СМОЛЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ, СПОРТА И ТУРИЗМА

СМОЛЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ, СПОРТА И ТУРИЗМА
Учебно-методические рекомендации для студентов факультета
заочного обучения 1 курса (3, 5-летний срок обучения)
по дисциплине: математика
для специальности: 032.101.65 «Физическая культура и спорт»
Факультет: заочного обучения
Кафедра БЖД, спортивных сооружений и физико-математических
дисциплин
Курс: 1
Семестр: 1
Лекций: 8 часов
Семинарских занятий: 8 часов
Самостоятельная работа: 124 часов
Контрольная работа, экзамен: семестр 1
Всего часов - 140
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1.Выписка образовательного стандарта (дидактические
единицы дисциплины)
Индекс
ЕН.Ф.01
Наименование дисциплин и их основные
Всего часов
дидактические единицы
Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
140
Дифференциальное и интегральное исчисление.
Дифференциальные уравнения.
Теория вероятностей.
Математическая статистика.
1. Краткая характеристика основной образовательной программы
Учебная дисциплина «Математика» включена в список естественнонаучных дисциплин государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования для специальностей 032103.65 «Физическая
культура и спорт». Курс формирует у студентов представление: о месте и
роли математики в современном мире, мировой культуре и истории; о
математическом мышлении, индукции и дедукции в математике, принципах
математических
рассуждений
и
доказательств;
о
логических,
топологических, алгебраических структурах на множествах; о роли
математики в гуманитарных исследованиях и образовании; об основных
понятиях теории вероятностей, случайных событиях, случайных величинах,
законах распределения случайных величин; о вероятностном смысле
статистической
информации, об оценке основных статистических
показателей; о статистических методах, применяемых для обработки
экспериментальных данных.
Цель и задачи изучения дисциплины.
Цель курса – совершенствование базовой подготовки специалистов в
области физической культуры и спорта, обеспечение их необходимыми
знаниями в области математики.
В процессе преподавания математики решаются следующие задачи:
1. Обучить студентов основам математических знаний, сформировать
умение применять теоретические знания для решения задач.
2. Развивать у студентов математическое и логическое мышление.
3. Изучить методы математической статистики, освоить анализ
экспериментальных данных.
4. Содействовать
формированию
у
студентов
научного
мировоззрения в области естественно-научных знаний.
2. Требования к уровню освоения программы и формы текущего и
промежуточного контроля.
Формы контроля – зачет по контрольной работе и экзамен.
Задания для выполнения контрольной работы можно получить у
преподавателя на установочной сессии.
Задания для контрольной работы
Номер выполняемого варианта соответствует первой букве в фамилии
студента
Фамилия
№
А-В
1
Г-Е
2
Ж-И
3
К-Л
4
М-Н
5
О-Р
6
С-У
7
Ф-Ц Ч-Щ
8
9
Э-Я
10
Задание 1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в
мишень для первого стрелка равна Р1, для второго Р2.
Найти вероятность того, что:
а) в цель попадут оба стрелка;
б) в цель попадет хотя бы один стрелок;
в) в цель попадет только один стрелок;
г) оба стрелка промахнутся.
Вариант
Р1
Р2
1
0,8
0,7
2
0,7
0,8
3
0,6
0,7
4
0,9
0,4
5
0,7
0,3
6
0,5
0,4
7
0,4
0,5
8
0,3
0,6
9
0,5
0,7
10
0,8
0,8
Задание 2. Вероятность того, что баскетболист попадет в кольцо при одной
попытке равна Р. Баскетболист совершил n бросков. Составить закон
распределения количества попаданий. Построить
многоугольник
распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение.
Вариант
n
Р
1
3
0,1
2
3
0,2
3
2
0,3
4
3
0,4
5
4
0,5
6
3
0,6
7
2
0,7
8
3
0,8
9
3
0,9
10
5
0,5
Задание 3.
Из генеральной совокупности извлечена выборочная
совокупность, получены значения измеряемой величины. По выборочным
данным составить безынтервальный вариационный ряд, построить полигон.
Вычислить
выборочное
среднее
значение,
дисперсию,
среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации, статистическую ошибку
выборочной средней. Указать моду и медиану.
