Применение принципа Дирихле в решении олимпиадных задач

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА СЕЛА БЕРЕЗИНА РЕЧКА САРАТОВСКОГО
РАЙОНА САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ»
Исследовательская работа на тему:
«Применение принципа
Дирихле в решениях
олимпиадных задач »
выполнена
ученицей 11 класса
Шаповаловой Ксенией
Научный руководитель:
Кулешова Оксана Викторовна.
Саратов, 2011 г.
1
Введение.
Предметом исследования данной
работы являются логические задачи. Разнообразие
логических задач велико, велико и количество способов их решения. В своей работе я
рассмотрела задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле.
Логическая задача – это особый вид задачи, который развивает логику, образное и
творческое мышление, поэтому такие задачи являются олимпиадными. Решение таких задач
есть гимнастика ума и увлекательное занятие, поскольку для решения большинства из них
требуется не только знание определенного программного материала, но и логическое
мышление.
Гипотеза: принцип Дирихле позволяет решать логические задачи олимпиадного характера,
которые сложно решать другими способами.
В своем исследовании я выделила несколько видов логических задач:
а) арифметические; б) алгебраические; в) геометрические; г) комбинаторные.
Цель работы – исследование эффективности применения принципа Дирихле в решении
олимпиадных задач, получение знаний о применении и сферах использования принципа
Дирихле.
Данная цель реализуется в ходе решения следующих задач:
1.
Изучение литературы и сбор информации о принципе Дирихле.
2.
Отбор и систематизация олимпиадных задач, решаемых
с помощью принципа
Дирихле.
3.
Составление задач для олимпиад в среднем звене школы.
Решая олимпиадные задания, я заметила, что для решения многих из них часто используется
принцип Дирихле, поэтому я решила изучить его подробнее, т.к. в дальнейшем эти знания
будут востребованы при сдаче ЕГЭ (в третьей части ЕГЭ введены олимпиадные задачи). И
каждый ученик, мечтающий поступить в вуз, должен уметь решать такие задания. Именно
поэтому я заинтересовалась теорией этого ученого, стала находить и решать задачи с
применением этого способа доказательства. Так начиналась работа, которую я представляю.
С этой работой я выступала перед учениками 10 класса и думаю, что решение подобных
задач заинтересовало их, так как многие из них с удовольствием решали задачи, составленные
мной, и решали их правильно. Принцип Дирихле не рассматривается в учебниках алгебры,
поэтому моим одноклассникам было интересно узнать его применение в решении задач и
использование этого принципа в дальнейшем.
2
Краткая биография Дирихле Петер Густав Лежен.
Дирихле Петер Густав Лежен (13. 02.1805–05.05. 1859) – немецкий математик. Родился в
Дюрене. В 1822-1827гг. был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых,
которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 занял место доцента в Бреславе; с 1829
работал в Берлине. В 1831-1855гг. – профессор Берлинского университета, после смерти К.
Гаусса (1855г.) – Гёттингенского университета. Сделал ряд крупных открытий в теории чисел;
установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным
определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в
арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно просты.
К решению этих задач применил аналитические функции, названные функциями (рядами)
Дирихле. Создал общую теорию алгебры, единиц в алгебраическом числовом поле. В области
математического анализа впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной
сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочнонепрерывной и монотонной функций, что послужило обоснованием для многих дальнейших
исследований. Значительны труды Дирихле в механике и математической физике, в частности,
в теории потенциала. С именем Дирихле связаны задача, интеграл (ввел интеграл с ядром
Дирихле), принцип, характер, ряды. Лекции Дирихле имели огромное влияние на выдающихся
математиков более позднего времени, в том числе на Г. Римана, Ф. Эйзенштейна, Л.
3
Кронекера,
Ю. Дедекинда.
Применение принципа Дирихле в решении различных видов задач.
