Примерные варианты контрольных работ

Примерные варианты контрольных работ
Тема «Линейная алгебра»
2
 1


 3 1 0 
 2 2 3 
 , B  
 , C   0  3  .
1. Найти матрицу  A  B C , если A  
 2 2 5
  3 3  4
 4 3 


2. Вычислить определитель
2 3 0
2
 4 7  2 1
3
9
0 5
5
1
1 1
3. Решить систему линейных уравнений: а) по формулам Крамера; б) методом обратной
матрицы.
x  2 y  z  7

2 x  y  z  2
3x  5 y  2 z  7

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
 x1  2 x2  3x3  4
4 x  3 x  3 x  x  4
 1
2
3
4

3x1  x2  3x3  2 x4  1
3x1  x2  x4  0
Тема «Векторная алгебра»
Даны точки A 2;1;1, B 5;1;2, C 3;0;3, D 6;0;1. Найти: а) объем пирамиды ABCD ; б)
площадь треугольника ABC ; в) стороны AB, BC , AC ; г) угол ABC ; д) высоту пирамиды,
опущенную из вершины D .
Тема «Аналитическая геометрия на плоскости»
1. Даны точки A3;1, B 7;6, C 3;2 .
а) написать уравнения сторон треугольника ABC ;
б) написать уравнение прямой d , проходящей через точку C параллельно прямой AB ;
в) написать уравнение медианы AM ;
г) написать уравнение высоты CH ;
д) написать уравнение биссектрисы CL ;
е) найти длину высоты CH ;
ж) найти координаты точки C  , симметричной точке C относительно прямой AB .

8 5
 и
2. Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки M 1   1;

3


M 2 0;6 . Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет. Построить эллипс.
3. Даны две вершины треугольника A 6;2 , B2;2 и точка H 1;2 пересечения его
высот. Найти координаты третьей вершины C .
Тема «Аналитическая геометрия в пространстве»
1. Даны точки A(6;0;8), B(7;4;5), C (3;6;7), D(3;1;1) .
а) Написать уравнения плоскостей ABC и ABD .
Написать уравнение плоскости  , проходящей через точку D и параллельной плоскости
ABC .
б) Найти расстояние между плоскостями  и ABC .
в) Найти угол между плоскостями ABC и ABD .
г) Написать общие уравнения прямой AB .
д) Написать канонические уравнения прямой AC .
е) Написать параметрические уравнения прямой BC .
ж) Написать уравнения прямой L1 , проходящей через точку A и параллельной прямой BC .
з) Найти расстояние от точки D до прямой AC .
и) Найти угол между прямой BD и плоскостью ABC .
л) Написать уравнения прямой L2 , проходящей через точку D и перпендикулярной
плоскости ABC .
л) Найти точку пересечения прямой L2 и плоскости ABC .
м) Найти точку, симметричную точке D относительно плоскости ABC .
2 x  y  z  3  0
x  5 y  3 z 1


2.
Даны прямые L1 : 
и L2 :
и плоскость
1
4
2
 x  2 y  3z  5  0
 : 2x  y  z  1  0 .
а) Найти канонические уравнения прямой L1 .
б) Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2 . Если они не параллельны и не
перпендикулярны, то найти угол между прямыми.
и) Выяснить взаимное расположение прямой L1 и плоскости  . Если они не параллельны и
не перпендикулярны, то найти угол между прямой и плоскостью.
Тема «Предел функции»
Вычислить пределы:
5x 5  1
x 2  6x  8
lim
а) lim
;
б)
; в) lim
x 1
x  4 x 4  3 x 3  2 x 2  x  1
x  2 x 2  8 x  12
г) lim
x 


x32
;
x 1
x
x2
 x 1  2
; е) lim 
4 x 2  4 x  3  2 x ; д) lim
 .
2
x 0 sin 5 x
x  x  2


Тема «Производная функции»
1. Найти производные функций:
5
arctgx
а) y  3 x 4  3  93 x 2  1 ; б) y  x 3  1  ln x  1 ; в) y 
; г) y  e sin 5 x .
2
3x
1 x
2. Составить уравнения касательных к параболе y  x 2  5x  6 в точках пересечения с
осью Ox. Изобразить на рисунке параболу и касательные.
x
e2x 1
3. Вычислить пределы по правилу Лопиталя: а) lim
; б) lim   x tg .
x 
x 0 ln 1  2 x 
2
3
2
x
5x

 6 x  2 на отрезке
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y 
3
2
1;4.