Вари
ант
Значения
1
67 73 69 64 69 71 59 67 69 65 63 67 71 60 69 67 71 59 67 63
2
84 82 95 83 78 98 81 82 88 87 88 89 91 95 84 82 95 95 82 82
87 82 88 84
3
75 75 72 75 66 80 75 62 70 65 73 79 72 78 78 75 66 62 65 72
72 70 78 75 66
4
80 75 71 76 72 82 81 78 81 73 73 73 79 75 68 76 80 73 72 81
5
98 85 94 95 92 99 96 92 85 89 101 93 98 105 100 105 101 98 92
99 94 92 89 92 98 93
6
67 69 64 66 77 68 67 68 69 61 60 71 71 65 61 65 71 68 68 64
64 66 68 64 68
7
103 90 101 97 105 91 96 86 91 83 102 93 93 110 101 90 97 91 96
8
45 42 45 48 42 46 49 47 48 51 42 51 53 40 46 51 46 46 48 47 51
9
120 133 135 135 137 134 120 134 130 143 135 139 135 140 130 143 135
139 143 140 135
10
102 113 96 109 73 119 102 104 108 103 100 97 102 93 92 98
101 119 104 102 103 102
Задание 4. У спортсменов контрольной (Х) и экспериментальной (У)
групп измерены результаты теста физической подготовленности.
С помощью t-критерия Стьюдента определите, можно ли утверждать,
что спортсмены экспериментальной группы имеют более высокий уровень
подготовленности.
Вар
иант
1
Значения
Х
Y
84 82 95 83 78 98 81 82 88 87 88 89 91 95
92 95 95 88 87 94 92 83 88 98
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Х
Y
Х
Y
Х
Y
Х
Y
Х
Y
Х
Y
Х
Y
Х
Y
Х
Y
33 35 39 42 45 37 38 42 45 37 41 39 41 42
45 39 47 49 51 55 48 46 45 55 53 49
98 105 94 95 92 99 96 92 105 101 93 98 105 100
106 105 108 106 105 108 108 103 95
8,7 8,5 9,1 9,2 9,3 8,9 8,7 9,6 9,1 9,2 9,1
8,7 8,5 8,5 8,9 8,5 8,3 9,0 9,2 8,4
75 75 72 75 66 80 75 62 70 65 73 79 72 78 78
77 78 75 75 78 74 68 68 71 65
850 780 890 780 780 880 780 765 745 780
890 780 760 875 869 912 934 943 940 860 860
120 133 135 135 137 134 120 134 130 143 135 120
127 135 151 138 145 139 135 145 148 150
154 178 198 151 157 167 184 190 168 168 160
170 175 170 185 188 168 187 194 185
12,6 11,8 11,6 12,8 13,8 12,1 12,8 12,7 12,8 13,6 12,3
11,6 13,2 12,3 12,5 12,1 11,8 12,9 11,5 12,2 13,1 12,5
85 87 90 102 96 89 85 85 88 98 90
92 95 96 95 96 97 105 105 95 93 95 98 98 95 92
5. Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи
коэффициентов корреляции Браве-Пирсона и Спирмена.
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
Х
У
Х
У
Х
У
Х
У
Х
У
Х
У
Х
У
5
43
21
136
33
63
14
22
120
95
58
93
48
158
6
45
25
135
35
68
19
19
122
98
58
95
43
154
5
47
23
132
38
68
17
23
120
105
55
93
51
160
Значения
7
9
10
49
46
45
21
22
26
130 135 140
35
40
38
70
70
69
14
14
16
25
22
21
125 130 125
105 110 107
66
62
65
105 104 105
49
51
46
158 152 158
6
48
29
138
42
70
17
23
132
115
62
102
51
153
8
49
24
138
44
72
19
23
122
102
66
105
50
158
7
48
22
136
45
75
20
19
120
96
55
95
8
44
22
132
15
20
66
100
8
9
10
Х
У
Х
У
Х
У
25
110
17
120
77
12
22
105
15
123
75
14
20
102
22
110
78
15
21
105
18
118
75
12
25
102
17
120
74
18
25
106
21
110
71
15
28
110
25
105
72
12
20
105
24
115
77
15
21
102
18
122
78
15
21
103
19
120
75
14
Образец выполнения контрольных заданий
Задание 1.
Два студента решают задачу. Вероятность того, что задачу решит
первый студент составляет 0,8, вероятность решения для второго студента
0,4. Найти вероятность того, что: а) задачу решит хотя бы один студент; б)
задачу решит только один студент; в) задачу решат оба студента; г) задачу
не решит ни один студент.
Решение:
Рассмотрим четыре элементарных события: А1 - задачу решил первый
студент; А1 - задачу не решил первый студент; А2 - задачу решил второй
студент; А2 - задачу не решил второй студент. Вероятности событий А1 и
А2 известны из условия задачи. События А1 и А2 являются
противоположными событиям А1 и А2, следовательно их вероятности можно
найти по теореме о вероятности полной группы событий.