Несмотря на кажущуюся тривиальность принцип Дирихле весьма глубок, так как является тем,
что математики именуют «чистой теоремой существования». Принцип Дирихле является
мощным и, по существу, единственным методом решения логических задач, в которых
требуется установить существование некоторого объекта с предписанными свойствами.
Принцип Дирихле утверждает, что если множество из N элементов разбито на n
непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N > n, то по крайней мере в
одной части будет более одного элемента. Самая популярная формулировка принципа Дирихле:
"Если в n клетках сидит N зайцев, причем N > n, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней
мере, два зайца». Обобщенный принцип Дирихле: "Если в n клеток посадить kn+1 зайцев, то
найдется хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем k+1 заяц". Докажем
обобщенный принцип Дирихле. Доказательство от противного. Предположим, что не найдется
такой клетки. Значит, в каждой клетке находится не более чем k зайцев. Тогда в n клетках не
более чем kn зайцев. Но по условию у нас было kn+1 зайцев. Получилось противоречие, значит
наше предположение неверно. Следовательно, найдется хотя бы одна клетка, в которой
находятся не менее чем k+1 заяц. Безусловно, начинать эту тему стоит с задач, в которых нужно
работать с конкретными числами. Обязательно в процессе решения нужно обращать внимание,
что мы должны говорить «не более», «не менее», а не обсуждать «лучший» («худший») случай,
так как доказать это часто достаточно сложно.
В олимпиадах встречаются задачи различных типов: алгебраические, арифметические,
комбинаторные, геометрические. Ниже я приведу примеры, показывающие, что принцип
Дирихле применяется в решении всех этих видов задач.
4
Алгебраические задачи
Пример 1. Докажите, что среди 13 разных целых чисел всегда найдутся два числа, разность
которых делится на 12.
Решение таких задач сводится к нахождению двух чисел a и b, остатки отделения на n(в нашем
случае на 12) которых равны. Следовательно, эти числа будут являться доказательством
утверждения, т. к.
Пример 2. Докажите, что среди 25 различных натуральных чисел найдутся хотя бы 2числа a и
b, таких, что число a2-b2 делятся на 24.
Решение. Среди данных чисел в соответствии с принципом Дирихле найдутся хотя бы 2 числа,
дающие одинаковые остатки при делении на 24, тогда a-b=(24q1+r)-(24q2+r)=24(q1-q2), т. е.(ab) делится на 24, т. к. a2-b2=(a-b)(a+b), и (a-b) делится на 24(доказано выше), то a2-b2 делится на
24.
Арифметические задачи
Пример 1. В классе 37 учащихся. Найдется ли такой месяц в году, в который свой день
рождения отмечают не менее четырех учащихся этого класса?
Решение. Т. к. в году 12 месяцев, а в классе 37 учащихся, то по принципу Дирихле обязательно
найдется такой месяц в году, в котором свой день рождения отмечают не менее 4 учеников.
Пример 2. На земле живет 6000000000 человек, у каждого на голове – не более 3000000 (цифры
условные) волос. Докажите, что обязательно найдутся два человека с одинаковым числом
волос.
Решение. Т. к. количество людей больше количества возможных вариантов количества волос,
то в соответствии с принципом Дирихле, хотя бы двое из них имеют одинаковое число волос.
Комбинаторные задачи
Пример 1. Докажите, что в любой момент турнира по шашкам (в котором каждый встречается
с остальными участниками по одному разу) найдется два игрока, сыгравшие одинаковое число
партий.
Решение. Если в турнире k+1 участник, то количество сыгранных партий у каждого спортсмена
меняется от 0 до k. Однако, если хотя бы у одного участника не сыграно ни одной партии. То ни
у кого не может быть сыграно k партий (т. е. количество групп-k). Если же хотя бы один сыграл
все k партий, то ни у кого не может быть 0. Если k+1 игрока распределять по k группам, то
найдется группа, в которой не менее 2 игроков.
