исследование электростатического поля

ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Лабораторная работа №1
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение электростатического поля; экспериментальное построение эквипотенциальных линий (эквипотенциалей) и линий напряженности; вычисление напряженности поля.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ
Как известно, взаимодействие между неподвижными зарядами
осуществляется через электрическое поле (следует отметить, что в
случае движущихся зарядов взаимодействие осуществляется как через
электрическое, так и магнитное поле).
Электрическое поле, не изменяющееся во времени, называется
электростатическим, оно может быть создано неподвижными электрическими зарядами. (В дальнейшем электростатическое поле будем
называть электрическим).
Исследование электрического поля сводится к тому, что в данную
точку поля помещается положительный точечный пробный заряд q пр .
Возникающая при этом сила оказывается пропорциональной этому заряду, а отношение F
для всех пробных зарядов будет одним и тем
q np
же.
Величина
4


F
Е
q пр
(1)
называется напряженностью электростатического поля в данной точке пространства.
Напряженность является силовой характеристикой электрического
поля.

Как следует из (1), вектор напряженности E можно определить как
силу, действующую на единичный точечный неподвижный заряд, помещенный в данную точку поля.
Вектор напряженности имеет такое же направление, как и вектор
силы, действующей на заряд.
Из (1) нетрудно видеть, что единица напряженности электростатического поля – ньютон на кулон ( H ) , причем
Кл
1H
1В .
Кл
м
Описать электростатическое поле можно либо аналитически, выражая зависимость напряженности поля от координат в виде
 
(2)
E  E( x, y, z) ,
либо графически
с помощью силовых линий (линий вектора напря
женности E ).
Метод силовых линий применим для графического представления
векторных полей любой природы. Так, при изучении гравитационного
поля вводятся силовые линии, указывающие направление вектора

напряженности
гравитационного
E
поля; в гидродинамике вводятся линии тока, указывающие направление
вектора скорости жидкости; для
изучения магнитного поля пользуются магнитными силовыми линиями.
Рис. 1
Силовая линия – это линия, направление касательной
к которой в

каждой точке совпадает с направлением вектора E в этой же точке.
5
Условились силовым линиям приписывать направление
(положитель
ное), совпадающее с направлением вектора E (рис. 1).
При таком условии можно считать, что силовые линии электрического поля начинаются от положительных зарядов (источников) и
оканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность).
Густота силовых линий выбирается так, чтобы число силовых линий, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную к
силовым линиям, было пропорционально напряженности электрического поля на этой площадке.
Энергетической (скалярной) характеристикой электрического поля
является потенциал.
Потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с электрическим полем к величине этого заряда, т.е.
(3)
  Wp q .
пр
Физический смысл имеет не сам потенциал, а разность потенциалов
в двух соседних точках поля 1   2  .
Единицей потенциала (разности потенциалов) в системе СИ является вольт (В).
Пользуясь формулой (3), имеем
1 В = 1 Дж Кл ,
где 1 Кл (кулон) – единица заряда в системе СИ.
Кулоновская сила взаимодействия зарядов ( q и qпр )
q  q пр
F k
(4)
2
r
является центральной, а силовое поле центральных сил (см. «Физический практикум. Механика») консервативно. Это означает, что работа,
совершаемая силами поля (электрического) над зарядом q пр при перемещении его из одной точки поля в другую, не зависит от пути переноса и может быть рассчитана как убыль потенциальной энергии
A12  (W p1  W p 2 )  (W p 2  W p1 ).
6
(5)
Итак, электростатическое поле есть поле консервативное, для которого справедливо утверждение, что работа сил электрического поля
при перемещении пробного заряда по замкнутому пути равна нулю.
Действительно, с одной стороны,
2 
 2
 
A12   F  dl   q np  E  dl  q np  E  dl ,
2 
1
1
1
а с другой, с учетом (5) и (3) :
A12  W p1  W p 2

q np  (1   2 ) .
Из сравнения последних выражений следует, что

1   2   E  dl ,
2
(6)
1
причем интеграл можно рассчитывать по любой линии, соединяющей
точки 1 и 2, т.к. работа сил электростатичного поля не зависит от выбора пути переноса пробного заряда q np .
В частности, при обходе по замкнутому контуру  2  1  формулу
(6) можно представить в виде
 
(7)
 E  dl =0,
где кружок у интеграла обозначает, что интегрирование берется по замкнутому контуру.
 
