Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Областное государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Ангарский техникум строительных технологий»
Производная функций
методические указания к самостоятельной работе по учебной
дисциплине «Математика» для обучающихся по
специальностям СПО
Ангарск, 2013г.
Рассмотрено и одобрено
на заседании ПЦК
естественнонаучного цикла
Протокол № ____ от
«___»______20___г.
Председатель ПЦК
_____________ Л.Д. Шурмелёва
Утверждаю:
Директор АТСТ
___________ В.Н. Леснов
Рассмотрено и одобрено
на заседании методического совета
Протокол № ____ от
«___»______20___г.
Председатель совета,
зам.директора по УМР
_______________ О.Н. Ермакова
Автор: Кезля С.В., преподаватель математики первой квалификационной категории
ОГАОУ СПО «Ангарский техникум строительных технологий»
Рецензент:Клопцова Л.И., зам. директора по учебной работе, преподаватель
математики высшей квалификационной категории ГБОУ СПО «Ангарский
автотранспортный техникум»
СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка………………………………………………………………………
Основные понятия…………………………………………………………………..
Формулы производных функций…………………………………………………
Примеры заданий с решениями………………………………………
Задачи для самостоятельного решения………………………………
Литература………………………………………………………
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой
учебной дисциплины « Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по
специальностям СПО.
Изложение материала строится на основе понятия функции. Сначала читатель знакомится с понятием
производной, потом с основными формулами производных функций. Нахождение производной сложной
функции вызывает трудности у студентов, так как в повседневной жизни с понятием производной встречаться не
приходится.
Методические указания написаны для обучающихся, желающих углубить и несколько расширить свои
знания по теме « Производная». Цель методических указаний тем, кто окончил школу, но продолжает изучать
математику. Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться при изучении темы «
Производная функции». Закреплению понятия производной служит рассмотрение примеров вычисления
производной по определению. Следует иметь в виду, что основная цель их решения состоит в отработке понятия
производной, а не в выработке навыков ее нахождения с использованием определения. Формулы
дифференцирования полезно внести в таблицу, которой обучающиеся могут пользоваться в ходе решения задач.
Новизна данного методического указания заключается в том, что ее содержание выстроено под
содержание учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального
образования.
Данная методическая разработка содержит теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными
решениями, тренировочные задания с ответами для самостоятельной работы, контрольную работу, списки
используемой литературы.
Уровень качества усвоения знаний обучающихся оценивается в рамках экзамена.
Производная функции
Вводные замечания
Пусть это будут расстояния
∆s
∆t
В
s = s1 и s = s2. Приращение пути ∆s = s2 − s1 мы делим на приращение времени ∆t = t 2 − t1. Частное
математике
существует
понятие
дифференциальное
исчисление.
Источником
дифференциального исчисления были два вопроса:
1) о разыскании касательной к произвольной линии,
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.
Оба они привели к одной и той же вычислительной задаче, которая и легла в основу дифференциального
исчисления. Эта задача состоит в том, чтобы по данной функции f(x) отыскать другую функцию f′′(x) ,
получившей позднее название производной и представляющую скорость изменения функции f(x)
относительно изменения аргумента.
В таком общем виде задача была поставлена Ньютоном и в исходной форме Лейбницем в 70-х и 80-х годах
17-го в. Но еще в предыдущие полвека Ферма, Паскаль и другие ученые фактически дали правила для
разыскания производных для многих функций.
Ньютон и Лейбниц завершили это развитие; они ввели общие понятия производной, а также обозначения,
очень облегчавшие вычисления.
Скорость
Чтобы определить скорость поезда, мы отмечаем, на каком километре пути он находился в момент
времени t = t1 , а затем в момент t = t 2.
дает среднюю скорость поезда за промежуток (𝑡1, 𝑡2 ). При неравномерном движении средняя скорость нед
но характеризует быстроту движения в момент 𝑡 = 𝑡1 . Но чем меньше ∆𝑡, тем точнее характеризуется эта быстрота. Поэтому скоростью в момент времени
𝑡 = 𝑡1 называют предел, к которому стремится отношение
∆𝑠
при∆𝑡
∆𝑡
→ 0.
∆𝑠
.