Пример 2. Натуральные числа записаны в произвольном порядке. Для каждого числа найдена
сумма с его порядковым номером. Могут ли все суммы оканчиваться разными цифрами?
Решение. Нет. Докажем, что хотя бы две суммы оканчиваются одинаковой цифрой.
5
Способ 1. В начальной расстановке (все числа записаны по порядку) все суммы – четные. При
перестановке двух чисел либо четность сумм не изменится, либо появится две нечетные суммы.
Следовательно, в любой расстановке числа Nч четных сумм и Nн нечетных сумм – четны
(причем Nч+Nн=10), поэтому одно из чисел Nч, Nн больше 5. А четных и нечетных цифр – по
5.
Способ 2. Сумма всех сумм четна, так как каждое число в нее входит дважды. Пусть все суммы
оканчиваются разными цифрами, тогда сумма последних цифр 0+1+…+9=45 – нечетна.
Противоречие.
Геометрические задачи
Пример 1. В квадрате со стороной 1 м находится 20 точек. Найдутся ли 3 из них, которые
можно накрыть квадратом со стороной 1/3 м?
Решение. Да, разобьем квадрат на 9 квадратов со стороной 1/3м. По принципу Дирихле, по
крайней мере в одном из них находится не менее 3 точек.
1/3 м
6
Олимпиадные задачи, решаемые с
помощью метода Дирихле.
Принцип Дирихле достаточно рельефно характеризует специфику олимпиадных задач. Кроме
того, многие задачи используют идеи принципа Дирихле в решении всей задачи или какой-то её
части. При решении многих задач используются сходные между собой приемы рассуждений,
получившие название “ принципа Дирихле “. Исследование олимпиадных заданий позволило
мне сделать выводы о том, что применение этого принципа воспитывает умение устанавливать
соответствие между элементами двух множеств. Несмотря на кажущуюся тривиальность
принцип Дирихле весьма глубок, так как является тем, что математики именуют «чистой
теоремой существования». Главное при решении задач на принцип Дирихле – понять, что в
условии данной задачи служит «предметами», а что – «ящиками». Я рассмотрела задачи
«Турнира городов» с 1995 по 2009 годы. Среди них я выбрала те, в решении которых
используется принцип Дирихле.
1.
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996.
Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма
будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
Решение
Образуем числа
b1 = {a1},
b2 = {a1 + a2},
b3 = {a1 + a2 + a3},
............................ .
b1996 = {a1 + a2 + a3 + ... + a1996}.
Разделим отрезок [0, 1] на 1001 отрезочек длины 1/1001. По принципу Дирихле, какие-то два из
чисел b1, ..., b1996 окажутся внутри одного отрезочка (пусть это bi и bj, i < j). Это означает, что ai
+1
2.
+ ... + aj отличается от целого числа не более чем на 1/1001 < 0,001
Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом
написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что
существуют четыре различные клетки с центрами в точках A, B, C, D такие, что AB = CD, AD =
7
BC и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в A и C, равна сумме чисел в клетках с
центрами B и D.
Решение
Рассмотрим всевозможные пары клеток, симметричных относительно центра квадрата.
Количество таких пар равно (172 - 1)/2 = 144. Сумма чисел, написанных в двух клетках может
быть равна 2, 3, ..., 140. Поэтому найдутся две пары клеток, симметричных относительно центра
квадрата, с равными суммами написанных чисел. В качестве точек A и C возьмём центры одной
пары клеток, а в качестве точек B и D — центры другой пары.
3.
Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что
найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.
Решение
Предположим, что первый член и разность арифметической прогрессии по абсолютной
величине меньше 10k. Тогда найдётся член прогрессии, у которого (k + 1)-я цифра — любая
заданная цифра. В частности, эта цифра может быть девяткой.
4.
На шахматной доске размером 8*8 отметили 17 клеток.
Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню нужно не менее трех ходов для
попадания с одной из них на другую.
