Рабочая программа по алгебре для 10

Пояснительная записка
Рабочая программа по математике составлена на основании следующих
нормативно-правовых документов:
1. Федерального компонента Государственного стандарта среднего
(полного) общего образования, утвержденного приказом Минобразования
России от 5.03.2004 г. № 1089;
2. Закона Российской Федерации «Об образовании» (статья 7, 9, 32);
3. Авторской программы «Алгебра и начала математического анализа
10-11 классы» (профильный уровень) составители И.И. Зубарева, А.Г.
Мордкович (Москва, Мнемозина, 2009);
Программа обеспечена учебниками «Алгебра и начала математического
анализа 10 класс» (профильный уровень), части 1 и 2, авторы А.Г. Мордкович,
П.В. Семенов (Москва, Мнемозина, 2010)
Актуальность.
Программа предназначена для учащихся информационно-технологического
профиля.
В профильном курсе содержание образования, представленное в основной
школе, развивается в следующих направлениях:
 систематизация сведений о числах; формирование представлений о
расширении числовых множеств от натуральных до комплексных как способе
построения нового математического аппарата для решения задач окружающего
мира и внутренних задач математики; совершенствование техники вычислений;
 развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований,
решения уравнений, неравенств, систем;
 систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование
графических умений; знакомство с основными идеями и методами
математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные
функции и решать простейшие
геометрические, физические и другие
прикладные задачи;
 расширение системы сведений о свойствах плоских фигур,
систематическое изучение свойств пространственных тел, развитие
представлений о геометрических измерениях;
 развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях
в окружающем мире;
 совершенствование математического развития до уровня, позволяющего
свободно применять изученные факты и методы при решении задач из
различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных
ситуациях;
 формирование способности строить и исследовать простейшие
математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных
дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических
методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе.
Изучение математики в старшей школе на профильном
уровне
направлено на достижение следующих целей:
 формирование представлений об идеях и методах математики; о
математике как универсальном языке науки, средстве моделирования
явлений и процессов;
 овладение
устным и письменным математическим языком,
математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения
школьных
естественно-научных дисциплин,
для продолжения
образования и освоения избранной специальности на современном
уровне;
 развитие логического мышления, алгоритмической культуры,
пространственного воображения, развитие математического мышления и
интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для
продолжения образования и для самостоятельной деятельности в
области математики и ее приложений в будущей профессиональной
деятельности;
 воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с
историей развития математики, эволюцией математических идей,
понимание значимости математики для общественного прогресса.
Задачи учебного предмета
В профильном курсе содержание образования, представленное в основной
школе, развивается в следующих направлениях:
• систематизация сведений о числах; формирование представлений о
расширении числовых множеств от натуральных до комплексных как способе
построения нового математического аппарата для решения задач окружающего
мира и внутренних задач математики; совершенствование техники вычислений;
• развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований,
решения уравнений, неравенств, систем;
• систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование
графических умений; знакомство с основными идеями и методами
математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные
функции и решать простейшие геометрические, физические и другие
прикладные задачи;
• развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях
в окружающем мире;
• совершенствование математического развития до уровня, позволяющего
свободно применять изученные факты и методы при решении задач из
различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных
ситуациях;
• формирование способности строить и исследовать простейшие
математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных
2
дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических
методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе.
Общеучебные умения, навыки и способы деятельности
В ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы
учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности,
приобретают и совершенствуют опыт:
проведения доказательных рассуждений, логического обоснования
выводов, использования различных языков математики для иллюстрации,
интерпретации, аргументации и доказательства;
решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и
творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и
нетиповых задач;
планирования и осуществления алгоритмической деятельности:
выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и
инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного
составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов
эксперимента; выполнения расчетов практического характера;
построения и исследования математических моделей для описания и
решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни;
проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной
задачей, с личным жизненным опытом;
самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения
и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.
Содержание рабочей программы.
Наименование раздела
Название
Содержание учебного материала
темы
1. Натуральные
Делимость натуральных чисел. Признаки
Действительные
и
целые
числа.
делимости. Простые и составные числа.
числа.
2. Рациональные
числа.
3.
Иррациональны
е числа.
4. Множество
Деление с остатком. НОД. НОК.
Перевод бесконечной периодической
десятичной дроби в обыкновенную.
Понятие иррационального числа.
Действительные числа. Числовая прямая.
3
действительных
чисел.
Числовые неравенства.. Числовые
промежутки. Аксиоматика
действительных чисел.
5. Модуль
Определение модуля действительного
действительного числа и его свойства.
числа.
6. Метод
Формулировка принципа математической
математической индукции.
индукции.
Контрольная
работа № 1.
Числовые функции.
7. Определение
числовой
функции и
способы ее
задания.
8. Свойства
функций.
9.
Периодические
функции.
10. Обратные
функции.
Функции.
Область
определения
и
множество значений. График функции.
Построение графиков функций, заданных
различными способами.
Свойства функций: монотонность,
четность и нечетность, выпуклость,
ограниченность, непрерывность.
Графическая интерпретация.
Определение периодической функции.
Взаимно обратные функции. Область
определения и область значений обратной
функции. График обратной функции.
Нахождение функции, обратной данной.
Контрольная
работа № 2.
Тригонометрические 11. Числовая
окружность.
функции.
12. Числовая
окружность на
координатной
плоскости.
13. Синус и
косинус.
Тангенс и
котангенс.
14.
Тригонометриче
ские функции
числового
аргумента.
Числовая окружность. Макеты числовой
окружности и работа с ними.
Координаты точек числовой окружности.
Составление таблицы координат точек
числовой окружности.
Синус, косинус, тангенс, котангенс
произвольного угла.
Основные тригонометрические формулы.
4
15.
Тригонометриче
ские функции
углового
аргумента.
16. Функции
y  sin x, y  cos x
, их свойства и
графики.
17. Построение
графика
функции
y  mf x .
18. Построение
графика
функции
y  f kx .
19. График
гармонического
колебания.
20.Функции
y  tgx, y  ctgx ,
их свойства и
графики.
21. Обратные
тригонометриче
ские функции.
Тригонометрические
уравнения.
Контрольная
работа № 3.
22. Простейшие
тригонометриче
ские уравнения
и неравенства.
Преобразование
тригонометрических
выражений.
23. Методы
решения
тригонометриче
ских уравнений.
Контрольная
работа № 4.
24. Синус и
косинус суммы
и разности
аргументов.
25. Тангенс
суммы и
разности
аргументов.
26. Формулы
Радианная мера угла.
Построение графиков функций
y  sin x, y  cos x и работа с ними.
Построение графика функции y  mf x .
Построение графика функции y  f kx .
График гармонического колебания.
Построение графиков функций
y  tgx, y  ctgx и работа с ними.
Функции
y  arcsin x, y  arccos x,
y  arctgx, y  arcctgx.
Преобразование выражений, содержащих
обратные тригонометрические функции.
Решение уравнений
cos t  a, sin t  a, tgt  a, ctgt  a
Метод замены переменной. Метод
разложения на множители. Однородные
тригонометрические уравнения.
Формулы синус аи косинуса суммы и
разности аргументов.
Формулы тангенса суммы и разности
аргументов.
Формулы приведения.
5
Комплексные числа.
приведения.
27. Формулы
двойного
аргумента.
Формулы
понижения
степени.
28.
Преобразование
суммы
тригонометриче
ских функций в
произведение.
29.
Преобразование
произведения
тригонометриче
ских функций в
сумму.
30.
Преобразование
выражения
Asin x  B cos x
к виду
C sin x  t  .
31. Методы
решения
тригонометриче
ских уравнений.
Контрольная
работа № 5.
32.
Комплексные
числа и
арифметические
операции над
ними.
33.
Комплексные
числа и
координатная
плоскость.
34.
Тригонометриче
ская форма
записи
комплексного
числа.
35.
Комплексные
числа и
Формулы двойного аргумента. Формулы
понижения степени.
Формулы для преобразования суммы
тригонометрических функций в
произведение.
Формулы для преобразования
произведения тригонометрических
функций в сумму.
Преобразование выражения
Asin x  B cos x к виду C sin x  t  .
Универсальная тригонометрическая
подстановка.
Действительная и мнимая часть.
Комплексно сопряженные числа. Модуль и
аргумент комплексного числа.
Геометрическая интерпретация
комплексных чисел.
Арифметические действия над
комплексными числами в разных формах
записи.
Решение квадратных уравнений с
комплексными коэффициентами.
6
Производная.
квадратные
уравнения.
36. Возведение
комплексного
числа в степень.
Извлечение
кубического
корня из
комплексного
числа.
Контрольная
работа № 6.
37. Числовые
последовательно
сти.
38. Предел
числовой
последовательно
сти.
39. Предел
функции.
40. Определение
производной.
41. Вычисление
производных
42.
Дифференциров
ание сложной
функции.
43. Уравнение
касательной к
графику
функции.
44. Применение
производной для
исследования
функций.
45. Построение
графиков
функций.
46. Применение
производной для
отыскания
наибольших и
наименьших
значений
величин.
Контрольные
Формулы для возведение комплексного
числа в степень и извлечение кубического
корня из него.
Определение числовой
последовательности и способы ее задания.
Свойства числовых последовательностей.
Определение предела последовательности.
Свойства сходящихся
последовательностей. Вычисление
пределов последовательностей.
Предел функции на бесконечности. Предел
функции в точке. Приращение аргумента.
Приращение функции.
Задачи, приводящие к понятию
производной. Определение производной.
Формулы дифференцирования. Правила
дифференцирования. Понятие и
вычисление производных n-го порядка.
Дифференцирование обратной функции.
Алгоритм составления уравнения
касательной к графику функции.
Исследование функций на монотонность.
Отыскание точек экстремума. Применение
производной для доказательства тождеств
и неравенств.
Построение графиков функций с помощью
производной.