5. Провести полное исследование функции y 
x 2  16
и построить ее график.
x
Тема «Неопределенный интеграл»
Вычислить интегралы:
4


а)   3x 2  5  95 x 4 dx ; б)
x


ln x
dx ; в)
x
dx
x 3
x
 4 x  1e dx ; ж)  x  13 dx ; з)  x 2  8 x  20 .
2
е)

3

dx
9x 2  5
; г)
x 2 dx
 4 x 3 1 ; д)

sin x
cos 3 x
dx ;
Тема «Определенный интеграл и его геометрические приложения»

1
dx
1. Вычислить интегралы: а)  2
; б)
x

3x

5
0
3
 x
2
xdx
2
4

1
3
; в)
 7 x  1cos xdx .
0
3
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y  , y  4  x .
x
Тема «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»
1. Найти частные производные
x
2z 2z 2z 2z
.
,
,
, 2 : а) z  xe y ; б) z  y x 
2
x xy yx y
y
2. Исследовать функцию на экстремум: z  6 x  3 y  x 2  xy  y 2 .
3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z  x 2  y 2  xy  x  y в замкнутой
области, ограниченной прямыми x  0, y  0, x  y  3 .
Тема «Дифференциальные уравнения»
Решить дифференциальные уравнения. Если даны начальные условия, найти частное
решение.
а)
1  y 2 dx  xydy  0; x0  2, y0  1

б)
в)
г)
д)
е)

x  1y   2 y  x  14 ; x0  0, y0  1
2 xyy   x 2  y 2 ; y  1  2
y 
1

1  2 dx  dy  0
x
x 

1
y  
0
sin 2 x
y   6 y   9 y  x
Тема «Теория вероятностей»
1. На полке стоят 15 книг, из них 5 в кожаном переплете. Наудачу берут три книги. Какова
вероятность того, что две их них в кожаном переплете?
2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора.
Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого
сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятности следующих событий: а) при аварии
сработает только один сигнализатор; б) при аварии сработают оба сигнализатора; в) при
аварии не сработает ни один сигнализатор; г) при аварии сработает хотя бы один
сигнализатор.
3. У рыбака есть 3 любимых места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой
вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в первом месте,
третьем –
1
,
3
во втором –
1
, в
2
1
. Известно, что рыбак забросил удочку и поймал рыбу. Какова вероятность
4
того, что он рыбачил в первом из его любимых мест?
4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна
3
и не зависит от порядкового
4
номера выстрела. Найти вероятность того, что при 7 выстрелах произойдет: а) ровно 5
попаданий в мишень; б) хотя бы одно попадание в мишень.
5. При эпидемии гриппа 40% населения заражены вирусом (болеют). В лаборатории 40
сотрудников. Какова вероятность того, что заболевших среди них будет: а) 10 человек; б)
20 человек; в) от 10 до 17 человек?
6. Стрелок делает три выстрела по удаляющейся цели. Вероятности попадания в цель равны
0,8; 0,7 и 0,6 при первом, втором и третьем выстрелах соответственно. Случайная величина
X – число попаданий в цель. Найти закон распределения случайной величины X . Найти
функцию распределения случайной величины X и построить ее график. Найти
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X . Найти
p1  X  3 .
7. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей:

 
C cos x, x   0; 

 4
.
f ( x)  
0, x   0;  

 4
Найти: а) постоянный параметр С; б) математическое ожидание X .
Тема «Основы математической статистики»
1. В результате исследования получена выборка:
16; 13; 11; 15; 18; 19; 21; 18; 17; 15; 14; 16; 18; 17; 19; 15; 13; 12; 14; 16; 17; 20; 17; 17; 20; 19;
18; 22; 24; 18; 15; 14; 10; 12; 16; 18; 18; 19; 21; 23; 20; 22; 24; 17; 16; 14; 15; 18; 15; 11; 16; 17; 15;
13; 16; 17; 18; 14; 15; 19; 17; 18; 16; 13; 15; 17; 21; 23; 26; 19; 22; 24; 25; 20; 21 24; 19; 23; 22; 20; 25;
21; 20; 22; 26; 19; 22; 23; 25; 28; 20; 21; 27; 19.
Необходимо:
а) задать распределение в виде интервальной таблицы частот (длину интервала найти по
формуле Стерджеса);
б) построить гистограмму частот и полигон относительных частот (на разных рисунках);
в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
г) найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной
совокупности;
д) по критерию согласия Пирсона (  2 ) проверить гипотезу о нормальном распределении
генеральной совокупности при уровне значимости   0,05 ;
е) найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения генеральной совокупности с надежностью: а)   0,95 ; б)
  0,99 .
2. По данным корреляционной таблицы:
а) найти выборочный коэффициент корреляции;
б) по критерию Стьюдента проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента
корреляции при уровне значимости   0,01 ;
в) написать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X.
n  143
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.1
1
1
3
2
1
1
-
5.2
1
2
5
3
1
-
5.3
1
2
6
5
2
1
-
5.4
1
4
11
3
1
-
5.5
1
3
9
8
4
1
-
5.6
1
5
10
4
1
-
5.7
1
2
6
5
2
1
5.8
1
2
7
3
1
5.9
1
3
2
1