Решение
Рассмотрим фигуру, изображённую на рисунке 1а. Легко проверить, что путь коня от любой из
четырёх клеток этой фигуры до любой другой состоит не менее чем из трёх ходов.
Шестнадцатью такими фигурами можно покрыть всю доску (рис. 1б). По принципу Дирихле,
одна из этих шестнадцати фигур содержит по крайней мере две отмеченные клетки. Они и
будут искомыми.
8
5.
Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10
букв. Шифр называется хорошим, если всякое зашифрованное слово расшифровывается
однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не
больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно.
Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем
любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)
Решение
Предположим, что это не так и некоторые шифровки декодируются неоднозначно. Выберем
самую короткую такую шифровку. По условию в ней более 10 000 букв.
Назовём полусловом несколько (но не ноль и не все) первых букв слова, кодирующего букву.
Ясно, что полуслов не больше чем 9 x 33 = 297.
Раскодирование шифровки определяется позициями между буквами, в которых она делится на
слова, кодирующие буквы. Отметим эти позиции в первом случае красным, а во втором —
синим цветом (красные и синие разделители нигде не совпадают, иначе можно отбросить часть
шифровки после этих разделителей, получив шифровку короче). Рассмотрим для каждого
красного разделителя слово, образованное этим разделителем и последним синим разделителем,
стоящим перед этим красным (или началом шифровки, если таких синих разделителей нет).
Ясно, что это полуслово. По принципу Дирихле, какие-нибудь два таких полуслова совпадают
(шифрующих слов у нас не менее 1001, значит, красных разделителей — не менее 1000 > 297),
но тогда кусок между соответствующими красными разделителями можно выкинуть, получив
новую (короткую) неоднозначно раскодируемую шифровку.
Ответ
Да, следует
9
6.
Шесть игральных костей нанизали на спицу так, что каждая может вращаться независимо
от остальных (протыкаем через центры противоположных граней). Спицу положили на стол и
прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях костей.
Докажите, что можно так повернуть кости, чтобы это число делилось на 7. (На гранях стоят
цифры от 1 до 6, сумма цифр на противоположных гранях равна 7.)
Решение
Возьмём два кубика. Докажем, что их можно повернуть так, чтобы цифры на верхних гранях
совпадали. На каждом из кубиков осталось 4 непроткнутые грани — всего 8 чисел (каждое от 1
до 6), значит, среди них есть хотя бы два равных. Тем самым, можно добиться, чтобы на
верхних гранях кубиков было изображено число
7.
= 7 · 143 ·
, которое делится на 7.
Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52
карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого
выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладет рубашкой вверх, а остальные картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту.
Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту.
б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо
четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли в этом случае участники
фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?
Подсказка
Из пяти карт хотя бы две имеют одинаковую масть
Решение
а) Между всеми картами колоды можно каким-то образом(каким именно — неважно)
установить старшинство. Из пяти карт (по принципу Дирихле) хотя бы две имеют одинаковую
масть. Первый фокусник выбирает две такие карты, одну из них располагает рубашкой вверх, а
другую ставит первой среди открытых в пятёрке, так что второй фокусник узнаёт масть
закрытой карты. Всего карт одной масти 13, одна из них открыта, так что остаётся выбрать из
12 возможностей. Следующие три карты, которые открыты, можно упорядочить шестью
способами (в порядке роста старшинства, в порядке убывания и т. д.). Закрытая карта может
располагаться между остальными пятью способами. Всего вариантов оказывается 6 x 5 = 30 —
этого достаточно, чтобы закодировать 12 карт.
10
б) Как и в задаче а), первый фокусник выбирает масть, которая представлена хотя бы двумя
картами, выбирает эти две карты. Дальше он действует иначе. 13 карт выбранной масти можно
расположить по кругу в установленном порядке (например, в порядке роста старшинства).
