Razlozhenie mnogochlena na mnozhitelix

Всероссийский фестиваль педагогического творчества
(2014/15 учебный год)
Номинация: педагогические идеи и технологии: среднее образование
Название работы: «Разложение многочлена на множители с помощью
комбинации различных приемов»
Автор: Привалова Елена Владимировна (учитель математики)
Место выполнения работы: МБОУ лицей «Надежда»г. Холмска
2
РАЗРАБОТКА УРОКА (VII класс)
Тема: «Разложение многочлена на множители с помощью комбинации
различных приемов»
Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это
путь самый благородный,
путь подражания – это путь
самый легкий и путь опыта
– это путь самый горький.
Конфуций
Цели:
1. Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные
способы разложения многочлена на множители и их комбинации.
2. Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать
выводы.
3. Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю, вызывать у них потребность в
обосновании своих высказываний.
Оборудование:
Интерактивная доска и диапроектор, магнитная доска, набор карточек для
выполнения задания 2 на магнитной доске, карточки с заданием тестов, индивидуальные
оценочные листы, копировальная бумага.
Работа обучающихся состоит из трех этапов. Результаты каждого этапа урока ученики
заносят в индивидуальные оценочные листы:
Фамилия, имя
Этапы
Задания
I
№1
№2
№3
II
№4
№5
III
№6
№7
Количество баллов
3
Итоговое количество баллов
(n)
Оценка
Оценка за урок зависит от суммы n набранных баллов по всем заданиям. Если n ≥ 36,
то ученик получает «5»; при 29 ≤ n ≤ 35 – оценка «4»; при 20 ≤ n ≤ 28 – оценка «3»; при n ≥
20 ученик получает «2».
Этап I. Начало урока посвящается повторению. В парах выполняется задание теста 1 (3мин):
ТЕСТ 1
1. Соединить линиями соответствующие части определения.
Представление многочлена в виде суммы
двух или нескольких многочленов
Разложение многочлена
на множители - это
Представление многочлена в виде произведения
двух или нескольких одночленов
Представление многочлена в виде
произведения двух или нескольких
многочленов
Оценка - 2 балла
2. Завершить утверждение.
Представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена называется
вынесением общего множителя за скобки.
Оценка 2 балла.
3. Восстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители
способом группировки.
Что бы разложить
многочлен на
множители способом
группировки, нужно
Вынести в каждой группе общий
множитель (в виде многочлена) за скобки
1
2
3
Оценка - 2 балла
Сгруппировать его члены так, что бы
слагаемые в каждой группе имели общий
множитель
Вынести в каждой группе общий множитель
в виде одночлена за скобки
4
4. Отметить знаком плюс «+» верные утверждения.
a) a2 + b2 – 2ab = (a-b)2 ;
в) 2pt – p2 – t2 = (p – t)2;
+
+
б) m2 + 2mn – n2 = (m – n)2;
+
г) 2cd + c2 + d2 = (c + d)2 .
Оценка - 4 балла (по 1 баллу за каждое верно выбранное и верно не выбранное
выражение)
Учитель демонстрирует с помощью интерактивной доски и диапроектора слайд с
ответами к заданиям теста. Происходит быстрая проверка и комментарий заданий. Учитывая
коэффициент участия
в работе, ученики распределяют между собой заработанное
количество баллов, выставляют их в оценочные листы.
Затем на магнитной доске двое учеников выполняют задание 2 (5 мин).
Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители.
В результате ученики собирают таблицу.
Метод разложения на множители
Вынесение общего
множителя за скобки
Формулы сокращенного
умножения
Способ группировки
20x3 y2 + 4x2 y
a4 – b8
2bx – 3ay -6by + ax
b (a + 5) – c (a + 5)
27b3 + a6
a2 + ab – 5ab – 5b
15a3 b + 3a2b3
X2 + 6x + 9
2an – 5bn -10bn + am
2y (y - 5) + x (x - 5)
49m4 – 25n2
3a2 + 3ab – 7a -7b
Остальные обучающиеся выполняют задание теста 2 на карточках. После
выполнения работы пары обмениваются вариантами, производят взаимопроверку, сверяют
работу соседа с тем, что собрано двумя учениками на магнитной доске. Оценивают работу
товарища.
Оценка - 8 баллов (по баллу за каждое верное соединение).