Интеграл  E  dl называется циркуляцией вектора напряженности
по замкнутому контуру.
7

Выражение (7) называют теоремой о циркуляции вектора E : циркуляция вектора напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю.
Уравнение (7) – одно из двух фундаментальных уравнений электростатики. Поле, обладающее свойством (7), называется потенциальным, т.е. любое электростатическое поле является консервативным
или потенциальным.
Другим фундаментальным соотношением является теорема Гаусса
(в интегральной форме), утверждающая, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную  0 , т.е.
  1 n
 e   E  dS 
(8)
 qi ,
 0 i 1
где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по
замкнутой поверхности.
Теорема Гаусса в ряде случаев позволяет весьма простым путем
рассчитывать напряженность электрического поля, созданного,
например, одной заряженной плоскостью, двумя параллельными плоскостями, цилиндром, сферой, шаром и т.д.
Из вышесказанного следует, что электрическое поле
можно опи
сать либо с помощью векторной величины (вектора E ), либо с помощью скалярной величины (потенциала  ). Так как эти величины являются характеристиками электрического поля, то между ними должна существовать определенная связь.
Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом можно выразить с помощью понятия градиента потенциала.
Градиент (потенциала) – вектор, показывающий направление
наибольшего роста скалярной функции  x, y, z  :
grad  
8
     
i 
j
k,
x
y
z
(9)
где
  
i , j , k – координатные орты.
Величина этого вектора равна изменению потенциала  при перемещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения.
Длина градиента (потенциала) равна
2
2
2
  
  
  
(10)
        .

x

y

z
 
 
 
Из механики известно, что консервативная сила равна градиенту
потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком, т.е.

F   grad Wp   Wp ,
(11)
     
– символический вектор, называемый
i
 j
k
x
y
z
оператором Гамильтона или оператором набла.
Для электростатического поля имеем:
где


F  qпр  E , W р  qпр   .
Тогда соотношение (11) принимает вид



q пр E    q пр   ,

E      grad  ,
или
(12)
т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала с
обратным знаком.

Знак минус в (12) показывает, что вектор Е направлен противоположно вектору градиента потенциала  , и силовые линии электриче-
9
ского поля являются линиями, вдоль которых потенциал изменяется
наиболее быстро.

Очевидно, что проекция вектора E на произвольное направление l
равна со знаком минус частной производной потенциала по данному
направлению:

E  
.
(13)

В случае однородного электрического поля (поля плоского
конден
сатора), в любой точке которого вектор напряженности Е постоянен
как по величине, так и по направлению, имеем простое соотношение:
  2 U
(14)
E 1
 ,
d
d
где
U  1   2  – разность потенциалов или напряжение между
пластинами конденсатора (или между двумя эквипотенциальными
поверхностями)
d – расстояние между пластинами конденсатора (или между
двумя эквипотенциальными поверхностями).
Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал,
называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной
поверхностью, для которой
 x, y, z   const .
(15)
Из вышеизложенного следует, что электрическое поле можно изображать графически как с помощью силовых линий, так и пользуясь эквипотенциальными поверхностями.
Перенос заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не требует
работы (разность потенциалов двух любых точек этой поверхности
равна нулю). Это означает, что сила, действующая на переносимый
заряд, перпендикулярна к перемещению.
10