Р(А1) = 0,8
Р(А1) = 1- 0,8 = 0,2
Р(А2) = 0,4
Р(А2) = 1 - 0,4 = 0,6
а) Событие В - "задачу решит хотя бы один студент" является суммой
двух совместных событий А1 и А2, то есть В = А1+А2. По формуле суммы
совместных событий получим:
Р(В) = Р(А1+А2) = Р(А1) +Р(А2) - Р(А1 А2) = 0,8 + 0,4 - 0,8 0,4 = 0,88
б) Событие С - "задачу решит только один студент" заключается в том,
что решит только первый и не решит второй, или решит только второй и не
решит первый студент. Сложное событие С можно представить в следующем
виде:
С = А1А2 +А1 А2
События (А1А2) и (А1 А2) несовместны, события А1 и А2; А1 и А2
независимы.
Р(С) = Р(А1)  Р(А2) + Р(А1)  Р(А2) = 0,8  0,6 + 0,2  0,4 = 0,56
в) Событие D – «задачу решат оба студента» является произведением
независимых событий А1 и А2, то есть D = А1  А2
Р(D) = Р(А1)  Р(А2) = 0,8  0,4 = 0,32
в) Событие Е – «задачу не решит ни один студент» является
произведением независимых событий А1 и А2, то есть Е = А1  А2
Р(Е) = Р(А1)  Р(А2) = 0,2  0,6 = 0,12
Задание 2.
По цели произведено три выстрела. Вероятность попадания при одном
выстреле равна 0,8. Составить закон распределения вероятностей количества
попаданий. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х),
среднее квадратическое отклонение.
Решение:
Для определения вероятности того, что в серии из n испытаний
событие А произойдет m раз воспользуемся формулой Бернулли.
Pn (m) = n!/(m!(n-m)!) pm qn-m
P3 (0) = 3! / (0! (3-0)!) 0,80 0,23 = (1 2 3 / 123)  1 0,008 = 0,008
P3 (1) = 3! / (1! (3-1)!) 0,81 0,22 = (1 2 3 / 112)  0,8 0,04 = 0,096
P3 (2) = 3! / (2! (3-2)!) 0,82 0,2 = (1 2 3 / 121)  0,64 0,2 = 0,384
P3 (3) = 3! / (3! (3-3)!) 0,83 = 1 2 3 / 1123  0,512 = 0,512
(т.к. 0!=1)
Составим ряд распределения. Для этого укажем в таблице все
возможные значения случайной величины и их вычисленные вероятности.
P(X=0) = 0,008; Р (Х=1) = 0,096; Р (Х=2) = 0,384; Р (Х=3) = 0,512
Х
Р
0
0,008
1
0,096
2
0,384
3
0,512
Проверка: 0,008+0,096+0,384+0,512=1
Математическое ожидание:
М(Х) = 00,008 + 1 0,096 + 2 0,384 + 3 0,512 = 2,4
Дисперсия:
D(Х) = (0 - 2,4)2 0,008 + (1 - 2,4)2 0,096+(2 - 2,4)2 0,384+(3 - 2,4)2 0,512 =
0,48
Среднее квадратическое отклонение:
  D  0,48  0,69
Задание 3.
Из генеральной совокупности извлечена следующая выборка.
35 38 33 32 35 36 39 36 37 34 35 35 36 34 37 36 38 37 35 33
Составить безынтервальный вариационный ряд. Построить полигон.
Вычислить
выборочное
среднее
значение,
дисперсию,
среднее
квадратическое отклонение, коэффициент вариации, статистическую ошибку
выборочной средней. Указать моду и медиану.
Решение:
Безынтервальный вариационный ряд:
х
32
33
34
35
m
1
2
2
5
36
4
37
3
38
2
39
1
Вычисление статистических показателей (при помощи расчетной таблицы):
х
32
33
34
35
36
37
38
39

х- х
-3,6
-2,6
-1,6
-0,6
0,4
1,4
2,4
3,4
mх
32
66
68
175
144
111
76
39
711
m
1
2
2
5
4
3
2
1
20
Выборочное среднее Х =  Хi / n
Дисперсия D =  m(Xi - X)2 / n-1
(х- х)2
12,96
6,76
2,56
0,36
0,16
1,96
5,76
11,56
m(х- х)2
12,96
13,52
5,12
1,8
0,64
5,88
11,52
11,56
63
Х = 711/20 = 35,6
D = 63/19 = 3,3
Выборочное среднее квадратическое отклонение   D  3,3  1,8
Коэффициент вариации V=1,8/35,6100% = 5%
Статистическая ошибка выборочной средней mX = 1,8/4,5 = 0,4
Мо = 35 (варианта, имеющая наибольшую частоту);
Ме = 36 (середина ранжированного ряда).
Задание 4.
У спортсменов контрольной (Х) и экспериментальной (У) групп
измерены результаты в прыжке в высоту. С помощью t-критерия Стьюдента
определите, являются ли различия уровня спортсменов подготовленности
достоверными.