Нахождение наибольшего и наименьшего
значений непрерывной функции на
отрезке. Задачи на отыскание наибольшего
и наименьшего значения величин.
7
Комбинаторика и
вероятность.
работы № 7,8.
47. Правило
умножения.
Комбинаторные
задачи.
Перестановки и
факториалы.
48. Выбор
нескольких
элементов.
Биноминальные
коэффициенты.
49. Случайные
события и их
вероятности.
Правило умножения. Понятие факториала.
Определение перестановки.
Определение сочетаний и размещений.
Формулы для нахождения числа сочетаний
и размещений.
Случайные события и их вероятности.
Требования к уровню подготовки учащихся.
В результате изучения математики на профильном уровне ученик
должен
знать / понимать:
– значение математической науки для решения задач, возникающих в
теории и практике; широту и ограниченность применения математических
методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
– идеи расширения числовых множеств как способа построения нового
математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач
математики;
– значение идей, методов и результатов алгебры и математического
анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;
– универсальный характер законов логики математических рассуждений,
их применимость в различных областях человеческой деятельности;
– различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике,
естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;
– вероятностный характер различных процессов и закономерностей
окружающего мира.
8
Календарно – тематический план
Номера
уроков
Плановые
ИКТ
Наименование разделов и тем
сроки
прохожден
ия
Повторение материала 7 – 9 классов (3 часа)
1
Преобразование выражений.
01.09-05.09
2
Решение уравнений и неравенств.
3
Решение текстовых задач.
Действительные числа (12 часов)
4
Натуральные и целые числа.
Делимость чисел.
5
Натуральные и целые числа.
08.09-12.09
Делимость чисел.
6
Натуральные и целые числа.
Делимость чисел.
7
Рациональные числа.
8
Иррациональные числа.
9
Множество действительных чисел.
15.09-19.09
10
Множество действительных чисел.
11
Модуль действительного числа.
12
Модуль действительного числа.
13
Контрольная работа № 1.
22.09-26.09
14
Анализ контрольной работы. Метод
математической индукции.
15
Метод математической индукции.
Числовые функции (10 часов)
16
Определение числовой функции и
способы ее задания.
17
Определение числовой функции и
29.09-03.10
способы ее задания.
18
Свойства функций.
19
Свойства функций.
20
Свойства функций.
21
Периодические функции.
06.10-10.10
22
Обратные функции.
23
Обратные функции.
24
Контрольная работа № 2.
25
Анализ контрольной работы
Тригонометрические функции (24 часа)
26
Числовая окружность.
13.10-17.10 ИКТ
9
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
РНО. Числовая окружность.
Числовая окружность на
координатной плоскости.
Числовая окружность на
20.10-24.10
координатной плоскости.
Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
Тригонометрические функции
05.11-08.11
числового аргумента.
Тригонометрические функции
числового аргумента.
Тригонометрические функции
углового аргумента.
Функции y  sin x, y  cos x , их свойства
и графики.
Анализ контрольной работы .Функции 11.11-15.11
y  sin x, y  cos x , их свойства и
графики.
Функции y  sin x, y  cos x , их свойства
и графики.
Контрольная работа № 3.
Построение графика функции
y  mf x .
РНО. Построение графика функции
18.11-22.11
y  mf x .
Построение графика функции
y  f kx .
Построение графика функции
y  f kx .
График гармонического колебания.
Функции y  tgx, y  ctgx , их свойства и 25.11-29.11
графики.
Функции y  tgx, y  ctgx , их свойства и
графики.
Обратные тригонометрические
функции.
Обратные тригонометрические
функции.
Обратные тригонометрические
функции.
Тригонометрические уравнения (10 часов)
ИКТ
ИКТ
ИКТ
ИКТ
ИКТ
10
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
Простейшие тригонометрические
02.12-06.12 ИКТ
уравнения и неравенства.
Простейшие тригонометрические
уравнения и неравенства.
Простейшие тригонометрические
уравнения и неравенства.
Простейшие тригонометрические
09.12-13.12
ИКТ
уравнения и неравенства.
Методы решения тригонометрических
уравнений.
Методы решения тригонометрических
уравнений.
Методы решения тригонометрических
уравнений.
Методы решения тригонометрических 16.12-20.12 ИКТ
уравнений.
Контрольная работа № 4.
Анализ контрольной работы
Преобразование тригонометрических выражений (21 час)
Синус и косинус суммы и разности
аргументов.
Синус и косинус суммы и разности
23.12-30.12 ИКТ
аргументов.
Синус и косинус суммы и разности
аргументов.
Тангенс суммы и разности
аргументов.
Тангенс суммы и разности
аргументов.
Формулы приведения.
12.01-16.01 ИКТ
Формулы приведения.
Формулы двойного аргумента.
Формулы понижения степени.
Формулы двойного аргумента.
Формулы понижения степени.
Формулы двойного аргумента.
29.01-23.01 ИКТ
Формулы понижения степени.
Преобразование суммы
тригонометрических функций в
произведение.
Преобразование суммы
тригонометрических функций в
произведение.
Преобразование суммы
11
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
тригонометрических функций в
произведение.
Преобразование произведения
26.01-30.01
тригонометрических функций в
сумму.
Преобразование произведения
тригонометрических функций в
сумму.
Преобразование выражения
Asin x  B cos x к виду C sin x  t  .
Методы решения тригонометрических
уравнений.
Методы решения тригонометрических 02.02-06.02
уравнений.
Методы решения тригонометрических
уравнений.
Контрольная работа № 5.
Анализ контрольной работы
Комплексные числа(9 часов)
Комплексные числа и арифметические 09.02-13.02
операции над ними.
Комплексные числа и арифметические
операции над ними.
Комплексные числа и координатная
плоскость.
Тригонометрическая форма записи
комплексного числа.
Тригонометрическая форма записи
16.02-20.02
