Периодичность тригонометрических функций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОУ СОШ № 35
Туапсинского района Краснодарского края
СЦЕНАРИЙ УРОКА ПО ПРЕДМЕТУ «АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА»
НА ТЕМУ «Периодичность
тригонометрических функций»
(10 КЛАСС)
Разработан учителем математики
МОУ СОШ № 35
Пгт.Новомихайловский
Туапсинского р-на
Краснодарского края
Колмаковой В.И.
2011г.
Интегрированный урок по математике и информационнокоммуникационным технологиям по теме:
«Периодичность тригонометрических функций».
Х класс.
Цели урока:
 демонстрация возможностей работы с интерактивной доской;
 повторение свойств функций;
 знакомство с определением периода функции;
 рассмотрение правил нахождения периодов тригонометрических функций;
 рассмотрение заданий ЕГЭ по нахождению периодов функций.
Требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся
Учащиеся должны знать:

вид тригонометрических функций и их свойства;

назначение программы «Графопостроитель» и способы создания графиков функций в ней;
Учащиеся должны уметь:

строить графики тригонометрических функций;

строить графики функций в программе «Графопостроитель»;
Учащиеся должны иметь навыки:

работы с компьютерами и периферийными устройствами;

запуска программ в среде Windows;

работы в программе «Графопостроитель»;

работы с интерактивной доской.
Формы организации учебной деятельности:




фронтальная работа с классом;
индивидуальная тестовая работа за компьютером;
групповая самостоятельная работа за компьютером;
индивидуальная работа с использованием интерактивной доски.
Используемое программное обеспечение:


Операционная система Windows;
Программа «Графопостроитель»
План урока:
1. Повторение свойств функций с использованием тренажера и интерактивной доски.
2. Объяснение нового материала:
2.1. определение периодической функции;
2.2. доказательство периодичности тригонометрических функций;
2.3. нахождение периодов функций, представляющих собой сумму непрерывных и
периодических функций;
3. Закрепление изученного материала:
3.1. Решить №62,63,65.
3.2. Построение графиков функций в программе «Графопостроитель».
3.3. Объяснение заданий ЕГЭ.
4. Групповая самостоятельная работа на компьютере с последующей проверкой.
5. Подведение итогов урока и постановка задач для следующего урока.
Ход урока
1. Повторение свойств функций
1.1. Устно отвечаем на вопросы, используя тренажер: называем область определения
функций y  sin x  3 x , y  5tgx . Среди заданных функций находим четные, нечетные.
1.2. На интерактивной доске по данному фрагменту достраиваем графики четной или
нечетной функции.
1.3. На доске записана функция y  5 x . Назвать ее свойство (нечетная). Изменить ее запись с
тем, чтобы она стала четной ( y  5 x ) . Аналогично для функций y  tg (x) , y  sin x .
Можно привести несколько вариантов ответа.
2. Объяснение нового материала
2.1. В природе и технике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются по
истечении некоторого промежутка времени. Периодически с периодом в 1 год меняется
расстояние Земли от Солнца, с периодом в 1 лунный месяц меняются фазы луны и т.д.
Определение. Число Т, отличное от нуля, называется периодом функции f, если для любого х, при
котором эта функция определена, выполняются равенства
F ( x  T )  F ( x)  F ( x  T ) .
Периоды тригонометрических функций. (п.4.2) - прочитать и разобрать по учебнику.
Записать в тетрадях:
У периодической функции бесконечно много периодов: если Т – основной период, то и числа вида
kТ ( k  1,2... ) также являются периодом.
Период функций y  sin x, y  cos x равен 2 , период функций y  tgx , y  ctgx равен  .
2.2. Доказать, что функция y  cos x имеет период 2 .
Учащийся доказывает у доски
а) используя формулы приведения;
б) используя график функции.
Обобщая, формулируется правило построения периодической функции:
Для построения периодической функции с периодом Т, нужно сначала построить часть графика
на любом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту часть по оси х вправо и влево
на Т, 2Т, 3Т и т.д.
На интерактивной доске показывается построение периодической функции.
2.3. Период функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций,
равен наименьшему кратному периодов слагаемых, если он существует.
Наименьший положительный период для функций y  sin( ax  b) , y  cos( ax  b) равен 2 / a , а
для функций y  tg (ax  b) , y  ctg (ax  b) имеем  / a .
Но, сумма двух периодических функций с одним и тем же периодом Т, не обязательно имеет тот
же период: например: F ( x)  sin x и G ( x)   sin x имеют одинаковый положительный период, а
их сумма не имеет наименьшего положительного периода.
3. Закрепление изученного материала.
3.1. Решение у доски и в тетрадях:
№62. Докажите, что число Т является периодом функции f , если:
а) f ( x)  sin x / 2 , T  4 .
Решение. Найдем период T  2 / 0,5  4 . Следовательно, период функции равен 4 .
№64 (б, в). Найдите наименьший положительный период каждой из функций:
б) y  3tg1,5 x ;
в) y  4 cos 2 x .
Устно рассматриваем решение.
№65(а). Найдите наименьший положительный период функции: y  sin x cos x .
Решение. а) y  sin x cos x  1 / 2  2 sin x cos x  1 / 2 sin 2 x : T  2 / 2   .
№65 (б, в). Устно.
б) y  sin x sin 4 x  cos x cos 4 x ;
в) y  sin 2 x  cos 2 x .
3.2. На ноутбуках с использованием программы «Графопостроитель» учащиеся строят графики
тригонометрических функций: y  sin x , y  sin 2 x , y  sin 1 / 2 x и по графикам
сравнивают периоды функций.
3.3. Обзор заданий, составленных в виде тестов, которые могут быть предложены на ЕГЭ.
Задания группы Б приготовлены на интерактивной доске таким образом, что сначала
появляется задание, а затем последовательно открывается решение задачи.
1. Периодическая функция y  f (x) определена для всех действительных чисел. Ее период
равен 10 и f (13)  7 . Найдите значение выражения 3 f (7)  5 f (23) .
2. Периодическая функция y  f (x) с периодом, равным 10, определена на множестве всех
действительных чисел, причем на отрезке  10;10 она совпадает с функцией y  2 x  5 .
Найдите значение выражения f (27)  f (35)  f (3) .
3. Изобразите график периодической функции с периодом равным 3. Составьте вопросы и
ответьте на них (например, найти различные значения для выражений, которые
придумывают учащиеся с учетом периодичности функции.)
4. Доказать, что функция y  sin x 2 не является периодической. (Объясняет учитель с
использованием интерактивной доски.)
Для доказательства непериодичности какой-либо функции достаточно найти
«неповторимую» точку графика, т.е. найти значение х такое, что точка графика с абсциссой х
обладает свойством, которым не обладает никакая другая точка графика. Для данной функции
таким значением является, например, x  0 . Действительно, из свойства четности функции
следует, что x  0 единственный корень уравнения sin x 2  0 , при прохождении которого
функция не меняет знак. Демонстрируется график функции на интерактивной доске.
 