Х
39
40
45
37
42
40
46
41
У
41
39
42
48
47
44
41
Решение:
1. Вычислим средние значения показателей в обеих группах
Х = (39+40+45+37+42+40+46+41)/8 = 41,2 см ≈ 41 см
Y = (41+39+42+48+47+44+41)/ 7 = 43,1 см ≈ 43 см
2. Вычислим выборочные дисперсии sx2 и sy2
s x2 
(39  41) 2  (40  41) 2  (45  41) 2  (37  41) 2  (42  41) 2  (40  41) 2  (46  41) 2  (41  41) 2
7
sx2 =9 см2
(41  43)2  (39  43)2  (42  43)2  (48  43)2  (47  43)2  (44  43)2  (41  43)2
s 
6
sy2 = 11,2 см2
2
Y
Количество испытуемых в выборках: nx=8; ny=7, тогда количество степеней
свободы  = 8+7-2 = 13
Найдем эмпирическое (выборочное) значение t-критерия Стьюдента
t
х у
t
2
y
s x2 s

nx n y
41  43
9 11

8 7
 0,742
По таблице критических значений t-критерия Стьюдента определяем
t0.05 = 2,160
Вывод: Так как вычисленное значение t-критерия оказалось меньше
табличного (0,742 <2,160), то различия между выборочными средними не
являются статистически достоверными.
Задание 5.
Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи
коэффициента корреляции Браве-Пирсона
Х
У
Решение:
12
72
15
81
11
73
14
78
13
71
Для вычисления коэффициента корреляции
Браве-Пирсона составим
расчетную таблицу, при помощи которой найдем выборочные средниеX,Y,
а также средние квадратические отклонения x и y.
№
х
Y
х -y
(х -х)2
y -y
(y -y)2
(х -х) (y -y)
1
2
3
4
5

12
15
11
14
13
65
72
81
73
78
71
375
-1
2
-2
1
0
1
4
4
1
0
10
-3
6
-2
3
-4
9
36
4
9
16
74
3
12
4
3
0
22
х = 65/5 = 13; у = 375/5 = 75;
sx2 = 10/4 = 2,5; sx =1,6; sy2 = 74/4 = 18,5 sy= 4,3
r
 x
i
 x   yi  y 
r
n  sx sy
22
 0,64
5  1,6  4,3
Для определения достоверности взаимосвязи необходимо сравнить
полученный выборочный коэффициент корреляции с критическим значением
(находится в статистической таблице), которое зависит от объема выборки.
При объеме выборки n = 5 критическое значение rкр = 0,878. Поскольку
выборочное значение оказалось меньше критического, то нельзя утверждать,
что между показателями Х и Y существует взаимосвязь.
Задание 6.
Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи
коэффициента корреляции Спирмена.
Х
У
5
40
6
42
8
45
6
43
7
45
9
45
7
43
Решение:
Составим расчетную таблицу, в первом столбце которой указаны
номера испытуемых, во втором и третьем – экспериментальные показатели, в
четвертом и пятом – ранги значений Х и Y, в шестом – разность рангов, в
седьмом квадрат разности рангов.
№
х
у
RX
RY
RX - RY
(RX - RY)2
1
2
3
4
5
6
7

5
6
8
6
7
9
7
40
42
45
43
45
45
43
1
2,5
6
2,5
4,5
7
4,5
1
2
6
3,5
6
6
3,5
0
0,5
0
-1
-1,5
1
1
0
0,25
0
1
2,25
1
1
5,5

n
rs  1 
6 R x  R y
i 1


n n2 1
2
rS  1 
6  5,5
 0,902
7  48
Критическое значение коэффициента корреляции при n = 7 и  = 0,05
составляет 0,754, выборочное значение коэффициента корреляции составляет
0,902. Поскольку выборочное значение коэффициента корреляции больше,
чем критическое, можно утверждать, что между величинами Х и Y
существует
достоверная
положительная
взаимосвязь,
вероятность
ошибочности такого утверждение 0,05.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
В ящике находится 12 деталей, из которых 4 – бракованных. Сборщик
наудачу вытаскивает три детали. Найти вероятность того следующих
событий:
а) все детали – исправные;
б) все детали – бракованные;
в) две детали – исправные, одна - бракованная.
Задача 2.
Программа экзамена содержит 25 вопросов, из которых студент знает
20. В билете три вопроса. Найти вероятность того, что студент сможет
ответить на все вопросы.
Задача 3.
В мешке 5 кубиков с буквами О, П, Р, С, Т . Найти вероятность того,
что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиках
получится слово "СПОРТ".
Задача 4.
Два стрелка выполняют по одному выстрелу в мишень. Вероятность
удачного выстрела для первого стрелка составляет 0,8, для второго – 0,6.