комплексного числа.
Комплексные числа и квадратные
уравнения.
Возведение комплексного числа в
степень. Извлечение кубического
корня из комплексного числа.
Возведение комплексного числа в
степень. Извлечение кубического
корня из комплексного числа.
Контрольная работа № 6.
Производная (29 часов)
Анализ контрольной работы .
24.02-27.02
Числовые последовательности.
Числовые последовательности.
Предел числовой последовательности.
ИКТ
ИКТ
ИКТ
ИКТ
12
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
Предел числовой последовательности.
Предел функции.
Предел функции.
Определение производной.
Определение производной.
Вычисление производных
Вычисление производных
Вычисление производных
Дифференцирование сложной
функции. Дифференцирование
обратной функции.
Дифференцирование сложной
функции. Дифференцирование
обратной функции.
Уравнение касательной к графику
функции.
Уравнение касательной к графику
функции.
Уравнение касательной к графику
функции.
Контрольная работа № 7.
Анализ контрольной работы
Применение производной для
исследования функций.
Применение производной для
исследования функций.
Применение производной для
исследования функций.
Построение графиков функций.
Построение графиков функций.
Применение производной для
отыскания наибольших и наименьших
значений величин.
Применение производной для
отыскания наибольших и наименьших
значений величин.
Применение производной для
отыскания наибольших и наименьших
значений величин.
Применение производной для
отыскания наибольших и наименьших
значений величин.
Контрольная работа № 8.
02.03-06.03
ИКТ
09.03-13.03
ИКТ
16.03-20.03
01.04-03.04
ИКТ
ИКТ
06.04-10.04 ИКТ
13.04-17.04 ИКТ
13
Анализ контрольной работы
Комбинаторика и вероятность (7 часов)
119
Правило умножения. Комбинаторные 20.04-24.04
задачи. Перестановки и факториалы.
120
Правило умножения. Комбинаторные
задачи. Перестановки и факториалы.
121
Выбор нескольких элементов.
27.04-01.05
Биноминальные коэффициенты.
122
Выбор нескольких элементов.
Биноминальные коэффициенты.
123
Случайные события и их вероятности.
124
Случайные события и их вероятности.
125
Случайные события и их вероятности.
Повторение (11 часов)
126
Преобразование тригонометрических 06.05-08.05
выражений.
127
Решение тригонометрических
уравнений и неравенств.
128
Решение тригонометрических
уравнений и неравенств.
129
Вычисление производных.
11.05-15.05
130
Применение производной для
отыскания наибольших и наименьших
значений величин.
131
Итоговая контрольная работа.
132
Итоговая контрольная работа.
133
Анализ контрольной работы.
18.05-22.05
134
Решение тестовых заданий.
135
Решение тестовых заданий.
136
Решение тестовых заданий.
118
ИКТ
14
Перечень учебно-методического обеспечения
1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. «Алгебра и начала математического анализа
10 класс»
(профильный уровень). Часть 1, учебник М., Мнемозина, 2011
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. «Алгебра и начала математического
анализа 10 класс
профильный уровень). Часть 2, задачник М., Мнемозина ,2011
3. Мордкович А.Г., Семенов П.В. «Алгебра и начала математического
анализа 10 класс»
( профильный уровень). Методическое пособие для учителя М., Мнемозина,
2008
4. Глизбург В.И. «Алгебра и начала математического анализа 10 класс»
(профильный уровень). Контрольные работы М., Мнемозина, 2007
5. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. «Геометрия 10-11» М., Просвещение, 2010
6. Саакян С.М., Бутузов В.Ф. «Изучение геометрии 10-11 класс».
Методические рекомендации. М., Просвещение, 2010
7. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. М.,
Просвещение, 2007
8. Саакян С.М. Бутузов В.Ф. Контрольные работы «Изучение геометрии 1011 класс» М., Просвещение, 2010
9. Лысенко Ф.Ф. Математика. Устные вычисления и быстрый счет.
Тренировочные упражнения за курс 7-11 классов. Ростов-на-Дону, ЛегионМ, 2010
10. Ромашкова Е.В. Функции и графики в 10-11 классах – М., Илекса, 201109-04
11. Колесникова С.И. Решение сложных задач ЕГЭ по математике - М.,
ВАКО, 2011
12. Макеева А.В. Карточки по тригонометрии 10-11 классы – Саратов,
«Лицей», 2002
13. Кривоногов В.В. Нестандартные задания по математике 5-11 классы. М.,
«Первое сентября», 2003
14. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии 7-11 классы – М.. «Русское слово»,
1998
15. Полонский В. Задачник к школьному курсу по геометрии 7-11 класс – М.,
АСТ-ПРЕСС, 1998
16. Лысенко Ф.Ф. Подготовка к ЕГЭ – 2011. Ростов-на-Дону «Легион- М»
2010
17. Интернет-ресурсы: ЦОР, сайты www. fipi.ru, www. mathege.ru, «Решу
ЕГЭ», компьютерный альбом «Стереометрия» в программе «Живая
математика», демонстрационный материал к учебнику алгебры 10 класса.
15
СОГЛАСОВАНО
Протокол заседания методического
объединения учителей технического цикла
От 29.08.2014 г.№1
СОГЛАСОВАНО
Зам.директора по УМР
_______________Т.А.Кондакова
29.08.2014 г.
16
17
Вариант 1
1. Найдите остаток от деления на 11 числа 437.
2.Запишите периодическую дробь 0,(87) в виде обыкновенной
дроби.
3..Сравните числа 3  15 и 3 2 .
4. Решите уравнение x 2  1  6 x  2 x  3 .
___________________________________
5 Решите неравенство x 2  8  2 x .
_________________________________
6 Постройте график функции y   2  x  5 .
Вариант 2
1. Найдите остаток от деления на 19 числа 671.
2. Запишите периодическую дробь 0,(35) в виде
обыкновенной дроби.
3. Сравните числа 17  2 и 19 .
4. Решите уравнение x 2  6 x  7  x  3 .
________________________________________
5 Решите неравенство x 2  10  9 x .
__________________________
6 Постройте график функции y  1  x  3 .
Контрольная работа № 2 (2 час)
Вариант 1
б) найдите нули функции;
1. Задает ли указанное правило функцию y  f x  , если:
в)
найдите ее наибольшее и наименьшее значения.
 x 2 , 0  x  1,
4. Придумайте пример аналитически заданной функции,
 x,  1  x  0,