5
ТЕСТ 2
Вариант I.
Задание 1. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения
на множители.
20x3y2 + 4x2y
Вынесение общего
множителя за скобки
4a2 – 5a + 9
2bx – 3ay – 6by +ax
Формула сокращенного
умножения
a4 – b4
9x2 + y4
Не раскладывается на
множители
27b3 + a6
a2 +ab – 5a – 5b
Способ группировки
B (a + 5) – c ( a + 5)
Вариант II.
Задание 2. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения
на множители.
6
15a3b + 3a2b3
Вынесение общего
множителя за скобки
9x2 + 5x + 4
2an – 5bm – 10dn + am
Формула сокращенного
умножения
X2 + 6x +9
4a4 +25b2
Не раскладывается на
множители
49m4 – 25n2
3a2 + 3ab – 7a -7b
Способ группировки
2y (x – 5) +x ( - 5)
Даем характеристику каждому перечисленному приему, демонстрируем слайды № 2, №3,
№4.
Слайд №2
Вынесение общего множителя
Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый
одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.
Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.
7
Слайд №3
Группировка
Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после
заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и
сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель,
являющийся многочленом.
Слайд №4
Применение формул сокращенного умножения
Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обращает выражение,
входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением
многочленов.
Задание 3.
«Математическая эстафета» (7 мин).
Работа по командам. На последней парте каждого ряда находится листок с 8
заданиями (по два задания на каждую парту). Эти же задания записаны на доске. Ученики,
получившие листок, выполняют первые два задания (разрешается совместная работа) и
предают листок впереди сидящим ребятам, после чего подключаются к работе всего класса.
Работа считается оконченной, когда учитель получает три листка (по количеству
рядов) с выполненными 8 заданиями.
Побеждают ученики того рада, в котором раньше решат восемь примеров. Проверка
итогов работы осуществляется с помощью слайда. В этой работе оценивается коэффициент
участия в решении.
Оценка – 8 баллов ( по баллу за каждый верно выполненный пример).
ЗАДАНИЯ
1-й ряд: Разложить на множители
1. 3a + 12b
5. m2 + mn –m – mq – nq+q
2. 2a +2b + a2 + ab
6. 4a2 – 4ab + b2
3. 9a2 – 16b2
7. 2(3a2 +bc) + a(4b + 3c)
4. 7a2b – 14ab2 + 7ab
8. 25a2 + 70ab + 49b2
2-ряд: Разложить на множители
1. 16a2 + 8ab + b2
4.4a2 – 3ab + a –aq + 3dq-q
7.144a2 – 25b2
2. 3m – 3n + mn – n2
5.9a2 – 30ab + 25b2
8.9a3b – 18ab2 -9ab
3. 5a – 25b
6.2(a2 + 3bc) + a(3b + 4c)
3-й ряд: Разложить на множители
1.10a +15c
4.4a2 + 28ab +49b2
7.x2 – 3x -5x + 15
2.4a2 -9b2
5.b (a+c) + 2a + 2c
8.9a2 – 6ac + c2
3.6xy -ab -2bx – 3ay
6.5a3c – 20acb -10ac
ОТВЕТЫ:
1.3 (a +4b)
1. (4a + b)2
1. 5 (2a +3c)
2. (2 + a) (a + b)
2. (3 +n) (m –n)
2. (2a -3b) (2a +3d)
3. (3a – 4b) (3a + 4b)
3. 5 (a – 5b)
3. (3y – b) (2x – a)
4. 7ab (a -2b +1)
4. (a –q) (a -3b +1)
4. (2a +4b)2
5. (m - q) (m + n -1)
5. (3a – 5b)2
5. (a + c) (b +2)
6. (2a – b)2
6. (2a + 3b) (a +2c)
6.5ac (a2 – 4b -2)
7. (2a + c) (3a +2b)
7. (12a – 5b) (12a +5b)
7. (x -3) (x -5)
8. (5a + 7b)2
8. 9ab (a2 – 2b -1)
8. (3a – c)2
Этап II.
На практике при решении примеров часто приходится использовать комбинацию
различных приемов. Поэтому, что бы успешно решать такие примеры сегодня, мы
попытаемся выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь
нужны не только знания, но и опыт.