Следовательно, вектор E всегда направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, т.е. линии напряженности в каждой точке
ортогональны к эквипотенциальной поверхности.
Итак, можно сделать важный вывод о том, что электрическое поле
полностью
можно описать векторной величиной – напряженностью

E . Но во
 многих случаях оказывается, что для вычисления напряженности E электрического поля удобнее сначала определить потенциал

φ и затем по формуле (12) вычислить напряженность E . (В ряде задач
с хорошей симметрией нахождение напряженности E непосредственно или с помощью теоремы Гаусса (8) оказывается значительно проще.)
Для исследования распределения потенциала в электростатическом
поле системы заряженных проводников можно пользоваться методом
электрического зонда. Зонд представляет собой тонкий кончик проволочки, выступающий из диэлектрической трубочки. Зонд, соединенный с электрометром, значительно меняет потенциал той точки поля, в
которую он вносится. Это обусловлено возникновением индукционных зарядов, появляющихся на зонде и шарике электрометра. Хотя
существует ряд способов удаления индукционных зарядов с зонда, но
проведение эксперимента с электрометром весьма затруднительно.
Одним из способов изучения электростатического поля является
метод математического моделирования полей.
Моделирование находит широкое применение как при научных исследованиях, так и при решении большого числа практических задач в
различных областях техники [1].
При физическом моделировании некоторый объект (натура) и модель имеют одинаковую физическую природу, характер самого процесса сохраняется, но геометрические параметры модели отличаются
от реального объекта.
При математическом моделировании закономерности различных по
природе физических процессов описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и граничными условиями. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений различной
11
физической природы к математическим задачам, нашел широкое применение в связи с развитием вычислительной техники.
В данной лабораторной работе моделью электростатического поля
в диэлектрике может служить электрическое поле стационарного тока
в слабопроводящей среде (при одинаковой геометрии электродов).
Подобие таких полей можно обосновать путем сопоставления их
свойств.
Как указывалось выше, для электростатического поля теорема о
циркуляции вектора напряженности электростатического поля имеет
вид (7):
 
Е
  dl  0 .
При отсутствии источников сторонних сил поле в однородной проводящей среде описывается уравнением:
 
(16)
 j  dl  0 ,

где j – плотность тока, равная, согласно закону Ома в дифференциальной форме,


(17)
j  E.
Учитывая, что удельная электроводность данной проводящей среды
  const ,
уравнение (16) можно представить в виде:
 