1) f x   
2) f  x   1,
1  x  3,
определенной на открытом луче  ; 0 .
 x  1, x  0;
 x  3,
x

3
?
5. Известно, что функция y  f x  возрастает на R. Решите

В случае положительного ответа:
неравенство
2
а) найдите область определения функции;
 6x  x  9 
  f 5 .
f 
б) вычислите значения функции в точках ─ 2; 1; 5;
2
x

3


в) постройте график функции;
_______________________________________
г) найдите промежутки монотонности функции.
6. Найдите функцию, обратную функции y  x 2  5, x  0 .
2. Исследуйте функцию y  3 x  x 2 на четность.
Постройте
3. y  f (x)  периодическая функция с периодом Т = 3.
на одном чертеже графики указанных двух взаимно
Известно, что
обратных
функций.
f ( x)  2  x, если 0  x  3.
______________________________________
а) Постройте график функции;
18
6. Вычислите:
1
1
1
1
1



 ... 
.
1  6 6  11 11  16 16  21
71  76
7.
Вариант 2
1. Задает ли указанное правило функцию y  f x  , если:
x  0,
 x ,
x  1,
 x  1,
 2
1) f x    x , 0  x  2,
2) f x   
1  x  4?
 x  1,
 4, 2  x  5 ;

В случае положительного ответа:
а) найдите область определения функции;
б) вычислите значения функции в точках  3 ; 2; 6;
в) постройте график функции;
г) найдите промежутки монотонности функции.
2. Исследуйте функцию y  x  2  x 3 на четность.
3. y  f (x)  периодическая функция с периодом Т = 2.
Известно, что
f ( x)  2 x  4, если  3  x  1.
а) Постройте ее график функции;
Контрольная работа № 3(1 час)
б) найдите нули функции;
в) найдите ее наибольшее и наименьшее значения.
4. Придумайте пример аналитически заданной функции,
определенной на луче  ; 0 .
5. Известно, что функция y  f x  убывает на R. Решите
неравенство
 3x 2  7 x  8 
  f 2 .
f 
2
 x 1 
_________________________________________
6. Найдите функцию, обратную функции y  3  x 2 , x  0 .
Постройте
на одном чертеже графики указанных двух взаимно
обратных функций.
_______________________________________
1
1
1
1
1



 ... 
7. Вычислите:
1  7 7  13 13  19 19  25
91  97
Вариант 1
1. Центр окружности единичного радиуса совпадает с началом
координат плоскости хОу. Принадлежат ли дуге
 3 1
 5 
 
;   ,
P1  
 P2   точки М1(-1; 0), М2 (0; -1), М3 
2
2
 6 
4


2
2
?
;
М4  

2
2


2. Вычислите: sin
13
 11
; cos 405  ; tg 
6
 6



 5
 ; ctg

 4

.

