. Диапазон изменения величины разбит на шесть отрезков. Отрезки и число наблюдений Требуется:

Вариант 26
Задача 1. Произведено n наблюдений над непрерывной случайной величиной X .
Диапазон изменения величины X разбит на шесть отрезков. Отрезки и число наблюдений
ni , попавших в каждый из них, указаны в следующей таблице.
Требуется:
А) построить гистограмму;
Б) вычислить выборочное среднее значение, выборочную дисперсию и выборочное
среднее квадратическое отклонение.
Решение. Длина интервала h  2 . Вычислим плотности частот: wi 
таблицу
xi 1
xi
ni
wi
3
5
7
9
11
13
15
17
5
7
9
11
13
15
17
19
10
20
40
70
50
30
20
10
5
10
20
35
25
15
10
5
и по ним построим гистограмму:
1
ni ni
 , занесем в
h 2
40
35
35
30
25
25
20
20
15
15
10
5
10
10
5
5
0
4
6
8
10
12
14
16
18
Вычислим выборочное среднее значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее
квадратическое значение.
Для этого перейдем к простому вариационному ряду, выбирая в качестве вариант
x x
середины интервалов xi  нач кон :
2
xi
ni
4
6
8
10
12
14
16
18
10
20
40
70
50
30
20
10
Найдем выборочное среднее:
1
1
x   xi ni 
2700  10,8
n
250
Найдем выборочную дисперсию:
1
1
D   ( xi  x) 2 ni 
2720  10,88 .
n
250
Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение:
  10,88  3, 298
Расчетная таблица:
xi
ni
4
6
8
10
12
14
16
10
20
40
70
50
30
20
xi ni
( xi  x)2 ni
40
120
320
700
600
420
320
462,4
460,8
313,6
44,8
72
307,2
540,8
2
18
Сумма
10
250
180
2700
518,4
2720
Задача 2. Заданы среднее квадратическое отклонение  нормально распределенной
случайной величины, выборочное среднее x В и объем выборки n . Найти доверительный
интервал для математического ожидания с вероятностью  .
x В  32 ,   5, 0 , n  64 ,   0,91 .
Решение. Найдем доверительный интервал для математического ожидания, используя
формулу:
x В  t

 a  x В  t

,
n
n
где t определяется из таблицы из условия (t )   / 2  0,91/ 2  0, 455 , t  1, 695 .
Получаем после подстановки известных данных:
5, 0
5, 0
,
32  1, 695
 a  32  1, 695
64
64
30,941  a  33, 059 .
Задача 3. Диапазон изменения случайной величины X разбит на 8 интервалов.
Интервалы и количество наблюдений ni , попавших в каждый интервал, заданы
следующей таблицей.
При уровне значимости  0  0,01 , проверить гипотезу H 0 , состоящую в том, что
случайная величина X имеет равномерное распределение R на отрезке 0;1 .
Решение. В условии уже даны параметры распределения: a*  0 , b*  1 .
1
1

 1.
Найдем предполагаемую плотность распределения: f ( x) 
b * a * 1  0
Найдем теоретические частоты. Так как все интервалы одинаковы и расположены по
всему отрезку 0;1 , а сумма частот равна 1000, теоретические частоты равны
ni ' 
n 1000

 125 .
k
8
Занесем их в расчетную таблицу и сравним с эмпирическими.
3
xi 1 ; xi
0; 0,125
0,125;
0,25
…
…
…
…
…
0,875;
1,0
Сумма
ni
120
130
125
128
122
120
130
125
1000
125
125
125
125
125
125
125
125
1000
0,2
0,2
0
0,072
0,072
0,2
0,2
0
0,944
ni '
(ni  ni ')
ni '
2
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:
(n  ni ') 2
2   i
 0,944 .
ni '
2
По таблице критических точек распределения  по уровню значимости   0, 01 и числу
степеней свободы k = 8 -1 = 7 (минус 1, так как параметры распределения не оценивались
по выборке), находим 
2
кр.
= 18,48. Так как 
2
набл.
= 0,944 < 
2
кр.
= 18,48 то можно
принять гипотезу о равномерном распределении случайной величины X на отрезке 0;1 .
4