  E  dl  0
или
 
E
  dl  0 .
Итак, форма уравнений не меняется от замены непроводящей среды (7) на слабопроводящую (16).
12
Также можно показать, что имеется подобие и между граничными
условиями.
Действительно, на границе раздела диэлектриков нормальные и
тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля подчиняются условиям [2,3]:
 1 E n1   2 E n 2 ,
E 1  E 2 ,
(18)
где 1 ,  2 – диэлектрические проницаемости первой и второй сред.
В случае слабопроводящей среды тангенциальные составляющие
вектора напряженности потенциального поля тока непрерывны, а граничные условия для нормальных составляющих вытекают из уравнения непрерывности, т.е.
j n1  j n1
или
 1 E n1   2 E n 2 .
(19)
Таким образом, из подобия граничных условий следует, что для
изучения электростатического поля можно использовать поле тока в
слабопроводящей среде; силовым линиям электрического поля будут
соответствовать линии тока, а эквипотенциальным поверхностям – поверхности равных напряжений.
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
На рис. 2 представлена принципиальная схема измерительной установки.
В кювету (ванну) 1 налит тонкий слой воды, являющейся слабой
проводящей средой. В качестве электродов используются металлические пластины 2, прикрепленные к крышке 3. Следует отметить, что
пластины – электроды – должны быть строго вертикальными и параллельными друг к другу.
13
От универсального источника питания (выпрямителя типа УИП–2),
расположенного внутри стенда, подается постоянное напряжение (порядка 10 В) на электроды. В крышку 3 вмонтированы металлические
штыри 4, контактирующие с проводящей средой – водой. Штыри 4 (на
рис. 2 показано несколько вертикальных и горизонтальных рядов) образуют сетку с расстояниями 10 мм между соседними вертикальными
и горизонтальными рядами штырей.
Рис. 2
Для изучения картины электростатического поля используют два
измерительных зонда 5 и 6, причем зонд 5 соединен постоянно с
клеммой «минус» (точка А), а зонд 6 помещается в исследуемые точки
(например, С и D) поля (рис. 2). Выводы измерительных зондов 5 и 6
подключаются соответственно к гнездам «*» и «U,R» цифрового ком14
бинированного прибора 7 (типа Щ4300). По показаниям прибора 7
определяют потенциал исследуемой точки электрического поля относительно точки А (или разность потенциалов между указанными точками). Если зонд 6 поочередно помещать в точки С и D (рис. 2), то,
зная потенциалы этих точек относительно точки А, можно вычислить
разность потенциалов между точками С и D. Если зонд 6 перемещать
по одному из вертикальных рядов штырей 4, то можно убедиться в
существовании эквипотенциальных поверхностей электрического поля.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Подготовка установки для исследования электрического поля.
1.1. Прежде всего проследите, чтобы зонд 5 был подключен к «минусовой» клемме ванны (т.А, см. рис. 2), а вывод этого зонда – к гнезду «*» прибора Щ4300. Вывод второго зонда 6 должен быть вставлен
в гнездо «U,R» прибора Щ4300.
1.2. Цифровой комбинированный прибор (Щ4300) должен быть
настроен на режим измерения постоянного напряжения (с диапазоном
напряжения 20В), т.е. необходимо нажать клавиши на приборе «U» и
«20».
1.3. Включите установку (универсальный источник питания и цифровой комбинированный прибор) и проверьте по показаниям прибора
Щ4300, что к параллельным пластинам – электродам подведено
напряжение порядка 10В, подсоединив зонд 6 к правой клемме ванны
(т.В, см.рис. 2).
2. Построение эквипотенциальных поверхностей и линий напряженности электрического поля.
15
2.1. На листе бумаги (или на миллиметровке) нарисуйте координатную сетку с шагом 20 мм по вертикали (8 горизонтальных рядов) и
с шагом 30 мм по горизонтали (9 вертикальных рядов)( см. рис. 3).
2.2. Касаясь зондом 6 шляпок штырей первого (горизонтального)
ряда, измерьте потенциалы точек (1, 2,…..9) электрического поля
(точка 1 – это первая точка первых горизонтального и вертикального
рядов). Измерительный зонд 6 следует всегда устанавливать на шляпку штыря вертикально и с небольшим нажимом. Нанесите измеренные
значения потенциала каждой точки на сетку, нарисованную в вашем
отчете.
2.3. Измерения, подобные п.2.2, повторите для второго, третьего,….,восьмого горизонтальных рядов и полностью заполните координатную сетку.
2.4. Постройте эквипотенциальные линии, соединив точки (координатной сетки) с равными потенциалами электрического поля, созданного двумя параллельными пластинами. Итак, получается система
эквипотенциалей (эквипотенциальных линий) с одинаковыми потенциалами, т.е.  i  const.
1
2
Вертикальные ряды
3
4
8
2
3
С
8
Горизонтальные ряды
Рис.3
16
d
D
9
2.5. Проведите линии напряженности электрического поля, ортогональные к эквипотенциальным линиям и укажите направление вектора
напряженности.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Выберите две точки С и D, лежащие на одной линии напряженности и на двух эквипотенциалях, отстоящих друг от друга на расстоянии d (рис. 3).
2. Помещая измерительный зонд 6 в точку С, а затем в точку D, измерьте значения потенциалов в этих точках не менее 10 раз.
3. Результаты измерений потенциалов в точках С и D внесите в
таблицу.
Таблица
№ измерений
C , B
D , B
 C
 D  
i
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Средние значения, В