3. Вычислите ctgt  3 ; sin t  2 ; tgt   , если
12
3
cost  2    ,   t 
.
13
2
19
4. Решите неравенство: а) cos t 
1
;
2
б) sin t 
1
.
2


5. Постройте график функции y  sin  x    1 .
6

6. Исследуйте функцию на четность и периодичность;
укажите основной период, если он существует:
 11   31 

2. Вычислите: sin 420  ; cos 
; tg
; ctg  330  .
6
3

 

3. Вычислите cost  4 ; ctgt  3 ; tgt  , если
3

sin t  2    ,   t  0 .
5
2
4. Решите неравенство: а) sin t 
a) y  sin x  cos x ;
б) y  x 2  sin x .
__________________________________________
7. Сравните числа a  cos 6, b  cos 7 .
______________________________________
8. Решите неравенство x  2  cos x  1 .
3
;
2
б) cos t  
3
2


5. Постройте график функции y  cos  x   1 .
3


Вариант 2
1. Центр окружности единичного радиуса совпадает с началом
координат плоскости хОу. Принадлежат ли дуге
 3 1
 
 2 
;   , М2 (0; 1),
P1    P2 
 точки М1 
2
2
 2
 3 


 1
2
2
3
 , М4   ; 
?
;
М3  

 2

2
2
2




6. Исследуйте функцию на четность и периодичность;
укажите основной период, если он существует:
a ) y  sin x  ctgx ;
б) y  x 2  sin x.
_____________________________________
7. Сравните числа a  sin 7,5, b  cos 7,5 .
_______________________________________

8. Решите неравенство sin x  x   1 .
2
Контрольная работа № 4(2 часа)
Вариант 1
20
1. Вычислите:


1
2
1
3
 ; б) sin  4 arccos     2arctg
.
 3 arcsin  


2
3 
 2
 2 

2. Постройте график функции y  2 sin 3x .
а) 5 arccos
3. Решите уравнение: а) 6 sin 2 x  5 cos x  7  0;
б) 2 sin 2 x  sin x cos x  3 cos 2 x  0 .

1
4. Найдите корни уравнения sin( 3 x  )  , принадлежащие
6
2
промежутку  2 ;   .
5. Постройте график функции y  arcsin x  1  1 .
_____________________________________________

3
cos x 
, cos x  0,



2
6. Решите систему неравенств: а) 
б) 
2
.
cos x   1 ; sin x  
2


2

___________________________________
7. Решите уравнение arcsin 3x 2  1  arcsin 10 x  4. .


Вариант 2
1. Вычислите:


1
3
 1
1
а) arcsin
 2 arccos   ; б) sin  2 arccos    3arctg 3 .
2
2
 2
2


1
2. Постройте график функции y  cos 3 x .
2
3. Решите уравнение: а) 2 sin x  3 cos 2 x  2  0;
б) 5 sin 2 x  3 sin x cos x  2 cos 2 x  0 .
4. Найдите корни уравнения cos( 4 x 
4
)
2
, принадлежащие
2
промежутку   ;   .
5. Постройте график функции y  arccosx  1  1 .
____________________________________________
sin x  0,

6. Решите систему неравенств: а) 
3 б)
sin
x


;

2


2
,
cos x  

2

sin x  3 .

2

___________________________________
7. Решите уравнение arccos 2 x 2  1  arccos3x  1. .

Вариант 1
1. Докажите тождество:


Контрольная работа № 5(2 часа)
1  cos 2 x
 tg 2 x ,
а)
1  cos 2 x
21
x
5x
x
21x
б) cos x  cos 2 x  cos 6 x  cos 7 x  4 cos cos cos 4 x .
б) sin 9 x  sin 10 x  sin 11x  sin 12 x  4 cos cos x sin
.
2
2
2
2
sin x
cos 4 x
2. Упростите выражение
.
2. Упростите выражение 1 
.
 x 
 3

tg  1  sin x 
tg
 2x 
 4 2
 4

3. Вычислите 2 sin 3x cos 5 x  sin 8 x, если sin x  cos x  0,9 .
3. Вычислите 2 sin 5x cos 3x  sin 8x, если sin x  cos x  0,6 .
x
1
 3

 3 
x


 
4. Найдите cos 2 , если tg
 x  
, x   ;  .
4. Найдите sin 2 , если ctg  x   2 6 , x   ;   .
2
2 
15
 2


2
2

2 
5. Найдите корни уравнения sin 8 x cos 2 x  sin 7 x cos 3x,
5. Найдите корни уравнения



  
принадлежащие промежутку  ;   .
sin 10 x sin 2 x  sin 8 x sin 4 x, принадлежащие промежутку  ;  .
2


 6 2
6. Решите уравнение: а) 2 sin x  2 cos x  3 ;
6. Решите уравнение: а) 3 sin x  cos x  2 ;
б) sin 2 x  2ctgx  3 .
б) sin 2 x  tgx  2 .
____________________________________________
____________________________________