Фиксируем направление обхода. От каждой карты проведём стрелки к шести картам, которые в
этом круге идут следом за ней в этом направлении. Тогда любые две карты окажутся
соединёнными, и притом только одной стрелкой. Теперь фокусник из двух выбранных карт
берёт ту, в которую идёт стрелка, и её оставляет у себя, а другую выкладывает. Таким образом,
второму фокуснику приходится выбирать уже не из 12, а только из шести карт, что, как мы
видели, возможно.
Ответ
б) да
8.
В булке за 10 копеек оказался запечен изюм двух сортов. Докажите, что внутри булки
найдутся две такие точки, удаленные на расстояние 1 см, что они либо не принадлежат никаким
из изюмин, либо принадлежат изюминам одного сорта.
Решение
Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром 1 см, расположенный целиком внутри булки. Для
каждой из его вершин существует одна из трех возможностей — либо находиться внутри
изюмины одного из двух сортов, либо не принадлежать никакой изюмине. Поскольку всего
вершин четыре, а возможностей — три, то для каких-то двух вершин выполнена одна и та же
возможность. Эти две вершины и будут искомыми точками.
9.
Карточка матлото представляет собой таблицу 10*10 клеточек. Играющий отмечает 10
клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется десятка
проигрышных клеточек.
Докажите, что
а) можно заполнить 13 карточек так, чтобы среди них обязательно нашлась "выигрышная"
карточка - такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;
б) двенадцати карточек для этого недостаточно.
Решение
а) k + 3 карточек K1, K2, ...,Kk + 3 можно заполнить так: в Ki при i = 1, 2, ..., k – 1 отметить все
клетки i-й строки, в Kk — левые половины первой и последней (k-й) строк, в Kk + 1 — правую
половину первой и левую последней, в Kk + 2 — левую половину второй и правую последней, в
11
Kk + 3 — правые половины второй и последней строк. (Если k — нечётное число, то будем
считать, что левая "половина" на 1 клетку больше правой "половины".)
В самом деле, если k клеток, объявленных проигрышными, стоят в разных строках, то в одной
из половин — левой или правой — последней строки и в одной из половин первой или второй
строки нет проигрышных клеток, так что выиграет одна из карточек Kk, .., Kk + 3. Если в какой-то
строке две проигрышных клетки, то должна быть строка, свободная от них. Пусть это
последняя строка (иначе у нас есть карточка, в которой отмечена именно эта строка). Пусть
хотя бы в одной из первых двух строк ровно одна проигрышная клетка (иначе свободна не
только последняя строка, но и ещё одна), но тогда выиграет одна из карточек K1, ..., Kk – 1.
б) Докажем, что для k + 2 заполненных карточек всегда можно объявить проигрышными такие k
клеток, что в каждой карточке хотя бы одна из отмеченных клеток окажется проигрышной.
В самом деле, если есть клетка, отмеченная не менее чем в трёх карточках, то объявим её
проигрышной. Поскольку карточек, где она не отмечена, будет не более k – 1, то
справедливость доказываемого утверждения в этом случае очевидна.
Пусть теперь ни одна из клеток не отмечена более чем в двух карточках. Ясно, что найдётся
клетка A, отмеченная в двух карточках. В каждой из k других карточек будет отмечено по k
клеток из k2 – 1 (кроме A), откуда, по принципу Дирихле, среди этих k2 – 1 клеток найдётся
клетка B, отмеченная в двух карточках. Проигрышными здесь можно объявить A, B и по одной
отмеченной клетке из каждой карточки (каковых будет не более k – 2), где ни A, ни B не
отмечены.
10. В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k ( 1 k 25 ) в
любых k коробках лежат шарики ровно k+1 различных цветов. Докажите, что шарики одного из
цветов лежат во всех коробках.