Найти вероятность того следующих событий:
а) в мишень попадет хотя бы один стрелок;
б) в мишень попадет только первый стрелок;
в) оба стрелка промахнутся.
Задача 5.
Игральную кость бросили 3 раза. Найти вероятность того, что три раза
выпадет шесть очков.
Задача 6.
Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб появится не
менее 4 раз.
Задача 7.
Вероятность выигрыша команды в каждом матче равна 0,7. Сыграно 3
матча. Составить закон распределения количества выигрышей. Построить
многоугольник распределения.
Задача 8.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию, построить
многоугольник распределения для дискретной случайной величины,
заданной рядом распределения
Х
р
0
0,1
1
0,3
2
0,4
3
0,2
Задача 9.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X
p
2
0,6
5
0,1
8
0,3
.
Найти интегральную функцию F(x) и построить ее график.
Задача 10.
Случайная величина X задана интегральной функцией:
0

F ( x)  0,75 x  0,75
1

при x  1
при  1  x  0,33 .
при x  0,33
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет
значение, заключенное в интервале 0  x  0,33 .
Задача 11.
Непрерывная случайная величина задана в интервале 0  x  1
дифференциальной функцией f ( x)  2 x , а вне этого интервала f ( x)  0 . Найти
ее числовые характеристики.
Задача 12.
Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами
 = 30 и  = 5. Найти вероятность того, что в результате испытания
случайная величина примет значение в интервале от 30 до 40.
Задача 12.
Задача 13.
Составить безынтервальный вариационный ряд, вычислить выборочное
среднее, указать моду, медиану, по следующим данным:
16 18 18 20 22 22 23 25 25 25 28 30 30 32 33
Задача 14.
Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограмму
для следующих данных, разбив диапазон значений величины на три
интервала
17 18 18 20 21 21 22 25 25 25 26 27 28 28 29 31 31 32 33 34 34
Задача 15.
Выборочная совокупность задана вариационным рядом. Найти объем
выборки, указать относительные частоты, построить полигон и кумуляту.
Х
m
5
2
6
4
7
3
8
1
Задача 16.
Найти выборочное среднее, дисперсию и среднее
отклонение, если выборка задана вариационным рядом:
Х
m
23
2
25
5
30
3
35
8
квадратическое
38
2
Задача 17.
Измерены результаты в беге на 100 м: x=14 с, sх=1,0 с, и в прыжке в
длину с места: y = 210 см, sу=20 см. Сравнить вариативность результатов
при помощи коэффициента вариации.
Задача 18.
Определить статистическую ошибку выборочной средней, если в
исследовании участвовало 25 человек, выборочная дисперсия s2=10.
Задача 19.
Выполнить округление выборочных средних, если результаты расчетов
оказались следующими: x=120,12596 mx = 2,2514 у=12,15688, my =
0,12444.
Задача 20.
Составить
доверительный интервал для генеральной средней с
доверительной вероятностью 0,95, если по выборке объемом 16 получены
следующие данные: х=120, s=6.
Задача 21.
Оценить значение генеральной средней с доверительной вероятностью
0,95, если по выборке объемом n=100 получены следующие данные: х=80, s
= 5.
Задача 22.
Результаты тестирования в
двух
группах оказались
следующими:x=120, sx = 2, у=128, sy = 4.
Определить, различаются ли
генеральные средние на уровне значимости 0,05, если численность групп
составляет 5 и 8 человек, соответственно.
Задача 23.
В таблице указаны результаты тестирования двух групп юных
спортсменов. Определить, достоверны ли различия в уровне развития
физических качеств у участников исследования, если группа А состоит из 9
человек, группа В – из 10 человек.
Контрольные
упражнения
Бег 100 м, с
Прыжок в длину с места, см
Подтягивания, кол-во раз
А
В
х  m  х
у  m  у
15,4  0,8
218,6  5,3
8,9  0,6
14,8  1,1
261,4  4,4
11,4  0,5
Задача 24.
Проверить гипотезу о равенстве двух генеральных средних по
связанным выборкам, если Х – результаты первичного тестирования, Y –
результаты повторного тестирования
Х
Y
12
14
15
15
12
15
16
18
18
16
14
18
Задача 25.
Установить тесноту взаимосвязи между показателями
помощи коэффициента корреляции Браве-Пирсона.
Х
У
16
58
18
56
20
55
20
60
44
46
39
46
14
18
Х и У при
15
55
Задача 26.
Установить тесноту взаимосвязи между показателями
помощи коэффициента корреляции Спирмена
Х
12
15
40
Х и У при
У
125
130
120
125
120
Экзаменационные вопросы
1. Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие,
вероятность. Свойства вероятности.
2. Классическое определение вероятности.
3. Статистическое определение вероятности.