17
Абсолютные ошибки,
В
Относительные
ошибки, %
∆ C 
∆ D 
 C 
 D 
4. Произведите расчет ошибок потенциалов в точках С и D при
прямых измерениях и результаты расчетов внесите в таблицу.
4.1. Среднее значение потенциала в данной точке электрического
поля:
n
i
(при n =10).
  C   i 1
n
4.2. Абсолютная ошибка прямого измерения потенциала:
∆   
2
 t ,n
 2приб ,
где t ,n – коэффициент Стьюдента (см. приложение)
 приб =0,1 В – приборная ошибка цифрового вольтметра Щ4300
  – среднее квадратичное отклонение, определяемое по формуле:
n
 
2
  i     
i 1
.
nn  1
5. Рассчитайте величину напряженности однородного электрического поля по формуле, аналогичной (14):
  D    C 
,
d
d – расстояние между выбранными точками С и D.
E расч. 
где
18
6. Оцените относительную ошибку вычисления величины напряженности электрического поля по формуле:
2
 С2   D
2
 d 
E 


 ,
2
E расч.
d


     C 
D
где d – погрешность измерения расстояния между выбранными
точками, равная половине цены деления измерительного устройства.
Принять d =0,5мм=5·10-3м.
E


7. Абсолютная ошибка вычисления напряженности определяется
следующим образом:
E  E расч.   E .
8. Окончательный результат определения величин напряженности
электрического поля запишите в стандартном виде:
E  E расч.  E В ,  E  …..
м
,
  0,9 , t ,n 1  ….
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте цель данной лабораторной работы.
2. Какое поле называется электростатическим?
3. Напишите закон Кулона для вакуума.
4. Назовите основные характеристики электрического поля.
5. Дайте определение напряженности электрического (электростатического) поля.
19
6. Каковы единицы измерения напряженности электростатического
поля?
7. Чему равна напряженность электрического поля точечного заряда?
8. Дайте определение силовой линии электростатического поля.
9. В чем заключается принцип суперпозиции (наложения) полей?
10.Сформулируйте теорему о циркуляции вектора напряженности
электростатического поля.
11. Дайте определение теоремы Гаусса в интегральной форме.
12. Дайте определение потенциала электростатического поля.
15
13. Укажите в системе СИ единицу измерения потенциала, ее размерность.
14. Какое электростатическое поле называется однородным?
15. Какое поле называется потенциальным? Является ли поле тяготения потенциальным?
16. Какая поверхность называется эквипотенциальной?
17. Какова связь между напряженностью и разностью потенциалов
в случае неоднородного электрического поля?
18. Как математически связаны напряженность и разность потенциалов для однородного электрического поля?
19. Объясните порядок выполнения данной лабораторной работы.
20. Назовите условия, при которых для изучения электростатического поля можно использовать поле постоянного тока.
21. Назовите отличие математического моделирования от физического моделирования.
22. Из эксперимента следует, что линии напряженности ортогональны эквипотенциальным поверхностям – докажите это теоретически.
23. В двух вершинах правильного треугольника со стороной а=1м
расположены два заряда q1   q 2 =10нКл. Найти результирующую
напряженность в третьей вершине треугольника.
20
24. Докажите, что единицы измерения напряженности
E   H Кл  В м тождественны.
25. Определите величину и направление градиента потенциала
электрического поля, созданного бесконечно плоскостью с поверхностной плотностью заряда  =10 нКл/м2.
26. Потенциал поля в точке, удаленной от точечного положительного заряда на расстоянии 25 см, равен 50 В. Определите величину и
направление градиента потенциала в этой точке.
27. Как вычисляется абсолютная ошибка измерения потенциала в
данной точке поля?
28. Как вычисляется относительная и абсолютная ошибки определения напряженности электрического поля?
29. Что такое коэффициент надежности и как он влияет на результат вычисления погрешности измерения физической величины?


21