Задание 4. Разложите многочлен на множители и укажите, какие приемы использовались
пир этом (6 мин).
9
У доски одни и те же примеры выполняют несколько учеников с последующей
проверкой правильности выполнения учениками класса.
Пример 1. 36a6b3 – 96a4b4 + 64a2b5
Решение. 36a6b3 – 96a4b4 + 64a2b5 = 4a2b3 (9a4 -24a2b + 16b2) = 4a2b3 (3a2 – 4b)2
Комбинировали два приема:
 вынесение общего множителя за скобки;
 использование формул сокращенного умножения.
Пример 2. a2 + 2ab + b2 – c2 .
Решение. a2 + 2ab + b2 – c2 = (a2 + 2ab + b2 ) – c2 = (a + b)2 – c2 = (a + b- c) (a + b + c)/
Комбинировали два приема:
 группировку;
 использование формул сокращенного умножения.
Пример 3. y3 – 3y2 + 6y – 8 .
Решение. y3 – 3y2 + 6y – 8 = (y3 -8) – (3y2 – 6y) = (y – 2) (y2 + 2y + 4) – 3y (y – 2) = (y – 2) (y2 +
2y + 4 – 3y) = (y – 2) (y2 – y + 4).
Проверка: (y – 2) (y2 – y + 4) = y3 – y2 + 4y – 2y2 + 2y – 8 = y3 – 3y2 + 6y – 8.
Комбинировали три приема:
 группировку;
 формулы сокращенного умножения;
 вынесение общего множителя за скобки.
Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно
соблюдать следующий порядок:
Слайд №6.
1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
2. Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).
Пример 4. n3 + 3n2 + 2n.
Решение. n3 + 3n2 + 2n = n (n2 + 3n + 2) = n (n2 + 2n + n + 2) = n ((n2 + 2n) + (n + 2)) =
= n (n (n + 2) + n + 2) = n (n +1) (n + 2).
10
Комбинировали три приема:
 вынесение общего множителя за скобки;
 предварительное преобразование;
 группировку.
Отмечаем, что для решения этого примера мы использовали еще один прем разложения на
множители – предварительное преобразование.
Даем ему характеристику.
Слайд №7.
Предварительное преобразование
Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или
дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, что бы
многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.
Оценка - 4 балла (по 1 баллу за каждый правильно, самостоятельно решенный пример).
Задание 5. (7 мин) Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет
легко и изящно производить арифметические вычисления, решать уравнения вида
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (такие уравнения называются квадратными, мы с вами займемся их
изучением в 8 классе), решать задачи на делимость, доказывать тождества.
1. Решить уравнения:
a) x2 – 15x + 56 = 0
b) x2 + 10x + 21 = 0
Решение.
Решение.
x2 – 7x – 8x +56 =0
x2 + 10x + 25 – 4 = 0
(x2 -7x) – (8x – 56) = 0
(x + 5)2 – 4 = 0
x (x – 7) – 8 (x -7) = 0
(x + 5 -2) (x + 5 + 2) = 0
(x – 7) (x – 8) = 0
(x + 3) (x + 7) = 0
x -7 = 0 или x – 8 = 0
x + 3 = 0 или x + 7 = 0
x=7
x = -3
Ответ. 7; 8
x = 8.
x = -7
Ответ. -7; -3.
11
Отмечаем, что при разложении многочлена x2 + 10x + 21 на множители мы «увидели»
полный квадрат (x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 ) и таким образом применили еще один прием
разложения на множители: метод выделения полного квадрата.
2. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения (3n – 4)2 – n2 кратно 8
Решение. (3n – 4)2 –n2 = (3n – 4 – n) (3n – 4 + n) = (2n – 4) (4n – 4) = 8 (n – 2) (n – 1).
Так как в полученном произведении один множитель делится на 8, то все произведение
делися на 8.
3. Вычислить 38,82 + 83 · 15,4 – 44,22.
Решение. 38,82 + 83 · 15,4 – 44,22 = 83 · 15,4 – (44,22 - 38,82 ) = 83 · 15,4 – (44,2 – 38,8) (44,2 +
38,8) = 83 · 15,4 – 5,4 · 83 = 83 · (15,4 – 5,4) + 83 · 10 = 830.
4. доказать тождество (a2 + 3a)2 + 2 (a2 + 3a) = a (a +1) (a + 2) (a + 3).