 1 
 4
 3
7. Вычислите ctg arccos    arcctg  1 .
7. Вычислите tg arcsin     arccos 
  .
 5
2 
 5




___________________________________
___________________________________
8. Решите уравнение  5 sin 2x  16sin x  cos x  8  0 .
8. Решите уравнение 5 sin 2x  11sin x  cos x  7  0 .
Вариант 2
1. Докажите тождество:
cos 2 x  sin 2 x 1
а)
 ctgx ,
sin 2 x
2
Контрольная работа № 6(1 час)
Вариант 1
а) середину отрезка, соединяющего точки 1  2i; 3  2i ;
1. Вычислите:
4i
а) 5  i  2  3i  , б)
.
1 i
2. Изобразите на комплексной плоскости:
22
б) множество точек z, удовлетворяющих условию
arg z 

; в) множество точек z, удовлетворяющих
4
условию z  3 .
3. Запишите комплексное число в стандартной
тригонометрической форме: а) 6  6i , б)  4  3i .
4. Решите уравнение x 2  2 x  2  0 .
4
 1 i 3 
 .
5. Вычислите 

2


_____________________________
6. Решите уравнение z 2  3  4i  0 .
___________________________________
7. Найдите множество точек, изображающих комплексные числа,

 z  i  1,
удовлетворяющие условиям: 

 z  1  1.
Вариант 2
1. Вычислите:
5i
.
 4  3i
2. Изобразите на комплексной плоскости:
а) середину отрезка, соединяющего точки 2  2i; 5  2i ;
б) множество точек z, удовлетворяющих условию
2
arg z 
;
3
в) множество точек z, удовлетворяющих условию z  2 .
3. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической
форме: а) 3  i , б) 3  4i .
4. Решите уравнение x 2  2 x  4  0 .
5. Вычислите 1  i 6 .
__________________________________________
6. Решите уравнение z 2  5  12i  0 .
___________________________________
7. Найдите множество точек, изображающих комплексные

 z  i  1,
числа, удовлетворяющие условиям: 

 z  1  1.
а) 3  4i 6  5i  , б)
Контрольная работа № 7 (2 час)
Вариант 1
n 2  2n  2
x 2  6x  9
3.
Вычислите:
а)
;
б)
.
lim
lim
1. Напишите первый, тридцатый и сотый члены
n  3n 2  6n  12
x 3
x 2  3x
последовательности, если ее n-й член задается формулой
4. Пользуясь определением, выведите формулу
3n  6
1
xn 
.
дифференцирования функции y  3 .
10
x
2n  30
5.
Пользуясь
правилами
и
формулами
дифференцирования,
2. Исследуйте последовательность x n 
на
n
найдите производную функции:
ограниченность и на монотонность.
23
x
x
1  cos x
.
 2 x 2  4 x  5; б ) y  x  sin  x 2 tg 2 x; в ) y 
3
2
1  sin x
6. Напишите уравнение касательной к графику функции
3
а) y 
y  sin 2 x в точке x  

.
4
___________________________________________________________
7. Докажите, что функция y  2 x удовлетворяет
1
соотношению 3  y ' '  0 .
y
___________________________________
8. Найдите площадь треугольника, образованного осями
x
координат и касательной к графику функции y 
в
2x  1
точке x  1 .
Вариант 2
1. Напишите первый, тридцатый и сотый члены
последовательности, если ее n-й член задается формулой
2n  5
xn 
.
3
3n  1
2. Исследуйте последовательность x n 
на
n
ограниченность и на монотонность.
x 2  3x  2
3n 2  n  7
;
б)
.
lim
x 1 x 2  4 x  3
n  6n 2  8n  2
4. Пользуясь определением, выведите формулу
1
дифференцирования функции y  2 .
x
5. Пользуясь правилами и формулами дифференцирования,
найдите производную функции:
5
x
2
x
1  sin x
а) y 
 x 3  x  7; б ) y  x  tg  x 2 cos 2 x; в ) y 
5
3
2
1  cos x
.
6.Напишите уравнение касательной к графику функции
3. Вычислите: а) lim
y  cos 2 x в точке x 

.
4
________________________________
x
7. Докажите, что функция y 
удовлетворяет
2
соотношению 4 y '3  y ' '  0 .
___________________________________
8. Найдите площадь треугольника, образованного осями
2 8
координат и касательной к графику функции y   3  x в
x x
точке x  2 .
Контрольная работа № 8 (2 часа)
Вариант 1
1. Исследуйте функцию y 
x2
на монотонность и
x2
экстремумы.
24
2. Постройте график функции y  3x 2  x 3 .
3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
1
3
y  x 3  x 2  1 на отрезке  1; 1 .
3
2
4. В полукруг радиуса 6 см вписан прямоугольник. Чему равна
его наибольшая площадь?
_________________________________________
 
5.Докажите, что при x   0;  справедливо неравенство
 2
cos x  x sin x  1 .
___________________________________
6.При каких значениях параметра a функция
y  2ax 3  9 x 2  54ax  66 убывает на всей числовой прямой?
Вариант 2
3  x2
1. Исследуйте функцию y 
на монотонность и
x2
экстремумы.
2. Постройте график функции y  x 3  x 2 .
3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
1
y  x 3  x 2  1 на отрезке  1; 3 .
3
4. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8см. и углом
60˚ вписан
прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на
гипотенузе. Чему равна наибольшая площадь такого
прямоугольника?
 
