МОиАИС 2 курс. АиТЧ. Экзамен. Задачи.

Задачи к экзамену по алгебре и теории чисел
2 курс 3 семестр, МОиАИС. ДО 2012-2013 уч.год
Сост. ст. преп. Сафиуллова Р.Р.
«УТВЕРЖДЕНЫ»
на заседании кафедры
алгебры, геометрии и методики
обучения математике
протокол № 6
17 декабря 2012 г.
Зав. каф. алгебры, геометрии и
методики обучения математике
__________ П. Н. Михайлов
1. Найти произведение многочленов f (x) и g (x ) , если
f ( x)  3x 4  2 x3  2 x 2  7, g ( x)  5 x3  4 x  5.
2. Найти произведение многочленов f (x) и g (x ) , если
f ( x)  6 x 4  2 x 2  3x  7, g ( x)  3x3  4 x 2  3.
3. Наити необходимое и достаточное условия делимости многочлена f (x)
g (x ) , если f ( x)  x3  2 x 2  ax  3, g ( x)  x 2  px  q.
4. Наити необходимое и достаточное условия делимости многочлена f (x)
g (x ) , если f ( x)  x3  ax 2  3x  c, g ( x)  x 2  px  2
5. Наити необходимое и достаточное условия делимости многочлена f (x)
g (x ) , если f ( x)  x3  px  q, g ( x)  x 2  mx  1.
6. Наити необходимое и достаточное условия делимости многочлена f (x)
g (x ) , если f ( x)  x 4  px 2  q, g ( x)  x 2  mx  1.
7. Найти q и r , если f  gq  r , f  2 x5  3x 4  6 x3  5x  7, g  x3  2 x2  3x  1.
8. Выполнить деление с остатком f на g , в кольце Z 3[ x] , если
f  2 x 4  x  1, g  2 x  1 .
9. Наити произведение многочленов f  g в Z 6 [ x] , если
f  2 x3  3 x 2  5 x  4, g  3 x3  5 x 2  4 x  3 .
10.Выполнить деление с остатком в кольце Q[x ] , многочлена f на g , если
f  x6  7 x5  13x 4  4 x 2  11x  5, g  x3  5 x 2  4 x  3.
11.Выполнить деление с остатком первого многочлена на второй
f  2 x 4  3x3  4 x 2  5x  6, g  x 2  3x  1.
12.Выполнить деление с остатком первого многочлена на второй
f  x3  3x 2  x  1, g  3x 2  2 x  1.
13.Выполнить деление с остатком первого многочлена на второй
f  x 4  2 x3  4 x 2  6 x  8, g  x  1.
14.Выполнить деление с остатком первого многочлена на второй
на
на
на
на
f  4 x3  x 2 , g  x  1  i. (i 2  1).
15.Выполнить деление с остатком первого многочлена на второй
f  x3  x 2  x, g  x  1  2i. (i 2  1).
16.Найти остаток от деления многочлена f на g , пользуясь схемой Горнера
f  x 4  2 x3  4 x 2  6 x  8, g  x  1.
17.Найти остаток от деления многочлена f на g , пользуясь схемой Горнера
f  2 x5  5x3  8 x, g  x  3.
18.Найти остаток от деления многочлена f на g , пользуясь схемой Горнера
f  4 x3  x, g  x  1  i. (i 2  1).
19.Найти остаток от деления многочлена f на g , пользуясь схемой Горнера
f  x3  x 2  x, g  x  1  2i. (i 2  1).
20.Наити НОД многочленов: f  x5  7 x4  20 x3  48x2  52 x  57,
g  x 4  8x3  23x 2  34 x  39.
21.Наити НОД многочленов: f  ( x  1)813( x  2)107 ( x  3)91,
g  x9  x8  5x7  x6  11x5  13x 4  7 x3  15x 2  4.
22.Наити НОД многочленов: f1  x3  2 x 2  3x  2, f 2  x 4  x3  x 2  x  2,
f 3  x 3  x 2  4.
23.Найти НОК многочленов: f1  x3  2 x 2  3x  2, f 2  x 4  x3  x 2  x  2,
f 3  x 3  x 2  4.
24.Непосредственным делением f на g найти неполное частное и остаток,
если f  2 x5  3x 4  6 x3 , g  x3  2 x2  3x  1.
25.С помощью схемы Горнера найти неполное частное и остаток от деления f
на g , если f  8x8  10 x7  36 x6  28x5  4 x3  24 x 2  20 x  11, g  x  3.
26.С помощью схемы Горнера найти неполное частное и остаток от деления f
на g , если f  x6  (2  2i) x5  (1  i) x3  (1  i) x 2  2i, g  x  1  i. (i 2  1).
27.Найти кратность корня c  2 у многочлена f , если
f  x5  6 x 4  11x3  2 x 2  12 x  8.
28.При каком  многочлены f и g имеют общий корень
f  x3  (2  1) x 2  2 x  2  1, g  x 2  (  1) x  2.
29.Найти сумму кубов корней многочлена f  x3  6 x  7.
30.Найти сумму квадратов корней многочлена f  2 x5  3x 4  6 x3  7 x 2  4.
 x 2 y 2  x 2 y  y  x  0,
31.Решить систему уравнений 

xy2  2 xy  1  0
32.Выразить симметрический многочлен через элементарные симметрические
многочлены f ( x1, x2 , x3 )  x13  x23  x33  3x1x2 x3.
 x 2 y 2  x 2 y  y  x  0,
33.Решить систему с помощью результанта 
2
 xy  2 xy  1  0
 x 2 y  x  12  0,
34.Решить систему с помощью результанта  2
 x  xy  12  0.
 x 2 y  x  6  0,
35.Решить систему с помощью результанта 
2
 x  xy  6  0.
36.Вычислить результант многочленов f  2 x3  3x 2  2 x  1, g  x 2  x  3.
37.Вычислить результант многочленов f  x3  2 x2  2 x  2, g  x2  2 x  4.
38.Вычислить результант многочленов f  2 x3  x 2  3x  1, g  3x 2  2 x  3.