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑣 = lim
п. 1 Общие понятия
Пусть 𝑦
= 𝑓(𝑥) − непрерывная функция в своей области определения 𝐷(𝑓)и на промежутке (𝑎, 𝑏), и пусть 𝑥 − кака
− либо точка этого промежутка. Дадим аргументу 𝑥 приращение ∆𝑥. Функция 𝑦
= 𝑓(𝑥) получит приращение ∆𝑦. При бесконечно малом ∆𝑥 приращение ∆𝑦 тоже бесконечно мало.
∆𝑦
Рассмотрим отношение
. Оно дает среднюю скорость изменения функции 𝑦 относительно аргумента 𝑥
∆𝑥
к которому стремится отношение
∆𝑦
при ∆𝑥
∆𝑥
∆𝑦
сам является функцией от аргумента 𝑥. Этот предел носит название производной
∆𝑥→0 ∆𝑥
→ 0 т. е. lim
и обозначается 𝑦 , .
Определение. Производной функции называется предел, к которому стремится отношение бесконечно малого
приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю.
Основные правила дифференцирования
Непосредственное вычисление производной функции с помощью предела представляет собой громоздкие
вычисления. Значительно проще вычислять производные, применяя правила дифференцирования.
Правило 1. Дифференцирование постоянной.
Если y=C=const, то 𝑦 ′ = 0.
Правило 2. Дифференцирование алгебраической суммы.
′
(𝑢(𝑥) ± 𝑣(𝑥)) = 𝑢′ (𝑥) + 𝑣 ′ (𝑥)
Правило 3. Дифференцирование произведения
(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))′ = 𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥)
Правило 4. Дифференцирование частного
𝑢(𝑥)′
𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥)
(
)=
𝑣(𝑥)
𝑣 2 (𝑥)
Производная сложной функции
𝑦 ′ (𝑓(𝑢)) = 𝑓 ′ (𝑢)𝑢′
Производная степенной функции
(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1
−𝑝
(𝑥 −𝑝 )′ = −𝑝𝑥 −𝑝−1 = 𝑝+1
𝑥
Производная иррациональной функции.
Если
В частности, если
, то
, то
Производные тригонометрических функций
(sin х)′ = cos х
(sin(𝑘𝑥 + 𝑏))′ = 𝑘 cos(𝑘𝑥 + 𝑏)
(cos х)′ = − sin х
(cos(𝑘𝑥 + 𝑏))′ = −𝑘 sin(𝑘𝑥 + 𝑏)
1
(𝑡𝑔𝑥)′ =
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
Производная логарифмической функции
((log 𝑎 𝑥)′ =
1
𝑥 ln 𝑎
1
(ln 𝑥)′ =
𝑥
(ln(𝑘𝑥 + 𝑏))′ =
𝑘
𝑘𝑥 + 𝑏
Производная показательной функции
′
(𝑎 𝑥) = 𝑎 𝑥 ln 𝑎
′
(𝑒 𝑥) = 𝑒 𝑥
(𝑒𝑘𝑥+𝑏) )′ = 𝑘𝑒 𝑘𝑥+𝑏
Пример 1
Вычислить производную функции
.
Решение.
Применим правило суммы,
Вынесем постоянные множители за знак производной
Найдем производные степенных функций
Окончательно получаем
Пример 2
Вычислить производную функции
Решение.
Производная постоянной величины равна нулю.
Пример 3
.
Найти производную функции
.
Решение.
По правилу суммы
Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных функций, пол
Пример 4
Вычислить производную функции
.
Решение.
Перепишем функцию в виде:
Используем формулу производной суммы нескольких функций:
Вынесем постоянные множители и вычислим производные степенных функций:
Здесь мы использовали выражение
Пример 5
. После упрощения получаем
Найти производную функции
.
Решение.
Перейдем к записи в степенной форме:
Производная разности функций равна разности производных этих функций:
Вычисляя производные степенных функций, получаем
Пример 6 Найти производную функции
.
Решение.
Дифференцируя данную показательную функцию как сложную, находим
Пример 7 Вычислить производную функции
.
Решение.
По правилу дифференцирования сложной функции находим
Упрощаем:
Применив формулу двойного угла
, получаем окончательный ответ
Пример 1
Найти производную функции
В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция
– это сложная функция, причем многочлен
функцией (вложением), а
является внутренней
– внешней функцией.
Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной
функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а
какая – внешней.
многочлен
и будет внутренней функцией
:
синус – будет внешней функцией:
После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время
применить правило дифференцирования сложной функции
.
Начинаем решать. С урока Как найти производную? мы помним, что оформление
решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и
ставим справа вверху штрих:
Сначала находим производную внешней функции
(синуса), смотрим на таблицу
производных элементарных функций и замечаем, что
. Все табличные
формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением,
в данном случае:
Обратите внимание, что внутренняя функция
трогаем.
не изменилась, её мы не
Ну и совершенно очевидно, что
Результат применения формулы
так:
в чистовом оформлении выглядит
Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Готово
Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз
прочитайте объяснения.
Пример 3
Найти производную функции
Как всегда записываем:
Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя, значит, многочлен
– и есть внутренняя функция:
степенная функция – это внешняя функция:
Согласно формуле
, сначала нужно найти производную от внешней
функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу:
. Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для
«икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила
дифференцирования сложной функции
следующий:
Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции
внутренняя функция у нас не меняется:
,
Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и
немного «причесать» результат:
Готово.
Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без
комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и
где внутренняя функция, почему задания решены именно так?
Пример 6
Пример 6
Найти производную функции
корень, его нужно представить в виде степени
Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференциро
.
Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а
возведение в степень – внешняя функция.
Применяем правило дифференцирования сложной функции
:
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя
функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило
дифференцирования сложной функции
:
Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней
функции применяем простое правило дифференцирования суммы:
Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать
всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные
производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку,
да и преподавателю будет неудобно проверять).
Пример 8
Найти производную функции
Здесь можно использовать правило дифференцирования частного
, но
гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной
функции:
Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак
производной, а косинус поднимаем в числитель:
5. Самостоятельная работа(5мин).
Вариант 1
1.Найдите производную функции
x3
f ( x) 
 0,5 x 2  3x  2 ,
6
2.Найдите f (x) , если f ( x)  x x .
а)
3
2 x
; б)
2
2 x
; в)
; г) 1,5 x .
3
3 x
3.f(x)=4x+x². Решите уравнение f ( x)  0 .
а) -2; б) 2 ; в) - 2 ; г) 2.
Вариант 2
1.Найдите производную функции
x3
 1,5 x 2  5 x  3 ,
6
2.Найдите f (x) , если f ( x)   x x .
f ( x)  
3
2 x
; в)  1,5 x ; г) 
.
3
2 x
3 x
3.g(x)=6x+3x². Решите уравнение g ( x)  0 .
а) 
2
; б) 
а) 1; б) 3; в) 0; г) -1.
Ответы:
Вариант1.
1.
х²/2-х-3 2. г 3. а
Вариант2.
1.
-х²/2+3х+5 2. в 3. г
А1. Найдите производную функции:
а) у  2  е х ;
б ) у  9е х  5х;
в ) у  3х  е х ;
г ) у  10е х .
А2. Найдите производную функции:
а) у  2х  cos x;
б ) у  x  e x ;
в) у  4 х  7е х .
А1. Найдите производную функции:
а) у  5е х ;
б ) у  12е х  45;
в) у 
А2. Найдите производную функции:
а) у  3х  2sin x;
б) у   2 x  ex ;
А1. Найдите производную функции:
.
А2. Найдите значение производной функции х
2
 е3 х ;
2
х
г ) у  3е  х .
в) у  5 х  3е х .
В1. Найдите производную функции:
ЛИТЕРАТУРА
1.
Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл./Ш.А. Алимов – М.: Просвешение, 5012.
2.
Повторяем и систематизируем курс алгебры и начала анализа: / В.С. Крамор – М.:
Просвещение, 2009.
3.
Гусев В.А. Математика : учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф.
образования / С.Г.Григорьев,С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева.-М.: Академия,2011
4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ
:Астрель, 2006. 3. Кутасов А.Д. Пособие по математике для поступающих в вузы/ А.Д.
Кутасов; под редакцией Г.Н.
5.
Яковлева. – М. : «НАУКА», 2005 – 93с.
6.
Доброва О.Н. Задания по алгебре и математическому анализу / О.Н. Доброва. – М.: «
Просвещение», 2008
.