 
5. Групповая самостоятельная работа на компьютере с последующей
проверкой.
Учащиеся выполняют работу на ноутбуках, по окончании которой выдается количество правильно
решенных заданий.
1. Найдите наименьший положительный период функции y  2 sin 2 x
1)  ;
2) 2 ;
3) 3 ;
4)

.
2
 x
2. Найдите наименьший положительный период функции y  3 cos  
 3
1)  ;
2) 3 ;
3) 6 ;
4) 0,6 .
 x
3. Найдите наименьший положительный период функции y  sin    tgx
2

1)  ;
2) 2 ;
3) 3 ;
4) .
2
4. Исследовать следующие функции на периодичность и найти наименьший положительный
период, если он существует.
1. y  tg3x  2 ;
1) не сущ.;
2) 6  ;
3)  ;
4)  /3.
2
2) y  sin x ;

1) не сущ.;
2)  ;
3) 2 ;
4) .
2
с) y  4 cos 8 x  3 cos 10 x ;


1) не сущ.;
2)
;
3)
;
4) 2 .
20
10
g) y  x  sin x .

1) не сущ.;
2)  ;
3) 2 ;
4) .
2
6. Подведение итогов урока и постановка задач для следующего урока.
На уроке мы проделали следующую работу:
 познакомились с новым свойством функции – периодичность,
 изучили правила нахождения периодов функций и применили их для решения
задач,
 учились строить графики функций, используя свойство периодичности,
 провели самостоятельную работу по тесту, контролирующему знания по
нахождению периодов функций.
Наиболее успешная работа отдельных учащихся на уроке была отмечена учителем.
Домашнее задание: п. 4.2, №№ 66, 67, 68(а, г), построить график функции y  sin x на
  
промежутке  ;  .
 2 2