Решение
Обозначим коробки B1 , B25 . По условию общее число цветов равно 26. Если рассмотреть все
коробки, кроме Bi , то общее число цветов в них равно 25. Следовательно, есть цвет,
присутствующий только в коробке Bi ; назовем его Ci . Поскольку общее число цветов – 26,
остался ровно один цвет C , отличный от всех Ci . Если в какой-то коробке Bk нет шариков этого
цвета, то в ней есть только шарики цвета Bk , что противоречит условию (в Bk должны быть
шарики двух цветов). Значит, шарики цвета C есть во всех коробках.
12
Заключение
Несмотря на совершенную очевидность этого принципа, его применение является весьма
эффективным методом решения задач, дающим во многих случаях наиболее простое и изящное
решение. При исследовании содержания олимпиадных заданий на примере одного «Турнира
городов» я заметила, что задачи, которые решаются с помощью принципа Дирихле встречаются
почти в каждой работе. Я вычислила процент использования принципа Дирихле в решении
олимпиадных задач, составила диаграмму и сделала вывод: в олимпиадных заданиях
присутствует ≈7% задач, которые рациональнее решать с помощью метода Дирихле.
(Приложение 1). Самым интересным и сложным было находить , казалось бы, в простых
задачах "зайцев" и "клетки", т.к. это иногда было совсем не очевидно. Из-за неправильного
выбора задачи не решались, а как только определялись "зайцы" и "клетки", принцип Дирихле
начинал работать.
Изучив этот принцип доказательства, я сама стала придумывать несложные задачи,
решаемые с помощью принципа Дирихле. Я считаю, что проделанная мною работа, дала
положительные результаты. Элементы моей работы можно использовать для ознакомления с
принципом Дирихле в школьном курсе математики. Этот метод необходимо знать и применять
его на практике. В процессе исследовательской деятельности мною были составлены задачи,
решаемые с помощью принципа Дирихле. Они могут использоваться в качестве олимпиадных
заданий для учеников среднего звена школы. (Приложение 2).
Я собираюсь продолжить мои исследования дальше.
13
Список литературы
1. Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.Н. «Принцип Дирихле».
Учебное издание. Серия А, 1999,Самара.
2. Леман А.А. «Сборник задач московских математических олимпиад»
3. Алгебра 8. Изд. «Просвещение», Виленкин.
4. Газета «Математика» № 25-26. Изд. дом. «Первое сентября».
5. Школьная энциклопедия Математика. Гл. ред. С. М. Никольский. – Москва. Изд.
дом «Дрофа», 1997.
6. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А. П. Савин – Москва.
Педагогика – Пресс, 1999.
7. Сайт www. problems.ru
14
Приложение 1
Процент использования принципа Дирихле в решении олимпиадных задач.
Всего рассмотренных олимпиадных задач -174
Решаемых с помощью принципа Дирихле -12 , что составляет
6,8965517241379310344827586206897 % от общего числа задач
1 кв
2 кв
3 кв
4 кв
15
Приложение 2
Задачи для олимпиад в среднем звене
школы, решаемые по принципу Дирихле.
Пример 1. В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в
один день года.
Решение. Всего в году 365 дней. Назовём дни ящиками, а учеников кроликами.
Тогда в некотором ящике сидят не меньше 400/366 кроликов, т.е. больше одного.
Следовательно, не меньше двух.
Можно рассуждать от противного. Допустим, что каждый день отмечают день
рождения не больше одного ученика, тогда всего учеников не больше 366.
Противоречие.
Пример 2. Фея пообещала Золушке открыть великую тайну, если она составит
чудесный квадрат 6 х 6 из чисел +1, -1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по
столбцам и по большим диагоналям были различны. Помогите Золушке.
Решение. Допустим, что квадрат составлен. Тогда суммы чисел могут меняться от
–6 до +6. Всего 13 значений. Строк в квадрате 6, столбцов 6, диагоналей 2. Получаем
14 различных сумм. Противоречие, значит, составить такой квадрат невозможно.