4. Сумма событий. Вероятность суммы двух совместных и несовместных
событий.
5. Произведение событий. Вероятность произведения двух независимых и
зависимых событий.
6. Формула Бернулли.
7. Случайные величины, их типы и способы описания.
8. Ряд распределения дискретной случайной величины, многоугольник
распределения.
9. Числовые
характеристики
дискретной
случайной
величины:
математическое
ожидание, дисперсия, среднее квадратическое
отклонение.
10.Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
11.Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины,
ее свойства и график.
12.Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной
величины, ее свойства.
13.Общее нормальное распределение, его графическое изображение.
14.Нормированное
(стандартное)
нормальное
распределение,
его
графическое изображение.
15.Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины
в заданный интервал.
16.Правило "трех сигм".
17.Основные
понятия
математической
статистики:
генеральная
совокупность, выборочная совокупность. Выборочный метод статистических
исследований.
18.Безынтервальный вариационный ряд. Полигон, кумулята.
19.Группировка статистических данных в виде интервального вариационного
ряда. Гистограмма.
20.Характеристики положения выборочной совокупности: выборочное
среднее, мода, медиана.
21.Характеристики вариативности выборочной совокупности: дисперсия,
среднее квадратическое отклонение.
22.Коэффициент вариации.
23.Статистическая ошибка выборочной средней.
24.Интервальная
оценка
математического
ожидания
нормально
распределенной случайной величины для большой выборки (при помощи
нормированного нормального распределения).
25.Интервальная оценка математического ожидания случайной величины по
выборке малого объема (при помощи распределения Стьюдента).
26.Принципы и алгоритм проверки статистических гипотез.
27.Проверка гипотезы о равенстве двух генеральных средних по
независимым выборкам.
28.Проверка гипотезы о
равенстве двух средних для связанных
совокупностей.
29.Проверка гипотезы о равенстве выборочных совокупностей по критерию
Вилкоксона.
30.Корреляция. Задачи корреляционного анализа.
31.Построение корреляционного поля, определение формы и направленности
корреляционной зависимости.
32. Определение тесноты корреляционной связи. Коэффициент корреляции
Браве-Пирсона.
33. Определение тесноты связи при помощи коэффициента корреляции
Спирмена.
34.Определение достоверности коэффициента корреляции.
35.Взаимосвязь качественных признаков. Коэффициент сопряженности.
Приложение 1
Удвоенные значения функции Лапласа
u
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0.07
0,08
0,09
0,0
0,1
0,2
0.3
0,4
0,5
0,6
0,7
0.8
0,9
1,0
1,1
0000
0797
1585
2358
3108
3829
4515
5161
5763
6319
6827
7287
0080
0876
1663
2434
3182
3899
4581
5223
5821
6372
6875
7330
0160
0955
1741
2510
3255
3969
4647
5285
5878
6424
6923
7373
0239
1034
1819
2586
3328
4039
4713
5346
5935
6476
6970
7415
0319
1113
1897
2661
3401
4108
4778
5407
5991
6528
7017
7457
0399
1192
1974
2737
3473
4177
4843
5467
6047
6579
7063
7499
0478
1271
2051
2812
3545
4245
4907
5527
6102
6629
7109
7540
0558
1350
2128
2886
3616
4313
4971
5587
6157
6680
7154
7580
0638
1428
2205
2961
3688
4381
5035
5646
6211
6729
7199
7620
0717
1507
2282
3035
3759
4448
5098
5705
6265
6778
7243
7660
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2.2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3.7
7699
8064
8385
8664
8904
9109
9281
9426
9545
9643
9722
9786
9836
9876
9907
9931
9949
9963
9973
9981
9986
9990
9993
9996
9997
9998
7737
8098
8415
8690
8926
9127
2997
9439
9556
9651
9729
9791
9840
9879
9909
9933
9950
9964
9974
9981
9987
9991
9994
9996
9997
9998
7775
8132
8444
8715
8948
9146
9312
9451
9566
9660
9736
9797
9845
9883
9912
9935
9952
9965
9975
9982
9987
9991
9994
9996
9997
9998
7813
8165
8473
8740
8969
9164
9327
9464
9576
9668
9743
9802
9849
9886
9915
9937
9953
9966
9976
9983
9988
9991
9994
9996
9997
9998
7850
8198
8501
8764
8990
9181
9342
9476
9586
9676
9749
9807
9853
9889
9917
9939
9955
9967
9976
9983
9988
9992
9994
9996
9997
9998
7887
8230
8529
8789
9011
9199
9357
9488
9596
9684
9756
9812
9857
9892
9920
9940
9956
9968
9977
9984
9989
9992
9995
9996
9997
9998
7923
8262
8557
8812
9031
9216
9371
9500
9606
9692
9762
9817
9861
9895
9922
9942
9958
9969
9978
9984
9989
9992
9995
9996
9998
9998
7959
8293
8584
8836
9051
9233
9385
9512
9616
9700
9768
9822
9865
9698
9924
9944
9959
9970
9979
9985
9989
9993
9995
9996
9998
9998
7995
8324
8611
8859
9070
9249
9399
9523
9625
9707
9774
9827
9869
9901
9926
9946
9960
9971
9979
9985
9990
9993
9995
9997
9998
9998
8029
8355
8638
8882
9090
9265
9412
9534
9634
9715
9780
9832
9879
9904
9929
9947
9961
9972
9980
9986
9990
9993
9995
9997
9998
9999
Примечание: в таблицах нули и запятые опущены.
