17 *** ***_2013x

Лекция №17
17.1 Вычисление геометрических характеристик поперечных сечений
стержней.
Из курса высшей математики известно, что площадь фигуры
ограниченной функцией y(z) на отрезке [ z0 , z1 ] определяется по формуле
(17.1)
.
Рис. 17.1 Плоская фигура, ограниченная кривой f(z)
Геометрические характеристики: статические моменты S z , S y , осевые и
центробежный моменты инерции J z , J y , J zy предложено также вычислять с
помощью одинарных интегралов:
(17.2)
Такой подход дает единый способ для вычисления геометрических
характеристик и требует лишь умения вычисления интегралов. Координаты
центра тяжести фигуры, осевые и центробежные моменты инерции
относительно центральных осей, главные центральные моменты инерции и
радиусы инерции определяются с помощью известных алгебраических
формул.
Пример 17.1 Вычислим центробежный момент инерции
прямоугольного треугольника (рис 17.2)
Рис. 17.2
z
b
В данном примере f ( z )  h  (1  ) . Вычисляем интеграл ( z0  0, z1  b)
Центробежный момент инерции относительно центральных осей
(17.3)
=
Пример.17.2 Определить центр тяжести четверти круга (рис.17.3). Уравнение дуги
окружности y  r 2  z 2 , ( z0  0, z1  r ).
Рис. 17.3 К определению центра тяжести четверти круга
1r
1r
1
r3
r3
S
4r
4r 3
yc  z , S z   y ( z ) 2 dz   (r 2  z 2 )dz  (r 3  ) 
, yc 
, yc 
. (17.4)
A
3
20
20
2
3
3
3r 2
Для координаты zc имеем:
zc 
z1
r
, S y   zy ( z )dz   z ( r 2  z 2 )dz ,
A
z0
0
Sy
1
3
r2
2
4r
1r
1
1
r3
S y   ( r 2  z 2 )d ( z 2 )   (r 2  t ) 2 dt  (r 2  t ) 2 0r 
, zc 
.
3
20
2 0
3
3
(17.5)
Для вычисления геометрических характеристик поперечных сечений удобно
использовать систему инженерных расчетов Mathcad . Ниже представлен код программы,
реализующий вычисление интегралов (17.2)
ORIGIN  1
Name  "Òðåóãîëüíèê"
2
1.5
2 ( 1  z ) 1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
z
f ( z)   1 

z
h
b
z0  0
z1  b
z


 1
2


 f ( z) d z
z1
z1



z


 T   f ( z) d z T  0
T
  z f ( z) d z 
1 2
1 3
 1 1 z
2

z
0
0


P 


z1
z1



3
2

 f ( z) d z
 f ( z)  z d z

z1

z

z0

2
T  0

T
  z  f ( z) d z T

2 2
2 3
 2 1

3
2
z
0


T
T


T  1 3 T  1 2 T  T  T 2 T 


3

1
3

2
4

1
2

1
3

2
1

1

T
T

1 1
1 1


T  T  T 2 T
T
T
 T
T T 
2 2  3 1
1 1 4 3
2 3  3 1 3 2 1 1
 4 2
 A T1 1 Sz T1 2 Sy T1 3 


 Jz T2 1 Jy T2 2 Jzy T2 3 
S

Name
 zc T3 1 y c T3 2

 Jz T

Jy c T
Jzy c T
4 1
4 2
4 3 
 c
2
2

b h 
 A b  h Sz b  h

Sy
2
6
6



3
3
2 2 
b h
b h
 J b h

Jy
Jzy
z
12
12
24


P


b
h
yc
"Òðåóãîëüíèê" 
 zc
3
3


3
3
2 2 

b h
b h
b h
 Jzc
Jy c
Jzy c 

36
36
72 

P substitute b
 A 9 Sz

 J 54 J
y
 z
6 
 zc 1 yc

 Jzc 18 Jyc

3 h


27
27

Jzy

2
2

2 "Òðåóãîëüíèê"

9
9 
Jzy c 

2
2 
18
Sy
9
Name  "Òðàïåöèÿ"
f ( z) 
z  z1 y0 z  z0 y1
z0  z1

z1  z0
Òðàïåöèÿ
2
1.5
1
2 z
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
z z
P
1 1
A

z0  z1 y0  y1
simplify  Sy
1 3
P
P
2 1
P
2 2
P
2 3
P
3 1
P
4 1
simplify  Jz
simplify  Jy
simplify  Jzy
 zc


P
1 2
2
 Sz
6
z0  z1 2 y0 z0  y0 z1  y1 z0  2 y1 z1
6
z0  z1  y02  y12  y0  y1
12

z0  z1  3 y0 z02  y0 z12  y1 z02  3 y1 z12  2 y0 z0 z1  2 y1 z0 z1

12
z0  z1  3 y02 z0  y02 z1  y12 z0  3 y12 z1  2 y0 y1 z0  2 y0 y1 z1
2 y0 z0  y0 z1  y1 z0  2 y1 z1
simplify  Jzc

z0  z1  y02  y0 y1  y12
3 y0  3 y1
24
2
P
3 2
 yc
2
y 0  y 0 y 1  y 1
3 y 0  3 y 1
z0  z1  y04  2 y03 y1  2 y0 y13  y14

36  y0  y 1
P
4 2
P
4 3
z0  z13  y02  4 y0 y1  y12

36  y 0  y 1
simplify  Jy c
simplify  Jzy c
z0  z12  y03  3 y02 y1  3 y0 y12  y13

72  y0  y 1
7
2 
 A 3
Sz
Sy


2
6
3


5
5
11 

J
Jy
Jzy
 z 4
12
24 
P substitute z0 0 y 0 2 z1 1 y 1 1  

7
 zc 4
yc
"Òðàïåöèÿ" 
9
9



37
13
13 
 Jzc 108 Jy c 108 Jzy c  216 


17.2 Расчет статически неопределимых балок
Покажем, как можно использовать систему компьютерной алгебры Maple для
определения усилий и перемещений в однопролетной статически неопределимой балке
(рис.17.4), (пример.11.2; лекция №11).
Рис.17.4 Статически неопределимая балка
Программный код Maple имеет вид:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Рис 17.5 Эпюры M , Q,
V 
,
.
EJ EJ