Олимпиадные задачи 2 тура предметных олимпиад школьников по математике

Олимпиадные задачи 2 тура предметных олимпиад школьников
по математике
8 класс, 2008 год
1. Корень из числа 49 можно извлечь по такой «формуле»:
49 = 4 + 9 .
Существуют ли другие двузначные числа, квадратные корни из которых извлекаются
аналогичным образом и являются целыми? Укажите все такие двузначные числа.
2. ABC – равнобедренный треугольник с вершиной А, А  27 0 . Точка D симметрична
точке В относительно А. Чему равен угол BCD ?
3. Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется
пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может
увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли
смысл идти, или есть риск упустить автобус?
4. Про числа a и b известно, что a =b + 1. Может ли оказаться так, что a4 = b4?
5. Какое наименьшее количество клеток квадрата 5  5 нужно закрасить, чтобы в любом
квадрате 3  3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?
Олимпиадные задачи 2 тура предметных олимпиад школьников
по математике
8 класс, 2009 год
1. Докажите, что 13  13 2  133  13 4  ...  13 2009  13 2010 делится нацело на 7.
2.
Постройте график функции у  х  2  2 .
3. На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС взяты
соответственно точки D, E , F , так что AD  BE  CF . Каков вид треугольника
DEF ? Докажите.
4. Известно, что a  b  c  5 , ab  ac  bc  5 . Чему может равняться a 2  b 2  c 2 ?
5. На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по веселому чижу. Время от
времени какие-то два чижа перелетают на соседнее дерево – один по часовой
стрелке, а другой – против. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?
Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады
школьников по математике (2010 год)
8 класс
1. Найдите последнюю цифру числа 2009 2010
2. Дома у Олега есть сейф, но кода он не знает. Бабушка рассказала Олегу, что код
состоит из 7 цифр - двоек и троек, причем двоек больше, чем троек. А дедушка что код делится и на 3, и на 4. Сможет ли Олег с первой попытки открыть сейф?
3. Представьте в виде квадрата суммы выражение ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  1.
4. У звезды ACEBD равны углы при вершинах A и B, углы при вершинах E и C, а
также равны длины отрезков AC и BE. Известно, что AD = 10 см. Найдите BD.
5. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб.
Они окрашены в разные цвета: красный, синий, желтый, зеленый. Известно, что
красная фигура лежит между синей и зеленой; справа от желтой фигуры лежит
ромб; круг лежит правее и треугольника и ромба; треугольник лежит не с краю;
синяя и желтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат
фигуры и какого они цвета.
Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады
школьников по математике (2011 год)
8 класс
1. Найдите все такие трехзначные числа N , что сумма цифр числа N в 11 раз
меньше самого числа N .
2. Через точку P, лежащую вне окружности, проводятся всевозможные прямые,
пересекающие эту окружность. Найти множество середин хорд, отсекаемых
окружностью на этих прямых.
3. На диагонали BD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что прямая AE
пересекает сторону BC в точке M , прямая AF пересекает сторону CD в точке
N и CM  CN . Найдите длину диагонали квадрата, если BE  3, EF  4 .
4. Что больше: 3111 или 1714 ?
5. На смотре войска Острова лжецов и рыцарей (лжецы всегда лгут, рыцари всегда
говорят правду) вождь построил всех воинов в шеренгу. Каждый из воинов,
стоящих в шеренге, сказал: «Мои соседи по шеренге – лжецы». (Воины, стоящие в
концах шеренги, сказали: «Мой сосед по шеренге – лжец».) Какое наибольшее
число рыцарей могло оказаться в шеренге, если на смотр вышло 2011 воинов?