Пример 3. На планете Земля океан занимает больше половины площади
поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально
противоположные точки.
Решение. Отразим океан симметрично относительно центра Земли. Поскольку
сумма площадей океана и его образа превышает площадь земной поверхности, то
существует точка, принадлежащая океану и его образу. Возьмём эту точку вместе с
противоположной к ней.
Пример 4. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3
самостоятельных работы. За каждую самостоятельную ставилась одна из оценок: 2,3,4
или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на
самостоятельных?
Решение. Рассмотрим множество наборов из трёх оценок за соответствующие
самостоятельные. Количество таких наборов равно 43 или 64 (4 возможности за
каждую из трёх самостоятельных). Поскольку число учащихся больше 64, по
принципу Дирихле каким-то двум учащимся отвечает один набор оценок.
ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ (Задачи внеклассной работы)
1. В классе 30 человек. В диктанте Игорь сделал 12 ошибок, а каждый из остальных √ не
больше. Докажите, что по крайней мере трое учеников сделали одинаковое количество
(быть может, и ноль) ошибок.
2. В магазин привезли 25 ящиков с грушами трех сортов, причем в каждом ящике лежат
груши какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с грушами одного сорта?
Ответ: Да.
3. В шкафу лежат вперемешку 5 пар светлых ботинок и 5 пар темных ботинок одинаковых
размера и фасона. Какое наименьшее количество ботинок надо взять наугад из шкафа,
чтобы среди них была хоть одна пара (на правую и левую ноги) одинакового цвета?
16
Ответ: Возьмем 10 ботинок. Может оказаться, что среди них 5 светлых на одну ногу и 5
темных тоже на одну ногу. В этом случае, если взять 11-й ботинок, он с одним из ранее
взятых дает пару светлых или темных ботинок.
4. Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от
какого чемодана. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы
подобрать к каждому чемодану свой ключ?
Ответ: Первый ключ находит свой чемодан в худшем случае за 4 пробы, второй за 3,
третий за 2, четвертый за 1, пятый подходит к оставшемуся чемодану. В худшем случае
всего будет 10 проб.
5. В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 зеленых. В темноте берут карандаши.
Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не меньше 2-х красных и не
меньше 3-х зеленых?
Ответ: 10 карандашей.
6. В ящике лежат цветные карандаши: 10 красных, 8 синих и 4 желтых. В темноте берем
из ящика карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них
заведомо было:
а) не менее 4-х карандашей одного цвета?
б) не менее 6-ти карандашей одного цвета?
в) хотя бы 1 карандаш каждого цвета?
г) не менее 6-ти синих карандашей?
Ответ: а) 10; 6) 15; в) 19; г) 20.
7. В погребе стоит 20 одинаковых банок с вареньем. В 8-ми банках клубничное варенье, в
7-ми малиновое, в 5-ти вишневое. Каково наибольшее число банок, которые можно в
темноте вынести из погреба с уверенностью, что там осталось еще хотя бы 4 банки одного
сорта варенья и 3 банки другого?
Ответ: Можно вынести 7 банок.
8. В соревнованиях по вольной борьбе участвовало 12 человек. Каждый участник должен
был встретиться с каждым из остальных по одному разу. Докажите, что в любой момент
соревнования имеются два участника, проведшие одинаковое число схваток.
Ответ: Каждый участник должен провести 11 схваток. Распределим участников по
группам. К 1-й группе отнесем тех, кто в данный момент не провел ни одной схватки; ко
второй тех, кто провел одну схватку, и т. д. К последней, 12-й группе, отнесем тех, кто
провел все 11 схваток. Но одновременно не могут существовать 1-я и 12-я группы. Так,
если хотя бы один участник провел все схватки, то не может быть участника, который не
провел бы ни одной схватки. Отсюда число групп может быть только 11, а число
участников 12. По принципу Дирихле к одной из групп должно принадлежать, по крайней
мере, два участника.
17