Способ I
Преобразуем левую часть равенства в правую.
(a2 + 3a)2 + 2 (a2 + 3a) = (a2 + 3a) (a2 + 3a + 2) = (a2 + 3a) (a2 + 2a + a + 2) = a (a + 3) (a (a + 2) +
(a + 2)) = a (a + 3) (a + 2) (a + 1) = a (a + 1) (a + 2) (a + 3).
Способ II
Преобразуем правую часть равенства в левую.
a (a + 1) (a + 2) (a + 3) = (a (a + 3)) ((a + 1 (a + 2)) = (a2 + 3a) (a2 + 3a + 2) = (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a)
Для каждой задачи задания 5 указываем комбинацию применяемых приемов.
Оценка – 6 баллов (по 1 баллу за каждое правильное решение)
Этап III.
Задание 6. Самостоятельная работа (на листочках под копирку) (10 мин)
Вариант I
Разложить на множители, используя различные способы
1. 5a3 – 125ab2
2. a2 – 2ab + b2 – ac + bc
3. (c – a) (c + a) – b ( b – 2a)
4. x2 – 3x + 2
5. x4 + 5x2 + 9
Вариант I I
1. 63ab3 – 7a2b
2. m2 + 6mn + 9n2 – m – 3n
3. (b –c) (b + c) – a (a + 2c)
4. x2 + 4x + 3
5. x3 + 3x2 + 4
12
Самостоятельная работа проверяется на уроке с помощью интерактивной доски. Копии
решений ученики сдают учителю, осуществляют самопроверку и самооценку знаний.
Отметка за работу равна числу верно выполненных заданий.
ОТВЕТЫ
ВариантI
1. 5a(a -5b)(a+5b);2. (a–b)(a–b–c);3. (c–a+b)(c+a–b); 4. (x-2)(x-1); 5. (x2+3–x)(x2+ 3+ x)
ВариантII
1. 7ab(9b2-a); 2. (m+3n)(m+3n-1); 3. (b+a+c)(b-a-c); 4. (x+3)(x+1); 5. (x2+2-x)( x2+2 +x)
Задание 7. (резерв времени 5 мин)
Учитель предлагает ученикам в тетрадях и «за доской» выполнить следующие задания на
выбор:
1. Доказать, что число 370 · 371 · 372 · 373 + 1 можно представить как произведение двух
одинаковых натуральных чисел. (5 баллов)
2. Доказать, что значение выражения 2x2 + 4xy + 4y2 – 2x +1 неотрицательно при любых
значениях x и y.
Учитель наблюдает за работой и при необходимости помогает, руководит работой
учеников.
Указания:
1. a(a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1 = (a2 + 3a + 2) (a2 + 3a) +1 = ((a2 + 3a + 1) + 1) ((a2 + 3a + 1) -1) +
1 = (a2 + 3a + 1)2 . В нашем случае a = 370.
Доказательство:
2. 2x2 + 4xy + 4y2 – 2x +1 = (x2 + 4xy + 4y2 ) + (x2 – 2x + 1) = (x + 2y)2 + (x – 1)2 ≥ 0,
т.к. (x + 2y)2 ≥ 0 и (x -1)2 ≥ 0 при любых x и y.
Как только ученики у доски справятся с работой, им можно предложить сесть на
свое место, а потом каждый по очереди объяснит свое решение у доски. (Остальные
проверяют выполнение задания на доске и у себя в тетрадях.)
Ученики проставляют количество баллов в оценочный лист. Оценивают свою
работу на уроке.
Подведение итого урока. (2 мин.)
Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока; отмечает, что, кроме
трех основных приемов разложения на множители: вынесение общего множителя за
скобки, группировки, использования формул сокращенного умножения, - -ученики
13
познакомились еще с двумя способами: методом выделения полного квадрата,
предварительным преобразованием; оценивает работу учеников и ориентирует учеников в
домашнем задании.
Домашнее задание.
Если вы получили оценку:
№ 715 (а);716(a,б)
5
№ 713(а,b,), 714(а,б)
4
3 или 2
ииилии
ли 2
№ 708(а,б,в),
№ 710(а,б),712(а,б,в)
709(а – е)
Дополнительно:
Составить
теме урока.
восемь
примеров
для
математической
эстафеты
по