Приложение 2
Ординаты кривой нормального распределения
u
 (u)
u
 (u)
u
 (u)
u
 (u)
0,0
0,3989
1,0
0,2420
2,0
0,0540
3,0
0,0044
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
0,3521
0,3332
0,3123
0,2897
0,2661
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,2179
0,1942
0,1714
0,1497
0,1295
0,1109
0,0940
0,0790
0,0656
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,0440
0,0355
0,0283
0,0224
0,0175
0,0136
0,0104
0,0079
0,0060
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,0033
0,0024
0,0017
0,0012
0,0009
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
Приложение 3
Критические точки распределения Стьюдента

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Уровень значимости  для двусторонней
0,1
0,1
0,05
0,01 0,001

63
636
16 1 ,745
6 ,313 12 ,71
,656
,62
31
17 1 ,739
2 ,919 4 ,302 9 ,925
,599
12
18 1 ,734
2 ,353 3 ,182 5 ,841
,924
2 ,131 2 ,776 4 ,604 8 ,610 19 1 ,729
2 ,015 2 ,570 4 ,032 6 ,869 20 1 ,725
1 ,943 2 ,446 3 ,707 5 ,959 21 1 ,721
1 ,894 2 ,364 3 ,499 5 ,408 22 1 ,717
1 ,859 2 ,306 3 ,355 5 ,041 23 1 ,714
1 ,833 2 ,262 3 ,249 4 ,781 24 1 ,711
1 ,812 2 ,228 3 ,169 4 ,587 25 1 ,708
1 ,795 2 ,201 3 ,106 4 ,437 26 1 ,706
1 ,782 2 ,179 3 ,054 4 ,318 27 1 ,703
1 ,771 2 ,160 3 ,012 4 ,221 28 1 ,701
1 ,761 2 ,145 2 ,977 4 ,140 29 1 ,699
1 ,753 2 ,131 2 ,946 4 ,073 30 1 ,697
критической области
0,05
0,01
0,001
2 ,119 2 ,921 4 ,015
2 ,109 2 ,898 3 ,965
2 ,101 2 ,878 3 ,921
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,093
,086
,079
,074
,068
,064
,059
,055
,052
,048
,045
,042
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,861
,845
,831
,818
,807
,797
,785
,778
,770
,763
,756
,750
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
,883
,849
,819
,792
,767
,745
,725
,707
,689
,674
,659
,646

0,9
0,95
1 ,644 1 ,959 2 ,576 3 ,290
0,99 0,999
0,9
0,95
0,99
0,999
Доверительная вероятность 
n
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
n
k
0
3,08
3,73
4,09
4,32
4,50
4,64
4,75
4,85
4,94
100
5,02
Приложение 4
Коэффициенты для приближенного вычисления
выборочного среднего квадратического отклонения
x  xmin
s  max
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,13 1,69 2,06 2,23 2,56 2,70 2,85 2,97
3,17 3,26 3,34 3,41 3,47 3,53 3,59 3,64 3,69
3,78 3,82 3,86 3,90 3,93 3,96 4,00 4,03 4,06
4,11 4,14 4,16 4,19 4,21 4,24 4,26 4,28 4,30
4,34 4,36 4,38 4,40 4,42 4,43 4,45 4,47 4,48
4,51 4,53 4,54 4,56 4,59 4,60 4,60 4,61 4,63
4,65 4,66 4,68 4,69 4,70 4,71 4,72 4,73 4,74
4,77 4,78 4,79 4,80 4,81 4,82 4,83 4,83 4,84
4,86 4,87 4,88 4,88 4,90 4,91 4,91 4,92 4,93
4,95 4,96 4,96 4,97 4,98 4,99 4,99 5,00 5,01
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
5,49 5,76 5,94 6,07 6,18 6,28 6,35 6,42 6,48
Приложение 5
Критические значения коэффициента корреляции Браве-Пирсона
n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Уровни значимости 
0,05
0,01
0,001
0,9969 0,999 0,9999
0,950 0,9900 0,9990
0,878 0,9597 0,991
0,811 0,9172 0,9741
0,754
0,875 0,9509
0,707
0,834 0,9244
0,666
0,798
0,898
0,632
0,765
0,872
0,602
0,735
0,847
0,576
0,708
0,823
0,553
0,684
0,801
0,532
0,661
0,780
0,544
0,641
0,760
0,497
0,623
0,742
n
26
27
28
29
30
32
35
37
40
42
45
47
50
52
Уровни
0,05
0,388
0,381
0,374
0,367