5. Докажите, что при x   0;  справедливо неравенство
 2
sin x  x cos x .
___________________________________
6. При каких значениях параметра a функция
5
y  ax 3  30 x 2  5a  9x  7 возрастает на всей числовой
3
прямой?
Итоговая контрольная работа (2 часа) планируется в виде централизованного тестирования
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ
Контрольная работа № 1.1
Вариант 1
1. Основание АД трапеции АВСД лежит в плоскости α. Через
точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие
плоскость α в точках Е и Р соответственно.
а) Каково взаимное расположение прямых ЕР и АВ?
25
б) Чему равен угол между прямыми ЕР и АВ, если  АВС =
150°? Ответ обоснуйте.
2. Дан пространственный четырехугольник АВСД, в котором диагонали АС и ВД равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками.
а) Выполните рисунок к задаче.
б)* Докажите, что полученный четырехугольник — ромб.
Вариант 2
1. Треугольники АВС и АДС лежат в разных плоскостях и
имеют общую сторону АС. Точка Р — середина стороны АД,
точка К — середина стороны ДС.
а) Каково взаимное расположение прямых РК и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми РК и АВ, если  АВС = 40°
и  ВСА = 80°? Ответ обоснуйте.
2. Дан пространственный четырехугольник АВСД, М и N —
середины сторон АВ и ВС соответственно, Е  СД, К  ДА, ДЕ
: ЕС = 1 : 2, ДК : КА = 1 : 2.
а) Выполните рисунок к задаче.
б)* Докажите, что четырехугольник МNЕК — трапеция.
Контрольная работа № 1.2
Вариант 1
1. Прямые а и в лежат в параллельных плоскостях α и β.
Могут ли эти прямые быть:
а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок
для каждого возможного случая.
Вариант 2
1. Прямые а и в лежат в пересекающихся плоскостях α и β.
Могут ли эти прямые быть:
а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок
для каждого возможного случая.
2. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и т. Прямая l пересекает
плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая т — в
точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12 см,
В1О : ОВ2 = 3 : 4 .
2. Через точку О, не лежащую между параллельными
плоскостями α и β, проведены прямые l и т. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно,
прямая т — в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А1В1,
если А2В2 = 15 см, ОВ1 : ОВ2 = 3 : 5 .
3*. Изобразите параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 и постройте его
сечение плоскостью, проходящей через точки М, N и К,
являющиеся серединами ребер АВ, ВС и ДД1.
3*. Изобразите тетраэдр Д АВС и постройте его сечение
плоскостью, проходящей через точки М и N, являющиеся
серединами ребер ДС и ВС, и точку К, такую, что К  ДА, АК :
КД = 1 : 3.
26
Контрольная работа № 2.1
Вариант 1
1. Диагональ куба равна 6 см. Найдите:
а) ребро куба;
б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из
его граней.
2. Сторона АВ ромба АВСD равна а, один из углов ромба равен
60°. Через сторону АВ проведена плоскость α на расстоянии а/2
от точки D.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла
DАВМ, М  α.
в)* Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью
α.
Контрольная работа № 3.1
Вариант 1
1. Основанием пирамиды DАВС является правильный треугольник АВС, сторона которого равна а. Ребро DА перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость DВС составляет с плоскостью АВС угол 30°. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
2. Основанием прямого параллелепипеда АВСDА1В1C1D1
является ромб АВСD, сторона которого равна а и угол равен 60°. Плоскость АD1С1 составляет с плоскостью основания
угол 60°, Найдите:
а) высоту ромба;
Вариант 2
1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит
квадрат, диагональ параллелепипеда равна 2 6 см, а его
измерения относятся как 1 : 1 : 2 . Найдите:
а) измерения параллелепипеда;
б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
2. Сторона квадрата АВСD равна а. Через сторону AD
проведена плоскость α на расстоянии а/2 от точки В.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла
ВАDМ, М α
в)* Найдите синус угла между плоскостью квадрата и
плоскостью α
б) высоту параллелепипеда;
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
г)* площадь поверхности параллелепипеда.
Вариант 2
1. Основанием пирамиды МАВСD является квадрат АВСD,
ребро МD перпендикулярно к плоскости основания, АD =
DМ = а. Найдите площадь поверхности пирамиды.
27
2. Основанием прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1
является параллелограмм АВСD, стороны которого равны
а 2 и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда
равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:
а) меньшую высоту параллелограмма;
б) угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания;
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
г)* площадь поверхности параллелепипеда.
Лист внесения изменений и дополнений.
Дата
Содержание изменений
Причина (нормативный акт,
закрепляющий изменения)
Примечания
28
29