.
Привести систему дифференциальных уравнений в частных производных к
каноническому виду.
Модуль 2. Уравнение Лапласа. Сферические функции.
1.
Доказать разрешимость задачи Дирихле для составной области, предполагая ее
разрешимость у исходных областей.
2.
Построить функцию Грина и решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в
полупространстве z≥0. Исследовать решение на единственность.
3.
Доказать соотношение коммутации для операторов.
4.3.Вопросы к зачету за седьмой семестр
1.1. Вводные понятия и определения.
1)
1.2
2)
1.1.1 общие сведения о совокупности решений
системы уравнений с частными производными
1.2.1 задача об эквивалентности системы ДУ и одного ДУ
3)
1.2.2. Определение, переопределение и недоопределение системы ДУ
4)
1.2.3. Задача Коши для нормальной системы ДУ, Теорема Коши- Ковалевской
1.3. приведение к каноническому виду линейных и квазилинейных уравнений ( 2-го порядка с 2
независимыми переменными)
5)
1.3.1. Характеристические кривые и характеристическое направление.
6)
1.3.2. приведение к каноническому виду ЛДУ-2 с двумя независимыми переменными
7)
1.3.3. Дальнейшее упрощение канонических форм линейных уравнений с пост.
коэффициентами
8)
приведение к каноническому виду и дальнейшее упрощение ЛДУ-2 при n=3
1.4 Структурные свойства решений 3-х основных типов уравнений
9)
10)
1.4.1 уравнение Лапласа
1.4.2.волновое уравнение
11)уравнение теплопроводности
12)1.4.3. постановка основных задач для ЛДУ-2 и понятие корректности задачи по Адамару
2. ЛДУ-2 гиперболического типа
2.1.
волновое уравнение
2.1.1. волновое уравнение с 3-мя пространственными переменными. формула Кирхгофа
13)
14)
2.1.2. волновое уравнение с 2-мя пространственными переменными. формула
Пуассона
15)
2.1.3. уравнение колебаний струны. формула Даламбера
16)
2.1.4. физическая интепретация формулы Даламбера
17)
2.1.5. области зависимости, влияния и определения
18)2.1.6. единственность и устойчивость решения задачи Коши для волнового уравнения
19) 2.1.7.задача Гурса20) метод Фурье разделения переменных для волнового уравнения
21)основное спектральное правило решения краевых задач
22)
смешанная задача для волнового уравнения с неоднородностями
23)
смешанная задача с неоднородностями в волновом уравнении
3.
3.1.
24)
уравнения эллиптического типа
основные свойства гармонических функций
3.1.1. простейшие свойства гармонических функций
25)
3.1.2.элементарные свойства гармонических функций
26)
3.1.3. интегральное представление гармонических функций
27)
3.1.4. формула о среднем арифметическом для гармонических функций
28)
3.1.5. принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле
3.2.функция Грина и решение задачи Дирихле для шара и полупространства
29)3.2.1. функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа
30)
3.2.2. Решение задачи Дирихле для шара. формулы Пуассона
31)
3.2.3. Решение задачи Дирихле для полупространства. формула Пуассона
32)
3.2.4. теоремы, вытекающие из формул Пуассона
4.уравнения параболического типа
33) 4.1.принцип экстремума для уравнения теплопроводности
34)4.2. первая краевая задача для уравнения теплопроводности
35)решение смешанной задачи для уравнений параболического типа методом Фурье
36)смешанная задача для уравнения теплопроводности с различными неоднородностями
37) смешанная задача для уравнения теплопроводности с параметром при неизвестной функции
5. Дополнения и изменения в рабочей программе на учебный год _____/______
Следующие записи относятся к п.п.
Автор
Зав. кафедрой
Принято УМУ__________________________________ Дата:_____________________