0,361
0,349
0,332
0,325
0,312
0,304
0,292
0,288
0,279
0,273
значимости 
0,01
0,001
0,496
0,607
0,487
0,597
0,479
0,588
0,470
0,579
0,463
0,570
0,449
0,554
0,435
0,539
0,418
0,519
0,402
0,501
0,393
0,490
0,384
0,416
0,372
0,465
0,361
0,451
0,354
0,443
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,482
0,468
0,456
0,444
0,433
0,423
0,413
0,404
0,396
0,606
0,590
0,575
0,561
0,549
0,537
0,526
0,515
0,505
0,725
0,708
0,693
0,679
0,665
0,652
0,641
0,629
0,618
60
80
100
125
150
250
500
1000
0,254
0,220
0,196
0,175
0,160
0,124
0,088
0,062
0,330
0,286
0,258
0,230
0,210
0,163
0,115
0,081
0,414
0,380
0,324
0,286
0,249
0,207
0,147
0,104
Приложение 6
Критические значения коэффициента корреляции Спирмена
n
4
5
6
7
8
9
=0,05 =0,01
1,0
0,900
0,829
0,714
0,643
0,600
=0,0
5
0,546
0,506
0,456
0,425
0,399
0,377
n
1,00
0,943
0,893
0,833
0,783
10
12
14
16
18
20
=0,0
1
0,746
0,712
0,645
0,601
0,564
0,534
n
22
24
26
28
30
=0,05 =0,01
0,359
0,343
0,329
0,317
0,306
0,508
0,485
0,465
0,448
0,442
Приложение 7
Критические точки W-критерия Вилкоксона для независимых выборок
n1
n2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
4
11
12
13
14
15
15
16
17
18
19
20
5
17
18
20
21
22
23
24
26
27
28
29
Уровень значимости  = 0,05
6
7
8
9
10 11
12
26
27
29
31
32
34
35
37
38
40
115
119 137
123 141 160
127 145 164
36
38
40
42
44
46
48
50
52
49
51
53
55
58
60
63
65
63
65
68
71
73
76
79
78
81
85
88
91
94
96
99
103
106
110
13
14
16
n1
n2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12
21
3
4
6
6
6
7
7
7
8
8
10
10
11
11
12
12
13
14
14
15
15
31
5
15
16
17
17
18
19
20
21
22
22
23
24
42
54
67
82
97
114 131 150 169
Уровень значимости  = 0,01
6
7
8
9
10 11
12
13
23
24
25
26
27
28
30
31
32
33
34
106
109
112
115
119
125
129 147
133 151
137 155
32
34
35
37
38
40
41
43
44
46
43
45
47
49
51
53
54
56
58
56
58
61
63
65
67
70
72
71
74
76
79
81
84
86
87
90
93
96
99
102
14
n 1 – меньший объем выборки, n 2 – больший объем выборки
ЛИТЕРАТУРА
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.
2. Гмурман В.Е.
Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для
вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 452 с.
3. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для экон. спец. вузов. – М.: Статистика, 1979. – 279 с.
4. Коренберг В.Б. Лекции по спортивной метрологии. Основы
статистики: Учебное пособие. – Малаховка: МГАФК, 2000. – 76 с.
5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:
ЮНИТИДАНА, 2004. – 573 с.
6. Основы математической статистики: Учебное пособие для
институтов физической культуры / Под ред. В.С.Иванова. – М.:
Физкультура и спорт, 1996. – 176 с.
7. Семенов В.Г., Смольянов В.А., Врублевский Е.П. Методы
математической статистики в исследованиях по физической
культуре и спорту: Учебное пособие. – Смоленск, СГИФК, 1998. –
73 с.
8. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии.
– СПб.: ООО «Речь» 2002. – 350 с.
9. Спортивная метрология: Учеб. для ин-тов физ. культ. / Под ред.
В.М.Зациорского. – М.: Физкультура и спорт, 1982. – 256 с.
10.
Шмелев П.А., Шмелева Г.А., Фураев А.Н. Пособие по
высшей математике для вузов физкультурного профиля.
Элементы теории вероятностей и математической статистики:
Учебное пособие. - М.: МГАФК, 1999. – 165 с.